Vật lý - Định luật Gauss

Định luật Gauss Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle@zenbe.com Nội dung 1. Thông lượng dòng nước 2. Thông lượng ñiện trường (ñiện thông) 3. Định luật Gauss 4. Dạng vi phân của ñịnh luật Gauss 5. Bài tập áp dụng 1. Thông lượng dòng nước – 1 • Xét một dòng nước chảy thẳng ñều với vận tốc v, và một mặt phẳng (S), ñặt vuông góc với dòng chảy. • Thông lượng Φ của nước qua (S) (thể tích nước qua (S) trong một ñơn vị thời gian): • Ф = v.S v S Thể tích nước trong hình trụ này sẽ ñi qua (S) trong một giây. 1. Thông lượng dòng nước – 2 • Nếu (S) tạo một góc với dòng nước thẳng ñều, • thông lượng của nước qua (S) là: • Dấu của Ф phụ thuộc vào góc α. v α n SnvvS

⋅==Φ αcos Thể tích nước trong hình trụ nghiêng này sẽ ñi qua (S) trong một giây. Mặt cong (S) Dòng nước 1. Thông lượng dòng nước – 3 • Dòng nước bất kỳ, mặt cong (S) bất kỳ. • Chia (S) làm nhiều phần nhỏ diện tích dS. dS v n 1. Thông lượng dòng nước – 4 • Có thể coi mỗi phần dS là phẳng, và dòng chảy qua ñó là thẳng ñều. Do ñó, • thông lượng qua dS là: • v, n là vectơ vận tốc và pháp vectơ trên dS. • Thông lượng qua cả mặt cong (S) sẽ là tổng thông lượng qua tất cả các phần dS: dSnvvdSd

⋅==Φ αcos ( ) ∫∫ ⋅=Φ=Φ S dSnvd

v 1. Thông lượng dòng nước – 5 • Nếu mặt (S) là một mặt kín thì ta quy ước chọn n hướng ra ngoài mặt (S). • Do ñó thông lượng nước qua một mặt kín = lưu lượng nước ñi ra ở một bên trừ ñi lưu lượng nước ñi vào ở phía bên kia. Thông lượng ra là dương Thông lượng vào là âm nn v 2. Thông lượng ñiện trường – Định nghĩa • Tương tự, chúng ta cũng ñịnh nghĩa thông lượng ñiện trường qua một mặt (S) bất kỳ là: • với E, n là vectơ ñiện trường và pháp vectơ trên dS. • Điện thông cũng là số ñại số. • Đối với mặt (S) kín, pháp vectơ cũng ñược chọn hướng ra ngoài. ∫∫ ⋅=Φ=Φ )(S dSnEd

2. Thông lượng ñiện trường – Ý nghĩa • Điện thông qua mặt dS vuông góc với ñiện trường là dΦ = EdS, • dΦ = số ñường sức ñi qua dS. • Do ñó ñiện thông Φ qua (S) bằng tổng số ñường sức qua (S). • Φ > 0 khi các ñường sức ñi theo chiều của pháp vectơ, • Φ < 0 khi chúng theo chiều ngược lại. • Φ qua một mặt kín = số ñường sức ñi ra trừ số ñường sức ñi vào. Eq1 q3 q2 q5 q4 3a. Định luật Gauss – 1 • Điện thông qua một mặt kín (S) bằng tổng các ñiện tích bên trong (S) chia cho ε0: 0 )( ε in SS QdSnE =⋅=Φ ∫

152 qqqQin −+= Điện trường do tất cả các ñiện tích có mặt tạo ra, nhưng chỉ các ñiện tích bên trong (S) mới ñóng góp vào ñiện thông qua (S). Tại sao? 3a. Định luật Gauss – 2 Ф > 0 q > 0 Ф < 0 q < 0 Ф = 0q 3b. Định luật Gauss & dòng nước – 1 Nước vào Lưu lượng qua (S) = 0 Mặt kín (S) Nước ra Nước vào = Nước ra 3b. Định luật Gauss & dòng nước – 2 Nước vào Lưu lượng qua (S) > 0 Mặt kín (S) Nước ra Nước vào < Nước ra Cá phun nước ~ ñiện tích dương 3b. Định luật Gauss & dòng nước – 3 Nước vào Lưu lượng qua (S) < 0 Mặt kín (S) Nước ra Nước vào > Nước ra Cá uống nước ~ ñiện tích âm 3b. Định luật Gauss & dòng nước – 4 Nước vào Lưu lượng qua (S) = 0 Mặt kín (S) Nước ra Nước vào = Nước ra Cá ở ngoài không thể thay ñổi lưu lượng. 4a. Divergence (div) – ñịnh nghĩa • Xét một mặt kín nhỏ (∆S) bao quanh một ñiểm M(x,y,z). • Thể tích giới hạn bởi mặt kín này là ∆V và ñiện thông qua (∆S) là ∆Φ. M(x,y,z) (∆S) ∆V E 4a. Divergence (div) – ñịnh nghĩa (tt) • Giới hạn của ∆Ф/∆V khi (∆S) tiến rất gần tới M ñược gọi là divergence của ñiện trường tại M: • Như vậy divergence là thông lượng tính trên một ñơn vị thể tích trong (∆S). V E V ∆ ∆Φ = →∆ 0 limdiv
4b. Divergence trong tọa ñộ Descartes • Trong tọa ñộ Descartes divE tại M(x,y,z) có biểu thức: • trong ñó các ñạo hàm riêng ñược thực hiện ở vị trí M(x,y,z). z E y E x EE zyx ∂ ∂ +∂ ∂ +∂ ∂ =
div 4c. Dạng vi phân của ñịnh luật Gauss • Áp dụng ñịnh luật Gauss cho (∆S), trong ñó có chứa ñiện tích ∆Q: • Chia hai vế cho thể tích ∆V trong mặt kín rồi lấy giới hạn khi ∆V tiến tới không: 0ε Q∆ =∆Φ V Q V VV ∆ ∆ = ∆ ∆Φ →∆→∆ 00 limlim 0 div ε ρ =E
Mật ñộ ñiện tích ởM 5a. Bài tập 1 – ñối xứng trụ • Cho một dây không dẫn ñiện, dài vô hạn, tích ñiện ñều với mật ñộ λ > 0. Tìm ñiện trường ở khoảng cách r tính từ trục của dây. • Nhận xét: • Dây có tính ñối xứng trụ, tức là ñối xứng ñối với trục của nó. • Do ñó ñiện trường do dây tạo ra cũng có tính ñối xứng trụ. 5a. Trả lời BT 1 – 1 • Do tính ñối xứng trụ, ñiện trường có tính chất như sau: • Đường sức ñiện trường là những ñường thẳng xuyên tâm trong các mặt phẳng cắt trục ñối xứng. • Xét một mặt trụ ñồng trục với dây; • Điện trường vuông góc với mặt trụ này và có ñộ lớn không ñổi trên ñó. 5a. Trả lời BT 1 – 2 E λ E E l Nhìn từ trên xuốngNhìn ngang Mặt trụ ñồng trục r 5a. Trả lời BT 1 – 3 • Xét mặt kín (S) gồm mặt trụ ñồng trục với dây, có bán kính r và chiều cao l và hai ñáy của nó. • Điện thông qua (S) bằng ñiện thông qua mặt bên hình trụ: • Mặt khác, theo ñịnh luật Gauss thì: • Do ñó: rlEdSE pi2⋅==Φ ∫ 00 ε λ ε lQin ⋅ ==Φ r E 02piε λ = 5b. Bài tập 2 – ñối xứng phẳng • Cho một bản phẳng vô hạn, không dẫn ñiện, tích ñiện ñều với mật ñộ σ > 0. Xác ñịnh ñiện trường ở khoảng cách r tính từ bản phẳng. • Nhận xét: • Hệ có tính ñối xứng ñối với mặt phẳng ñi qua bản tích ñiện, • do ñó ñiện trường do bản tạo ra cũng ñối xứng ñối với bản phẳng. 5b. Trả lời BT 2 – 1 • Điện trường này có ñặc ñiểm: • Đường sức là những ñường thẳng song song vuông góc với bản phẳng tích ñiện, có chiều ñối xứng qua bản. • Trên một mặt phẳng song song với bản thì ñiện trường có ñộ lớn không ñổi. 5b. Trả lời BT 2 – 2 E Mặt trụ kín vuông góc với bản Đáy (A) E A Nhìn ngang 5b. Trả lời BT 2 – 3 • Xét mặt kín (S) là một mặt trụ vuông góc với bản, nhận bản làm mặt phẳng ñối xứng. • Điện thông qua (S) bằng hai lần ñiện thông qua mặt ñáy (A): • Mặt khác, theo ñịnh luật Gauss thì: EAdSEdSnE AAS 222 )()( ==⋅=Φ ∫∫

00 ε σ ε AQin S ==Φ 02ε σ =E 5c. Bài tập 3 – ñối xứng cầu • Một vỏ cầu mỏng bán kính R có ñiện tích q > 0 phân bố ñều trên bề mặt. Tìm ñiện trường do vỏ cầu tạo ra ở bên trong và bên ngoài nó. • Nhận xét: • Hệ có tính ñối xứng cầu ñối với tâm của vỏ cầu, • ñiện trường do hệ tạo ra cũng có tính ñối xứng cầu ñối với tâm vỏ cầu. 5c. Trả lời BT 3 – 1 Đường sức là những ñường xuyên tâm. Trên một mặt cầu tâm O, ñiện trường có ñộ lớn không ñổi. E O 5c. Trả lời BT 3 – 2 • Xét mặt kín (S) là một mặt cầu bán kính r ñồng tâm với vỏ cầu. Điện trường trên (S) không ñổi nên ñiện thông qua nó là: • Mặt khác theo ñịnh luật Gauss thì: • Do ñó: 2 )()( 4. rEdSEdSnE SSS pi==⋅=Φ ∫∫

0ε in S Q =Φ 2 04 r QE in piε = 5c. Trả lời BT 3 – 3 • Để tìm Qin chúng ta phân biệt hai trường hợp, khi r < R và r ≥ R: • Do ñó ñiện trường là:    ≥ < = Rrq RrQin 0     ≥ < = Rr r q Rr E 4 0 2 0piε Điện trường bên trong một vỏ cầu tích ñiện ñều luôn luôn bằng không. Điện trường bên ngoài một vỏ cầu tích ñiện ñều, ñiện tích q = ñiện trường của một ñiện tích ñiểm q ñặt tại tâm.