Vật lý - Điện thế

Điện thế Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle@zenbe.com Nội dung 1. Công của lực tĩnh ñiện 2. Thế năng tĩnh ñiện 3. Điện thế 4. Lưu số của trường tĩnh ñiện 5. Bài tập áp dụng 1. Công của lực tĩnh ñiện – 1 • Xét ñiện tích thử q0 chuyển ñộng trong ñiện trường tạo bởi q, từ M ñến N, theo ñường cong (C). • Công của lực tĩnh ñiện là: ∫ → ⋅= NMC MN rdEqW )( 0

q dr F = q0E M N q0 (C) E 1. Công của lực tĩnh ñiện – 2 • Phân tích vectơ dịch chuyển dr thành hai thành phần vuông góc và song song với ñiện trường (phương bán kính r). • Chỉ có thành phần song song có ñóng góp vào công: q0E q0 rd
q dr EdrqrdEqW 00 =⋅=

δ 2020 r drqkqdr r qkqW ==δ dr┴ 1. Công của lực tĩnh ñiện – 3 • Ta có thể viết lại biểu thức trên như sau: • Suy ra: • Công của lực tĩnh ñiện không phụ thuộc ñường ñi, • chỉ phụ thuộc vị trí ñầu và cuối. • Kết quả trên cũng ñúng với một ñiện trường bất kỳ.       −= r qqkdW 0δ NM MN r qqk r qqk r qqkWW 000 −=     ∆−== ∫δ 2a. Thế năng tĩnh ñiện – 1 • Cho ñiện tích thử q0 chuyển ñộng trong một ñiện trường từ M ñến N, theo ñường cong (C). • Công của lực tĩnh ñiện là: ∫ → ⋅= NMC MN rdEqW )( 0

dr F = q0EM N E q0 (C) 2a. Thế năng tĩnh ñiện – 2 • Công của lực tĩnh ñiện không phụ thuộc ñường ñi, chỉ phụ thuộc vào vị trí ñầu và vị trí cuối. • Do ñó người ta có thể ñịnh nghĩa thế năng tĩnh ñiện U của hệ (ñiện tích thử + ñiện trường): • U là một hàm của vị trí; tích phân ñược thực hiện theo một ñường cong bất kỳ nối M và N. • UM − UN = −∆U là ñộ giảm thế năng tĩnh ñiện giữa M và N. Thế năng biến ñổi thành công. ∫ ⋅=− N M NM rdEqUU

0 2a. Thế năng tĩnh ñiện – 3 • Nếu chọn thế năng tại một ñiểm P nào ñó bằng không (chọn P làm gốc thế năng) thì thế năng tĩnh ñiện tại ñiểm M là: • Tích phân ñược thực hiện theo một ñường cong bất kỳ nối M và P. ∫ ⋅= P M M rdEqU

0 2b. Thế năng của hai ñiện tích ñiểm – 1 • Xét hai ñiện tích ñiểm q1 and q2 cách nhau một khoảng r. • Theo công thức trên thế năng tĩnh ñiện của hệ là: • E1 là ñiện trường tạo bởi q1. ∫ ∞ ⋅= r rdEqU

12 Gốc thế năng ở ∞, tích phân thực hiện trên ñường qua hai ñiện tích, từ r tới ∞. q1 r E1q2 dr ∞ 2b. Thế năng của hai ñiện tích ñiểm – 2 • Suy ra: • Để tạo nên một hệ hai ñiện tích ñiểm, năng lượng cần cung cấp ít nhất phải bằng thế năng tĩnh ñiện của hệ. ∫∫ ∞∞ = ⋅ = rr r drqkq r rdrqkqU 221321

r qqkU 21= 2c. Thế năng tĩnh ñiện của một hệ ñiện tích ñiểm • Xét một hệ ñiện tích ñiểm bất kỳ. • Năng lượng tĩnh ñiện của hệ bằng tổng năng lượng tĩnh ñiện của tất cả các cặp ñiện tích thuộc hệ. • (i, j) chỉ cặp ñiện tích qi, qj, cách nhau một khoảng rij. • U là năng lượng tối thiểu cần cung cấp ñể tạo nên hệ. ∑= ),( ji ij ji r qq kU 3a. Điện thế • Điện thế tại M ñược ñịnh nghĩa là: • Điện thế chỉ phụ thuộc vào ñiện trường chứ không phụ thuộc vào ñiện tích thử. • Độ giảm ñiện thế giữa hai vị trí M và N trong ñiện trường là: ∫ ⋅== P M M M rdEq UV

0 ∫ ⋅=∆−=− N M NM rdEVVV

Đơn vị ñiện thế là J/C hay Volt (V) 3b. Điện thế tạo bởi một ñiện tích ñiểm • Điện trường do ñiện tích ñiểm q tạo ra: • Nếu gốc thế năng P ở vô cùng và ñường lấy tích phân là ñường thẳng thì: 3 r rqkE

= ∫∫ ∞ = ⋅ = r P M M r drkq r rdrkqV 23

r qkVM = q r EM ∞ dr 3c. Điện thế tạo bởi hệ ñiện tích ñiểm • Điện thế tạo bởi một hệ ñiện tích ñiểm bằng tổng ñiện thế của tất cả các ñiện tích ñiểm thuộc hệ. • Nếu hệ là một phân bố ñiện tích liên tục, • ta chia hệ làm nhiều phần nhỏ vi phân, sao cho mỗi phần ñược coi như một ñiện tích ñiểm. • Tổng sẽ ñược thay thế bằng tích phân. 3d. Tìm ñiện trường từ ñiện thế • Độ giảm ñiện thế giữa hai ñiểm rất gần nhau: • Mặt khác ta có: • Suy ra: dzEdyEdxErdEdV zyx ++=⋅=−

rdVdz z Vdy y Vdx x VdV
⋅=∂ ∂ +∂ ∂ +∂ ∂ = grad VE grad−=
z VE y VE x VE zyx ∂ ∂ −=∂ ∂ −=∂ ∂ −= ,, 3e. Mặt ñẳng thế – Định nghĩa • Mặt ñẳng thế là tập hợp các ñiểm có cùng một ñiện thế trong ñiện trường. • Ví dụ, mặt ñẳng thế trong ñiện trường do một ñiện tích ñiểm q tạo ra là các mặt cầu có tâm ñặt tại q: • Minh họa. constzyxV =),,( constrconst r qkV =⇔== 3e. Mặt ñẳng thế – Tính chất • Điện trường vuông góc với mặt ñẳng thế, • và hướng theo chiều giảm của ñiện thế. • Khi một ñiện tích ñiểm dịch chuyển trên một mặt ñẳng thế thì công của lực tĩnh ñiện bằng không. 4a. Lưu số của trường tĩnh ñiện - 1 • Cho một ñường cong (C) trong không gian có ñiện trường, lưu số của ñiện trường trên (C) ñược ñịnh nghĩa là: ∫ ⋅=Γ )(C C rdE

dr E E (C) 4a. Lưu số của trường tĩnh ñiện - 2 • Công thực hiện khi ñiện tích dịch chuyển trên một ñường kín (C) thì bằng không. • Vậy lưu số ñiện trường theo một ñường kín luôn luôn bằng không: • Trường tĩnh ñiện là một trường không có xoáy: ñường sức không khép kín. • So sánh với dòng chảy: minh họa. ( ) 0 C E dr⋅ =∫

 ( ) 0 0 C q E dr⋅ =∫

 4b. Rotation – Định nghĩa • Xét một ñường cong kín (C) nhỏ bao quanh một ñiểm M(x, y, z). • Gọi diện tích giới hạn trong (C) là ∆S, pháp vectơ của mặt phẳng trong (C) là n, và lưu số của ñiện trường trên (C) là ∆Γ. • Rotation của ñiện trường ở M, ký hiệu là rotE, ñược ñịnh nghĩa như sau: S nE S ∆ ∆Γ =⋅ →∆ 0 limrot

(C) n ∆S M dr 4b. Rotation – Tính chất • Hình chiếu của rotE trên một phương n là: • Mật ñộ lưu số trên một ñường khép kín nhỏ vuông góc với phương ñó. n M rotE rotE.n 4b. Rotation – Tính chất (tt) • Đối với trường tĩnh ñiện thì lưu số trên một ñường kín luôn luôn bằng không, nên: • Người ta chứng tỏ ñược là rotE có dạng: 0rot =E
rot y xz z y x E EE EE i j y z z x E Ek x y ∂ ∂∂ ∂    = − + −  ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂  + − ∂ ∂ 



5a. Bài tập 1 Lưỡng cực ñiện là một hệ gồm hai ñiện tích ñiểm +q và −q, ñặt cách nhau một khoảng d. Chọn trục z là trục ñi qua hai ñiện tích ñiểm và ñặt gốc tọa ñộ O ở ñiểm giữa của chúng. Định nghĩa vectơ momen lưỡng cực ñiện: Vectơ d hướng từ −q ñến +q. +q –q d z Odqp

= 5a. Bài tập 1 (tt) Hãy tìm: (a) Điện thế do lưỡng cực ñiện tạo ra ở khoảng cách r lớn hơn nhiều so với d. Viết kết quả thu ñược qua momen lưỡng cực ñiện. (b) Điện trường từ biểu thức của ñiện thế. 5a. Trả lời BT 1 – 1 M r r+ r – θ +q –q d x z + + = r qkV − − −= r qkV 5a. Trả lời BT 1 – 2 • Điện thế ở ñiểm M(r,θ): • Khi r >> d ta có gần ñúng: • Suy ra:       − =      −= −+ +− −+ rr rrkq rr kqV 11 2cos rrrdrr ≈≈− −++− θ 22 coscos r pk r dkqV θθ == d r+ r – θ dcosθ 5a. Trả lời BT 1 – 3 • Trở lại tọa ñộ Descartes: • Suy ra: • Vậy: rzzxr =+= θcos222 53 r xzkp x VEx =∂ ∂ −= x z r θ ( ) 23223 zx zkp r zkpV + == 5 223 r rzkp z VEz − =∂ ∂ −= 5a. Trả lời BT 1 – 4 • Suy ra ñộ lớn của ñiện trường: • Minh họa 22 4 22 3zr r kpEEE zx +=+= θ23 cos31+= r kpE 5b. Bài tập 2 Đặt một lưỡng cực ñiện có momen lưỡng cực p trong một ñiện trường ñều E. Hãy tìm: (a) Thế năng tĩnh ñiện của lưỡng cực ñiện. (b) Momen lực tĩnh ñiện tác ñộng lên lưỡng cực ñiện. 5b. Trả lời BT 2 – 1 N M E d • Thế năng tĩnh ñiện: • Thế năng này cực tiểu khi momen lưỡng cực ñiện song song cùng chiều với ñiện trường ngoài. ( ) ∫ ⋅−=−=−= M N NMNM rdEqVVqqVqVU

dEqrdEqU M N



⋅−=−= ∫. EpU

⋅−= • Momen lực lên q và –q: • Momen lực toàn phần: • Momen lực này có xu hướng quay dipole ñiện sao cho p song song với E. 5b. Trả lời BT 2 – 2 d N M E +qE –qE O rM rN EqrM


×=+τ ( )EqrN


−×=−τ ( ) Errq NM



×−=τ EpEdq




×=×=τ 5b. Bài tập 2 – Lò vi sóng • Các phân tử nước trong thức ăn là những lưỡng cực ñiện. • Trong một ñiện trường xoay chiều (tần số radio), các phân tử nước dao ñộng ñể luôn luôn ñịnh hướng momen lưỡng cực của chúng theo ñiện trường. • Sự ma sát giữa chúng với môi trường chung quanh tạo nên nhiệt làm chín thức ăn. • Minh họa p p H+ H+ O-- E 5c. Bài tập 3 • Một dây không dẫn ñiện, chiều dài L ñược tích ñiện ñều với mật ñộ λ > 0. Tìm ñiện thế do thanh tạo ra ở ñiểm M cách dây một khoảng d, nằm trên ñường ñi qua một ñầu dây và vuông góc với dây. d M L 5c. Trả lời BT 3 – 1 • Điện thế do một ñoạn vi phân dx ở tọa ñộ x tạo ra ởM: 22 dx dxk r dqkdV + == λ x dx d r M 5c. Trả lời BT 3 – 2 • Điện thế toàn phần ởM: ∫∫ + == L dx dxkdVV 0 22λ ( )[ ] 0 ln 22 L dxxkV ++= λ       ++ = d dLLkV 22 lnλ