Ứng dụng của phép biến đổi laplace để giải phương trình vật lí toán - Lê Thị Hải Yến

Lê Thị Hải Yến và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 99(11): 69 - 72 69 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VẬT LÍ TOÁN Lê Thị Hải Yến*, Đỗ Thi Thúy, Lê Thị Thu Hà, Nguyễn Hồng Lĩnh Trường Đại học Sư phạm – ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Phép biến đổi Laplace đã được sử dụng để tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả dao động của một sợi dây đồng chất và sự phân bố nhiệt độ trong thanh mảnh chiều dài hữu hạn, hai đầu mút biểu diễn bởi các hàm cho trước. Tính toán cho thấy, các nghiệm của phương trình trên có dạng giống như kết quả thu được khi sử dụng phương pháp tách biến Fourrier. Kết quả này chỉ ra rằng, có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để tìm nghiệm của các phương trình vật lí toán với các điều kiện phức tạp nhằm hỗ trợ phương pháp tách biến Fourrier. Từ khóa: tách biến Fourrier, biến đổi Laplace, điều kiện ban đầu, điều kiện biên. GIỚI THIỆU* Quá trình truyền nhiệt và dao động trong vật liệu là những vấn đề thu hút sự quan tâm của các nhà nghiên cứu ứng dụng và công nghệ. Một số phương trình dao động, truyền nhiệt của vật liệu có hình dạng đặc biệt thường được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng [1-3]. Một trong những phương pháp tìm nghiệm phương trình vi phân kiểu này được nghiên cứu rất kỹ ở cấp đại học là phương pháp tách biến Fourier [4-6]. Tuy nhiên còn một số phương pháp khác ít được nhắc đến ở cấp đại học, chẳng hạn như phép biến đổi Laplace. Phép biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân. Qua phép biến đổi Laplace, các phương trình vi phân, đạo hàm riêng được chuyển thành các phương trình đại số đơn giản hơn. Giải ra nghiệm là các hàm ảnh trong không gian thực p, chúng ta sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để có lại hàm gốc trong không gian thực t [6]. Việc hiểu và vận dụng tốt phương pháp biến đổi Laplace để tìm nghiệm các bài toán dao động và truyền nhiệt nhằm hoàn thiện hệ thống phương pháp giải phương trình vi phân đạo hàm riêng là một việc làm cần thiết và cũng là mục đích nghiên cứu của bài báo này. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN Trong không gian một chiều, phương trình đạo hàm riêng dưới dạng [1-3]: 2 2 1 12 2 0 u u u u a b cu a b x x t x ∂ ∂ ∂ ∂ + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ , (1) * Tel: 01692 802793, Email: haiyenlyak44@gmail.com trong đó a, b, c, a1, b1 là những hàm liên tục của x, 0 , 0x l t≤ ≤ > Ta sẽ tìm nghiệm u(x,t) của phương trình (1) với 0 , 0x l t≤ ≤ > thỏa mãn điều kiện ban đầu và điều kiện biên: ( ,0)( ,0) ( ), ( )u xu x x x t ϕ ψ∂= = ∂ , (2) ( , ) ( , )(0, ) ( ), ( , )u l t u l tu t f t u l t x t α β γ∂ ∂= + = ∂ ∂ Trong đó , ,α β γ là những hằng số Ký hiệu: 0 ( , ) ( , ) ptU x p u x t e dt ∞ − = ∫ . Hàm U(x,p) sẽ là ảnh laplace của hàm gốc u(x,t), ta có: . 0 ptu u Ue dt x x x ∞ − ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂∫

⇀↽

và 2 2 2 . 2 2 2 0 ptu u Ue dt x x x ∞ − ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂∫

⇀↽

(3) Theo quy tắc vi phân hàm gốc và do điều kiện ban đầu, nên: . ( )u pU x t ϕ∂ − ∂

⇀↽

; 2 . 2 2 ( ) ( ) u p U p x x t ϕ ψ∂ − − ∂

⇀↽

(4) Chúng ta đặt : . ( ) ( )F p f t

⇀↽

ta có: 0 ( ), ( )x x l x l UU F p pU U t α β ϕ γ = = = ∂  = + − = ∂  (5) Lê Thị Hải Yến và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 99(11): 69 - 72 70 Sau đó thay (3), (4) vào phương trình (1), ta thu được phương trình toán tử cần tìm. Giải phương trình toán tử được nghiệm U(x,p) từ đây ta tìm được nghiệm u(x,t) của bài toán. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN Trong mục này chúng tôi áp dụng phép biến đổi Laplace để tìm nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng (phương trình toán lí) mô tả quá trình truyền nhiệt của thanh mảnh và quá trình dao động của sợi dây chiều dài hữu hạn. Bài toán thứ nhất: Tìm nghiệm của phương trình dao động cưỡng bức của một sợi dây chiều dài hữu hạn cho bởi [3]. 2 2 2 2 2 0 u u a t x ∂ ∂ − = ∂ ∂ (6) Với các điều kiện: ( , 0) 0u x t = = ; ( ), 0 0u x t t ∂ = = ∂ ( 0, ) 0u x t= = ; ( , ) sinu x l t A tω= = Để tìm nghiệm của bài toán chúng tôi kí hiệu: . ( , ) ( , )U x p u x t

⇀↽

, lấy ảnh theo t cả hai vế của phương trình (6) ta thu được phương trình toán tử: 2 2 2 2 Up U a x ∂ = ∂ (7) Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (7) là: 1 2( , ) px px a aU x p C e C e − = + Với các điều kiện biên: (0, ) 0U p = và 2 2( , ) AU l p p ω ω = + (8) Do điều kiện biên (8) nên tìm được nghiệm của phương trình (7) là: 2 2 2 2 ( , ) ( ) 2( ) px px a a px shA A aU x p e epl plpp sh sh a a ω ω ωω − = − = ++ (9) Ta thấy ( , )U x p có các cực điểm: p iω= ± và k ap i l pi = ± , (k=0,1,2,) đều là các cực điểm đơn. Mặt khác chúng ta có: 2 2( , ) es k pt p p px sh eau x t A r pl p sh a ω ω= = ∑ + (10) Chúng ta đặt: 2 2( , ) pt px sh eaf x p pl p sh a ω = + . Tiếp theo chúng ta tính các thặng dư: (i) 2 2 2 2 1 1 es ( , ) es espt pt p i p i p i px px sh sh a ar f x p r e r epl plp p sh sh a a ω ω ωω ω=± = =−         = +    + +        sin1 sin sin x a tl a ω ω ωω = (ii) 2 2 2 2 1 1 es ( , ) es es pt pt ik a ik a ik ap p p l l l px px sh e sh e a ar f xp r rpl plp p sh sh a a pi pi piω ω−=± = =         = +    + +        2 2 2 2 2 2 .sin sin ( ) cos k x k at a l l k al k l pi pi pi ω pi − = − (iii) Khi 0k = 0 es ( , ) es ( , ) 0 ik a pp l r f x p r f x p pi = =± ⇒ = = Cuối cùng chúng ta tìm được phương trình dao động của sợi dây là: 2 2 2 21 2 sin sin sin sin2( , ) ( 1) sin k k x k x k atA t Aaa l lu xt l k al a l ω pi pi ω ω ω ω pi ω ∞ = = − − − ∑ (11) Từ (11) có thể thấy, nghiệm của phương trình tìm được ( , )u x t khả vi hai lần theo x và hai lần theo t. Do đó, nghiệm này thỏa mãn Lê Thị Hải Yến và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 99(11): 69 - 72 71 phương trình của bài toán. Biên độ dao động của sợi dây phụ thuộc vào điều kiện biên, tần số dao động của sợi dây k a l pi tỷ lệ nghịch với chiều dài dây. Bài toán thứ hai: Tìm phân bố nhiệt trong một thanh mảnh chiều dài hữu hạn L. Thành bên cách nhiệt, đầu mút x = 0 cách nhiệt, đầu mút x = L luôn được giữ ở nhiệt độ bằng không. Ở thời điểm ban đầu, tất cả các điểm trên thanh được cấp nhiệt độ 0 onsT c t= . Trong thanh có nguồn nhiệt không đổi onsg c t= [3,4]. Bài toán trở thành tìm nghiệm u(x,t) của phương trình: 2 2 2 u u a g t x ∂ ∂ − = ∂ ∂ (12) Với điều kiện ban đầu: ( ) 0, 0u x t T= = và điều kiện biên: ( 0, ) 0u x t x ∂ = = ∂ ; ( ), 0u x l t= = Ký hiệu: .( . ) ( , )u xt U x p

⇀↽

, lấy ảnh theo t hai vế của phương trình (12) ta có phương trình toán tử đối với ảnh như sau: 2 2 0 2 U gpU T a x p ∂ − − = ∂ (13) Nghiệm tổng quát của phương trình (13) là: * 01 2 2. . p p x x a a T gU U U C e C e p p − = + = + + + (14) Từ điều kiện biên của bài ta có (0, ) 0U p x ∂ = ∂ và 0 x L U = = , thay lần lượt x=0 và x=L vào (14) ta tìm được: 0 2 1 2 2 T g p pC C p ch L a − − = = Từ đó ta tìm được nghiệm của phương trình toán tử (13) là: 0 0 2 2( , ) p ch xT pT gg aU x p p p p p ch L a  + = + −     (15) Chúng ta đặt: 0 1 2( , ) T gU x p p p = + và 0 2 2 ( ) ( , ) . p pT g ch x aU x p p p ch L a + = Dễ dàng thấy rằng: 1 0( , )u x t T gt= + Đối với 2 ( , )U x p ta có 0p = là cực điểm cấp 2 và 2 2 2 2 (2 1) 4 k ap L pi− + = là cực điểm đơn suy ra: 2 2 2 2 2 2 20 (2 1) 4 ( , ) es ( , ). es ( , ).pt pt p k ap L u x t r U x p e r U x p e pi= − + = = + Như bài toán thứ nhất chúng ta tính thặng dư tại các điểm cực: Từ (14) chúng ta có: u(x,t)=u1(x,t)-u2(x,t). Do đó nghiệm của phương trình cần tìm là: 2 2 2 2 (2 1)2 2 2 2 2 2 4 02 3 2 3 2 0 16 ( 1) (2 1) (2 1)( , ) .( ). os . 2 (2 1) 4 k ak t L k L x L k a k x uxt g g T c e a a k L L pi pi pi pi − + ∞ = − − + + = − − + ∑ (16) Từ (16) có thể nhận thấy, nghiệm u(x,t) tìm được khả vi hai lần theo x và hai lần theo t nên nó thỏa mãn phương trình của bài toán. Sự phân bố nhiệt trong thanh mảnh thay đổi theo qui luật của hàm mũ và nó phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ và nguồn nhiệt ban đầu của thanh. KẾT LUẬN Sử dụng phép biến đổi Laplace, chúng tôi đã tìm được nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả dao động của một sợi dây đồng chất và sự phân bố nhiệt độ trong thanh mảnh chiều dài hữu hạn, hai đầu mút được mô tả bởi một hàm toán học cho trước. Các nghiệm tìm được này có dạng giống như nghiệm tìm được bằng phương pháp tách biến Fourrier [5,6]. Kết quả này chỉ ra rằng, có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để tìm nghiệm của các phương trình vật lí toán với các điều kiện phức tạp nhằm hỗ trợ phương pháp tách biến Fourrier. Lê Thị Hải Yến và Đtg Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 99(11): 69 - 72 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Đặng Đức Dũng, Lê Đức Thông, Phương pháp toán dùng cho vật lý, 3 tập, Nxb Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh. [2]. Lê Văn Trực, Nguyễn Văn Thỏa, (2005), Phương pháp toán cho vật lý, tập 2, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội. [3]. Phạm Hữu Kiên, Vũ Thị Kim Liên, (2009), Bài tập toán cho vật lý, Thái Nguyên. [4]. Phạm Hữu Kiên, Nguyễn Thị Thu Hằng, Nghiên cứu quá trình truyền nhiệt trong ống trụ tròn chiều cao vô hạn bằng phương pháp tách biến fourrier, Tạp chí khoa học và công nghệ - Số 2(50)/Năm 2009 [5]. Đỗ Đình Thanh, (2002), Phương pháp toán lí, Nxb Giáo dục. [6]. Phan Huy Thiện, (2010), Phương trình toán lí, Nxb Giáo dục Việt Nam. SUMMARY APPLICATION OF THE LAPLACE TRANSFORM TO SOLVE THE PHYSICAL EQUATION Le Thi Hai Yen*, Do Thi Thuy, Le Thi Thu Ha, Nguyen Hong Linh College of Education - TNU Laplace transformation has used to find the solution of partial differential equations describing oscillations of a homogeneous wire and the temperature distribution in finite length slender with two conditions are described using a mathematical function. Calculation shows that the solution form of the above equations like obtained solution using the variables separation method of Fourrier. This result indicates that we can use the Laplace transform method to find the solution of the equations of mathematical physicist with the complex conditions to support the variables separation method of Fourrier. Keywords: the variables separation method of Fourrier, Laplace transformation, initial conditions, boundary conditions. Ngày nhận bài: 04/8/2012, ngày duyệt đăng:23/102012, ngày phản biện:10/12/2012 * Tel: 01692 802793, Email: haiyenlyak44@gmail.com