Vi tích phân A2 Chương 1. Hàm nhiều biến

CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm hàm ẩn một biến Sự tồn tại Định lý 9. Công thức. y ′(x) = −F ′ x F ′y Ví dụ 35. Cho hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương trình x3y + ln y − x = 0. Hãy tính y ′(x). Ví dụ 36. Tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) biết arctan x + y a − y a = 0. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm của hàm ẩn hai biến Sự tồn tại. Định lý 10 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm của hàm ẩn hai biến Sự tồn tại. Định lý 10 Công thức. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm của hàm ẩn hai biến Sự tồn tại. Định lý 10 Công thức. ∂z ∂x = −F ′ x F ′z . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm của hàm ẩn hai biến Sự tồn tại. Định lý 10 Công thức. ∂z ∂x = −F ′ x F ′z . ∂z ∂y = −F ′ y F ′z . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm của hàm ẩn hai biến Sự tồn tại. Định lý 10 Công thức. ∂z ∂x = −F ′ x F ′z . ∂z ∂y = −F ′ y F ′z . Ví dụ 37. Cho e−xy − 2z + ez = 0. Tính ∂z ∂x và ∂z ∂y . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm của hàm ẩn hai biến Sự tồn tại. Định lý 10 Công thức. ∂z ∂x = −F ′ x F ′z . ∂z ∂y = −F ′ y F ′z . Ví dụ 37. Cho e−xy − 2z + ez = 0. Tính ∂z ∂x và ∂z ∂y . Ví dụ 38. Cho z2 + xy3 = xz y . Hãy tính ∂z ∂x và ∂z ∂y . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm của hàm ẩn hai biến Sự tồn tại. Định lý 10 Công thức. ∂z ∂x = −F ′ x F ′z . ∂z ∂y = −F ′ y F ′z . Ví dụ 37. Cho e−xy − 2z + ez = 0. Tính ∂z ∂x và ∂z ∂y . Ví dụ 38. Cho z2 + xy3 = xz y . Hãy tính ∂z ∂x và ∂z ∂y . Ví dụ 39. Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu x2 + y2 + z2 = 14 tại điểm (1,−2, 3). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm riêng cấp cao Điều kiện để các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau Định lý 6 (Schwartz) CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm riêng cấp cao Điều kiện để các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau Định lý 6 (Schwartz) Ví dụ 40. Cho u = ex+y . sin2 z . Tính ∂ 4u ∂x∂y2∂z . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm riêng cấp cao Điều kiện để các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau Định lý 6 (Schwartz) Ví dụ 40. Cho u = ex+y . sin2 z . Tính ∂ 4u ∂x∂y2∂z . Ví dụ 41. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z = ln(x + √ x2 + y2). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm riêng cấp cao Điều kiện để các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau Định lý 6 (Schwartz) Ví dụ 40. Cho u = ex+y . sin2 z . Tính ∂ 4u ∂x∂y2∂z . Ví dụ 41. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z = ln(x + √ x2 + y2). Ví dụ 42. Cho u = 1 t e− x2+y2 4t . Chứng minh rằng: CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm riêng cấp cao Điều kiện để các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau Định lý 6 (Schwartz) Ví dụ 40. Cho u = ex+y . sin2 z . Tính ∂ 4u ∂x∂y2∂z . Ví dụ 41. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z = ln(x + √ x2 + y2). Ví dụ 42. Cho u = 1 t e− x2+y2 4t . Chứng minh rằng: ∂u ∂t = ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm riêng cấp cao Điều kiện để các đạo hàm riêng hỗn hợp bằng nhau Định lý 6 (Schwartz) Ví dụ 40. Cho u = ex+y . sin2 z . Tính ∂ 4u ∂x∂y2∂z . Ví dụ 41. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số z = ln(x + √ x2 + y2). Ví dụ 42. Cho u = 1 t e− x2+y2 4t . Chứng minh rằng: ∂u ∂t = ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 . Ví dụ 43. Hãy tìm tất cả các hàm số f (x , y) sao cho ∂2f ∂x∂y = x + y và f (x , 0) = x , f (0, y) = y2. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Gradient Định nghĩa. Gradient của hàm số f (x , y) tại điểm (x , y) là vector: ∇f (x , y) = grad f (x , y) = f ′x (x , y) −→ i + f ′y (x , y) −→ j CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Gradient Định nghĩa. Gradient của hàm số f (x , y) tại điểm (x , y) là vector: ∇f (x , y) = grad f (x , y) = f ′x (x , y) −→ i + f ′y (x , y) −→ j Ví dụ 44. Cho f (z , y) = x2 + y2. Tính ∇f (x , y). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Gradient Định nghĩa. Gradient của hàm số f (x , y) tại điểm (x , y) là vector: ∇f (x , y) = grad f (x , y) = f ′x (x , y) −→ i + f ′y (x , y) −→ j Ví dụ 44. Cho f (z , y) = x2 + y2. Tính ∇f (x , y). Ví dụ 45. Cho f (x , y) = cos x y . Tính ∇f (pi, 4). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm theo hướng - Định nghĩa Định nghĩa. Đạo hàm theo hướng vector đơn vị−→u = (v ,w) tại (x0, y0) là giới hạn D−→u f (x0, y0) = lim h→0+ f (x0+h.v ,y0+h.w)−f (x0,y0) h CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm theo hướng - Định nghĩa Định nghĩa. Đạo hàm theo hướng vector đơn vị−→u = (v ,w) tại (x0, y0) là giới hạn D−→u f (x0, y0) = lim h→0+ f (x0+h.v ,y0+h.w)−f (x0,y0) h Công thức 1. Nếu −→u = (v ,w) là vector đơn vị thì D−→u f (x0, y0) = −→u .∇f (x0, y0) CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm theo hướng - Định nghĩa Định nghĩa. Đạo hàm theo hướng vector đơn vị−→u = (v ,w) tại (x0, y0) là giới hạn D−→u f (x0, y0) = lim h→0+ f (x0+h.v ,y0+h.w)−f (x0,y0) h Công thức 1. Nếu −→u = (v ,w) là vector đơn vị thì D−→u f (x0, y0) = −→u .∇f (x0, y0) Công thức 2. Nếu −→v là vector khác −→0 có module tùy ý thì D −→v |−→v | f (x0, y0) = −→v |−→v | .∇f (x0, y0) CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm theo hướng - Định nghĩa Định nghĩa. Đạo hàm theo hướng vector đơn vị−→u = (v ,w) tại (x0, y0) là giới hạn D−→u f (x0, y0) = lim h→0+ f (x0+h.v ,y0+h.w)−f (x0,y0) h Công thức 1. Nếu −→u = (v ,w) là vector đơn vị thì D−→u f (x0, y0) = −→u .∇f (x0, y0) Công thức 2. Nếu −→v là vector khác −→0 có module tùy ý thì D −→v |−→v | f (x0, y0) = −→v |−→v | .∇f (x0, y0) Công thức 3. Nếu ϕ = (Ox ,−→u ) thì Dϕ(x0, y0) = cosϕ.f ′x (x0, y0) + sinϕ.f ′ y (x0, y0) CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm theo hướng - Ví dụ Ví dụ 46. Tính đạo hàm của hàm số f (x , y) = x 1+ y tại điểm O(0, 0) theo hướng của vector −→ i −−→j . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm theo hướng - Ví dụ Ví dụ 46. Tính đạo hàm của hàm số f (x , y) = x 1+ y tại điểm O(0, 0) theo hướng của vector −→ i −−→j . Ví dụ 47. Tính đạo hàm của hàm số z = x2 + y2 tại điểm (1,−2) theo hướng của vector tạo với chiều dương của trục Ox một góc 60o . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm theo hướng - Ví dụ Ví dụ 46. Tính đạo hàm của hàm số f (x , y) = x 1+ y tại điểm O(0, 0) theo hướng của vector −→ i −−→j . Ví dụ 47. Tính đạo hàm của hàm số z = x2 + y2 tại điểm (1,−2) theo hướng của vector tạo với chiều dương của trục Ox một góc 60o . Ví dụ 48. Tính đạo hàm của hàm số f (z , y , z) = 1 x + 1 y + 1 z tại điểm (2,−3, 4) theo hướng của vector −→ i + −→ j + −→ k . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm theo hướng - Tính chất Tốc độ biến thiên lớn nhất - nhỏ nhất. Cho trước điểm (x0, y0) và vector đơn vị −→u . Gọi θ là góc tạo bởi −→u và ∇f (x0, y0). Khi đó, tại (x0, y0) CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm theo hướng - Tính chất Tốc độ biến thiên lớn nhất - nhỏ nhất. Cho trước điểm (x0, y0) và vector đơn vị −→u . Gọi θ là góc tạo bởi −→u và ∇f (x0, y0). Khi đó, tại (x0, y0) Hàm số f (x , y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector ∇f (x0, y0). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm theo hướng - Tính chất Tốc độ biến thiên lớn nhất - nhỏ nhất. Cho trước điểm (x0, y0) và vector đơn vị −→u . Gọi θ là góc tạo bởi −→u và ∇f (x0, y0). Khi đó, tại (x0, y0) Hàm số f (x , y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector ∇f (x0, y0). Hàm số f (x , y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector −∇f (x0, y0). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm theo hướng - Tính chất Tốc độ biến thiên lớn nhất - nhỏ nhất. Cho trước điểm (x0, y0) và vector đơn vị −→u . Gọi θ là góc tạo bởi −→u và ∇f (x0, y0). Khi đó, tại (x0, y0) Hàm số f (x , y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector ∇f (x0, y0). Hàm số f (x , y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector −∇f (x0, y0). Ví dụ 49. Nhiệt độ tại vị trí (x , y) trên mặt phẳng là T oC với T (x , y) = x2.e−y . Theo hướng nào thì tại điểm (2, 1) nhiệt độ tăng nhanh nhất? Hãy tìm tốc độ tăng của T theo hướng đó. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Đạo hàm theo hướng - Tính chất Tốc độ biến thiên lớn nhất - nhỏ nhất. Cho trước điểm (x0, y0) và vector đơn vị −→u . Gọi θ là góc tạo bởi −→u và ∇f (x0, y0). Khi đó, tại (x0, y0) Hàm số f (x , y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector ∇f (x0, y0). Hàm số f (x , y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector −∇f (x0, y0). Ví dụ 49. Nhiệt độ tại vị trí (x , y) trên mặt phẳng là T oC với T (x , y) = x2.e−y . Theo hướng nào thì tại điểm (2, 1) nhiệt độ tăng nhanh nhất? Hãy tìm tốc độ tăng của T theo hướng đó. Ví dụ 50. Nhiệt độ T (x , y) tại các điểm trên mặt phẳng được cho bởi hàm số T (x , y) = x2 − 2y2. Từ điểm (2,−1) trên mặt phẳng, một con kiến nên di chuyển theo hướng nào để đi đến nơi có nhiệt độ mát nhất? CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Vi phân cấp 1 Điều kiện khả vi. Định lý 2, 3,4. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Vi phân cấp 1 Điều kiện khả vi. Định lý 2, 3,4. Công thức. Nếu f (x , y) là hàm số khả vi thì df (x , y) = f ′xdx + f ′ ydy CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Vi phân cấp 1 Điều kiện khả vi. Định lý 2, 3,4. Công thức. Nếu f (x , y) là hàm số khả vi thì df (x , y) = f ′xdx + f ′ ydy Ví dụ 51. Tìm vi phân toàn phần của hàm số f (x , y) = ln(y + √ x2 + y2) CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Vi phân cấp 1 Điều kiện khả vi. Định lý 2, 3,4. Công thức. Nếu f (x , y) là hàm số khả vi thì df (x , y) = f ′xdx + f ′ ydy Ví dụ 51. Tìm vi phân toàn phần của hàm số f (x , y) = ln(y + √ x2 + y2) Ví dụ 52. Tìm vi phân toàn phần của hàm số u = ex 2+y2 . sin2 z CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Vi phân cấp 1 Điều kiện khả vi. Định lý 2, 3,4. Công thức. Nếu f (x , y) là hàm số khả vi thì df (x , y) = f ′xdx + f ′ ydy Ví dụ 51. Tìm vi phân toàn phần của hàm số f (x , y) = ln(y + √ x2 + y2) Ví dụ 52. Tìm vi phân toàn phần của hàm số u = ex 2+y2 . sin2 z Ví dụ 53. Tìm vi phân toàn phần của hàm số f (x , y) = (x + y).exy tại điểm (1, 1). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Vi phân cấp 1 Điều kiện khả vi. Định lý 2, 3,4. Công thức. Nếu f (x , y) là hàm số khả vi thì df (x , y) = f ′xdx + f ′ ydy Ví dụ 51. Tìm vi phân toàn phần của hàm số f (x , y) = ln(y + √ x2 + y2) Ví dụ 52. Tìm vi phân toàn phần của hàm số u = ex 2+y2 . sin2 z Ví dụ 53. Tìm vi phân toàn phần của hàm số f (x , y) = (x + y).exy tại điểm (1, 1). Ví dụ 54. Hãy tìm vi phân toàn phần của hàm số z = z(x , y) nếu x2 + y2 + z2 = 1. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Vi phân cấp cao Xét hàm số hai biến z = f (x , y). Ta có CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Vi phân cấp cao Xét hàm số hai biến z = f (x , y). Ta có Công thức vi phân cấp n. dnz = ( ∂ ∂x dx + ∂ ∂y dy )n z CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Vi phân cấp cao Xét hàm số hai biến z = f (x , y). Ta có Công thức vi phân cấp n. dnz = ( ∂ ∂x dx + ∂ ∂y dy )n z Vi phân cấp 2. d2z = z ′′xxdx2 + 2z ′′xydxdy + z ′′yydy2 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Vi phân cấp cao Xét hàm số hai biến z = f (x , y). Ta có Công thức vi phân cấp n. dnz = ( ∂ ∂x dx + ∂ ∂y dy )n z Vi phân cấp 2. d2z = z ′′xxdx2 + 2z ′′xydxdy + z ′′yydy2 Ví dụ 55. Tính vi phân cấp hai của hàm số z = x2. sin y CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Vi phân cấp cao Xét hàm số hai biến z = f (x , y). Ta có Công thức vi phân cấp n. dnz = ( ∂ ∂x dx + ∂ ∂y dy )n z Vi phân cấp 2. d2z = z ′′xxdx2 + 2z ′′xydxdy + z ′′yydy2 Ví dụ 55. Tính vi phân cấp hai của hàm số z = x2. sin y Ví dụ 56. Tìm vi phân cấp ba của hàm số z = x3 + y3 − 3xy(x − y) CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tính các đạo hàm riêng CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f Điểm dừng: Giải hệ phương trình f ′x = 0 và f ′y = 0 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f Điểm dừng: Giải hệ phương trình f ′x = 0 và f ′y = 0 Điểm kỳ dị: Những điểm mà f ′x hoặc f ′y không xác định. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f Điểm dừng: Giải hệ phương trình f ′x = 0 và f ′y = 0 Điểm kỳ dị: Những điểm mà f ′x hoặc f ′y không xác định. Bước 3. Xét tại các điểm dừng hàm số có đạo cấp 2 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f Điểm dừng: Giải hệ phương trình f ′x = 0 và f ′y = 0 Điểm kỳ dị: Những điểm mà f ′x hoặc f ′y không xác định. Bước 3. Xét tại các điểm dừng hàm số có đạo cấp 2 Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A,B,C ,∆. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f Điểm dừng: Giải hệ phương trình f ′x = 0 và f ′y = 0 Điểm kỳ dị: Những điểm mà f ′x hoặc f ′y không xác định. Bước 3. Xét tại các điểm dừng hàm số có đạo cấp 2 Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A,B,C ,∆. Kết luận cực trị theo định lý 13. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tính các đạo hàm riêng Bước 2. Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f Điểm dừng: Giải hệ phương trình f ′x = 0 và f ′y = 0 Điểm kỳ dị: Những điểm mà f ′x hoặc f ′y không xác định. Bước 3. Xét tại các điểm dừng hàm số có đạo cấp 2 Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A,B,C ,∆. Kết luận cực trị theo định lý 13. Bước 4. Xét tại các điểm còn lại: Điểm kỳ dị và điểm dừng có ∆ = 0. (Dùng định nghĩa) CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 57. z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 57. z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 Biểu diễn hình học CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 57. z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 Biểu diễn hình học CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 58. z = x4 + y4 − x2 − 2xy − y2 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 58. z = x4 + y4 − x2 − 2xy − y2 Biểu diễn hình học CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 58. z = x4 + y4 − x2 − 2xy − y2 Biểu diễn hình học CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 59. z = x4 + y4 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 59. z = x4 + y4 Biểu diễn hình học CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 59. z = x4 + y4 Biểu diễn hình học CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 60. z = 1− √ x2 + y2 CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 60. z = 1− √ x2 + y2 Biểu diễn hình học CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 60. z = 1− √ x2 + y2 Biểu diễn hình học CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 61. z = (x2 + y2)e−(x2+y2) Biểu diễn hình học CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 61. z = (x2 + y2)e−(x2+y2) Biểu diễn hình học CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 61. z = (x2 + y2)e−(x2+y2) Biểu diễn hình học CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Tìm cực trị các hàm số sau Ví dụ 61. z = (x2 + y2)e−(x2+y2) Biểu diễn hình học F Mở rộng: Hãy nêu quy tắc và tìm một số ví dụ về cực trị của hàm số ba biến u = f (x , y , z). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Cực trị có điều kiện Định nghĩa. Cực trị của hàm số z = f (x , y) với (x , y) thỏa điều kiện ϕ(x , y) = 0 được gọi là cực trị có điều kiện của hàm z = f (x , y). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Cực trị có điều kiện Định nghĩa. Cực trị của hàm số z = f (x , y) với (x , y) thỏa điều kiện ϕ(x , y) = 0 được gọi là cực trị có điều kiện của hàm z = f (x , y). Có hai phương pháp cơ bản để tìm cực trị có điều kiện: Phương pháp thế và phương pháp nhân tử Lagrange. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Phương pháp thế - Các bước giải bài toán Bước 1. Từ điều kiện ϕ(x , y) = 0 =⇒ y = y(x) với x ∈ (a, b) nào đó CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Phương pháp thế - Các bước giải bài toán Bước 1. Từ điều kiện ϕ(x , y) = 0 =⇒ y = y(x) với x ∈ (a, b) nào đó Bước 2. Thay y = y(x) vào hàm số z = f (x , y) ta được hàm số g(x) = f (x , y(x)) CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Phương pháp thế - Các bước giải bài toán Bước 1. Từ điều kiện ϕ(x , y) = 0 =⇒ y = y(x) với x ∈ (a, b) nào đó Bước 2. Thay y = y(x) vào hàm số z = f (x , y) ta được hàm số g(x) = f (x , y(x)) Bước 3. Tìm cực trị của hàm g(x) CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Phương pháp thế - Các bước giải bài toán Bước 1. Từ điều kiện ϕ(x , y) = 0 =⇒ y = y(x) với x ∈ (a, b) nào đó Bước 2. Thay y = y(x) vào hàm số z = f (x , y) ta được hàm số g(x) = f (x , y(x)) Bước 3. Tìm cực trị của hàm g(x) Bước 4. Suy ra cực trị của hàm z = f (x , y). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số Ví dụ 62. z = √ 1− x2 − y2 với điều kiện x + y − 1 = 0. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số Ví dụ 62. z = √ 1− x2 − y2 với điều kiện x + y − 1 = 0. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số Ví dụ 62. z = √ 1− x2 − y2 với điều kiện x + y − 1 = 0. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số Ví dụ 63. z = x2 + y2 với điều kiện x 2 + y 3 = 1. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số Ví dụ 63. z = x2 + y2 với điều kiện x 2 + y 3 = 1. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số Ví dụ 63. z = x2 + y2 với điều kiện x 2 + y 3 = 1. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số Ví dụ 64. z = x2 + y2 với điều kiện x2y = 16 và x > 0. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số Ví dụ 64. z = x2 + y2 với điều kiện x2y = 16 và x > 0. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp thế tìm cực trị của các hàm số Ví dụ 64. z = x2 + y2 với điều kiện x2y = 16 và x > 0. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Phương pháp nhân tử Lagrange - Các bước giải bài toán Bước 1. Lập hàm Lagrage: F (x , y , λ) = f (x , y) + λϕ(x , y)) CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Phương pháp nhân tử Lagrange - Các bước giải bài toán Bước 1. Lập hàm Lagrage: F (x , y , λ) = f (x , y) + λϕ(x , y)) Bước 2. Tìm điểm dừng của hàm F (x , y , λ) CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Phương pháp nhân tử Lagrange - Các bước giải bài toán Bước 1. Lập hàm Lagrage: F (x , y , λ) = f (x , y) + λϕ(x , y)) Bước 2. Tìm điểm dừng của hàm F (x , y , λ) Bước 3. Tính đạo hàm cấp hai và vi phân cấp hai của F (x , y , λ) tại từng điểm dừng. Dùng định lý 15 suy ra cực trị có điều kiện của f . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số Ví dụ 65. z = √ 1− x2 − y2 với điều kiện x + y − 1 = 0. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số Ví dụ 65. z = √ 1− x2 − y2 với điều kiện x + y − 1 = 0. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số Ví dụ 65. z = √ 1− x2 − y2 với điều kiện x + y − 1 = 0. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số Ví dụ 66. z = 6− 4x − 3y với điều kiện x2 + y2 = 1. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số Ví dụ 66. z = 6− 4x − 3y với điều kiện x2 + y2 = 1. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số Ví dụ 66. z = 6− 4x − 3y với điều kiện x2 + y2 = 1. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số Ví dụ 67. z = x2 + y2 với điều kiện x2y = 16 và x > 0. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số Ví dụ 67. z = x2 + y2 với điều kiện x2y = 16 và x > 0. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số Ví dụ 67. z = x2 + y2 với điều kiện x2y = 16 và x > 0. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các ví dụ: Dùng phương pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị của hàm số Ví dụ 67. z = x2 + y2 với điều kiện x2y = 16 và x > 0. Mô tả hình học. F Mở rộng: Hãy nêu quy tắc và tìm một số ví dụ về cực trị của hàm số ba biến u = f (x , y , z) với một điều kiện và với hai điều kiện. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Sự tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định lý. Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng và bị chặn D ⊂ Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Sự tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định lý. Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng và bị chặn D ⊂ Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D. Cho miền D ⊂ R2 và tập đóng, bị chặn với biên là đường cong ϕ(x , y) = 0 và f (x , y) là hàm số liên tục trên D. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên D có thể đạt tại: CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Sự tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định lý. Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng và bị chặn D ⊂ Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D. Cho miền D ⊂ R2 và tập đóng, bị chặn với biên là đường cong ϕ(x , y) = 0 và f (x , y) là hàm số liên tục trên D. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên D có thể đạt tại: Cực trị tự do thuộc phần trong của D. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Sự tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định lý. Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng và bị chặn D ⊂ Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D. Cho miền D ⊂ R2 và tập đóng, bị chặn với biên là đường cong ϕ(x , y) = 0 và f (x , y) là hàm số liên tục trên D. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên D có thể đạt tại: Cực trị tự do thuộc phần trong của D. Cực trị có điều kiện ϕ(x , y) = 0. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Sự tồn tại giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Định lý. Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng và bị chặn D ⊂ Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên D. Cho miền D ⊂ R2 và tập đóng, bị chặn với biên là đường cong ϕ(x , y) = 0 và f (x , y) là hàm số liên tục trên D. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của f trên D có thể đạt tại: Cực trị tự do thuộc phần trong của D. Cực trị có điều kiện ϕ(x , y) = 0. Các điểm đầu mút của ∂D. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Bước 2. Tìm điểm dừng trên biên của D, ký hiệu các điểm này là Nj CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Bước 2. Tìm điểm dừng trên biên của D, ký hiệu các điểm này là Nj Bước 3. Tìm các điểm đầu mút của ∂D, ký hiệu các điểm này là Pk CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Bước 2. Tìm điểm dừng trên biên của D, ký hiệu các điểm này là Nj Bước 3. Tìm các điểm đầu mút của ∂D, ký hiệu các điểm này là Pk Bước 4. Tính các giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk). CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Bước 2. Tìm điểm dừng trên biên của D, ký hiệu các điểm này là Nj Bước 3. Tìm các điểm đầu mút của ∂D, ký hiệu các điểm này là Pk Bước 4. Tính các giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk). Kết luận. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Bước 2. Tìm điểm dừng trên biên của D, ký hiệu các điểm này là Nj Bước 3. Tìm các điểm đầu mút của ∂D, ký hiệu các điểm này là Pk Bước 4. Tính các giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk). Kết luận. Giá trị lớn nhất: max D z = max i ,j,k {f (Mi ), f (Nj), f (Pk)}. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Các bước giải bài toán Bước 1. Tìm các điểm dừng và điểm kỳ dị thuộc phần trong của D, ký hiệu các điểm này là Mi Bước 2. Tìm điểm dừng trên biên của D, ký hiệu các điểm này là Nj Bước 3. Tìm các điểm đầu mút của ∂D, ký hiệu các điểm này là Pk Bước 4. Tính các giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk). Kết luận. Giá trị lớn nhất: max D z = max i ,j,k {f (Mi ), f (Nj), f (Pk)}. Giá trị nhỏ nhất: min D z = min i ,j,k {f (Mi), f (Nj), f (Pk )}. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 68. f (x , y) = x2y .e−(x+y) trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 68. f (x , y) = x2y .e−(x+y) trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 68. f (x , y) = x2y .e−(x+y) trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 68. f (x , y) = x2y .e−(x+y) trên miền x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 4. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 69. z = sin x + sin y + sin(x + y) trên miền 0 ≤ x ≤ pi 2 , 0 ≤ y ≤ pi 2 . CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 69. z = sin x + sin y + sin(x + y) trên miền 0 ≤ x ≤ pi 2 , 0 ≤ y ≤ pi 2 . Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 69. z = sin x + sin y + sin(x + y) trên miền 0 ≤ x ≤ pi 2 , 0 ≤ y ≤ pi 2 . Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 69. z = sin x + sin y + sin(x + y) trên miền 0 ≤ x ≤ pi 2 , 0 ≤ y ≤ pi 2 . Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 70. z = x2 + y2 − 12x + 16y trên miền x2 + y2 ≤ 25. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 70. z = x2 + y2 − 12x + 16y trên miền x2 + y2 ≤ 25. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 70. z = x2 + y2 − 12x + 16y trên miền x2 + y2 ≤ 25. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 70. z = x2 + y2 − 12x + 16y trên miền x2 + y2 ≤ 25. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 71. z = x2 + y2 trên miền (x − 1)2 + (y − 2)2 ≤ 5 và 2x + y ≥ 4. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 71. z = x2 + y2 trên miền (x − 1)2 + (y − 2)2 ≤ 5 và 2x + y ≥ 4. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 71. z = x2 + y2 trên miền (x − 1)2 + (y − 2)2 ≤ 5 và 2x + y ≥ 4. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 71. z = x2 + y2 trên miền (x − 1)2 + (y − 2)2 ≤ 5 và 2x + y ≥ 4. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số Ví dụ 71. z = x2 + y2 trên miền (x − 1)2 + (y − 2)2 ≤ 5 và 2x + y ≥ 4. Mô tả hình học. CHƯƠNG 1. HÀM NHIỀU BIẾN CBGD. Lê Hoài Nhân Mục lục Khái niệm Hàm nhiều biến Giới hạn và tính liên tục Đạo hàm riêng Vi phân Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất HẾT CHƯƠNG 1