Vật lý - Hệ chất điểm

Hệ chất ñiểm Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com Nội dung 1. Khối tâm 2. Định luật 2 Newton cho hệ chất ñiểm 3. Momen ñộng lượng 1a. Chuyển ñộng của hệ chất ñiểm • Cho ñến nay chúng ta chỉ mới xét chuyển ñộng của các hệ có thể coi là chất ñiểm. • Chuyển ñộng của các vật thể lớn hay hệ chất ñiểm thường phức tạp hơn. • Ví dụ 1: cây thước. • Ví dụ 2: vận ñộng viên vượt rào. Chuyển ñộng của mỏ lết 1b. Khối tâm • Thử xem lại các ví dụ vừa rồi: cây thước, vận ñộng viên vượt rào. • Với mỗi hệ ta có thể ñịnh một vị trí có chuyển ñộng tuân theo ñịnh luật 2 Newton: khối tâm của hệ. • Khối tâm (CM) có vị trí: • M là khối lượng hệ, tổng ñược lấy trên tất cả các chất ñiểm có khối lượng mi và vị trí ri của hệ. ∑= i iiCM rmM r

1 1c. Bài tập 1.1 • Một hệ gồm ba chất ñiểm có vị trí như trên hình vẽ, với m1 = m2 = 1,0 kg và m3 = 2,0 kg. • Hãy tìm khối tâm của hệ. 1.c Trả lời bài tập 1.1 • Tọa ñộ của khối tâm: • Thay bằng số ta ñược: 321 332211 mmm xmxmxm xCM ++ ++ = 321 332211 mmm ymymym yCM ++ ++ = ( )1 2 2 0 3 0,75 1 1 2 4CM x m + + × = = = + + ( )1 0 1 0 2 2 4 1,0 1 1 2 4CM y m × + × + × = = = + + rCM 1d. Bài tập 1.2 • Hãy chứng tỏ rằng khối tâm của một thanh có khối lượng M và chiều dài L nằm ở trung ñiểm của nó. Giả sử khối lượng trên một ñơn vị dài của thanh là hằng số. 1.d Trả lời bài tập 1.2 • Chọn trục x theo chiều dài thanh. Đoạn vi phân dx ở vị trí x có • khối lượng dm = λdx. • λ là khối lượng trên một ñơn vị dài. • Khối tâm có tọa ñộ cho bởi: ∫= xdmMxCM 1 x dx 1.d Trả lời bài tập 1.2 (tt) • Suy ra: • trong ñó λ/M = 1/L • Tích phân trên cho ta: ∫∫ == LL CM xdxL xdx M x 00 1λ [ ] 22 1 0 2 Lx L x L CM == 1e. Bài tập 1.3 • Xét một thanh không ñồng nhất, có khối lượng trên một ñơn vị dài thay ñổi theo vị trí x: λ = αx, α là hằng số. Tìm vị trí khối tâm theo chiều dài L của thanh. 1.e Trả lời bài tập 1.3 • Làm tương tự như bài tập 1.2 ta có: • Tích phân cho ta: ∫∫ == LL CM dxxM dxx M x 0 2 0 1 α λ [ ] M L x M x L CM 33 3 0 3 αα == 1.e Trả lời bài tập 1.3 (tt) • Khối lượng của thanh ñược xác ñịnh bởi: • Thay thế biểu thức của λ ta có: • Do ñó: ∫∫ == dxdmM λ [ ] 22 2 0 2 0 L xxdxM L L αα α === ∫ L M L xCM 3 2 3 3 == α 2a. Động lượng của hệ chất ñiểm • Lấy ñạo hàm vị trí khối tâm theo thời gian, ta ñược vận tốc khối tâm: • Hay: • Động lượng của hệ bằng ñộng lượng của một chất ñiểm có khối lượng bằng khối lượng của hệ M, chuyển ñộng với vận tốc khối tâm vCM. ∑∑ == i i i iiCM pM vm M v


11 PpvM i iCM


≡=∑ 2b. Định luật 2 Newton cho hệ chất ñiểm • Đạo hàm vận tốc khối tâm theo thời gian: • trong ñó ta ñã dùng ñịnh luật 2 Newton cho từng chất ñiểm. • Suy ra: • Khi Ftot = 0, ñộng lượng của hệ bảo toàn, do ñó khối tâm chuyển ñộng thẳng ñều. dt Pd dt pd aM i i CM


==∑ ,i i tot dp F dt =

tot dP F dt =

Ftot là tổng ngoại lực tác ñộng lên hệ. 2c. Chuyển ñộng của khối tâm • Ta có thể viết: • Khối tâm của một hệ có khối lượng M chuyển ñộng như một chất ñiểm thực khối lượng M dưới tác ñộng của tổng ngoại lực tác ñộng lên hệ. • Khối tâm của cây thước. • Khối tâm của vñv vượt rào. CM totMa F=

2d. Bài tập 2.1 • Mộ tên lửa nổ tung thành nhiều mảnh trên không. • Tìm quỹ ñạo khối tâm của các mảnh vỡ sau khi nổ. 2d. Trả lời bài tập 2.1 • Trước khi nổ tên lửa chuyển ñộng như một chất ñiểm, có quỹ ñạo là một parabol. • Gia tốc của khối tâm sau khi nổ thỏa phương trình: • Lực toàn phần tác ñộng lên hệ vẫn là trọng lực Mg. • Suy ra: aCM = g. • Do ñó khối tâm vẫn chuyển ñộng theo quỹ ñạo parabol. CM totMa F=

2e. Bài tập 2.2 • Hai xe trượt trên ñệm khí ñến va chạm nhau. • (a) Tìm vận tốc của chúng sau va chạm. • (b) Tìm vận tốc khối tâm của hệ hai xe trước và sau va chạm. v = 1,0 m/s v = 0,0 m/s 2e. Trả lời bài tập 2.2(a) • Lực toàn phần trên phương ngang bằng không, do ñó ñộng lượng trên phương ngang ñược bảo toàn. • Trên trục x hướng sang phải ta có: • Công toàn phần tác ñộng lên hệ bằng không, do ñó ñộng năng hệ cũng bảo toàn: • Giải hệ ta ñược: v1 = 0,18, v2 = 1,18 m/s. • Minh họa. 22111 vmvmvm += 1 21 0,7v v⇒ = + 2 222 12 112 12 12 1 vmvmvm += 2 21 21 0,7v v⇒ = + ∆Khệ = tổng công của các lực tác ñộng lên hệ 2e. Trả lời bài tập 2.2(b) • Vận tốc khối tâm ñược xác ñịnh bởi: • Vì ñộng lượng của hệ nằm ngang nên chiếu lên trục x ta ñược: • Trước va chạm: • Vì ñộng lượng ñược bảo toàn nên sau va chạm vận tốc khối tâm không thay ñổi. PvM CM

= PMvCM = 1 1 1,7 0,59 /CMP v m s= ⇒ = = 2f. Bài tập 2.3 • Hai vật khối lượng M và 3M ñược ñặt trên một mặt phẳng ngang không ma sát như hình vẽ. Sau khi ñốt sợi dây giữa hai vật, vật 3M chuyển ñộng sang phải với vận tốc 2,00 m/s. • (a) Tìm vận tốc của vật M ? • (b) Tìm thế năng ñàn hồi ban ñầu của lò xo, cho biết M = 0,350 kg. 2f. Trả lời bài tập 2.3(a) • Vì lực toàn phần trên phương ngang bằng không nên ñộng lượng của hệ trên x ñược bảo toàn: • Nếu chọn trục x hướng sang phải thì: • Cơ năng của hệ cũng ñược bảo toàn vì không có ma sát: • Ta có: 2130 MvMvPP fi +=⇔= ( ) ( )smsmvv /6/233 12 −=×−=−= ( )sg UUKE ++∆==∆ 0 2 1 2 2 2 1 62 1 2 3 MvMvMvKK f =+==∆ 2f. Trả lời bài tập 2.3(b) • Suy ra: • Theo trên, thế năng ñàn hồi ban ñầu của lò xo ñã chuyển hoàn toàn thành ñộng năng của hệ. • Nếu có ma sát thì chỉ một phần của năng lượng này chuyển thành ñộng năng. 0=∆ gU i s sU U∆ = − 2 16 0 i sE Mv U∆ = − = ( )216 6 0,350 4 8,4 i sU Mv J= = × × = 3a. Momen ñộng lượng của chất ñiểm • Momen ñộng lượng của một chất ñiểm ñối với gốc O là: • L có ñộ lớn: • phương vuông góc với mặt phẳng (r, p). • chiều cho bởi quy tắc bàn tay phải. • L ñặc trưng cho chuyển ñộng quay. prL


×= x y z r p L φ sinL rp ϕ= 3b. Bài tập 3.1 • Một chất ñiểm chuyển ñộng trong mặt phẳng xy trên một ñường tròn bán kính r tâm O. • Tìm ñộ lớn và chiều momen ñộng của chất ñiểm ñối với tâm O, nếu vận tốc chất ñiểm là v. 3b. Trả lời bài tập 3.1 • L vuông góc mặt phẳng xy và hướng theo chiều dương trục z (hình vẽ). • Trong chuyển ñộng tròn ñộng lượng vuông góc với vectơ vị trí, do ñó ta có: x y z r p L φ rmvrprpL === ϕsin 3c. Momen lực • Momen của một lực ñối với gốc O ñược ñịnh nghĩa bởi: • τ có ñộ lớn: • phương vuông góc mặt phẳng (r, p). • và chiều xác ñịnh bởi quy tắc bàn tay phải. • τ ñặc trưng cho chuyển ñộng quay. Fr


×=τ x y z r F τ φ ϕτ sinrF= 3c. Bài tập 3.2 • Một con lắc gồm một vật khối lượng m chuyển ñộng trên một quỹ ñạo tròn nằm ngang. Trong suốt chuyển ñộng dây treo chiều dài l hợp một góc không ñổi θ với phương thẳng ñứng. • Tìm momen của trọng lực ñối với ñiểm treo O. O 3c. Trả lời bài tập 3.2 • Momen của trọng lực vuông góc với mặt phẳng tạo bởi dây treo và phương thẳng ñứng (mặt phẳng hình vẽ), và hướng vào trong. • τ có ñộ lớn: O r mg θ θτ sinlmg= r mg θ x τ 3e. Định lý momen ñộng • Định luật 2 Newton: • Nhân hữu hướng hai vế với r: • Ta có: • Suy ra: dtpdF

= dt pd rFr



×=× ( ) dt pd r dt pd rp dt rd pr dt d







×=×+×=× = 0 ( ) dt prd Fr



×=× dt Ld

=τ 3e. Định lý momen ñộng (tt) • Đối với hệ chất ñiểm ta có: • τext là momen toàn phần của các ngoại lực tác ñộng lên hệ. • Minh họa: bánh xe quay, con quay. • Khi tổng momen ngoại lực bằng không thì momen ñộng của hệ ñược bảo toàn. ext dL dt τ =

3f. Bài tập 3.3 • Xét một cái cân ở trạng thái cân bằng (hình vẽ). • Nếu vật nặng 5 N, WP = 45,7 cm và PS = 51,4 cm, hãy tìm chỉ số của lực kế lò xo. 3f. Trả lời bài tập 3.3 • Hệ cân bằng ñối với ñiểm tựa P nên momen ngoại lực toàn phần ñối với P phải bằng không. • Momen của T1 hướng ra ngoài. • Momen của T2 thì hướng vào trong. T1 = Mg r1 T2 r2 T1 r1 • τ1 3f. Trả lời bài tập 3.3 (tt) • Để chúng khử lẫn nhau ta phải có: • Chỉ số của lực kế, hay ñộ lớn lực T2, là: • Minh họa. 21 ττ = 221 TrMgr = Mg r r T 2 1 2 = ( ) ( )2 45,7 5 4,45 51,4 T N N= × = 3g. Bài tập 3.4 • Một con lắc gồm một vật khối lượng m chuyển ñộng trên một quỹ ñạo tròn nằm ngang. Trong suốt chuyển ñộng dây treo chiều dài l hợp một góc không ñổi θ với phương thẳng ñứng. • Hãy chứng tỏ rằng momen ñộng của vật ñối với tâm vòng tròn O có ñộ lớn cho bởi: 2/1432 cos sin       = θ θglm L O 3g. Trả lời bài tập 3.4 • Ở vị trí ñang xét ñộng lượng của vật vuông góc với mặt phẳng hình vẽ. Giả sử nó hướng vào trong. • L hướng thẳng ñứng lên trên. • và có ñộ lớn: O r L xp r L rmvL = 3g. Trả lời bài tập 3.4 (tt) • Dùng ñịnh luật 2 Newton trên phương x và y: • lập tỷ số ta ñược: • Suy ra: • Ta có: x y T mg θ θsin/2 Trmv = θcosTmg = θtanrgv = θtan23 gmrL = θsinlr = θ θ cos sin 432glm L =⇒