Trạng thái của tạp chất Donor trong chấm lượng tử INAS/GAAS

TRẠNG THÁI CỦA TẠP CHẤT DONOR TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ InAs/GaAs NGUYỄN NGỌC TUÂN NGUYỄN VĂN TOÀN - ĐINH NHƯ THẢO Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu các trạng thái của tạp chất donor trong chấm lượng tử InAs/GaAs. Chúng tôi đã tìm được năng lượng và hàm sóng của donor và khảo sát sự phụ thuộc năng lượng của donor vào bán kính của chấm lượng tử. Chúng tôi thấy rằng năng lượng của donor tăng khi bán kính của chấm lượng tử giảm, đặc biệt khi bán kính chấm tiến đến không thì năng lượng của donor tăng rất nhanh. Bên cạnh đó chúng tôi cũng khảo sát trạng thái của điện tử trong chấm và tìm được năng lượng và hàm sóng tương ứng. Chúng tôi tìm thấy sự phụ thuộc tương tự của năng lượng donor và điện tử vào bán kính của chấm lượng tử. Tuy nhiên phổ năng lượng của điện tử chỉ nhận các giá trị dương trong khi phổ năng lượng của donor bao gồm cả các giá trị dương và giá trị âm. Từ khóa: trạng thái của donor, trạng thái của điện tử, chấm lượng tử hình cầu, InAs, GaAs. 1 GIỚI THIỆU Trong vài thập kỉ trở lại đây nhờ những tiến bộ trong kĩ thuật người ta đã và đang quan tâm đến những vật liệu bán dẫn có cấu trúc nano [1], [2]. Khi vật liệu đạt đến cấu trúc nano thì một loạt các hiện tượng vật lí mới xuất hiện gọi là hiệu ứng kích thước. Khi đó các quy luật lượng tử bắt đầu xuất hiện làm biến đổi tính chất điện tử của hệ, đặc biệt là các đặc trưng về phổ năng lượng trở nên gián đoạn dọc theo hướng toạ độ giới hạn và mở ra khả năng ứng dụng cho các linh kiện làm việc theo nguyên lí hoàn toàn mới. Chấm lượng tử là một trong những cấu trúc thấp chiều nhận được nhiều quan tâm nghiên cứu. Trong chấm lượng tử, hiệu ứng giam cầm lượng tử đóng vai trò đặc biệt quan trọng đối với cấu trúc phổ năng lượng của điện tử [3]. Bên cạnh đó sự pha tạp trong cấu trúc sẽ có ảnh hưởng không nhỏ đến tính chất của vật liệu. Vì vậy việc nghiên cứu trạng thái của Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế ISSN 1859-1612, Số 04(36)/2015: tr. 40-47 TRẠNG THÁI CỦA TẠP CHẤT DONOR TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ... 41 các tâm tạp trong chấm lượng tử là vấn đề khá được quan tâm hiện nay [4]. Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu trạng thái của tạp chất donor trong chấm lượng tử bán dẫn InAs/GaAs. 2 LÝ THUYẾT 2.1 Trạng thái của tạp chất donor trong chấm lượng tử bán dẫn InAs/GaAs Để đơn giản, chúng tôi xét mô hình lí tưởng với giả thiết tâm tạp Hydro nằm ở tâm của chấm lượng tử loại InAs/GaAs đối xứng cầu bán kính R với bờ thế cao vô hạn [4]: V (r) = { 0 khi r < R, ∞ khi r > R. (1) Hamitonian của hạt ở trạng thái dừng là: Hˆ = − ~ 2 2m ∇2 − e 2 εr + V (r) , (2) với m là khối lượng hiệu dụng của điện tử, ε là hằng số điện môi (giả thiết là như nhau với InAs và GaAs), V (r) là thế giam cầm đối xứng cầu. Phương trình Schrodinger của hạt ở trạng thái dừng trong hộp thế cầu là [5]:( − ~ 2 2m ∇2 − e 2 εr ) ψ (r, θ, ϕ) = Eψ (r, θ, ϕ) . (3) Bằng phương pháp phân ly biến số ta nhận được phương trình bán kính như sau: d2 dr2 R (r) + 2 r d dr R (r) + [ 2m ~2 ( E + e2 εr ) − l (l + 1) r2 ] R (r) = 0. (4) Sử dụng hệ đơn vị của năng lượng và chiều dài tương ứng là (hệ đơn vị nguyên tử)[4]: 2Ry = m ~2 ( e2 ε )2 , (5) aB = ~2ε me2 . (6) Phương trình (4) được biến đổi thành: d2 dr2 R (r)− 2 r d dr R (r) + [ 2E + 2 r − l (l + 1) r2 ] R (r) = 0. (7) 42 NGUYỄN NGỌC TUÂN và cs. Đặt { λ = 1√−2E ρ = 2rλ , (8) phương trình (7) được biến đổi thành: d2 dρ2 R (ρ)− 2 ρ d dρ R (ρ) + [ −1 4 + λ ρ − l (l + 1) ρ2 ] R (ρ) = 0. (9) + Khi ρ→ 0, số hạng tỉ lệ 1/ρ2 chiếm ưu thế. Phương trình (9) có dạng: d2 dρ2 R (ρ)− 2 ρ d dρ R (ρ)− l (l + 1) ρ2 R (ρ) = 0. (10) Ta được nghiệm tiệm cận: R1 (ρ) = ρ l. (11) + Khi ρ→∞, ta bỏ qua các số hạng tỉ lệ với 1/ρ. Phương trình (9) có dạng: d2 dρ2 R (ρ)− 1 4 R (ρ) = 0. (12) Ta được nghiệm tiệm cận: R2 (ρ) = e −ρ/2. (13) Nghiệm tổng quát của (9) được tìm dưới dạng: R (ρ) = ρle−ρ/2ω (ρ) . (14) Đạo hàm (14) và thay vào (9) ta được: ρω′′ (ρ) + (2l + 2− ρ)ω′ (ρ) + (λ− l − 1)ω (ρ) = 0. (15) Phương trình (15) có nghiệm là hàm siêu bội suy biến [6]: ω (ρ) = F (−λ+ l + 1, 2l + 2, ρ) . (16) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (9) là: Rn,l (r) = Ar le−r/λ(En)F (−λ (En) + l + 1, 2l + 2, 2r/λ (En)) , (17) trong đó A là hệ số chuẩn hóa, λ (En) = 1/ √−2E, l, m là số lượng tử moment quỹ đạo và hình chiếu moment quỹ đạo lên trục z, n là số lượng tử đánh số thứ tự các mức năng lượng En = En0 ứng với một giá trị xác định của l [7], [8]. Các mức năng lượng En của donor trong chấm lượng tử tương ứng với hàm sóng được tìm từ điều kiện biên: Rn,l (r)|r=R = 0. (18) TRẠNG THÁI CỦA TẠP CHẤT DONOR TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ... 43 2.2 Trạng thái của điện tử trong chấm lượng tử InAs/GaAs Xét chấm lượng tử hình cầu có bán kính R. Phương trình Schrodinger đối với điện tử trong chấm lượng tử có dạng [9]:[ − ~ 2 2m ∇2 + V (~r) ] ψ (r, θ, ϕ) = Eψ (r, θ, ϕ) , (19) trong đó m là khối lượng hiệu dụng của điện tử, V (r) là thế năng giam giữ điện tử và có dạng: V (r) = { ∞ khi r > R, 0 khi r < R. (20) Giải phương trình (19) với thế năng có dạng (20) ta sẽ thu được năng lượng và hàm sóng của điện tử trong chấm lượng tử. Bằng phương pháp phân ly biến số và qua quá trình biến đổi ta nhận được phương trình bán kính như sau: d2fn,l (ξ) dξ2 + 2 ξ dfn,l (ξ) dξ + [ 1− l (l + 1) ξ2 ] fn,l (ξ) = 0. (21) Hàm sóng tổng quát có dạng: ψ (r, θ, ϕ) = Ylm (θ, ϕ) [Ajl (kr) +Bηl (kr)] . (22) Do hàm Neumann phân kỳ tại điểm ξ = 0 nên hàm sóng lúc này sẽ là: ψ (r, θ, ϕ) = AYlm (θ, ϕ) jl (kr) , (23) với A là một hằng số. Giá trị năng lượng được xác định dựa vào điều kiện liên tục của hàm sóng tại r = R ψ (r, θ, ϕ) = AYlm (θ, ϕ) jl (kr) . (24) Hàm sóng xuyên tâm đã chuẩn hóa là: fn,l (r) = √ 2 R3 jl ( χn,l r R ) jl+1 (χn,l) . (25) Năng lượng của điện tử trong chấm lượng tử được cho bởi biểu thức: Enl = ~2 2m χ2n,l R2 . (26) 44 NGUYỄN NGỌC TUÂN và cs. 3 KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN Các thông số của vật liệu làm chấm lượng tử InAs/GaAs được cho như sau: khối lượng hiệu dụng của điện tử me = 0.023m0, hằng số điện môi của tinh thể InAs ε = 15.15. Trong quá trình tính toán chúng tôi đã sử dụng hệ đơn vị nguyên tử với đơn vị năng lượng và chiều dài tương ứng là 2Ry và aB. Chúng tôi đã tính toán được 2Ry = 2.72 meV và aB = 350 o A. Hình 1 chỉ ra sự phụ thuộc của năng lượng donor ở mức thấp nhất 1s vào kích thước chấm lượng tử. Ta thấy rằng với những chấm lượng tử có bán kính R > 3aB năng lượng của donor ít phụ thuộc vào bán kính chấm. Khi R < 3aB năng lượng của donor tăng dần khi bán kính của chấm giảm. Đối với các chấm lượng tử có bán kính R < 1.8aB năng lượng trở nên dương và tăng rất nhanh khi R → 0. Cũng dễ nhận thấy rằng khi R → ∞ năng lượng trở về giá trị tâm donor trong bán dẫn khối ba chiều. Hình 1: Năng lượng của donor ở mức thấp nhất 1s. Trên hình 2 là đồ thị sự phụ thuộc năng lượng của điện tử ở mức thấp nhất 1s vào kích thước của chấm lượng tử. Ta thấy rằng phổ năng lượng của điện tử tự do trong chấm là dương. Khi bán kính chấm tăng năng lượng của điện tử trong chấm giảm. Năng lượng tiến đến không khi R→∞ và tăng rất nhanh khi R→ 0. Hình 3 chỉ ra sự phụ thuộc năng lượng vào kích thước chấm lượng tử của cả donor và điện tử tự do. Ta thấy rằng chúng có dạng gần như tương tự nhau. Khi bán kính giảm năng lượng của hạt tăng và đặc biệt khi bán kính R → 0 năng lượng của hạt tăng rất nhanh. Tuy vậy chúng cũng có những khác biệt nhất định. Phổ năng lượng phụ thuộc bán kính của donor gồm cả giá trị âm và giá trị dương trong khi đó phổ năng lượng phụ thuộc bán kính của điện tử tự do chỉ nhận giá trị dương. TRẠNG THÁI CỦA TẠP CHẤT DONOR TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ... 45 Hình 2: Năng lượng của điện tử ở mức thấp nhất 1s. Hình 3: So sánh năng lượng của tạp chất donor và năng lượng của điện tử tự do trong chấm lượng tử InAs/GaAs. 4 KẾT LUẬN Trong bài báo này chúng tôi tập trung nghiên cứu trạng thái của donor Hydro trong chấm lượng tử InAs/GaAs. Chúng tôi đã tìm được hàm sóng và năng lượng của donor trong chấm lượng tử. Bên cạnh đó chúng tôi cũng khảo sát trạng thái của điện tử trong chấm và thu được hàm sóng và năng lượng tương ứng. Dựa trên kết quả tính toán và các thông 46 NGUYỄN NGỌC TUÂN và cs. số của vật liệu chúng tôi đã khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng vào kích thước chấm của donor và của điện tử. Khi bán kính của chấm giảm năng lượng của donor và của điện tử tăng, đặc biệt khi bán kính chấm tiến đến không thì năng lượng của donor và của điện tử tăng rất nhanh. Chúng tôi nhận thấy rằng dạng đường cong mô tả sự phụ thuộc của năng lượng vào bán kính chấm của donor và điện tử có dạng gần như tương tự nhau tuy nhiên phổ năng lượng của donor gồm cả giá trị âm và giá trị dương trong khi đó phổ năng lượng của điện tử chỉ nhận giá trị dương. LỜI CẢM ƠN Nghiên cứu này được tài trợ bởi Quỹ Phát triển khoa học và công nghệ Quốc gia (NAFOS- TED) trong đề tài mã số 103.01-2014.46. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] D. N. Thao, S. Katayama and K. Tomizawa (2004), Journal of the Physical Society of Japan 73, 3177 - 3181. [2] G. Klatt et al. (2011), Appl. Phys. Lett. 98, 021114 - 021114-3. [3] Đinh Như Thảo (2014), Giáo trình tính chất quang của vật rắn, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế. [4] L. Q. Dung, D. N. Thao, N. H. Quang (1998), "The state of hydrogen donor in quantum dots under external electric field", Proceedings of the 23rd Vietnam National Conference on Theoretical Physics, Ho Chi Minh City, pp. 165 - 169. [5] Lê Đình, Trần Công Phong (2011), Cơ học lượng tử, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế. [6] Lê Văn Út (2003), Hàm đặc biệt trong phương trình toán lý, Trường Đại học Cần Thơ. [7] J. L. Zhu and J. Wu (1999), Chin. Phys. Lett, Vol. 16, pp. 680-682. [8] A. J. Peter (2008), Chin. Phys. Lett, Vol. 25, pp. 3021-3024. [9] L. Bányai and S.W. Koch (1993), Semiconductor Quantum dots, Word Scientific series on Atomic, Molecular and Optical Physics V2. TRẠNG THÁI CỦA TẠP CHẤT DONOR TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ... 47 Title: STATES OF DONOR IMPURITIES IN InAs/GaAs QUANTUM DOTS Abstract: In this paper we study states of donor impurities in InAs/GaAs quantum dots. We found out the energy and wave functions of the donors, and explored the dependence of donor energy on radius of quantum dots. We realized that the donor energy increases as the dot radius decreases, particularly when the dot radius tends to zero the donor energy rises very rapidly. Besides, we also examined the electron states in the dots and found out their corresponding energy and wave functions. We observed the similar dependence of the donor and electron energy on the radius of the quantum dots. The energy spectrum of electrons, however, only contains positive values while the energy spectrum of donors includes both negative and positive values. Keywords: donor state, electron state, spherical quantum dots, InAs, GaAs. NGUYỄN NGỌC TUÂN NGUYỄN VĂN TOÀN Học viên Cao học, trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế PGS. TS. ĐINH NHƯ THẢO Khoa Vật lý, Trung tâm Vật lý lý thuyết và Vật lý tính toán, trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế