Vấn đề 03: Bài toán về cực trị

GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 1 VẤN ĐỀ 03 : BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ + Hàm số y f(x)= đạt cực trị tại nếu 0x 0y '(x ) 0= . + Hàm số y f(x)= đạt cực đại tại nếu đạo hàm 0x y ' đổi dấu từ + sang – khi đi qua . 0x + Hàm số y f(x)= đạt cực tiểu tại nếu đạo hàm 0x y ' đổi dấu từ – sang + khi đi qua . 0x Các phương pháp tìm cực trị của hàm số Phương pháp 1. ( )' xf . B1 : Tìm B2 : Tìm các điểm ( )ix i 1,2,...= mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. B3 : Lập bảng xét dấu . Nếu ( )' xf ( )' xf đổi dấu khi x qua thì hàm số đạt ix cực trị tại . ix Phương pháp 2. B1 : Tìm ( )' x . giải phương trình ( )'f x 0= tìm các nghiệm ( )ix i 1,2,...= . f B2 : Tính ( )i'' xf . nếu thì hàm số đạt cực đại tại điểm . ( )i'' x 0f < ix nếu ( )i'' x 0f > thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm . ix Cho hàm số ( )y xf= ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ: − Nghiệm của phương trình ( )' x 0f = là hoành độ của điểm cực trị. − Nếu thì hàm số đạt cực đại tại ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x ⎧ =⎪⎨ <⎪⎩ 0x x= . − Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x ⎧ =⎪⎨ >⎪⎩ 0x x= . Chú ý: + Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. + Hàm số ( )y f x= có 2 cực trị y' 0 0 a ≠⎧⇔ ⎨Δ >⎩ GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 2 + So sánh nghiệm pt f(x) = 0 với số 0 1 2 Δ > 0 x 0 S < 0 ⎧⎪⇔ ⎨⎪⎩ 1 2 Δ > 0 0 0 S > 0 ⎧⎪⇔ ⎨⎪⎩ 1 2x < 0 < x P < 0⇔ + So sánh nghiệm pt f(x) = 0 với số α Nếu phương trình bậc hai ( ) 0g x = có 2 nghiệm x1, x2 thì khi đặt t x α= − thì phương trình đã cho sẽ trở thành có 2 nghiệm t1,t2 với ( ) 0=g t 1 1t x α= − và 2 2t x α= − Chi tiết : - Nếu định tham số m để pt ( ) 0g x = có 2 nghiệm x1, x2 > thì khi trở thành phương α trình thì sẽ có 2 nghiệm t1, t2 > 0 sau đó chỉ cần 3 điều kiện sau g(t) 0= 0 S 0 P 0 Δ >⎧⎪ >⎨⎪ >⎩ hay có thể ngược lại Δ 0 S 0 P 0 >⎧⎪ ⎩ cho trường hợp t1, t2 < 0 - Nếu định tham số m để pt ( ) 0g x = có 2 nghiệm x1 <α < x2 thì khi trở thành phương trình g(t) 0= thì sẽ có 2 nghiệm t1 < 0 < t2 sau đó chỉ cần điều kiện sau 1 2 cP t t 0a= = < Ví dụ . Tìm cực trị của hàm số 3 2y 2x 3x 36x 10= + − − Phương pháp I. TXĐ: R 2 2 y' 6x 6x 36 x 2 y' 0 6x 6x 36 0 x 3 = + − =⎡= ⇔ + − = ⇔ ⎢ = −⎣ +∞ -∞ - 54 71 ++ - 00 2-3 +∞-∞ y y' x Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71 x = 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54 Phương pháp II. TXĐ: R 2 2 y' 6x 6x 36 x 2 y' 0 6x 6x 36 0 x 3 = + − =⎡= ⇔ + − = ⇔ ⎢ = −⎣ y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yct = - 54 y’’(-3) = - 30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và ycđ =71 GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 3 Bài 1 : Tìm cực trị các hàm số sau (dấu hiệu 1): a) b) 3 2y x 6x= − + +1 3 2y 2x 3x 12x 5= − + + − c) d) 4 2y x 2x 3= − + 2x 2xy x 1 2− += − Bài 2 : Tìm cực trị các hàm số sau (dấu hiệu 2): a) 3 2xy x 3 3 = − + + −x 1 b) y 2cos 2x 5= − c) 2y 3cosx sin x= − trên d) [ ]0; π 1y cos x cos 2x2= + Bài 3 : Tỉm để hàm số sau có cực đại và cực tiểu a) ( ) 3 2y m 2 x 3x mx 2m= + + + + 2 ( ) ( )3 2 2 2y x 3 m 1 x 2 m 7m 2 x 2m= − + + + + + b) c) (soạn) 3 2 2xy x m x 5 3 = + + + 1 m 1 ( ĐS : < < ) − ( ) d) (soạn) 3 2x 7y x 2m 2 x3 9= + + − + ( ĐS : 2m 3 < ) ( ) e) (soạn) 3 2x xy m 2 mx 8m3 2= + − − + ( ĐS : ) m 0> f) (soạn) ( )3 2 4x my x 2m 3 x3 2= − + − +8m ( ĐS : m 2 m 6 ) g) (soạn) ( )3 2 2xy 2x m 2m 3 x3= + + − + + + 4m ( ĐS : m 1≠ ) h) (soạn) ( ) ( )3 2xy m 2 m 4 x3= + + − + x k) (soạn) ( ) ( )3 2xy 2m 1 x 4m 3 x3= − + + + +8 ( ĐS : 2 2m m 2 2 ) Bài 4 : Cho hàm số ( )3 2x my x m 13 2= − + − +x 2 . a/ Tìm m để hàm số có 2 cực trị. b/ Gọi x1, x2 là hoành độ điểm cực trị . Tìm tham số m để ( )1 22 21 2 1 2 2x .x 3 1 x x 2 x .x 1 + =+ + + c/ (soạn) Gọi x1, x2 là hoành độ điểm cực trị . Tìm tham số m để GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị Đt : 0914449230 yahoo.com ( )1 22 21 2 1 2 2x .x 3 1 x x 2 x .x 1 2 + = −+ + + (ĐS m = -2 ) Bài 5 : Cho hàm số ( ) ( )3 2 2y x 2 m 1 x m 4m 1 x= + − + − + + 2 . Tìm m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn ( )1 2 1 2 1 1 1 x x x x 2 + = + Bài 6 : Cho hàm số ( ) ( )3 2 2y x 2 m 1 x m 4m 1 x= + − + − + + 2 . Tìm m để hàm số có 2 cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn ( )1 2 1 2 1 1 1 x x x x 2 + = + Bài 7 (Khối D – 2012): Cho hàm số y = 2 3 x 3 – mx2 – 2(3m2 – 1)x + 2 3 (1), m là tham số thực. Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1 và x2 sao cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = 1 Bài 8 : CMR hàm số a) 3 2 2y x (m 2)x (m 3)x 2m 3 = − + + − + 2 luôn luôn có 2 cực trị b) ( )3 2 21 5y x mx m 4 x m3= + + − + 64 8 luôn luôn có cực đại và cực tiểu c) ( )3 2 2 10y x 3mx 3 1 m x m 7m= − + + − + − luôn luôn có cực đại và cực tiểu d) ( ) ( )3 21 5y x m 1 x m 3 x3= − − + − + Email : ngvuminh249@4 4 10 2 luôn luôn có cực đại và cực tiểu Bài 9 : Tìm m để hàm số a/ (Khối B – 2002) có ba cực trị 4 2 29y mx (m )x= + − + b/ 4 2 1y x (m )x= − + +m 1 4 có ba cực trị c/ có ba cực trị 4 2 22y x m x= − + d/ 4 22 2y x mx m m= − + + có ba cực trị e/ có ba cực trị ( )4 1y x m x= + + −2 1 2 2 2 2 f/ có ba cực trị ( )4 2 5y x m x= − + + g/ có ba cực trị ( ) ( )41 1y m x m x= − − + − h/ ( ) (4 214 my x m x m= − + + − − )1 có ba cực trị k/ ( ) ( )4 2 2y f x x 2 m 2 x m 5m= = + − + − +5 có ba cực trị GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị Đt : 0914449230 yahoo.com Bài 10 : Tìm m để hàm số a/ (TN–THPT – 2005) ( )3 2 2y x 3mx m 1 x 2= − + − + đạt cực đại tại x = 2 b/ (TN–THPT – 2011) đạt cực tiểu tại x = 1 3 2y x 2x mx 1= − + + c/ ( )3 2y x mx m 1 x 2= − + − + đạt cực tiểu tại x = 1 d/ ( ) ( )2 3 21y m 2 x 3m 4 x m2= − + + + x đạt cực tiểu tại x = 1 e/ đạt cực trị tại x = 2 ? Cực trị đó là cực đại hay cực tiểu ? 3 2y x 3x 3mx 3m 4= − + + + f/ (Soạn) ( )3 2y x m 3 x mx m 2= − + + + + đạt cực tiểu tại x = 2 (ĐS : m = 0 ) g/(Soạn) ( )2 3 2y m 5m x 6mx 6x 6= − + + + − đạt cực đại tại x = 1 (ĐS : m = 1 ) h/(Soạn) ( ) 4 2y 2m 1 x 3mx 4m= + − + + 2 đạt cực đại tại x = –1 (ĐS : m = –2 ) Bài 11 : Tìm m để hàm số a/ Đồ thị hàm số 3 2 1y x mx (2m 1)x 2 3 = − + − + có hai điểm cực trị dương ( 1 m 12 < ≠ ) b/ (Cao Đẳng – 2009) có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương 3 2y f(x) x (2m 1)x (2 m)x 2= = − − + − + c/ ( ) 3 2m 2y x (m 1)x (2m 6)x 8 3 −= − + + − + có cực đại và cực tiểu có hoành độ dương. (ĐS : ) 3 m 11< < Bài 12: Tìm m để hàm số a/ 3 2 2 1 (2m 3)y x x (m 2m 2)x 1 3 2 += − + + + + 1 có cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 =2x2 (ĐS : ) m 0, 6= b/ (soạn) 3 2 2 1 (3m 2)y x x m x 1 3 2 += − + + Email : ngvuminh249@5 5 có cực đại và cực tiểu có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 =9x2 (ĐS : m 6= ) c/ (soạn) 3 2 1y x (m 1)x (2m 1)x 3 = − + + + +1 có cực đại và cực tiểu có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x2 =9x1 (ĐS : 4m 4, 9 = − ) GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 6 d/ ( )3 2m 1 11y x mx m 5 x3 −= − + + 7 + có cực đại và cực tiểu có hoành độ đều lớn hơn 2 (ĐS : 51 m 4 < < ) e/ ( )3 22 1y x 2x 3 4m x3 1200= − + − + 1 có cực đại và cực tiểu có hoành độ đều lớn hơn –1 (ĐS : 1 9m 4 4 < < ) f/ (ĐHQG-HN-1997) có cực đại và cực tiểu trong và các điểm này cách đều trục tung (ĐS : 3 2y 2x mx 12x 13= + − − m 0= ) g/ ( ) ( )3 2my x m 1 x m 1 x 23= − + + + + 0 có cực đại và cực tiểu trong đó có một cực trị có hoành độ lớn hơn 1 và một cực trị có hoành độ nhỏ hơn 1 (ĐS : ) m 0> h/ (ĐH Đà Nẵng – 2000) ( ) ( )3 2 2y x 2m 1 x m 3m 2 x 4= − + + − + + 2 có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía trục tung (ĐS : 1 m< < ) Bài 13: Cho hàm số . Xác định a, b, c để hàm số có giá trị bằng 1 khi x = 0 và đạt cực trị tại x = 2 và giá trị cực trị là – 3 3 2y x ax bx c= + + + (ĐS : a = – 3; b = 0; c = 1) Bài 14: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của các hàm số sau : a/ (ĐH Khối A – 2002) ( )3 2 2 3y x 3mx 3 1 m x m m= − + + − + − 2 (ĐS : ) 2y 2x m m= − + b/ (ĐS : 3 2y mx 3mx 3x 1= − + − ( )y 2 1 m x= − ) Bài 15: Cho hàm số ( )3 2y x 3x 6m 3 x 3m= − + + − a/ Xác định tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 8x 11= + b/ Xác định tham số m để hàm số có cực trị có hoành độ lớn hơn –2 (ĐS : 9 m 0 2 − < < ) Bài 16: Cho hàm số ( )3 2xy mx 2 5m 8 x3 1= + + − + a/ Xác định tham số m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đi qua điểm K(0; 1) b/ Xác định tham số m để hàm số có cực trị có hoành độ bé hơn 1 (ĐS : 5 m 2 m 8 4 ) GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 7 Bài 17: Cho hàm số ( ) ( )3 2y 2x 3 m 1 x 6 m 2 x 1= + − + − − Xác định tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 2008x 2009= − Bài 18: Cho hàm số ( ) ( )3 2my x 3 m 1 x 9 m 3 x3 6= − − + − + Xác định tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu có hoành độ x1, x2 thỏa mãn (ĐS : ) 1 2 1x x x .x+ = 2 m 7= Bài 19: Cho hàm số ( ) ( )3 2 22m 11y x x m 2 x3 2+ 1= − + + + Xác định tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu có hoành độ x1, x2 thỏa mãn hệ thức ( )1 2 1 23x .x 5 x x 7 0− + + = (ĐS : m 2= ) Bài 20: Cho hàm số ( ) ( )3 2 23m 12y x x m m 6 x3 2+ 1= − + − − + Xác định tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía Oy (ĐS : ) 2 m 3− < < Bài 21: Cho hàm số ( )3 22m 11y x x mx 3 2 − m= + − + 8 Xác định tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu có hoành độ x1, x2 thỏa mãn hệ thức (ĐS : 2 21 2 1 2x x 6x x+ − = − 3m 2= ) Bài 22: Cho hàm số ( )3 2m 1y x mx m 1 x m3 −= − + + + a/ CMR hàm số luôn có cực trị. b/ Gọi x1, x2 là hoành độ cực trị. Tìm m để 1 2 2 1 x x 5 x x 2 (ĐS : 1m 3 = ± ) + = − Bài 23: Cho hàm số 3 2 2 3y x mx 2x m 3 2 = − − + a/ CMR hàm số luôn có cực trị với mọi m . b/ tìm m để độ lớn hai hoành độ cực trị của hàm số và 2 là ba cạnh của 1 tam giác vuông với cạnh huyền là 2 (ĐS : m 0= ) Bài 24: Cho hàm số ( ) ( )3 2 21 1y x 2m 1 x m 2 x3 2 m= − + + + + Tìm m để hàm số có cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn 2 2 1 2 81x x 8 + = ( 7m 4= ) GV. Nguyễn Vũ Minh Cực Trị Đt : 0914449230 Email : ngvuminh249@yahoo.com 8 Bài 25: Cho hàm số ( ) ( )3 23k 2y x x 3k 1 x 2 −= − − + Tìm k để hàm số có cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn 1 23x 5x 6− = ĐS : k 0 32k 15 =⎡⎢⎢ = −⎣ Bài 26: Cho hàm số ( ) ( )3 2 22m 31y x x m 3m 3 2 −= − + − x 6 Tìm m để hàm số có cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn 1 2x x< < Bài 27: Cho hàm số ( ) ( )3 2m 1y x m 2 x m 3 x3 + 1= − + + − + Tìm m để hàm số có cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn ( )( )1 24x 1 4x 1 18+ + = (ĐS : ) m 7= Bài 28: Cho hàm số ( ) ( )3 2 21y x m 5 x m 4m 473= − + + − + x Tìm m để hàm số có cực trị có hoành độ lớn hơn 3 (ĐS : 4m 7 > ) Bài 29: Cho hàm số ( ) ( )3 2my x m 1 x 3 m 23= − − + − x 1 Tìm m để hàm số có cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn 1 2x 2x+ = (ĐS : 2m 2 m 3 = ∨ = ) Bài 30: Cho hàm số 3 2 1y x mx 3 x= − − a/ CMR hàm số luôn có cực trị với mọi m. b/ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ x1, x2 thỏa mãn (ĐS : ) 2 21 2 1 2x x x x+ − = 7 m 1= ± Bài 31: Cho hàm số ( ) ( )3 24m 11y x x 2 m 4 x 3 2 + 5= + − − + Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu có hoành độ x1, x2 thỏa mãn (ĐS : ) 1 2x x 17− = m 4= ± Bài 32: Cho hàm số ( ) ( )3 2 21y x m 1 x m 3 x 2π3= − − + − + 1 2x 3x= ( m 3 2 6= ±Tìm m để hàm số có cực trị có hoành độ x1, x2 thỏa mãn )