Tóm tắt luận án tiến sĩ - Cấu trúc pha của ngưng tụ bose - einstein trong khí bose — nhiệt độ cực thấp

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG TỤ BOSE - EINSTEIN TRONG KHÍ BOSE Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP Nghiên cứu sinh: Đặng Thị Minh Huệ Bộ môn Vật lý, Trường Đại Học Thủy Lợi Đơn vị đào tạo: Trung tâm Đào tạo hạt nhân, Viện Năng Lượng Nguyên tử Việt Nam Người hướng dẫn: GS.TSKH. Trần Hữu Phát, Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam; PGS. TS. Lê Viết Hòa, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. HÀ NỘI, 2016 MỞ ĐẦU I Tính cấp thiết và mục tiêu của luận án I.1 Tính cấp thiết Ngưng tụ Bose - Einstein (BEC) chính là vật chất lượng tử đóng vai trò chủ yếu khi xác lập nguyên lý làm việc của máy tính lượng tử, các nghiên cứu về BEC cung cấp nhiều kết quả quan trọng đối với toàn bộ ngành vật lý, đặc biệt là công nghệ lượng tử được hình thành từ ba thành phần chính sau: 1. Thông tin lượng tử 2. Máy tính lượng tử 3. Vật chất lượng tử . Do đó nghiên cứu các tính chất vật lý của BEC tạo nên từ khí Bose và khí Fermi ở nhiệt độ cực thấp đã trở thành một trong những lĩnh vực hấp dẫn nhất của vật lý hiện đại cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm. Vì vậy, việc nghiên cứu cấu trúc pha của BEC trong khí Bose ở nhiệt độ cực thấp đóng một vai trò quan trọng vì cấu trúc pha cho ta thông tin đầy đủ về trạng thái của vật chất lượng tử ứng với các miền khác nhau của các tham số vật lý như hằng số tương tác, nhiệt độ và thế hoá học. I.2 Mục tiêu Tìm ra các hiện tượng (hiệu ứng) vật lý mới trong cấu trúc pha của BEC đối với khí Bose một thành phần và hai thành phần ở nhiệt độ cực thấp. II Những đóng góp mới và ý nghĩa khoa học của luận án Đã chứng tỏ rằng trong vùng tham số ở đó xảy ra bất ổn định động lực thì không xảy ra ngưng tụ Bose - Einstein. Đã chứng tỏ rằng quá trình ngưng tụ Bose - Einstein là một chuyển pha loại hai và xảy ra theo một trong hai kịch bản: phục hồi đối xứng bị phá 1 vỡ (SR - Symmetry Restoration) hoặc phá vỡ đối xứng nghịch đảo (ISB - Inverse Symmetry Breaking), quá trình này chỉ xảy ra với hệ hai thành phần. Kết quả tính số đã cho phép xác định trạng thái chân không của hạt j - trạng thái tại đó tổng số hạt j bằng không, ρj = 0. Đã phát hiện ra hai hiện tượng mới trong cấu trúc pha của khí Bose ở nhiệt độ cực thấp khi có BEC. Đó là quá trình phá vỡ đối xứng ngược và vai trò của tính ổn định động lực đối với sự hình thành các pha. III Bố cục của luận án Luận án được trình bày theo ba chương, bao gồm: Chương 1: Tổng quan các vấn đề liên quan đến luận án. Chương 2: Cấu trúc pha của ngưng tụ Bose - Einstein trong khí Bose một thành phần ở nhiệt độ cực thấp. Chương 3: Cấu trúc pha của ngưng tụ Bose - Einstein trong khí Bose hai thành phần ở nhiệt độ cực thấp. Chương I. TỔNG QUAN I. Chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử Chuyển pha nhiệt xảy ra khi thăng giáng nhiệt của các đại lượng vật lý, đặc biệt là của mật độ hạt trở nên rất lớn tại điểm chuyển pha và khi đó độ dài tương quan trở nên lớn vô hạn. Theo Landau, pha trạng thái của hệ tồn tại trong tự nhiên khi và chỉ khi nhiệt dung đẳng tích tương ứng có giá trị dương và sự chuyển pha được chia làm hai loại: chuyển pha loại một và chuyển pha loại hai. Khi nhiệt độ tăng, tham số trật tự biến đổi có bước nhảy thì sự chuyển pha là loại một còn nếu độ trật tự dẫn đến không một cách liên tục, không có bước nhảy thì sẽ có chuyển pha loại hai. Pha lượng tử là các trạng thái lượng tử của hệ ở một nhiệt độ xác định. Chuyển pha lượng tử xảy ra do thăng giáng lượng tử của các đại lượng vật 2 lý trong đó mật độ số hạt ở một nhiệt độ xác định trở nên rất lớn khi tiến tới điểm chuyển pha. Thăng giáng lượng tử xảy ra do nguyên lý bất định Heisenberg. II. Phá vỡ đối xứng tự phát và định lý Goldstone Khi Lagrangian của hệ bất biến đối với các phép biến đổi của nhóm đối xứng nhưng trạng thái chân không của hệ lại không bất biến dưới sự biến đổi của phép đối xứng đó, ta nói rằng các phép biến đổi đối xứng đã bị phá vỡ tự phát và tuân theo định lý Goldstone: "Một hệ tương đối tính trong đó nhóm đối xứng liên tục G(n) bị phá vỡ tự phát: G(n)→ H(m < n), H là nhóm con của G, sẽ xuất hiện các boson với hệ thức tán sắc Ei = αik. Trong gần đúng k → 0, số các boson này gọi là boson Goldstone với số lượng bằng (n−m)”. III. Tiêu chuẩn Landau về tính siêu lỏng và tính bất ổn định động lực Tính siêu lỏng là tính chất của chất lỏng lượng tử loại Bose không có độ nhớt, tốc độ chảy không bị giảm đi khi chảy dọc theo ống mao dẫn hẹp hoặc một khe nhỏ. Để tồn tại tính siêu lỏng thì vận tốc chảy của chất lỏng phải thỏa mãn điều kiện: v < min(  p ). (1) Do đó vận tốc cực tiểu có thể tạo ra các kích thích trong ngưng tụ Bose – Einstein của chất lỏng đồng nhất (gọi là điều kiện tiêu chuẩn Landau) là: vc = min( p p ), (2) trong đó p là năng lượng kích thích, p là động lượng của hệ. 3 IV. Ngưng tụ Bose - Einstein trong khí Bose Hệ Bose tương tác yếu tuân theo thống kê Bose được gọi là khí Bose: số hạt Bose - nk ở trạng thái có năng lượng Ek tuân theo quy luật thống kê: nk = −∂Ω ∂µ = 1 e k−µ T − 1 . (3) Tức là, ở một trạng thái lượng tử, hệ Bose có thể có một số tùy ý các hạt. Năm 1925, Einstein tiên đoán về mặt lý thuyết rằng ở một trạng thái lượng tử ứng với T = 0K có thể tồn tại một số tuỳ ý các hạt Bose không có chuyển động nhiệt trong một thể tích xác định nên trạng thái này rất đặc biệt, có mật độ hạt rất lớn. Hiện tượng này được gọi là ngưng tụ Bose – Einstein (BEC) và hàm phân bố Bose còn được gọi là hàm phân bố Bose – Einstein. Như vậy, BEC là trạng thái mới của vật chất xảy ra ở nhiệt độ tới hạn Tc, khi ngưng tụ xảy ra mật độ ngưng tụ tăng đột biến. Đối với hệ khí Bose hai thành phần: kí hiệu hằng số liên kết trong biểu thức Lagrangian của hệ thoả mãn phương trình Gross - Pitaevskii là λ;λ11 = λ1;λ22 = λ2 thì hệ ngưng tụ Bose - Einstein hai thành phần sẽ ở pha hoà tan nếu λ < 2 √ λ1λ2 và hệ sẽ ở pha không hoà tan nếu λ > 2 √ λ1λ2. V. Tác dụng hiệu dụng Cornwall - Jackiw - Tombolis Phương pháp tác dụng hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tombolis (CJT) tự động cho hai kết quả quan trọng dùng để xác định nghiệm vật lý của hệ (đó là phương trình khe và phương trình Schwinger - Dyson). Hơn nữa, khai triển loop của tác dụng cho ta năng lượng ở trạng thái cơ bản của hệ. Do đó tôi chọn phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT và gần đúng bong bóng kép để nghiên cứu về cấu trúc pha của ngưng tụ Bose - Einstein trong khí Bose hai thành phần ở nhiệt độ cực thấp. 4 Chương II: Cấu trúc pha của hệ ngưng tụ Bose một thành phần ở nhiệt độ cực thấp Mô hình Lagrangian của khí Bose loãng một thành phần được cho bởi: £ = φ∗(−i ∂ ∂t − ∇ 2 2m )φ− µφ∗φ+ λ 2 (φ∗φ)2, (4) trong đó µ là thế hóa học, m là khối lượng của nguyên tử Bose, λ là hằng số liên kết (λ > 0) được mô tả qua độ dài tán xạ: λ = 4pi~2a m . (5) Xét thấy Lagrangian (4) không thay đổi khi thay hàm sóng φ bằng eiαφ, hay bất biến dưới phép biến đổi pha của nhóm đối xứng Unita U(1). I. Thế hiệu dụng trong gần đúng bong bóng kép Thế hiệu dụng trong gần đúng bong bóng kép thoả mãn định lý Goldstone: V˜ CJTβ (φ0) = −µφ20 + λ 2 φ40 + 1 2 ∫ β tr lnD−1(k) + P11 2 ( 3λφ20 − µ−M ) + P22 2 ( λφ20 − µ ) + λ 8 ( P 211 + P 2 22 ) + 3λ 4 P11P22. (6) Tốc độ sóng âm khi BEC trở thành siêu lỏng trong pha bị phá vỡ là vc = C = √ M 2m . (7) II. Các tính chất vật lý của hệ Các phương trình trạng thái Dựa vào thế hiệu dụng (6) nhận được các phương trình trạng thái sau - Áp suất được định nghĩa bởi P = −V˜ CJTβ (φ0, D), (8) 5 được lấy tại cực tiểu của thế. Do đó mật độ ngưng tụ là ρ = −∂V˜ CJT β ∂µ = φ20 + P11 + P22 2 . (9) Áp suất (8) được biểu diễn theo mật độ là P = λρ2 − 1 2 ∫ β trlnD−1(k) + λρP11 − λ 2 P 211. (10) Mặt khác thông số của hàm truyền M = 2λ1ρ1 − 2λ1 ∫ β D11. (11) - Năng lượng tự do: Sử dụng biến dổi Legendre ta có năng lượng tự do E = µρ− P , E = λρ2 + 1 2 ∫ β trD−1(k) + λ 2 P 211. (12) Phương trình (10) và (12) là các phương trình cơ bản của BEC chi phối tất cả các quá trình chuyển pha của BEC. Ở nhiệt độ cao (T/µi  1) - Áp suất ở nhiệt độ cao dưới nhiệt độ tới hạn P = λρ2 + m3/2ζ(5/2) 2 √ 2pi3 T 5/2 + m3λ[ζ(3/2)]2 16pi3 T 3, - Năng lượng tự do E=−λρ2−3m 3/2λρζ(3/2) 4 √ 2pi3 T 3/2+ 3m3/2ζ(5/2) 4 √ 2pi3 T 5/2+ m3λ[ζ(3/2)]2 8pi3 T 3. Ở nhiệt độ cực thấp (T/µ ≤ 1) Biểu thức gần đúng của M trong gần đúng bậc nhất: M ' 2λρ. Từ đó thay vào các phương trình trạng thái (10) và (12) sẽ thu được áp suất, năng lượng tự do ở nhiệt độ thấp. 6 III. Cấu trúc pha của ngưng tụ Bose - Einstein trong khí Bose một thành phần ở nhiệt độ thấp Trong phần này, chúng tôi thực hiện bài toán mẫu về khảo sát cấu trúc pha của hệ khí Bose một thành phần gồm rất nhiều nguyên tử 87Rb với hằng số liên kết được chọn là λ = 10−11eV −2, khối lượng của mỗi nguyên tử là m ' 8.1010eV = 80GeV III.1 Giản đồ pha Hình 1a là giản đồ pha trong mặt phẳng (T, µ) tại λ = 10−11eV −2 và hình 1b là giản đồ pha trong mặt phẳng (T, λ) tại µ = 10−11eV (m = 8.1010eV = 80GeV ). Μ = 0 Μ < 0 Μ > 0 0 1 2 3 4 5 0 200 400 600 800 1000 Μ H10-11eVL T HnK L Hình 1: Giản đồ pha vẽ trên mặt phẳng (T, µ). III.2 Chuyển pha nhiệt Giản đồ pha ở hình 1 cho thấy rằng với một giá trị cho trước của µ, khi tăng nhiệt độ, hệ sẽ chuyển từ pha có ngưng tụ (ứng với µ¯ > 0) sang pha không có ngưng tụ (ứng với µ¯ < 0). Đó là kịch bản chuyển pha nhiệt: với giá trị xác định của thế hoá µ, sự ngưng tụ chỉ tồn tại (tức là φ0 6= 0) khi nhiệt độ nhỏ hơn một giá trị tới hạn Tc xác định. Kết luận này được khẳng định ở hình 2 ứng với λ = 10−11eV −2 và µ = 10−11eV : rõ ràng BEC chỉ tồn tại khi nhiệt độ của hệ thoả mãn T < Tc = 303nK và sự chuyển pha 7 là loại 2 do thế hiệu dụng (hình 2c) chỉ có một cực tiểu khi đi qua nhiệt độ tới hạn và khi T > Tc thì thế hiệu dụng không còn cực tiểu nữa. λ = 1×10-11eV-2 ; μ = 1×10-11eV Tc Tc = 303nK 0 100 200 300 400 500 600 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 T(nK) ϕ 0eV 3/2  (a) λ = 1×10-11eV-2 ; μ = 1×10-11eV Tc Tc = 303nK 0 100 200 300 400 500 600 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 T(nK) M * [10- 11 eV ] (b) λ = 1×10-11 eV-2 ; μ = 1×10-11 eV T = 253 nKT = 30 3 n K T = 353 nK 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 ϕ0eV3/2 V β-V ∞ (10-1 2 e V 4 ) (c) Hình 2: Sự phụ thuộc nhiệt độ của tham số trật tự φ0 (a) và thế hoá hiệu dụng M (b) tại µ = 10−11eV ; λ = 10−11eV −2 và sự phụ thuộc của thế hiệu dụng V tương ứng theo φ0 quanh nhiệt độ tới hạn Tc = 303nK (c). Theo (7), hệ trở thành bất ổn định khi M < 0 vì khi đó vận tốc âm trở thành phức. Hình 2a và 2b cho thấy: ngưng tụ chỉ xảy ra dưới nhiệt độ tới hạn Tc ứng với M > 0 mà ở đó không có bất ổn định động lực. Như vậy, tính bất ổn định động lực trong hệ liên quan chặt chẽ với sự tồn tại BEC: ngưng tụ chỉ xảy ra dưới nhiệt độ tới hạn Tc mà ở đó không có bất ổn định động lực. III.3 Chuyển pha lượng tử Giản đồ pha ở hình 1 cũng cho thấy rằng: ở một nhiệt độ xác định, khi thế hoá µ thay đổi, trong hệ khí Bose cũng có thể xảy ra chuyển pha loại hai. Đó là chuyển pha lượng tử: ở một nhiệt độ xác định, BEC chỉ tồn tại khi µ lớn hơn một giá trị tới hạn µc mà ở đó M > 0, tức là không có sự bất ổn định động lực. Kết luận này được khẳng định ở hình 3. T = 23 2 n K T = 34 8 n K λ = 10-11eV-2μc1= 0,66 x 10-11eV ; μc2 = 1,20 x 10-11eV μc1 μc2 μc3= 1,89 x 10-11eV ; μc4= 2,65 x 10-11eV μc3 μc4 T = 464 nK T = 580 nK 0 1 2 3 4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 μ(10-11eV) ϕ 0(eV 3/2 ) (a) T = 232 nK T = 348 nK T = 464 nK λ = 10-11eV-2μc1= 0,66 x 10-11eV μc1 μc2= 1,20 x 10-11eV μc2 μc3= 1,89 x 10-11eV μc3 μc4= 2,65 x 10-11eV μc4 T = 58 0 n K -1 0 1 2 3 4-2 -1 0 1 2 μ(10-11eV) M * (10- 11 eV ) (b) λ = 1×10-11 eV-2; T = 232 nK μ = 0.1 6×10 -11 e V μ = 0.6 6×10 -11 e V μ = 1.1 6×10 -11 e V 0.0 0.5 1.0 1.5 0 5 10 15 ϕ0eV3/2 V β-V ∞(10 -12 e V 4 ) (c) Hình 3: Sự phụ thuộc vào µ của φ0 (a) và M (b) tại λ = 10−11eV −2 và ứng với một số giá trị của T ; Sự phụ thuộc của thế hiệu dụng V theo φ0 xung quanh giá trị tới hạn của thế hoá µc = 0.66× 10−11eV tại λ = 10−11eV −2 và T = 232nK (c). 8 IV. Kết luận của chương II Vận dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở mật độ và nhiệt độ hữu hạn, chương II đã nghiên cứu các kịch bản pha của BEC trong khí Bose một thành phần và đạt được các kết quả chính như sau: 1. Thu được biểu thức giải tích cho thế hiệu dụng trong gần đúng bong bóng kép thoả mãn định lý Goldstone. Từ đó rút ra phương trình trạng thái và xét các tính chất chung của hệ ở vùng nhiệt độ cao và cực thấp. 2. Đã chứng minh rằng ngưng tụ là siêu lưu ở pha đối xứng bị phá vỡ. 3. Đã khảo sát chi tiết cấu trúc pha và chỉ ra rằng chuyển pha nhiệt hay chuyển pha lượng tử trong hệ khí Bose một thành phần đều là chuyển pha loại hai. 4. Đã chứng tỏ rằng ngưng tụ Bose - Einstein chỉ xảy ra khi không có bất ổn định động lực trong hệ. Chương III. Cấu trúc pha của hệ ngưng tụ Bose hai thành phần ở nhiệt độ cực thấp Mô hình Lagrangian của khí Bose hai thành phần thoả mãn phương trình Gross - Pitaevskii: £=φ∗ ( −i~ ∂ ∂t −~ 2∇2 2m1 ) φ+ψ∗ ( −i~ ∂ ∂t −~ 2∇2 2m2 ) ψ−V (φ, ψ), (13) V (φ, ψ)=µ1φ ∗φ+ µ2ψ∗ψ−λ1 2 (φ∗φ)2−λ2 2 (ψ∗ψ)2−λ 2 (φ∗φ)(ψ∗ψ), trong đó µ1, (µ2) là kí hiệu thế hóa học của trường φ, (ψ); m1 ,(m2) là khối lượng của nguyên tử φ và nguyên tử ψ; λ1, λ2, λ là các hằng số liên kết. λi = 4pi~2 mi ai, i = 1, 2; λ = 4pi~2 m12 a12; vớim12 = m1m2 m1+m2 gọi là khối lượng rút gọn. Xét thấy Lagrangian (13) không thay đổi khi thay hàm sóng φ bằng eiαφ ; ψ bằng eiβψ hay Lagrangian là bất biến dưới phép biến đổi pha của nhóm đối xứng Unita U(1)×U(1). 9 I. Thế hiệu dụng trong gần đúng bong bóng kép Thế hiệu dụng trong gần đúng bong bóng kép thoả mãn định lý Goldstone: V˜ CJTβ (φ0, ψ0) = −µ1φ20+ λ1 2 φ40−µ2ψ20+ λ2 2 ψ40+ λ 2 φ20ψ 2 0 + 1 2 ∫ β tr { lnD−1(k)+lnG−1(k) } + 1 2 ( −M1−µ1+3λ1φ20+ λ 2 ψ20 ) P11+ 1 2 ( − µ1+λ1φ20+ λ 2 ψ20 ) P22 + 1 2 ( −M2−µ2+3λ2ψ20+ λ 2 φ20 ) Q11 + 1 2 ( − µ2+λ2ψ20+ λ 2 φ20 ) Q22 + λ1 8 P 211 + λ1 8 P 222 + 3λ1 4 P11P22 + λ2 8 Q211 + λ2 8 Q222 + 3λ2 4 Q11Q22 + λ 8 ( P11Q11 + P11Q22 + P22Q11 + P22Q22 ) , (14) trong đó M1=−µ1+3λ1φ20+ λ 2 ψ20+Σ φ 1 ; M2=−µ2+3λ2ψ20+ λ 2 φ20+Σ ψ 1 . Sử dụng thế hoá học hiệu dụng: µ1 = µ1 − Σφ2 ; µ2 = µ2 − Σψ2 , ta có φ20 2 = 2µ1λ2−µ2λ 4λ1λ2−λ2 = A 4λ1λ2−λ2 ; ψ20 2 = 2µ2λ1−µ1λ 4λ1λ2−λ2 = B 4λ1λ2−λ2 . (15) Suy ra, tồn tại đồng thời hai thành phần ngưng tụ φ0 và ψ0 khi điều kiện sau được thoả mãn: (4λ1λ2 − λ2)(2µ¯1λ2 − µ¯2λ) > 0, (4λ1λ2 − λ2)(2µ¯2λ1 − µ¯1λ) > 0. (16) Ở nhiệt độ thấp, xung lượng của các hạt nhỏ (‖k|  1), năng lượng của các mode Goldstone là Eφ = √√√√ ~k2 2mφ ( ~k2 2mφ +M1 ) −→ √ M1 2mφ · k, khi k → 0, (17) Eψ = √√√√ ~k2 2mψ ( ~k2 2mψ +M2 ) −→ √ M2 2mψ · k, khi k → 0. (18) 10 Tốc độ âm thanh trong ngưng tụ khi có siêu lỏng là Cφ = √ M1 2mφ , Cψ = √ M2 2mψ . (19) Như vậy, tính bất ổn định động lực xảy ra đối với thành phần ngưng tụ j khi tính siêu lỏng bị phá vỡ. Tức là khi Mj < 0 (20) tương ứng với vùng không có ngưng tụ. Nói cách khác, nơi nào có ngưng tụ thì nơi đó không xảy ra bất ổn định động lực. II. Phương trình trạng thái - Áp suất: P = − V˜ CJTβ (φ0, ψ0, D,G) ∣∣∣ ở cực tiểu (21) và mật độ ngưng tụ: ρi = ∂P ∂µi , i = 1, 2. Do đó: ρ1 = − ∂V˜ CJTβ ∂µ1 = φ20 + P11 2 + P22 2 , ρ2 = − ∂V˜ CJTβ ∂µ2 = ψ20 + Q11 2 + Q22 2 (22) và các mật độ hạt của các thành phần ngưng tụ là ρφ = ρ1 − P11 + P22 2 , ρψ = ρ2 − Q11 +Q22 2 . (23) Vì vậy M1 = 2λ1ρ1 − 2λ1P11 M2 = 2λ2ρ2 − 2λ2Q11. (24) Thay vào biểu thức áp suất ta có: P = λ1 2 ρ21+ λ2 2 ρ22+ λ 2 ρ1ρ2−1 2 ∫ β tr { lnD−1(k)+lnG−1(k) } −λ1 2 P 211− λ2 2 Q211+λ1ρ1P11 + λ2ρ2Q11. (25) 11 - Năng lượng tự do: E = µ1ρ1 + µ2ρ2 − P . suy ra E = λ1 2 ρ21+ λ2 2 ρ22+ λ 2 ρ1ρ2+ 1 2 ∫ β tr { lnD−1(k) + lnG−1(k) } + λ1 2 P 211+ λ2 2 Q211. (26) Nhiệt độ tới hạn Sử dụng khai triển nhiệt độ cao của các tích phân trong thế hiệu dụng (14) nhận được nhiệt độ tới hạn: Tc1 = 2pi [ 2(λµ2 − 2λ2µ1) (m 3/2 φ λ 2 +m 3/2 ψ λλ2 − 8m3/2φ λ1λ2)ζ(3/2) ]2/3 , Tc2 = 2pi [ 2(λµ1 − 2λ1µ2) (m 3/2 ψ λ 2 +m 3/2 φ λλ1 − 8m3/2ψ λ1λ2)ζ(3/2) ]2/3 , (27) trong đó ζ(z) là hàm zeta Riemann. Ở nhiệt độ thấp Lấy gần đúng bậc nhất của khối lượng hiệu dụng, nhận được M1 ' 2λ1ρ1, M2 ' 2λ2ρ2. (28) Từ đó thay vào biểu thức của thế hóa, áp suất và năng lượng tự do ta sẽ có biểu thức tương ứng ở nhiệt độ thấp. III. Cấu trúc pha của BEC trong khí Bose hai thành phần ở nhiệt độ cực thấp Trong mục này, tương tự như ở chương II, chúng tôi thực hiện bài toán mẫu về khảo sát cấu trúc pha của hệ khí Bose hai thành phần (hoà tan; không hoà tan) có khối lượng rút gọn là m = 80GeV (hệ gồm các hạt 85Rb 12 và 87Rb) để tìm ra các hiện tượng mới với bộ giá trị các tham số phù hợp và khẳng định vai trò của tính ổn định động lực đối với sự hình thành các pha trong khí Bose hai thành phần ở nhiệt độ cực thấp. Bộ giá trị của các tham số được chọn dựa trên hai tiêu chí: Thứ nhất, giá trị của các tham số thuộc vùng mà thực nghiệm có thể điều chỉnh được (cỡ vài nm); Thứ hai, bộ tham số được chọn nhằm thoả mãn kịch bản nghiên cứu mong muốn như SR, SNR hoặc ISB. III. 1 Đối với hệ hai thành phần hoà tan III. 1. 1 Giản đồ pha TCP A = 0 B = 0 (1)(2) (3) (4) (1): A > 0, B > 0, ϕ0 > 0, ψ0 > 0(2): A > 0, B 0, ψ0 = 0(3): A 0, ϕ0 = 0, ψ0 > 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0 500 1000 1500 μ210-12eV T (nK) Hình 4: Giản đồ pha tồn tại ba pha và một sa mạc. TCP là điểm tới hạn bốn. Trong phần tính số, giá trị của m luôn là m = 8.1010eV = 80GeV . Hình 4 là giản đồ pha trên mặt phẳng (T, µ2) ứng với bộ tham số: λ1 = 5× 10−12eV −2, λ2 = 0.4×10−12eV −2, λ = 2×10−12eV −2 và µ1 = 5×10−12eV . Lưu ý rằng, bộ giá trị của các tham số được chọn dựa trên hai tiêu chí: Thứ nhất, giá trị của các tham số thuộc vùng mà thực nghiệm có thể điều chỉnh được (cỡ vài nm); Thứ hai, bộ tham số được chọn nhằm thoả mãn kịch bản nghiên cứu mong muốn vì thực nghiệm đã chứng tỏ rằng các loại chuyển pha có thể được tạo ra bằng cách đơn giản là điều chỉnh các tham số (như đã dẫn ra ở phần mở đầu). Hình 4 cho thấy tồn tại ba pha khác nhau (φ0 6= 0, ψ0 6= 0), (φ0 6= 0, ψ0 = 0), (φ0 = 0, ψ0 6= 0) và một sa mạc (φ0 = 0, φ = 0) được ngăn cách bởi các đường A = 0, B = 0 và điểm tới 13 hạn bốn (TCP). III.1.2 Chuyển pha nhiệt ρϕ ρψ ρ1 ρ2 Tcϕ Tcψ Tcϕ=162.63 nK Tcψ=1974.63 nK 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 5 10 15 20 T(nK) de ns ity eV3  (a) ψ0=2.6 eV3/2μ2=1.5×10-12 eV T=113 nK T=163 nK T=213 nK 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ϕ0eV3/2 V C JT -V 0CJ T eV4  (b) ϕ0=0 eV3/2μ2=1.5×10-12 eV T=192 5 n K T=197 5 n K T=202 5 n K 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 -20 0 20 40 60 80 100 ψ0 eV3/2 V C JT -V 0CJ T eV4  (c) Hình 5: Sự phụ thuộc nhiệt độ của các mật độ hạt (a), sự phụ thuộc của thế hiệu dụng vào các tham số trật tự (b); (c) tại µ2 = 1.5× 10−12eV . Hình 4 cho thấy với một giá trị xác định của µ2, hệ trải qua chuyển pha nhiệt khi điều chỉnh nhiệt độ, xảy ra ở nhiệt độ tới hạn Tcφ , Tcψ là điểm giao của đường thẳng µ2 = const với đường A = 0, B = 0, trong đó Tcφ (Tcψ) tương ứng là các nhiệt độ tới hạn của hai thành phần ngưng tụ: • Kịch bản pha phục hồi đối xứng (SR) xảy ra đối với cả hai thành phần ngưng tụ và sự chuyển pha là loại hai ứng với giá trị của thế hoá thoả mãn µ2(TCP ) < µ2 < 2.0 × 10−12eV , trong đó µ2(TCP ) = 0.85× 10−12eV là hoành độ của điểm tới hạn bốn. Kết luận này được khẳng định ở hình 5. • Kịch bản pha phục hồi đối xứng (SR) đối với thành phần thứ nhất (φ0); phá vỡ đối xứng nghịch đảo (ISB) đối thành phần thứ hai (ψ0) và sự chuyển pha cũng là loại hai, xảy ra khi 0.74 × 10−12eV < µ2 < µ2(TCP ). Kết luận này được khẳng định ở hình 6. Hình 6d cho thấy kịch bản pha SR đối với thành phần đầu tiên và ISB đối với thành phần thứ hai là hoàn toàn có thể xảy ra trong tự nhiên bởi vì nhiệt dung đẳng tích tương ứng của các pha đó có giá trị dương (ứng với nhánh dương của đồ thị CV theo nhiệt độ T ). • Kịch bản pha phục hồi đối xứng xảy ra ở nhiệt độ cao hơn đối với thành phần thứ hai ứng với µ2 > 2.0 × 10−12eV , được minh hoạ ở 14 ϕ0 ψ0 Tcϕ=287.87 nK Tcψ1=342.86 nK Tcψ2=946.92 nK TcϕTcψ1 Tcψ2 0 200 400 600 800 1000 1200 0.0 0.5 1.0 1.5 T(nK) ϕ 0,ψ 0 eV 3/2  (a) M1 M2 Tcϕ=287.87 nK Tcψ1=342.86 nK Tcψ2=946.92 nK Tcϕ Tcψ1 Tcψ2 0 200 400 600 800 1000 1200 -2 0 2 4 6 8 10 T(nK) M 1, M 210-12 e V (b) ρϕ ρψ ρ1 ρ2 Tcϕ=287.87 nK Tcψ1=342.86 nK Tcψ2=946.92 nK TcϕTcψ1 Tcψ2 0 200 400 600 800 1000 1200 0 1 2 3 4 5 T(nK) de ns ity eV3  (c) Tcϕ=287.87 nK Tcψ1=342.86 nK Tcψ2=946.92 nK Tcϕ Tcψ1 Tcψ2 0 200 400 600 800 1000 1200 -5 0 5 10 15 20 T(nK) C v eV3  (d) Hình 6: Sự phụ thuộc nhiệt độ của các tham số trật tự (a) và M1;M2 (b); các mật độ hạt ngưng tụ (c) và nhiệt dung tại giá trị µ2 = 0.8 × 10−12eV . Sự phụ thuộc của nhiệt dung đẳng tích tương ứng vào nhiệt độ (d) hình 7: rõ ràng không xảy ra ngưng tụ đối với thành phần thứ nhất và xảy ra ngưng tụ đối với thành phần thứ hai khi nhiệt độ của hệ nhỏ hơn nhiệt độ tới hạn Tcψ = 2592.34nK, khi nhiệt độ lớn hơn nhiệt độ tới hạn cả hai thành phần ngưng tụ cũng như mật độ hạt đều bằng không. Hình 7d cho thấy rằng kịch bản pha này cũng hoàn toàn có thể tồn tại trong tự nhiên. III.1.3 Chuyển pha lượng tử Giản đồ pha ở hình 4 cho thấy tồn tại hai vùng khác nhau rõ rệt: vùng nhiệt độ thấp dưới 400nK tồn tại hai thành phần ngưng tụ và vùng nhiệt độ cao hơn 400nK chỉ tồn tại thành phần ngưng tụ thứ hai (ψ) hay (ψ0). Hình 4 cũng cho thấy rằng với nhiệt độ thuộc khoảng 0 ≤ T ≤ 300 nK, cả hai thành phần đều ngưng tụ ở cùng một nhiệt độ, trong đó 300nK là nhiệt độ của điểm tới hạn bốn. Điều đó được khẳng định ở hình 8a khi chọn T = 5nK, tuy nhiên trạng thái này không tồn tại trong tự nhiên vì nhiệt dung đẳng tích của trạng thái này là âm ở hình 8b. Hình 9 cho thấy sự chuyển pha xảy ra trong hệ đối với hai thành phần đều là loại hai. Tiếp 15 ϕ0 ψ0 Tcψ Tcψ=2592.34 nK 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 1 2 3 4 T(nK) ϕ 0,ψ 0e V3 /2  (a) M1 M2 Tcψ Tcψ=2592.34 nK 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 -20 -15 -10 -5 0 5 10 T(nK) M 1, M 210-12 e V (b) ρϕ ρψ ρ1 ρ2 Tcψ Tcψ=2592.34 nK 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 5 10 15 20 25 30 35 T(nK) de ns ity eV3  (c) Tcψ=2592.34 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 0 20 40 60 80 100 T(nK) C v eV3  (d) Hình 7: Sự phụ thuộc vào nhiệt độ T của các tham số trật tự (a), các thế hoá hiệu dụng M1, M2 (b), các mật độ hạt (c) và sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung đẳng tích tương ứng tại giá trị µ2 = 2.3× 10−12eV (d). T = 5 nK ρ1 ρ2 μ2 ϕμ2 ψ 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0 10 20 30 40 μ210-12 MeV de ns ity eV3  ρe1ρe2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -0.010.00 0.01 0.02 0.03 0.04 (a) μ2 ϕμ2 ψ 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 μ210-12 eV C v eV3  (b) Hình 8: Sự phụ thuộc vào µ2 của các mật độ hạt (a) và của nhiệt dung đẳng tích tại T = 5 nK (b). theo, ta xét vùng nhiệt độ T > 400nK là vùng chỉ có thành phần thứ hai ngưng tụ, xảy ra khi nhiệt độ không đổi và µ2 > µ2(TCP ). Kết luận này được khẳng định ở hình 10a khi chọn T = 500nK. Sự tồn tại của kịch bản pha này trong tự nhiên được khẳng định hoàn toàn ở hình 10b mô tả sự phụ thuộc của nhiệt dung đẳng tích vào thế hoá học µ2: giá trị của nhiệt dụng đẳng tích luôn dương và có kì dị tại điểm tới hạn của thế hoá học. Như vậy, mối liên hệ chặt chẽ giữa tính ổn định động lực của hệ và sự tồn tại ngưng tụ một lần nữa được khẳng định: tính ổn định động lực đảm bảo 16 T = 5 nK μ2=1.5×10-12 eV, ψ0=2.29 eV3/2μ2=2.0×10-12 eV, ψ0=3.15 eV3/2 μ2=2.5×10-12 eV, ψ0=3.85 eV3/2 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 0 2 4 6 8 10 ϕ0eV3/2 V C JT -V 0CJ T eV4  (a) T = 5 nKμ2=1.43×10-12 eV, ψ0=1.01 eV3/2μ2=0.93×10-12 eV, ψ0=1.35 eV3/2μ2=0.43×10-12 eV, ψ0=1.62 eV3/2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ψ0 eV3/2 V C JT -V 0CJ T eV4  (b) Hình 9: Sự phụ thuộc của thế hiệu dụng vào φ0 quanh giá trị µ2φ = 2.01 × 10−12eV (a) và ψ0 quanh giá trị µ2ψ = 0.93× 10−12eV (b) ở T = 5 nK. T = 500 nK ρϕ ρψ ρ1ρ2μ2 ψ=0.77 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 5 10 15 20 μ210-12 MeV de ns ity eV3  (a) μ2 ψ=0.77 0 1 2 3 4 5 0 2 4 6 8 μ210-12 eV C v eV3  (b) Hình 10: Sự phụ thuộc vào µ2 của các mật độ hạt (a) và của nhiệt dung đẳng tích (b) tại T = 500 nK. cho sự xuất hiện của BEC trong hệ. III.1.4 Thí nghiệm phát hiện Trước tiên, chúng ta cần chuẩn bị hệ ngưng tụ BEC hai thành phần chuẩn với thế hoá học của một trong hai thành phần ngưng tụ là xác định và số các nguyên tử của thành phần ngưng tụ thứ hai có thể thay đổi. • Xảy ra quá trình ISB đối với thành phần ngưng tụ thứ hai trong khi không tồn tại thành phần thứ nhất: điều chỉnh các biến tương ứng với hình 6 để hệ ở trạng thái cân bằng và đặt hệ tiếp xúc với tác nhân sao cho thế hoá và nhiệt độ cho trước không đổi: µ1 = 5 × 10−12eV , µ2 = 0.8× 10−12eV và T = Tcψ1 ' 343 nK. Số hạt N2 của thành phần thứ hai được thêm vào nhưng không đạt tới số tới hạn ở nhiệt độ này 17 N2c(Tcψ1). Tiếp theo, ở nhiệt độ cao hơn T = Tcψ1+∆T , tiếp tục thêm số hạt vào cho đến khi đạt đến số tới hạn N2c(Tcψ1 + ∆T ). • Sự ngưng tụ của các thành phần ở nhiệt độ không đổi trong khi thế hoá thay đổi. Về mặt vật lý, quá trình này được hiểu là quá trình gồm một chuỗi các quá trình tương ứng với nhiều giá trị của thế hoá, µ2j, 1 ≤ j ≤ A. Bước đầu tiên, hệ được chuẩn bị ở nhiệt độ T = 500 nK và µ2 = µcψ = 0.77× 10−12eV , cho hệ tiếp xúc với tác nhân. Sau đó ta thêm vào hệ số hạt của loại ngưng tụ thứ hai sao cho không đạt được số tới hạn N2c(µcψ). Tiếp theo, ta đưa hệ ở giá trị cao hơn của thế hoá µ2, µ2 = µ2j, (j = 2, 3, ...) và thêm vào hệ số hạt của loại ngưng tụ thứ hai cho đến khi đạt được số tới hạn N2c(µ2j). III.2 Đối với hệ khí Bose hai thành phần không hoà tan III.2.1 Giản đồ pha A < 0A = 0 A < 0 B < 0 B > 0 A > 0 B > 0 B = 0 TCP A > 0 B < 0 ϕ0= 0ψ0≠ 0 ϕ0≠ 0ψ0≠ 0 ϕ0≠ 0ψ0= 0 ϕ0= 0ψ0= 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 200 400 600 800 μ210-12eV T (nK) Hình 11: Giản đồ pha ứng với ba pha (φ0 6= 0, ψ0 = 0), (φ0 6= 0, ψ0 6= 0), (φ0 = 0, ψ0 6= 0) và một sa mạc (φ0 = 0, ψ0 = 0) . TCP là điểm tới hạn bốn. Giản đồ pha trên mặt phẳng (T, µ2) biểu diễn các vùng phân cách bởi các đường A(T, µ2) = 0 ; B(T, µ2) = 0 ứng với các giá trị cho trước của các tham khác. Để vẽ giản đồ pha, trước hết cần chọn giá trị µ1; λ1;λ2;λ với khối lượng m của hạt luôn là m = 8.1010eV = 80GeV . Hình 11 là giản đồ pha trên mặt phẳng (T, µ2) ứng với bộ tham số: λ1 = 5×10−12eV −2, λ2 = 0.4×10−12eV −2, λ = 4×10−12eV −2, µ1 = 5×10−12eV . 18 Giản đồ pha cho thấy có ba pha không hoà tan khác nhau của hệ và một sa mạc (φ0 = 0, ψ0 = 0). III.2.2 Chuyển pha nhiệt ψ0 ϕ0 TcϕTcψ 0 100 200 300 400 500 600 700 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 T(nK) ϕ 0,ψ 0 eV3/2  (a) M1 M2 Tcϕ Tcψ 0 100 200 300 400 500 600 700 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 T(nK) M 1 ,M 2 eV3/2  (b) Hình 12: Sự phụ thuộc vào T của các tham số trật tự φ0, ψ0 và thế hoá hiệu dụng M1,M2 với µ2 = 1.5×10−12eV , với Tcφ = 589nK là nhiệt độ tới hạn của thành phần thứ nhất, Tcψ = 162nK là nhiệt độ tới hạn của thành phần ngưng tụ thứ hai. ψ0 = 0 eV3/2 T=489 nK T=589 nK T=689 nK 0.5 1.0 1.5 2.0 -5 0 5 10 15 20 ϕ0eV3/2 V C JT -V 0C JT eV4  (a) ϕ0=0.99 eV3/2 T=112 nK T=162 nK T=212 nK 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 ψ0 eV3/2 V C JT -V 0C JT eV4  (b) Tcψ Tcϕ 0 200 400 600 800 0 5 10 15 T(nK) C v eV3  (c) Hình 13: Sự phụ thuộc vào các tham số trật tự φ0, ψ0 của thế hiệu dụng với một giá trị xác định của µ2 và vài giá trị nhiệt độ xung quanh nhiệt độ tới hạn (a); (b). Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung đăng tích tương ứng với tham số ở hình 13a; 13b. Giản đồ pha ở hình 11 cho thấy: 1. Với mỗi giá trị không đổi của µ2 thuộc vùng: 10 −12eV < µ2 < 2.12× 10−12eV : khi nhiệt độ hạ xuống đến giá trị tới hạn là nhiệt độ của điểm giao giữa các đường A = 0, B = 0 với đường thẳng song song với trục tung tại mỗi giá trị của µ2, xảy ra BEC đối với cả hai thành phần. Hơn nữa trong trường hợp này hai thành phần ngưng tụ đều bị phá vỡ đối xứng tại T = 0 và được phục hồi đối xứng ở nhiệt độ cao hơn hay xảy ra kịch bản pha là phục hồi đối xứng, sự chuyển pha là loại 2. Kết luận này được 19 khẳng định ở hình 12, 13. Hình 13c chứng tỏ sự tồn tại trong tự nhiên của kịch bản pha này. ψ0 ϕ0 Tcψ= 374nK 0 100 200 300 400 500 600 700 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 T(nK) ϕ 0,ψ 0 eV3/ 2  (a) M1 M2 Tcψ = 374nK 0 100 200 300 400 500 600 700 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 T(nK) M 1 ,M 2 eV3/ 2  (b) Tcψ=374nK 0 200 400 600 800 0 5 10 15 T(nK) C v eV3  (c) Hình 14: Sự phụ thuộc của các tham số trật tự vào nhiệt độ T ứng với µ2 = 0.8× 10−12eV (a); (b). Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung đăng tích tương ứng (c). ψ0 ϕ0 Tcψ= 1160nK 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 T(nK) ϕ 0,ψ 0 eV3/2  (a) M1 M2 Tcϕ = 1160nK 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 T(nK) M 1 ,M 2 eV3/2  (b) T cψ=1 16 0n K 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 10 20 30 40 50 T(nK) C v eV3  (c) Hình 15: Sự phụ thuộc của các tham số trật tự vào nhiệt độ T ứng với µ2 = 2.3× 10−12eV (a); (b). Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung đẳng tích tương ứng (c) 2. Với µ2 < 10 −12eV , xảy ra kịch bản pha phục hồi đối xứng đối với thành phần ngưng tụ thứ hai trong khi không tồn tại thành phần thứ nhất. Điều đó được khẳng định ở hình 14a; 14b và sự tồn tại của kịch bản pha này được chứng tỏ ở hình 14c. 3. Với µ2 > 2.12× 10−12eV , xảy ra kịch bản pha phục hồi đối xứng đối với thành phần ngưng tụ thứ nhất trong khi không tồn tại thành phần thứ hai. Kết luận này được khẳng định ở hình 15. III.2.3 Chuyển pha lượng tử Giản đồ pha ở hình 11 bao gồm hai vùng nhiệt độ với sự khác nhau rõ rệt về sự tồn tại ngưng tụ: 1. Vùng nhiệt độ T < 585nK: kịch bản pha phục hồi đối xứng xảy ra đối với cả hai thành phần ngưng tụ và tồn tại BEC ở cùng một nhiệt độ 20 T = 5 nK M1 M2 Μ2=1.00 Μ2=1.86 0 1 2 3 4 5 -40 -20 0 20 40 Μ2I10-12eV-2M M 1 ,M 2 I10 - 12 eV M (a) T = 5 nK Φ0 Ψ0 Μ2= 1.00 Μ2= 1.86 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0 1 2 3 4 Μ2I10-12eV-2M Φ 0 ,Ψ 0 IeV 32 M (b) Hình 16: Sự phụ thuộc của các tham số trật tự (a) và M1;M2 vào µ2 ở T = 5nK (b). T = 5 nK μ2=1.5×10-12 eV, ψ0=1.475 eV3/2μ2=1.0×10-12 eV, ψ0=2.23 eV3/2 μ2=0.5×10-12 eV, ψ0=2.74 eV3/2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -2 0 2 4 6 8 10 ϕ0eV3/2 V CJ T -V ∞CJT eV4  (a) T = 5 nKμ2 = 2.36×10-12eV, ϕ0 = 1.71 eV3/2 μ2 = 1.86×10-12 eV, ϕ0 = 1.35 eV3/2 μ2 = 1.36×10-12 eV, ϕ0= 0.71 eV3/2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ψ0 eV3/2 V CJ T -V ∞CJT eV4  (b) Hình 17: Sự phụ thuộc của thế hiệu dụng vào các tham số trật tự φ0, ψ0 xung quanh giá trị tới hạn µ2φ và µ2φ ở T = 5nK. đối với cả hai thành phần ngưng tụ với µ2 thuộc vùng 10 −12eV < µ2 < 1.86 × 10−12eV . Trong vùng µ2 > 1.86 × 10−12eV , chỉ tồn tại thành phần ngưng tụ thứ nhất khi nhiệt độ không đổi, trong khi chỉ tồn tại thành phần ngưng tụ thứ hai trong vùng µ2 < 10 −12eV khi nhiệt độ không đổi. Kết luận này được khẳng định ở hình 16 với T = 5nK, hình 17 cho thấy chuyển pha của hệ cũng là loại hai. Sự tồn tại của kịch bản pha này được chứng tỏ ở hình 19a. 2. Vùng nhiệt độ lớn hơn 585nK: không tồn tại thành phần ngưng tụ nào với µ2 < 1.4 × 10−12eV và chỉ tồn tại thành phần ngưng tụ thứ nhất ứng với vùng mà µ2 > 1.4 × 10−12eV , sự chuyển pha là loại hai ứng với kịch bản pha là không phục hồi đối xứng. Kết luận này được khẳng định ở hình 18 và kịch bản pha này hoàn toàn tồn tại trong tự nhiên (hình 19b). 21 T = 650 nK M1 M2 Μ2=1.57 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -20 -10 0 10 20 Μ2I10-12eV-2M M 1 ,M 2 I10 - 12 eV M (a) T = 650 nK Φ0 Ψ0 Ψ0 Μ2= 1.57 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0 1 2 3 4 Μ2I10-12eV-2M Φ 0 ,Ψ 0 IeV 32 M (b) Hình 18: Sự phụ thuộc của các tham số trật tự và khối lượng hiệu dụng vào µ2 ở T = 650nK. Μ 2 = 1. 00 Μ 2 = 1. 86 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Μ2HeVL C vIeV 3 M (a) Μ 2 = 1. 57 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0 5 10 15 20 Μ2HeVL C vIeV 3 M (b) Hình 19: Sự phụ thuộc của Cv vào µ2 với T = 5nK (a); Sự phụ thuộc của nhiệt dung đẳng tích vào µ2 ở nhiệt độ T = 650nK (b). III.4 Kết luận của chương III Trong chương III, vận dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT ở mật độ và nhiệt độ hữu hạn, chúng tôi đã nghiên cứu cấu trúc pha của BEC trong khí Bose hai thành phần và đạt được các kết quả như sau: A. Đối với phần tính giải tích 1. Dựa vào thế hiệu dụng CJT thoả mãn định lý Goldstone để thiết lập các phương trình khe và các phương trình trạng thái cho áp suất (P ) và năng lượng (E) của hệ ở nhiệt độ cao và nhiệt độ cực thấp. 2. Xác định được phổ năng lượng của hạt ngưng tụ chứng tỏ tính siêu lưu của ngưng tụ Bose - Einstein: Ej = √ M∗j 2mj · k, khi k → 0 và i, j = 1, 2. Xảy ra bất ổn định động lực nếu Mj < 0, khi đó trạng thái siêu lưu của ngưng tụ j không tồn tại. B. Đối với phần tính số Các kết quả chính thu được như sau: 22 1. Đã đưa ra đầy đủ các tính chất tổng quát về chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử trong hệ khí Bose hai thành phần. 2. Đã chứng tỏ rằng trong vùng tham số ở đó xảy ra bất ổn định động lực thì không xảy ra ngưng tụ Bose - Einstein: Tính ổn định động lực là yếu tố chính quyết định sự tồn tại của ngưng tụ và sự phá vỡ đối xứng của hệ. Đối với mọi bộ tham số được chọn, ngưng tụ chỉ tồn tại trong vùng hệ ở trạng thái bền động lực (Mj > 0, j = 1, 2 và φj0 6= 0) hay tương ứng với sự phá vỡ tự phát của nhóm đối xứng U(1). 3. Đã chứng tỏ rằng quá trình ngưng tụ Bose - Einstein là một chuyển pha loại hai và xảy ra theo một trong hai kịch bản sau: - Đối xứng của hệ bị phá vỡ ở nhiệt độ T = 0 và được phục hồi khi nhiệt độ tăng. Đây gọi là quá trình SR. - Đối xứng của hệ không bị phá vỡ ở nhiệt độ T = 0 nhưng bị phá vỡ ở nhiệt độ T = Tc > 0 và được phục hồi khi nhiệt độ tăng. Đây gọi là quá trình ISB - SR. Chúng tôi đã chỉ ra rằng kịch bản này hoàn toàn có thể xảy ra trong BEC vì nhiệt dung đẳng tích tương ứng là dương, Cv > 0. 4. Đã chứng tỏ rằng luôn xuất hiện sự ngưng tụ lượng tử đối với một hoặc cả hai thành phần ngưng tụ tại mỗi giá trị xác định của nhiệt độ cực thấp trong khi µ2 thay đổi. Lúc này cũng xảy ra một trong hai kịch bản SR hoặc ISB - SNR và cả hai kịch bản này đều ứng với Cv > 0 nên đều hoàn toàn có thể tồn tại trong BEC. 5. Kết quả tính số đã cho phép xác định trạng thái chân không của hạt j - trạng thái tại đó tổng số hạt j bằng không, ρj = 0. Thực vậy, để xác định trạng thái chân không cho một hạt, ta điều chỉnh tham số để cho Mj < 0 tại T = 0. Khi đó BEC không xảy ra ở T = 0 và như vậy ρj(T = 0) = 0. Như vậy, trạng thái Mj(T = 0) = 0 chính là trạng thái chân không của hạt j. Điều chỉnh nhiệt độ T ta có thể tạo ra các trạng thái với một số ít hạt từ trạng thái chân không. 23 IV. Kết luận Trong luận án này, trên cơ sở sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT trong khuôn khổ lý thuyết Gross - Pitaevskii, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc pha của BEC một thành phần và đã tìm ra hai hiện tượng vật lý mới trong cấu trúc pha BEC, chưa từng được công bố trong bất kì công trình khoa học nào. Đó là: 1. Hiện tượng ISB đối với khí Bose hai thành phần: phá vỡ đối xứng của hệ chỉ xảy ra khi nhiệt độ T > 0. 2. Bất ổn định động lực ngăn cấm khí Bose ngưng tụ. Ngoài ra luận án còn thu được một số kết quả quan trọng, đáng quan tâm khác như: 1. Đã tính được thế hiệu dụng CJT thoả mãn định lý Goldstone và chứng tỏ rằng ngưng tụ Bose - Einstein có tính siêu lưu. Từ đó thiết lập được phương trình khe và các phương trình trạng thái cho áp suất (P ) và năng lượng (E) của hệ ở nhiệt độ cao và nhiệt độ cực thấp. 2. Đã tìm ra các tính chất tổng quát về chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử trong hệ khí Bose hai thành phần. 3. Đã khẳng định rằng tồn tại hai kịch bản SR, ISB đối với một thành phần ngưng tụ hoặc cả hai thành phần tại mỗi giá trị cho trước của nhiệt độ T hoặc µ2. 4. Đã khẳng định rằng quá trình ngưng tụ Bose - Einstein là một chuyển pha loại hai. 5. Đã khẳng định rằng: với giá trị thích hợp của µ2, ngưng tụ lượng tử xảy ra ở nhiệt độ cực thấp đối với một hoặc cả hai thành phần ngưng tụ. 6. Xác định được trạng thái chân không của hạt j. Như vậy, mục tiêu của luận án đã được hoàn thành và các kết quả nghiên cứu mới của luận án có ý nghĩa quan trọng trong vật lý về các hệ ngưng tụ Bose - Einstein nói riêng cũng như đóng góp vào sự phát triển của vật lý các ngưng tụ nói chung. 24 Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 1. Tran Huu Phat, Le Viet Hoa and Dang Thị Minh Hue (2014), Phase structure of Bose – Einstein condensate in ultra cold Bose gases, Commu- nications, Vol 24, No. 4, pp. 343-351. 2. Le Viet Hoa, Nguyen Tuan Anh, Nguyen Chinh Cuong and Dang Thi Minh Hue (2015), Hydrodynamic instabilities of two–component Bose – Einstein condensates, Journal of Science–Mathematical and Physical Sci- ence, Vol. 60, No. 7, pp. 121-128. (ISSN 2354-1075). 3. Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh, Le Viet Hoa, and Dang Thi Minh Hue (2016), Phase structure of binary Bose - Einstein condensates at finite temperature, International Journal of Modern Physics B, Vol. 30, No. 26, pp 1-18 (1650195), DOI: 10.1142/SO217979216501952. 4. Tran Huu Phat, Nguyen Tuan Anh, Le Viet Hoa, and Dang Thi Minh Hue (2016), Quantum condensation in two-component system of atoms, Journal of Science of HNUE–Mathematical and Physical Science Vol. 61, No. 7, pp. 39 - 44 (ISSN 2354-1059) 25