Vật lý - Vật rắn

Vật rắn Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com Nội dung 1. Vận tốc góc và gia tốc góc 2. Momen ñộng và momen lực ñối với một trục 3. Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay 4. Công và năng lượng trong chuyển ñộng quay 5. Chuyển ñộng lăn 1a. Vị trí góc • Khi vật rắn quay quanh một trục cố ñịnh mỗi chất ñiểm ñều chuyển ñộng tròn, với tâm ở trên trục quay. • Chọn một chất ñiểm thuộc vật rắn, có vị trí cho bởi các tọa ñộ cực r, θ. • θ cũng là vị trí góc của cả vật rắn, chứ không phải của riêng chất ñiểm ñang xét. r θ ∆θ < 0, ω < 0 cùng chiều kim ñồng hồ 1b. Vận tốc góc • Trong thời gian ∆t vật rắn quay ñược một góc: • Vận tốc góc trung bình ñược ñịnh nghĩa như sau: if θθθ −=∆ tav ∆ ∆ = θ ω θf θi∆θ ∆θ ∆θ > 0, ω > 0 ngược chiều kim ñồng hồ 1b. Vận tốc góc (tt) • Vận tốc góc tức thời là một vectơ xác ñịnh bởi: • với uz là vectơ ñơn vị trên trục quay z, hướng theo chiều thuận ñối với chiều ngược chiều kim ñồng hồ. • Mọi chất ñiểm trong vật rắn quay ñều có cùng vận tốc góc. zu

ωω = ω z ω z d dtω θ= uz 1c. Gia tốc góc • Gia tốc góc trung bình: • Gia tốc góc tức thời là một vectơ xác ñịnh bởi: • Mọi chất ñiểm trong vật rắn quay ñều có cùng gia tốc góc. tav ∆ ∆ = ω α dt dω α =zudt d


α ω α == 1d. Liên hệ giữa vận tốc góc và vận tốc dài • Ta có: • Đạo hàm theo thời gian cho ta: • hay tổng quát hơn nữa: • R là vị trí của chất ñiểm ñối với một ñiểm gốc bất kỳ trên trục quay. rs θ= rv ω= Rv


×=ω rv


×=ω θ r s z ω r v R 1e. Liên hệ giữa gia tốc góc và gia tốc dài • Gia tốc tiếp tuyến: • Gia tốc pháp tuyến: ( ) dt d r dt rd dt dv at ωω === rat α= ( )22 n rv a r r ω = = 2 na rω= ut at an a un 2a. Phụ lục toán • Xét hình chiếu trên trục z của vectơ R × A, • R là vị trí của chất ñiểm ñối với gốc O trên trục quay, • còn A là một vectơ xác ñịnh ở vị trí ñang xét. • Chúng ta cần tìm một biểu thức thuận tiện cho ñại lượng: ( ) ( ) zz uARAR




⋅×=× z uz A R 2a. A useful formula (cont.) • From vector calculus we get: • Applying it here gives: • Resolve R in to r|| parallel and r perpendicular to z-axis, we have: • Furthermore: ( ) ( ) ( ) bacacbcba








⋅×=⋅×=⋅× ( ) ( ) ARuuAR zz





⋅×=⋅× rururuRu zzzz







×=×+×=× || tz urru


=× z uz Rr|| r ut uz ut r= 0 2a. Phụ lục toán (tt) • At là hình chiếu của A trên phương pháp tuyến. • hay: • l là chiều dài tay ñòn của A. ( ) ttz rAAurAR =⋅=×



( ) ϕcosrAAurAR tz =⋅=×



lr ±=ϕcos ( ) lAAurAR tz ±=⋅=×



r φ φ At l r φ π–φ A t l 2b. Momen ñộng ñối với trục quay • Momen ñộng ñối với trục quay z là hình chiếu của momen ñộng trên z. • Với chất ñiểm ở vị trí R và có ñộng lượng p: • Dùng công thức trong phụ lục toán vừa rồi ta ñược: ( ) zz upRL


⋅×= rmvrpL tz == z uz R r utp 2b. Momen ñộng ñối với trục quay (tt) • Biểu diễn qua vận tốc góc ta có: • Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm thuộc vật rắn: • Momen quán tính của vật rắn ñối với trục z ñược ñịnh nghĩa là: • Vậy: ( ) ωω 2mrrrmrmvLz === ω     = ∑ i iiz rmL 2 ∑= i iirmI 2 ωILz = 2c. Momen lực ñối với trục quay • Momen lực ñối với trục quay z là hình chiếu của momen lực trên z. • Với một chất ñiểm: • Theo phụ lục ta có thể viết:
(+) khi lực có xu hướng quay chất ñiểm ngược chiều kim ñồng hồ. ( ) zz uFR


⋅×=τ lFz ±=τ z uz R F F l 3a. Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay • Khi vật rắn quay quanh trục z: • Momen quán tính I càng lớn vật càng khó quay. tot dL dt τ=

, z tot z dL dt τ= ∑±= i iiFldt d I ω Tổng momen ngoại lực ñối với trục quay 3b. Bài tập 3.1 • Tìm momen quán tính của một vành tròn ñồng nhất khối lượng M, bán kính R ñối với: • (a) trục ñối xứng của vành, • (b) trục song song với trục ñối xứng, ñi qua một ñiểm trên vành tròn. 3b. Trả lời bài tập 3.1 • Chia vành làm nhiều phần tử nhỏ khối lượng dm, ta có: • Dùng ñịnh lý Steiner: • Suy ra: 222 MRdmRdmrIa === ∫∫ 2MdII ab += 22 2MRMRII ab =+= R dm (a)(b) d Momen quán tính của một số vật thường gặp. 3c. Bài tập 3.2 • Một ròng rọc có dạng như hình vẽ. • Phần dây quấn quanh hình trụ bán kính R1, tác ñộng một lực T1 nằm ngang lên nó. • Phần dây quấn quanh hình trụ bán kính R2 tác ñộng một lực T2 hướng thẳng ñứng xuống. 3c. Bài tập 3.2 (tt) (a) Tìm biểu thức của momen lực toàn phần tác ñộng lên ròng rọc ñối với trục quay z. (b) Xét trường hợp T1 = 5,0 N, R1 = 1,0 m, T2 = 15,0 N và R2 = 0,50 m, – Tìm momen lực toàn phần ñối với trục quay, – Ròng rọc sẽ quay theo chiều nào, biết rằng lúc ñầu nó ñứng yên? 3c. Trả lời bài tập 3.2 • Momen lực toàn phần tác ñộng lên ròng rọc ñối với trục quay z là: • Thay bằng số ta có: • τz > 0, ròng rọc quay ngược chiều kim ñồng hồ. , 1 1 2 2tot z RT R Tτ = − + ( ), 1 5 0,5 15 2,5 .tot z N mτ = − × + × = 3.d Bài tập 3.3 • Hai vật khối lượng m1 và m2 ñược nối với nhau bằng một dây nhẹ, dây vắt qua hai ròng rọc không ma sát (hình vẽ). • Mỗi ròng rọc có momen quán tính I và bán kính R. • Tìm gia tốc của mỗi vật và các sức căng dây. 3.d Trả lời bài tập 3.3 - 1 • Dùng ñịnh luật 2 Newton cho • m1 trên y hướng xuống: • m2 trên y hướng lên: • ròng rọc quanh trục z hướng ra ngoài: 1111 Tgmam −= gmTam 2222 −= ( )TTRI ′−= 1α ( )2TTRI −′=α m1g T1 y m2g T2 y R T1 T’ mg N R T2 T’ mg N 3.d Trả lời bài tập 3.3 - 2 • Hai vật có gia tốc bằng nhau: • Dây không trượt nên vận tốc của một ñiểm trên vành ròng rọc = vận tốc vật: • Ta có hệ phương trình sau: aaa ≡= 21 aR =⇒ αvR =ω 111 Tgmam −= gmTam 222 −= TTRIa ′−= 1 2/ 2 2/ TTRIa −′= (1) (2) (3) (4) 3.d Trả lời bài tập 3.3 - 3 • Lấy tổng các pt (1) – (4) ta ñược: • Thế gia tốc a vào (1), (2) và (3) ta có các sức căng. ( )gmma R I mm 21221 2 −=     ++ ( ) 221 21 2 R I mm gmm a ++ − = 4a. Động năng của vật rắn quay • Động năng của một chất ñiểm vận tốc v ở khoảng cách r ñối với trục quay: • Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm, ta có ñộng năng của vật rắn quay: ( ) 2221 2 2 12 2 1 ωω mrrmmvK === 22 2 1 ω     = ∑ i iirmK 2 2 1 ωIK = 4b. Công trong chuyển ñộng quay • Công sơ cấp: • Ta có: • Do ñó: • Suy ra công và công suất: ( )dtRFdtvFdW




×⋅=⋅= ω ( ) ( ) ωω





⋅×=×⋅ FRRF θτωτωτ ddtdtdW zz ==⋅=

∫= f i dW z θ θ θτ ωτ zP = z ω R F dr 4c. Bài tập 4.1 • Một thanh ñồng nhất chiều dài L, khối lượng m có thể quay không ma sát quanh một trục ngang ñi qua một ñầu thanh. Thanh ñược thả không vận tốc ñầu khi ñang nằm ngang. Tìm: • (a) vận tốc góc khi thanh ở vị trí thẳng ñứng, • (b) vận tốc khối tâm ở vị trí ñó. 4c. Trả lời bài tập 4.1 - 1 • Vì không có ma sát nên cơ năng thanh bảo toàn: • Khối tâm là ñiểm ñặt của toàn bộ trọng lượng, do ñó thế năng trọng trường của thanh là: ( ) 0=+∆=∆ gUKE 2 2 1 ωIKK f ==∆ CMg mgyU = Thế năng trọng trường của một vật rắn: Ug = mgyCM 4c. Trả lời bài tập 4.1 - 2 • Với trục y hướng lên ta có: • Suy ra: 2/mgLymgU CMg −=∆=∆ 02 12 2 1 =−=∆ mgLIE ω I mgL =ω Định lý Steiner: ( ) 3/ 4/12/ 2/ 2 22 2 mL mLmL LmII CM = += += L g3 =ω y 4c. Trả lời bài tập 4.1 - 3 • Giữa vận tốc dài của một chất ñiểm của vật rắn và vận tốc góc có hệ thức: • r là khoảng cách từ chất ñiểm ñến trục quay. • Với khối tâm thì r = L/2: vCM rv ω= gLL L gL vCM 32 13 2 1 2 2 =⋅==ω 4d. Bài tập 4.2 • Hai vật khối lượng m1 và m2 ñược treo ở hai bên một ròng rọc không ma sát bằng một dây nhẹ. • Ròng rọc có bán kính R và momen quán tính I ñối với trục quay. Lúc ñầu hệ ñược thả không vận tốc. • Tìm vận tốc dài của hai vật vào lúc vật 2 xuống ñược một khoảng h. 4d. Trả lời bài tập 4.2 • Vì không có ma sát nên cơ năng bảo toàn: • Độ biến thiên ñộng năng: • Ta cũng có: • Do ñó: ( ) 0=+∆=∆ gUKE 2 2 12 222 12 112 1 ωIvmvmKK f ++==∆ vvv ≡= 21 vR =ω ( ) 222121 / vRImmK ++=∆ 4d. Trả lời bài tập 4.2 (tt) • m1 ñi lên một khoảng h khi m2 ñi xuống cùng một khoảng, vì vậy ñộ biến thiên thế năng của hệ là: • Vậy ta có: ghmghmU g 21 −=∆ ( ) ( ) 0/ 21222121 =−+++=∆ ghmmvRImmE ( ) 2 21 12 / 2 RImm ghmm v ++ − = 5a. Chuyển ñộng lăn của vật rắn • Khi một xe ñạp chuyển ñộng, khối tâm của mỗi bánh xe có chuyển ñộng tịnh tiến. • Tuy nhiên, một ñiểm trên vành bánh xe lại có quỹ ñạo là một cycloid. • Chuyển ñộng của bánh xe là chuyển ñộng lăn. 5b. Vận tốc của khối tâm • Xét bánh xe lăn không trượt, • Khi một ñiểm trên vành ñi ñược một cung tròn có chiều dài s = rθ, • thì khối tâm cũng tịnh tiến ñược cùng một khoảng ñó. • Do ñó ta có: dt d r dt ds θ = ωrvCM = r s = rθ 5c. Kết hợp tịnh tiến và quay • Lăn không trượt là sự kết hợp của chuyển ñộng tịnh tiến của khối tâm, • và chuyển ñộng quay quanh một trục ñi qua khối tâm. • Do ñó một chất ñiểm thuộc vật có vận tốc cho bởi: rotCM vvv 
+= rvv CM 
×+= ω vCM r vrot v 5c. Kết hợp tịnh tiến và quay (tt) • Một chất ñiểm trên vành có vận tốc quay là vrot = ωr. • Ở vị trí thấp nhất: • Ở vị trí giữa: • Ở vị trí cao nhất: • Minh họa. 0=−= rotCM vvv rvvv rotCM ω2=+= 222 rvvv rotCM ω=+= vCM vrot = – vCM vrot = vCM vCM vrot v v = 2vCM 5d. Động năng của chuyển ñộng lăn • Động năng của chuyển ñộng lăn là tổng • ñộng năng tịnh tiến của khối tâm, • và ñộng năng quay quanh trục ñi qua khối tâm. • trong ñó M, I là khối lượng và momen quán tính ñối với trục quay của vật. 2 2 12 2 1 ωIMvK CM += 5e. Bài tập 5.1 • Một quả cầu khối lượng M và bán kính R lăn xuống một mặt phẳng nghiêng với vận tốc ñầu bằng không. • Tìm vận tốc khối tâm quả cầu ở cuối mặt phẳng nghiêng. 5e. Trả lời bài tập 5.1 - 1 • Khi vật lăn không trượt vận tốc của tiếp ñiểm luôn băng không, • vì vậy ma sát là ma sát tĩnh, không thực hiện công. • Cơ năng ñược bảo toàn: • Độ biến thiên ñộng năng: ( ) 0=+∆=∆ gUKE 2 2 12 2 1 ωIMvKK CMf +==∆ 5e. Trả lời bài tập 5.1 - 2 • Do lăn không trượt nên: • Suy ra: • Độ biến thiên thế năng: • Vậy: RvCM=ω ( ) 2221 CMvRIMK +=∆ MghyMgU CMg −=∆=∆ ( ) 01 2221 =−+=∆ MghvMRIME CM 21 2 MRI gh vCM + = 5e. Trả lời bài tập 5.1 - 3 • Momen quán tính của quả cầu ñối với một trục ñi qua tâm là I = 2MR2/5. • Do ñó: • Nếu vật là vành tròn có cùng khối lượng và bán kính, momen quán tính sẽ là I = MR2: • Vật với tỷ số I/MR2 nhỏ hơn sẽ lăn xuống nhanh hơn (Ví dụ 1, 2). 7 10 521 2 ghgh vCM =+ = gh gh vCM =+ = 11 2 5f. Bài tập 5.2 • Trong bài tập 5.1, hãy tìm biểu thức của gia tốc khối tâm. 5f. Trả lời bài tập 5.2 - 1 • Dùng ñịnh luật 2 Newton cho • khối tâm trên trục x: • quả cầu quay quanh trục z hướng ra ngoài: • Vì ω (< 0) giảm dần khi lăn xuống nên α < 0. mg N fs x sCM fMgMa −= θsin RfI s−=α Trục z hướng ra ngoài nên vật lăn xuống có ω < 0. 5f. Trả lời bài tập 5.2 - 2 • Vì lăn không trượt nên giữa gia tốc góc và gia tốc khối tâm có hệ thức: α = – aCM/R. • Ta có hệ phương trình sau: • Giải hệ ta ñược: • Vật với tỷ số I/MR2 nhỏ hơn sẽ có gia tốc lớn hơn. sCM fMgMa −= θsin ( ) sCM faRI =2/ θ θ sin 7 5 /1 sin 2 gMRI g aCM =+ =