Vật lý - Chương 2: Cân bằng của hệ lực không gian

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 1/77 09/03/2016 Chương 2 CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC KHÔNG GIAN 1.Thu gọn hệ lực không gian. 2.Tìm điều kiện cân bằng của hệ lực không gian. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 2/77 09/03/2016 1. Thu gọn hệ lực không gian về một tâm Chương 2 1.1. Thu gọn hệ lực không gian về một tâm 1.2. Biến đổi tâm thu gọn. 1.3. Các kết quả thu gọn tối giản 1.4. Định lý Varinhông Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 3/77 09/03/2016 1.1. Thu gọn hệ lực không gian về một tâm Chương 2 Định lý dời lực song song Lực đặt tại điểm A tương đương với lực đặt tại điểm B bất kỳ và ngẫu lực có mô men bằng mô men của đối với điểm B. AF  AF  Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 4/77 09/03/2016 B AF F    , ;A BF F m     B Am m F   với: Chương 2 Chứng minh: Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 5/77 09/03/2016 Chương 2 A B BF   AF  AF   ; ( , )B A BF F F      , 0;B B B AF F F F       , ,A B BF F F    BF  Tại B đặt:  , ;A BF F m     B Am m F   m  Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 6/77 09/03/2016 NHẬN XÉT: Chương 2 Nếu ta có: B mF    thì:  , AB mF F   với: ;A BF F   BAF B m d F    A có vị trí sao cho ngược với chiều của  A Bm F  m  B BF  m  Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 7/77 09/03/2016 1.1.2 Thu gọn hệ lực Chương 2 ),...,,( 21 nFFF  Xét hệ lực không gian: Áp dụng định lý dời lực song song ta dời từng lực về điểm O.    ' '1 1 1 1 1 1 1, ; , OF F m F F m m F            ' ', ; ,n n n n n n O nF F m F F m m F         ......................................... Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 8/77 09/03/2016 Chương 2       1 2 1 2 1 2, ,..., , ,..., ; ( ), ( ),..., ( )n n O O O nF F F F F F m F m F m F              Hay    1 2, ,..., ,n O OF F F R M      Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 9/77 09/03/2016 Chương 2 Vậy hệ lực không gian bất kỳ tương đương với một lực đặt tại O và một mômen ngẫu lực Lực bằng véctơ chính của hệ, còn bằng mômen chính của hệ đối với điểm O. OR  OM  OR  OM     1 2, ,..., ,n O OF F F R M      1 n k k R F      1 ( ) n O O k k M m F      Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 10/77 09/03/2016 Chương 2 1.2. Biến đổi tâm thu gọn. 1.2.1. Biến đổi tâm thu gọn. ),...,,( 21 nFFF  Xét hệ lực không gian: Ta thu gọn hệ lực này về O và O':     1 2 ' '( , ,..., ) , , ;n O O O O O OF F F R M R m R M           ' ', O OO OR m R M    Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 11/77 09/03/2016 Chương 2 Mặt khác:    1 2 ' ' ' 1 '( , ,..., ) , ; n O kO OO k nF F M m FF R M            trong đó: ' .O OR R R      .O O O OM M m R      Suy ra: Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 12/77 09/03/2016 Vậy khi thay đổi tâm thu gọn ta được một lực đặt ở tâm mới, có giá trị không đổi (bằng véctơ chính), còn ngẫu lực mới có liên hệ với ngẫu lực thu gọn ban đầu theo biểu thức:  ' ' .O O O OM M m R     1.2.2. Các bất biến của hệ lực không gian. Chương 2 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 13/77 09/03/2016 Chương 2  Véctơ chính là một đại lượng bất biến.  Tích vô hướng của véctơ chính và mômen chính là một đại lượng bất biến (đúng khi véc tơ chính khác không). . .( ( ) ) .O O O OR M R m R M R M           Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 14/77 09/03/2016 Chương 2 1.3. Các kết quả thu gọn tối giản 0, 0OR M     Hệ lực cân bằng.  Hệ lực tương đương với một ngẫu lực. Có mô men bằng mô men chính. 0, 0OR M     Hệ lực có hợp lực bằng véc tơ chính. 0, . 0OR M R     Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 15/77 09/03/2016 Chương 2 O OR  0OM   O OM  OR  'O R  1 OR  O' 0OM   Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 16/77 09/03/2016 Chương 2 0, . 0OR M R     Hệ tương đương với hệ đinh ốc động lực. //O OR M   Tức là O OM  OR  OM  OM   'OM  'O R  OR   OR  O O' Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 17/77 09/03/2016 1.4. Định lý Varinhông Trong trường hợp hệ lực không gian có hợp lực thì mômen của hợp lực đối với một tâm bất kỳ bằng tổng mô men của các lực thành phần đối với tâm ấy. Chương 2     1 n O O k O k m R m F M        Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 18/77 09/03/2016 Chương 2 2. Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian 2.1. Định lý 2.2. Các phương trình cân bằng của hệ lực không gian. 2.3. Phương trình cân bằng của một vài hệ lực đặc biệt. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 19/77 09/03/2016 2.1. Định lý Chương 2 2. Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian cân bằng là véctơ chính và mômen chính của hệ lực đối với một điểm bất kỳ đồng thời bằng không. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 20/77 09/03/2016 1 1 2 1 0 ( , ,..., ) 0 ( ) 0 n k k n n O O k k R F F F F M m F                       Chương 2 2. Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 21/77 09/03/2016 2.2. Các phương trình cân bằng của hệ lực không gian. Để giải các bài toán, ta thường sử dụng các phương trình hình chiếu của hệ phương trình véctơ trên trong hệ trục tọa độ Đề các: Chương 2 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 22/77 09/03/2016 1 0 n x k k R X    1 0 n y k k R Y    1 0 n z k k R Z    1 ( ) 0 n x x k k M m F     1 ( ) 0 n y y k k M m F     1 ( ) 0 n z z k k M m F     2.2. Các phương trình cân bằng của hệ lực không gian. Chương 2 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 23/77 09/03/2016 2.3. Phương trình cân bằng của một vài hệ lực đặc biệt. Chương 2 0 0 0 x y z R R R       Hệ lực đồng quy: Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 24/77 09/03/2016 Chương 2 2.3. Phương trình cân bằng của một vài hệ lực đặc biệt.  Hệ ngẫu lực: 0 0 0 x y z M M M      Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 25/77 09/03/2016  Hệ lực song song Chọn hệ trục tọa độ sao cho trục Oz song song với phương của các lực. Ta có ba phương trình cân bằng: Chương 2 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 26/77 09/03/2016 x y z 1F  2F  nF  1 1 1 0 ( ) 0 ( ) 0 n z k k n x x k k n y y k k R Z M m F M m F                     Chương 2 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 27/77 09/03/2016 3. CÁC BÀI TOÁN VÀ VÍ DỤ 3.1. Các bước giải bài toán cân bằng. Các bài toán tĩnh học có thể được chia thành hai loại sau:  Hãy tìm mối quan hệ giữa các lực hoạt động để cho vật cân bằng, hoặc nếu biết các lực hoạt động hãy tìm các vị trí cân bằng của vật. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 28/77 09/03/2016  Vật đã cân bằng dưới tác dụng của các lực hoạt động cho trước, hãy tìm một phần hoặc toàn bộ các phản lực liên kết tác dụng lên các vật. 3. CÁC BÀI TOÁN VÀ VÍ DỤ Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 29/77 09/03/2016 Các bước giải bài toán cân bằng  Bước 1: Chọn vật để khảo sát Vật khảo sát phải là vật rắn mà sự cân bằng của nó cần thiết cho yêu cầu xác định của bài toán. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 30/77 09/03/2016 Các bước giải bài toán cân bằng  Nếu là bài toán tìm điều kiện cân bằng của vật thì vật khảo sát phải chính là vật đó.  Nếu như bài toán tìm phản lực liên kết thì vật khảo sát phải là vật chịu tác dụng của phản lực liên kết cần tìm. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 31/77 09/03/2016 Các bước giải bài toán cân bằng  Bước 2: Giải phóng vật khảo sát khỏi liên kết và xem đó là vật tự do dưới tác dụng của các lực đã cho và phản lực liên kết. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 32/77 09/03/2016  Bước 3: Thiết lập điều kiện cân bằng cuả vật bởi các phương trình cân bằng của hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm các lực cho và phản lực liên kết. Các bước giải bài toán cân bằng Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 33/77 09/03/2016 Các bước giải bài toán cân bằng  Bước 4: Giải hệ phương trình cân bằng để xác định trị số và phương chiều của các phản lực liên kết hoặc thiết lập mối quan hệ giữa các lực để đảm bảo điều kiện cân bằng cho vật khảo sát . Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 34/77 09/03/2016 Nhận xét các kết quả thu được.  Bước 5: Cần chú ý rằng chiều của các phản lực thường chưa được xác định vì thế lúc đầu phải tự chọn chiều. Dựa vào kết quả giải hệ phương trình cân bằng ta có thể xác định chiều của các phản lực chọn đúng hay sai. Các bước giải bài toán cân bằng Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 35/77 09/03/2016 Nếu các phản lực liên kết cho trị số dương thì chiều chọn là đúng và nếu trị số âm thì chiều phải đảo lại Các bước giải bài toán cân bằng  Mặt khác cũng cần lưu ý rằng: Bài toán có trường hợp giải được (bài toán tĩnh định) khi số ẩn số cần xác định nhỏ hơn hoặc bằng số phương trình cân bằng. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 36/77 09/03/2016 Có trường hợp không giải được (bài toán siêu tĩnh) khi ẩn số cần tìm lớn hơn số phương trình cân bằng. Các bước giải bài toán cân bằng 3.2. CÁC VÍ DỤ.  Ví dụ 2.1 Cột điện OA chôn thẳng đứng trên mặt đất và được giữ bởi hai sợi dây AB và AD hợp với cột điện một góc α = 300 (xem hình). Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 37/77 09/03/2016 Góc giữa mặt phẳng AOD và mặt phẳng AOB là  = 600. Tại đầu A của cột điện có hai nhánh dây điện mắc song song với trục ox và oy. Các nhánh dây này có lực kéo là P1 và P2 như hình vẽ. Cho biết P1 = P2 = P = 100kN. Ví dụ 2.1 Xác định lực tác dụng dọc trong cột điện và trong các dây căng AD, AB. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 38/77 09/03/2016 Ví dụ 2.1 Bài giải:  Chọn vật khảo sát là đầu A của cột điện. A Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 39/77 09/03/2016 Ví dụ 2.1  Liên kết đặt lên đầu A là hai sợi dây AB, AD và phần cột điện còn lại. A Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 40/77 09/03/2016 Ví dụ 2.1 Gọi phản lực liên kết trong dây AB là trong dây AD là và lực dọc cột là với chiều chọn như hình vẽ. Khi giải phóng điểm A khỏi liên kết điểm A sẽ chịu tác dụng của các lực , , và các phản lực , , 1R  2R  3R  1P  2P  1R  2R  3R  Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 41/77 09/03/2016 Ví dụ 2.1 Điều kiện để đầu A cân bằng là hệ 5 lực tác dụng lên nó cân bằng. Ta có: Hệ lực này đồng quy tại A do đó phương trình cân bằng thiết lập theo phương trình  1 2 1 2 3, , , , 0P P R R R       Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 42/77 09/03/2016 Ví dụ 2.1 0 0 0 x y z R R R      Để tránh nhầm lẫn ta lập bảng hình chiếu các lực lên 3 trục của hệ tọa độ oxyz như sau: Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 43/77 09/03/2016 Ví dụ 2.1 F1 P1 P2 R1 R2 R3 x1 0 -P 0 - R2 0 y1 -P 0 - R1 - R2 0 z1 0 0 R1 R2 R3 sin sin  sin sin cos  cos cos Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 44/77 09/03/2016 Ví dụ 2.1 A Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 45/77 09/03/2016 Ví dụ 2.1 Phương trình cân bằng viết được: 2 1 2 1 2 3 sin sin 0 sin sin cos 0 cos cos 0 i i i X P R Y P R R Z R R R                        Hệ 3 phương trình trên chứa 3 ẩn số R1, R2, R3 nên bài toán là tĩnh định. Giải hệ phương trình trên được: Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 46/77 09/03/2016 Ví dụ 2.1 2 sin sin P R     1 cotg 1 sin R P     3 1 cotg 1 cotg sin R P            Thay các trị số của , P với ,   0 030 ; =60 ; 100P kN   Ta nhận được: Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 47/77 09/03/2016 Ví dụ 2.1 R1 = -85kN; R2 = -231 kN; R3 = 273kN. Kết quả ta thấy giá trị R1 và R2 là âm nên ta kết luận chiều của R1 và R2 ngược lại chiều giả thiết. Còn R3 có giá trị dương nên chiều R3 đúng với chiều giả thiết ban đầu. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 48/77 09/03/2016 Một xe 3 bánh ABC đặt trên một mặt đường nhẵn nằm ngang. Tam giác ABC cân có đáy AB = 1m, đường cao OC = 1,5m, trọng lượng của xe là P (kN) đặt tại trọng tâm G trên đoạn OC cách O là 0,5m. Tìm phản lực của mặt đường lên các bánh xe (hình vẽ). Ví dụ 2.2 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 49/77 09/03/2016 Ví dụ 2.2 o A C B z x yGAN  BN  CN  P  Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 50/77 09/03/2016 Ví dụ 2.2 Bài giải: Khảo sát sự cân bằng của xe. Giải phóng xe khỏi mặt đường và thay bằng các phản lực của mặt đất lên các bánh xe là , , A B CN N N     Vì xe đặt trên mặt nhẵn nên các phản lực này có phương vuông góc với mặt đường. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 51/77 09/03/2016 Xe ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của 4 lực , . Hệ 4 lực này là hệ lực song song. , , ,A B CP N N N     Ví dụ 2.2 Nếu chọn hệ toạ độ oxyz như hình vẽ phương trình cân bằng của hệ lực trên theo có dạng: Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 52/77 09/03/2016 1 1 1 0 ( ) 0 ( ) 0 n z k k n x x k k n y y k k R Z M m F M m F                     Ví dụ 2.2 o A C B z x yGAN  BN  CN  P  Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 53/77 09/03/2016 Ví dụ 2.2 0 ( ) .0,5 .1,5 0 ( ) .0,5 .0,5 0 i A B C x i C y i A B Z N N N P m F P N m F N N                 Hệ ba phương trình trên chứa 3 ẩn số NA, NB, NC nên bài toán là tĩnh định. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 54/77 09/03/2016 Ví dụ 2.2 Giải phương trình trên xác định được: NA = NB = NC = P/3 (kN) Kết quả cho các giá trị dương nên chiều phản lực hướng lên là đúng. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 55/77 09/03/2016 Trục truyền nằm ngang đặt trên hai gối đỡ bản lề cố định A và B (xem hình vẽ). Trục nhận chuyển động quay từ dây đai dẫn đến bánh đai C có bán kính r1 = 20 cm và để nâng trọng vật P buộc vào đầu dây cáp vắt qua ròng rọc K và cuốn trên trống tời có bán kính r2 = 15cm. Ví dụ 2.3 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 56/77 09/03/2016 Cho biết hai nhánh dây đai có phương song song với trục oy và có lực căng T1 và T2 với T1 = 2T2; Trọng vật P= 180kN; a = 40cm; b = 60cm và α = 300. Xác định phản lực tại hai gối đỡ A và B. Ví dụ 2.3 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 57/77 09/03/2016 Ví dụ 2.3 a b a A C B P T1 T2  Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 58/77 09/03/2016 Ví dụ 2.3 Bài giải: Chọn vật khảo sát là trục BC. a b a A C B P T1 T2  ZB YB YA ZA X Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 59/77 09/03/2016 Ví dụ 2.3 Liên kết lên trục là các ổ đỡ A, B. Các lực tác dụng cho là, và . Lực tác dụng dọc theo dây cáp có trị số bằng P. Vì các ổ đỡ là khớp bản lề cố định nên phản lực liên kết tại A và B có hai thành phần theo trục oy và oz. 1 2, T T   F  F  Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 60/77 09/03/2016 Giải phóng liên kết đặt lên trục và thay bằng các phản lực liên kết khi đó trục BC chịu tác động của các lực: . Các lực này phân bố bất kỳ trong không gian. Phương trình cân bằng của hệ lực thiết lập theo hệ lực không gian. Để tránh nhầm lẫn ta lập bảng hình chiếu và mô men của hệ lực đối với các trục toạ độ 1 2, , , ,A BT T F R R      Ví dụ 2.3 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 61/77 09/03/2016 Ví dụ 2.3 X1 0 0 0 0 0 Y1 Fcosα T1 T2 YA YB Z1 Fsinα 0 0 ZA ZB mx(F) F.r2 T1r1 -T2r1 0 0 my(F) Fsinα.b 0 0 0 -ZB(a+b) mz(F) Fcosα.b -T1.a -T2.a 0 YB(a+b) 1F  F  1T  2T  AR  BR  Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 62/77 09/03/2016 Ví dụ 2.3 a b a A C B P T1 T2  ZB YB YA ZA X Z Y X Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 63/77 09/03/2016 Ví dụ 2.3 Các phương trình cân bằng thiết lập được: 1 2 2 1 1 2 1 1 2 cos 0 sin 0 . 0 sin . ( ) 0 cos .b T ( ) 0 i A B i A B x y B z B Y P T T Y Y Z F Z Z M F r T r T r M F b Z a b M F a T a Y a b                                  Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 64/77 09/03/2016 Hệ 5 phương trình trên chứa 5 ẩn số là YA, ZA, YB, ZB và T1 nên bài toán là tĩnh định. Ví dụ 2.3 Giải hệ phương trình trên tìm được: . .sin 60.180.0,5 54 ; 40 60 B b P Z kN a b       2 1 1 2 1. 0xM F r T r T r    1 22T Tvới 2 2 2 1 1 . . 180.15 135 20 F r P r T kN r r      Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 65/77 09/03/2016 Ví dụ 2.3 1 22 270 kNT T  2 3 40.3.135 180.60..3 . .cos 2 69 kN 40 60 B a T P b Y a b        2 3 cos 3 180. 3.135 69 630 kN 2 A BY P T Y          180.0,5 54 36 A BZ Psin Z kN     Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 66/77 09/03/2016 Trong các kết quả tìm được chỉ có giá trị YA mang dấu âm do đó chiều của nó ngược với chiều đã chọn. Ví dụ 2.3 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 67/77 09/03/2016 Ví dụ 2.4 Tấm hình chữ nhật có trọng lượng P = 1kN, được giữ cân bằng ở vị trí nằm ngang nhờ hai bản lề A, B và dây treo IK tạo góc α = 300 với mặt phẳng của tấm như hình vẽ. Các kích thước đo bằng mét. Tìm các phản lực tại A, B và sức căng của dây. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 68/77 09/03/2016 Ví dụ 2.4 A B I K 1 P  Z Y X a 1 6 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 69/77 09/03/2016 A B I K 1 P  Z Y X a 1 6 T AZ  AY  BZ  BY  sinT  cosT  Ví dụ 2.4 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 70/77 09/03/2016 1 ;T kN 7 3 1 , . 12 12 B BY kN Z kN   3 7 , ; 12 12 A AY Z kN   Ví dụ 2.4 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 71/77 09/03/2016 Ví dụ 2.5 Vật nặng P = 100N được treo vào đầu O của giá treo tạo bởi ba thanh trọng lượng không đáng kể, gắn với nhau và với tường bằng các bản lề. Tìm ứng lực của các thanh. Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 72/77 09/03/2016 Ví dụ 2.5 O A C D 45o 45o x y z Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 73/77 09/03/2016 C B D A O X Y Z 45o 30o AS  CS  D S  P   AS  H K Ví dụ 2.5  Khảo sát nút O  Phân tích lực  Lập hệ PT cân bằng  Giải hệ PT Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 74/77 09/03/2016 Ví dụ 2.6 Một chiếc bàn ba chân, được đặt trên mặt phẳng ngang. Trọng lực của bàn đặt tại giao điểm của hai đường chéo của mặt bàn. Tại điểm K trên mặt bàn, có tọa độ chịu tác dụng của lực thẳng đứng .  , , 4 6 b a x y        Q  Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 75/77 09/03/2016 A B C a O b/2 b/2 Tìm phản lực tại các chân bàn. Các kích thước cho trên hình vẽ. Ví dụ 2.6 Q  P  Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 76/77 09/03/2016 A B C a O b/2 b/2 Q  P  X Y Z AN  BN  CN  2 , , . 3 4 6 4 6 4 A B C Q P Q P Q P N N N      Đáp số: Ví dụ 2.6 Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry 77/77 09/03/2016 Bài tập: 3-1  3-12; 3-16  3-18. trang 72  79, sách Bài tập cơ học (tập 1), Đỗ Sanh