Vecto bé - Vecto lớn - liên tục

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------------------- TOÁN 1 HK1 0708 • BÀI 4: VCBÉ – VCLỚN. LIÊN TỤC (SINH VIÊN) • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (11/2007) VÔ CÙNG BÉ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------   0lim 0   x xx  Đại lượng (x) – vô cùng bé (VCB) khi x  x 0 : VCB cơ bản (x  0): Lượng giác   xxxx tg,cos1,sin  Mũ, ln:  xex  1ln,1 Lũy thừa:   131:VD.11  xx  x 0 : Không quan trọng. VCB x : x 1 VCB x  1: sin(x–1) … VD: x xc x xb x a xxx  sinlim/sinlim/sinlim/ 00  (x), (x) – VCB khi x  x 0 (x)  (x) , (x)(x): VCB  C(x)(x): VCB (x) VCB, C(x) bị chặn BT:  xx x sin1sinlim   SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (x), (x) – VCB, x  x 0 và      c x x xx     0 lim  So sánh được VD: So sánh VCB: xxx tg,cos1,sin  1/ c = 0 : (x) – VCB cấp cao so với (x): (x) = o((x)) 2/ c = : Ngược lại trường hợp c = 0  (x) = o((x)) 3/ c  0, c   : vô cùng bé cùng cấp Cách nói khác: (x) – VCB cấp thấp hơn VCB cấp thấp: Chứa ít “thừa số 0” hơn. VD: sin2x, x3 Aùp dụng: So sánh 2 vô cùng bé x m , x n (m, n > 0) khi x  0 VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (x), (x) – VCB tương đương khi x  x 0      1lim 0   x x xx   VD: Tìm hằng số C và  để: 0,~sintg  xCxxx  VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng không thay vào tổng & hiệu!) VCB lượng giác: 0, 2 ~cos1,~tg,~sin 2  x x xxxxx VCB mũ, ln:   0,~1ln,~1  xxxxex VCB lũy thừa (căn):   0,~11  xxx  VD: 3 2 ~213 x x DÙNG VÔ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 0 tgsin lim x xx x   :VD  ~ &  1 ~  1 khi x  x 0     1 ~    1 VD: Tìm   xx x x sin tg21ln lim 2 0   1/     xe x x x sin1 3cosln lim/2 2 0  x có thể  x 0 bất kỳ. VD: Tìm x x xx xx          1 32 lim 2 2 Aùp dụng: Dùng vô cùng bé tương đương tính giới hạn            x x x x xx xxxxxxxx 1 1 11 0000 limlim~,~    Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG) Nhưng không thay tùy tiện VCB tđương vào TỔNG (HIỆU) QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ,  – VCB khác cấp   +  tương đương VCB cấp thấp hơn Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: (x), (x) – tổng VCB khác cấp  lim / = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp 1 của tử & mẫu) VD:    2 3 0 1ln 2cosln lim x xx x      xx xxx x 2sin tg322sin lim 3 22 0               0& iff~ ,~ ,~       xxgf axxg axxf Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa &   0  xxxx x xx xx    lim/2 sin lim/1 0              20 1ln 1 1 lim x x xxx VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT BỎ VCL ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm y = f(x) – vô cùng lớn (VCL) khi x  x 0 :     xf xx 0 lim  Tổng vô cùng lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao nhất  Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) khi tính lim So sánh VCL: f(x), g(x) – VCL khi x  x 0 và  giới hạn f/g c xg xf xx   )( )( lim 0 VD: 22 3~143 xxx x    0,1log    axxa xx x c  0, : f(x), g(x) – VCL cùng cấp c = 1: f, g – VCL tương đương : f ~ g c = : f – VCL cấp cao hơn g. Viết: f >> g KẾT LUẬN ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 …):  Dạng tích (thương)  Thay các THỪA SỐ bằng biểu thức tương đương & đơn giản hơn            xh xgxf xh xgxf xxxx 1 11 00 limlim  với f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) …  Dạng tổng VCB khác cấp  Thay bằng VCB cấp thấp 1  Dạng tổng VCB tổng quát f i (x)  Thay mỗi f i (x) bằng VCB tương đương dạng luỹ thừa:   0&~  ii xCxCxf iii  Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng / …): 1/ Thay tương đương vào tích (thương) khi tìm lim 2/ Tổng VCL ~ VCL cấp cao nhất HÀM LIÊN TỤC ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Hàm sơ cấp (định nghĩa qua 1 biểu thức) liên tục  xác định VD: Tìm a để hàm liên tục tại x = 0:        0, 0,sin xa x x x y  f(x) xác định tại x 0    0 0 lim xfxf xx    Hàm f(x) liên tục tại x 0 : Hàm liên tục/[a, b]  (C): đường liền Gián đoạn! VD: Khảo sát tính liên tục của các hàm số: 1 1tg / 2 2    x xx ya x yb sin /        1,1 1, )(/ xx xx xfc : Không sơ cấp! LIÊN TỤC MỘT PHÍA ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Hàm f(x) liên tục tại x 0  Liên tục trái & liên tục phải tại x 0      0 0 0 lim xfxf xf xx     f(x) liên tục phải tại x 0 khi xác định tại x 0 và      0 0 0 lim xfxf xf xx     f(x) liên tục trái tại x 0 khi xác định tại x 0 và Tương tự giới hạn 1 phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt … Khảo sát VD: Khảo sát tính liên tục:          1,1 1, 1 1 )( 1 1 x x exf x Chú ý: ?lim   x x a PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Hàm f xác định & gián đoạn tại x 0  Không có Hoặc  lim f  f(x 0 ), hoặc lim–  lim+, hoặc  lim f: 3 trường hợp!    0 0 lim xfxf xx   Loại 1:  Điểm khử được:    0 0 lim xfxf xx    Điểm nhảy:    xfxf xxxx   00 limlim Bước nhảy:    xfxf xxxx   00 limlim Loại 2:    xfxf xxxx   00 limlim hoặc (Hoặc không tồn tại cả 2 ghạn 1 phía) f(x) gián đoạn tại x 0 VÍ DỤ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Điểm x 0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại          0, 0, sin xa x x x xf VÍ DỤ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------           0,1 0, sin x x x x xf Điểm x 0 = 0 có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại VÍ DỤ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Biện luận tính chất điểm gián đoạn của hàm số sau theo a          0, 0, 1 sin xa x xxf   af 0   af 0 TÍNH CHẤT HÀM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f bị chặn trên [a, b]:  m, M & m  f(x)  M  x  [a, b] f đạt GTLN, BN trên [a, b]:  x 0 , x 1  [a, b]: f(x 0 ) = m, … f nhận mọi giá trị trung gian:  k & GTBN  k  GTLN   c  [a, b]: f(c) = k (Hay sử dụng) Định lý giá trị hai đầu trái dấu: f(a).f(b) < 0   c  (a, b) : f(c) = 0 Chú ý: Không thể thay đoạn bằng khoảng! Hàm y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] VÍ DỤ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2/ Chứng minh phương trình sau có ít nhất 1 nghiệm âm xx 15 1/ Tìm a, b để hàm số sau liên tục trên R              1, 10, 0,1 2 xx xbax xx xf f liên tục tại 0 & 1 a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định trên R: f 2 (x) = 1  x  R b/ Bao nhiêu hàm số f(x) liên tục trên R: f 2 (x) = 1  x  R f(x) liên tục trên (0, 3). Để pt f(x) = 0 có nghiệm trên (a, b): a/ f(2)f(3) < 0, (a, b) = (2, 3) b/ f(1)f(2) < 0, (a, b) = (1, 2)