Toán rời rạc - Chương VI: Tích phân bất định

    Toaùn cao caáp : Giaûi tích 178 1 1 1(4; ;3) 8; (4; ;3) 4; (4; ;3) 12 2 2 2 ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ g g g x y z ; 2 11 2 1 1 1(4; ;3; ) 2 4 2 F a x ∂ − − = = ∂ ; 2 22 2 1 1(4; ;3; ) 2 2 4 F a y ∂ − = = − ∂ ; 2 33 2 1 1(4; ;3; ) 1 2 4 F a z ∂ − = = − ∂ ;a12 = a21 = a31 = a13 = a23 = a32 = 0 Hb = 1 0 0 8 2 0 2 0 4 0 0 1 12 8 4 12 0 −      −    −      H1 = - 64 ; 2 1 0 8 2 0 2 4 8 4 0 − = − >H 0 3 1 0 0 8 2 0 2 0 4 0 0 0 1 12 8 4 12 0 − −= < − H ⇒ (-1)kHk > 0, ∀k = 1,3⇒ f ñaït cöïc ñaïi thoûa ñieàu kieän: x2+ 4y2 + 2z2 = 35 taïi 14; ;3 2       ii) Töông töï xeùt taïi (x, y, z, λ) = 1 14; ; 3; 2 4 −  − −    ta coù : (-1)mHk = -Hk > 0, ∀k =1,3 ⇒ f ñaït cöïc tieåu thoûa ñieàu kieän: x2+ 4y2 + 2z2 = 35 taïi (x, y, z, λ) = 14; ; 3 2 −  − −    Ví duï: i) Tìm cöïc trò cuûa u = x + y + z vôùi ñieàu kieän xyz = 125 ii) Tìm cöïc trò cuûa u = f(x, y, ) = x + y vôùi ñieàu kieän Toaùn cao caáp : Giaûi tích 179 x2+ 1 4 y2 + 2z2 = 1 iii) Tìm cöïc trò cuûa u = f(x, y, z, t) = x + y + z + t vôùi ñieàu kieän 16 - xyzt = 0. Giaûi: Daønh cho baïn ñoïc. Toaùn cao caáp: Giaûi tích 179 Chöông IX PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN I. Ñònh nghóa : • Phöông trình vi phaân laø phöông trình coù daïng f(x, y, y’, y’’, ..., y(n)) = 0 (1). Phöông trình vi phaân coù chöùa y(n) (hay coù vi phaân baäc n) goïi laø phöông trình vi phaân caáp n. • Neáu thay y = ϕ(x) vaøo (1) maø (1) thaønh ñoàng nhaát thöùc treân D ⊂ ℝ thì ta noùi y = ϕ(x) laø nghieäm cuûa (1) treân D ⊂ ℝ . • Nghieäm toång quaùt cuûa (1) thöôøng coù daïng y = ϕ(x, c1, c2, ..., cn) vôùi c1, c2,.., cn laø nhöõng haèng soá tuøy yù. Neáu cho (c1, c2, ..., cn) moät boä giaù trò cuï theå thì ta coù moät nghieäm rieâng. Ñònh lyù: Neáu f(x, y) lieân tuïc treân taäp môû vaø bò chaän treân D chöùa M(x0, y0) thì toàn taïi y = ϕ(x) laø nghieäm cuûa phöông trình vi phaân caáp 1: y’ = f(x, y) ñi qua M(x0, y0). Hôn nöõa neáu f y ∂ ∂ lieân tuïc trong moät laân caän cuûa (x0, y0) thì nghieäm ñoù laø nghieäm duy nhaát. Ví duï: i) Giaûi phöông trình xy’ + y = 0 (* ) (* )⇔ x dy dx + y = 0 ⇔ xdy + ydx = 0 ⇔ d(xy) = 0 ⇔ xy = C (haèng soá) ii) Tìm nghieäm cuûa (* ) qua M(3, -5) Nghieäm cuûa (* ) qua (3, -5) ⇒ xy = C qua (3, -5) ⇒ 3(-5) = C ⇒ C = -15. Vaäy nghieäm cuûa (* ) qua (3, -5) laø xy = -15 hay y = x − 15 II. Caùc phöông trình vi phaân caáp I thöôøng gặp: Toaùn cao caáp: Giaûi tích 180 1) Phöông trình coù bieán phaân ly (coù theå taùch ra): laø phöông trình vi phaân coù daïng ϕ(y)dy = f(x)dx hay f1(x)g1(y)dx = f2(x)g2(y)dy (2) (2) ⇔ f2(x)g1(y) = 0 hay ( ) ( ) ( ) ( ) f x g ydx dyf x g y= 1 2 2 1 ⇔ f2(x)g1(y) = 0 hay ( ) ( ) ( ) ( ) f x g ydx dyf x g y=∫ ∫ 1 2 2 1 Ví duï : Giaûi phöông trình 3extgydx + (2 - ex)(1 + tg2y)dy = 0 (3) (3) ⇔ tgy. (2 - ex) = 0 hay ( ) x x e dx tg y dy e tgy + = − − ∫ ∫ 2 3 1 2 ⇔ tgy. (2 - ex) = 0 hay 3ln|2 - ex| = ln|tgy| + C1, C1 ∈ ℝ ⇔ tgy. (2 - ex) = 0 hay ln ( ) tgy xe− 32 = ln Ce 2 , C2 = - C1∈ ℝ ⇔ tgy. (2 - ex) = 0 hay ( ) tgy xe− 32 = Ce C± =2 , C∈ ∗ℝ ⇔ (2 - ex) = 0 hay ( )xtgy C e= − 32 , C∈ ℝ Ví duï: i) Giaûi phöông trình (1 + ex)yy’ = ex ii) Tìm nghieäm rieâng trong tröôøng hôïp y(0) = 1. Giaûi: i) (1 + ex)y dy dx = ex ⇔ ydy = x x e dx e+1 ⇔ y 2 2 = ln(1 + ex) + C ii) y(0) = 1 ⇒ 1 = 2ln2 + C.2 ⇒ C = 1 2 −ln2 ⇒ nghieäm rieâng thoûa y (0) =1 laø: Toaùn cao caáp: Giaûi tích 181 y 2 2 = ln(1 + ex) + 1 2 − ln2 = ln( ) xe+1 2 + 1 2 ⇔ y2 = 2 ln( ) xe+1 2 + 1 ⇔ y = ln( ) xe+± + 211 2 vì y(0) = 1 ⇒ y > 0 ⇒ y = ln( ) xe+ + 2 1 1 2 2) Phöông trình ñaúng caáp caáp 1: laø phöông trình vi phaân coù daïng y’ = f( y x ) (4) ⇔ dy = f( y x )dx Ñaët u = y x ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu, (4) thaønh udx + xdu = f(u)dx ⇔ xdu = (f(u) − u))dx ⇔ x(f(u) −u) = 0 hay ( ) du dx f u u x=− ñaây laø phöông trình coù bieán phaân ly. Ví duï 1: Giaûi phöông trình (2y2 −2xy + x2)dx − x.ydy = 0 (5) + Khi x = 0 ⇒ dx = 0 ⇒ x = 0 laø nghieäm. + Khi x ≠ 0, (5) thaønh: ( )y y ydx dy x x x − + − 2 2 2 2 1 = 0 (5’) Ñaët u = y x ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu ⇒ (5’) thaønh : (2u2 − 2u + 1)dx − u(udx + xdu) = 0 ⇔ (u −1)2dx − uxdu = 0 ⇔ u = 1 hay ( ) dx udu x u − − ∫ ∫ 2 1 = 0 ⇔ u = 1 hay ( )( ) u du dx u x − + − − ∫ ∫2 1 1 1 = 0 ⇔ u = 1 hay ln u x u − − − 1 1 1 = C, C ∈ℝ Toaùn cao caáp: Giaûi tích 182 Thay u = y x ta coù y = x hay ln y x x x y x − − − 2 = C, C ∈ℝ laø nghieäm khi x ≠ 0. Vaäy nghieäm cuûa (5) laø: x = 0 hay y = x hay ln y x x x y x − − − 2 = C Ví duï 2: Giaûi phöông trình (x2 −2xy )dy − x.ydx = 0 (6) Caùch 1: (6) ⇔ x = 0 hay ( )( 1 )dy y y dx x x − − =2 0 7 Ñaët u = y x ⇒ y = u.x ⇒ dy = udx + xdu ⇒ (7) thaønh: (1 − 2u ) (udx + xdu) − u dx = 0 ⇔ (1 − 2u ) xdu − 2u2 dx = 0 ⇔ u = 0 hay ln ln ,2 1 dx( )du = u = 0 hay u x c u c u u x − + − ⇔ + = >2 2 2 1 2 0 . , . , u = 0 hay x c yuu e c y hay y e c c x ⇔ = > ⇔ = = > 2 1 2 2 0 0 0 Vaäy nghieäm cuûa (6) laø : x = 0 hay . , x yy hay y e c c= = >20 0 Caùch 2: (6) ⇔ y = 0 hay ( ) 2x( )dy x x dx y yy − − =2 0 8 2 Ñaët v = x y ⇒ x = v.y ⇒ dx = vdy + ydv ⇒ (8) thaønh : (v2 − 2v )dy − v(vdy + ydv) = 0 ⇔ − 2vdy − vydv = 0 ⇔ v = 0 hay ln ,2dydv = v = 0 hay y c v c y − ⇔ = > 2 0 Toaùn cao caáp: Giaûi tích 183 , . , v = 0 hay x c yve c x hay y e c c y ⇔ = > ⇔ = = >20 0 0 2 Vaäy nghieäm cuûa (6) laø: x = 0 hay y= 0 hay . , x yy e c c= >2 0 Ghi chuù: phöông trình vi phaân sau ñaây coù theå ñöa ñöôïc veà phöông trình vi phaân ñaúng caáp caáp 1: ' ' ' ' ax by cy f a x b y c  + + =  + +  . Ta coù hai tröôøng hôïp: • Neáu ' ' a b D a b = ≠ 0 thì ñaët , ,u x x v y y= − = − 0 0 vôùi ,x y 0 0 laø nghieäm cuûa heä phöông trình ' ' ' ax by c a x b y c + + =  + + = 0 0 • Neáu ' ' a b D a b = = 0 ta ñaët z ax by= + Ví duï 1: Giaûi phöông trình vi phaân ( ) ( )x y dx x y dy− + + + − =2 4 6 3 0 Ñaët ,u x v y= − = −1 2 Ví duï 2: Giaûi phöông trình vi phaân ( ) ( )x y dx x y dy+ + + + − =2 4 6 2 1 0 Ñaët z x y= +2 3) Phöông trình tuyeán tính (caáp 1): laø phöông trình vi phaân coù daïng y’ + p(x).y = q(x) (6); trong ñoù p(x), q(x) laø caùc haøm soá lieân tuïc. Toaùn cao caáp: Giaûi tích 184 i). Neáu q(x) ≡ 0, (6) thaønh y = 0 hay dy y = −p(x)dx ⇔ y = 0 hay ln ( )= − +∫ 1y p x dx C , C1∈ℝ ⇔ y = 0 hay y = ± ( )− +∫ 1p x dx Ce , C1∈ℝ ⇔ y = 0 hay y = ( ) . −∫ p x dxC e , C = Ce± ≠1 0 ⇔ y = ( ) . −∫ p x dxC e , C∈ℝ (6’) ii). Neáu q(x) ≠ 0 ta giaûi baèng phöông phaùp “bieán thieân haèng soá”. Khi ñoù nghieäm cuûa (6) coù daïng (töông töï 6’) : y = C(x). ( )p x dx e −∫ (7), trong ñoù C(x) laø haøm caàn tìm. Ta coù: y’ = C’(x) ( )p x dx e −∫ − p(x)C(x) ( )p x dx e −∫ (8). Theá (7) vaøo (8) ta ñöôïc: y’ = C’(x) ( )p x dx e −∫ − p(x).y ⇒ y’ + p(x).y = C’(x). ( )p x dx e −∫ (9). (6) vaø (9) ⇒ q(x) = C’(x). ( )p x dx e −∫ ⇒ C’(x) = q(x). ( )p x dx e∫ ⇒ C(x) = ( )( ( ). ) p x dxq x e∫∫ dx Vaäy nghieäm cuûa (6) laø y = ( ) ( )( ( ) ) . p x dx p x dxq x e dx e− ∫ ∫  ∫ Ví duï 1: Giaûi phöông trình y’ + 2xy = 2x xe− 2 Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát y’+2xy=0 laø y= C. xe− 2 ⇒ nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho coù daïng y=C(x). xe− 2 ⇒ y’ = C’(x). xe− 2 −2xC(x). xe− 2 = C’(x) xe− 2 −2xy ⇒ 2x. xe− 2 = C’(x). xe− 2 ⇒ C’(x) = 2x ⇒ C(x) = x2 + C1 ⇒ y = [x2 +C1]. xe− 2 Toaùn cao caáp: Giaûi tích 185 Caùch khaùc: Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình ñaõ cho laø ( )( ) ( ). ( ( ) ) .[ . . ]- 2xdx 2xdx = e− − ∫ ∫ ∫ ∫=   ∫ ∫ 22p x dx p x dx xy e q x e dx x e e dx ( ) ( ). . . . . [ ]2-x =e + −− − − −= = +∫ ∫22 2 2 2 21 1 22 2C x Cx x x x xx e e dx e x e e dx e x C Ví duï 2: a) (1 + y2)dx + (1 +x2)dy = 0 b) (1 + y2)dx + yxdx = 0 c) 'sin cos ( ) y x y x y pi − =   = 0 1 2 d) 'x y yy x+ + + =2 21 1 0 e) exsin3y + y’(1 + e2x)cosy = 0 f) xyy’ = y2 + 3x2 g) xy + y2 = (2x2 + xy).y’ h) 2x2y’ = x2 + y2 i) (y −x)dx + (y + x)dy j) xy’ + y = x3y4. Giải: Dành cho bạn ñọc 4. Phöông trình Bernoulli : laø phöông trình vi phaân coù daïng /y + yp(x) = q(x). yα , 0 ≠ α ≠ 1 Chia yα ta coù / .y y α− + y α−1 p(x) = q(x). Ñaët v = y α−1 thì v/ = (1 −α) / .y y α− . Khi ñoù phöông trình thaønh /v α− 1 1 + v.p(x)= q(x) ⇔ v/ + (1 −α)p(x).v = (1 −α)q(x) Ñaây laø phöông trình tuyeán tính Ví duï: Giaûi phöông trình Toaùn cao caáp: Giaûi tích 186 ' . xy x y y e−− = 2 5 2 ⇔ y’ y−5 −x y−4 = xe− 2 2 Ñaët v = y−4⇒ v’ = −4y’ y−5 .Khi ñoù phöông trình thaønh: − 1 4 v’ − xv = xe− 2 2 ⇔ v’ + 4xv = −4 xe− 2 2 (* ) Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát v’ + 4xv = 0 laø v = C. x xdx e −∫ 0 4 = C. xe− 2 2 Nghieäm cuûa (* ) coù daïng v = C(x). xe− 2 2 ⇒ v’ = C’(x) xe− 2 2 − 4xC(x). xe− 2 2 ⇒ v’ + 4x.v = C’ xe− 2 2 (= −4 xe− 2 2 ) ⇒ C’ = −4 ⇒ C = −4x + C1. ⇒ v = (−4x + C1) xe− 2 2 ⇒ y−4 = (−4x + C1) xe− 2 2 ⇒ y4 = − + 2 2 1 4 xe x C . III. Sô löôïc veà soá phöùc: 1. Ñònh nghóa: Taäp hôïp taát caû caùc soá phöùc kyù hieäu laø ℂ , ñöôïc ñònh nghóa: ℂ = {a + bi / a, b ∈ℝ vôùi i2 = −1} Vôùi soá phöùc z = a + bi ta noùi a = Rez laø phaàn thöïc, b = Imz laø phaàn aûo. Khi b = 0 ⇒ z = a ∈ ℝ . Vaäyℝ ⊂ ℂ . Hai soá phöùc z = a + ib vaø z = a − ib goïi laø 2 soá phöùc lieân hôïp. Moãi soá phöùc z = a + ib öùng vôùi duy nhaát caëp (a, b) ∈ ℝ 2. 2. Caùc pheùp tính : Cho z1 = a1 + ib1, z2 = a2 + ib2. Ta coù: i) z1 = z2 ⇔ a a b b =  = 1 2 1 2 ⇔ (a1, b1) = (a2, b2) ii) z1 ± z2 = (a1 + ib1) ± (a2 + ib2) = (a1 ± a2) + i(b1 ± b2) Toaùn cao caáp: Giaûi tích 187 iii) z1.z2 = (a1 + ib1)(a2 + ib2) = (a1a2 − b1b2) + i(a1b2 + a2b1) iv) ( )( ) z a ib a ib a ib z a ib a b + + − = = + + 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) + + −= + 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 a a b b i b a b a a b Daïng z = a + ib goïi laø daïng ñaïi soá cuûa soá phöùc. 3. Daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc: Cho soá phöùc z = a + ib. Ñaët M=(a,b). Ta goïi r = | z | = .a b z z+ =2 2 = | z | laø moâñul cuûa z vaø ϕ = ( , )Ox OM → → laø argument cuûa z, kyù hieäu Argz. Ta coù : a = rcosϕ, b= rsinϕ ⇒ z = a + ib = rcosϕ + irsinϕ = r(cosϕ + isinϕ) (* ) Daïng (* ) goïi laø daïng löôïng giaùc cuûa soá phöùc z. Ví duï : i) z = i coù daïng löôïng giaùc laø z = i = 1 ( cos sin ipi pi+ 2 2 ) ii) z = 1 −i coù r = 2 , tgϕ = b a = −1 ⇒ choïn ϕ = pi− 4 . ⇒ z = 1 −i coù daïng löôïng giaùc laø z = cos( ) sin( ) ipi pi − + −   2 4 4 . Ghi chuù: Argument cuûa soá phöùc z ñöôïc xaùc ñònh sai khaùc nhau k2pi, k ∈ ℤ . Giaû söû z1 = r1(cosϕ1 + isinϕ1) vaø z2 = r2(cosϕ2 + isinϕ2) Khi ñoù z1. z2 = r1. r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + isin(ϕ1 + ϕ2)] z z 1 2 = r r 1 2 [cos(ϕ1 - ϕ2) + isin(ϕ1 - ϕ2)], z2 ≠ 0 Toaùn cao caáp: Giaûi tích 188 zn= rn [cosϕ + isinϕ]n = rn[cosnϕ + isinnϕ] . Coâng thöùc Euler: ieα = cosα + isin α 4. Khai caên cho soá phöùc: Caên baäc n cuûa soá phöùc c ∈ ℂ , kyù hieäu n c , laø nhöõng soá phöùc z sao cho: zn = z.z... z = c Neáu c ≠ 0 thì caên baäc n cuûa soá phöc c coù ñuùng n soá phöùc. z = r(cosϕ +isinϕ) ⇒ n z = cos sin n k kr i n n ϕ pi ϕ pi+ +  +    2 2 k ∈ ℤ ⇒ coù n soá laø caên baäc n cuûa z ≠ 0 . Ví duï 1: Tìm i−7 6 2 . Giả söû i−7 6 2 = a + bi, a, b ∈ℝ ⇒ 7 - 6 2 i = a2 - b2 + 2abi ⇒ a b ab  − =  = − 2 2 7 2 6 2 ⇔ a b =  = − 3 2 ∨ a b = −  = 3 2 ⇒ i i− = −7 6 2 3 2 hay i i− = − +7 6 2 3 2 Ví duï 2: Tìm −4 2 Ta coù: -2 = 2(cospi + isinpi) −4 2 = cos sin k i kpi pi pi pi    + + +          4 2 4 2 4 2 , k ∈ Z ⇒ −4 2 coù 4 soá laø:  ±    4 1 2 2 2 i , i − ±    4 1 2 2 2 IV. Phöông trình vi phaân caáp hai: 1. Ñònh nghóa: Phöông trình vi phaân caáp hai laø phöông trình coù daïng G(x, y, y’, y’’) = 0 (* ) hoaëc y’’ = f(x, y, y’) • Nghieäm toång quaùt cuûa (* ) coù daïng y = ϕ(x, C1, C2), cho (C1, C2) moät giaù trò cuï theå ta coù moät nghieäm rieâng . • Thöôøng ta tìm ñöôïc nghieäm cuûa phöông trình (* ) döôùi daïng Toaùn cao caáp: Giaûi tích 189 F(x, y, C1, C2) = 0 cho ta moái lieân heä giöõa bieán ñoäc laäp vaø nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình vi phaân caáp hai ñöôïc goïi laø phöông trình toång quaùt cuûa noù. 2. Vaøi phöông trình vi phaân caáp hai coù theå haï baäc : i) Phöông trình coù veá phaûi khoâng phuï thuoäc y, y’: coù daïng y// = f(x) ⇒ y/ = ( ) f x dx C+∫ 1 ⇒ y = ( ) ,1 ,Cf x dx dx C x C C  + + ∈ ∫ ∫ 1 2 2 ℝ Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt vaø nghieäm rieâng cuûa phöông trình y’’ = cos2x thoûa (D) : / ( ) ( ) y y =  = 0 0 0 1 y’ = cos sin xdx C x C+ = +∫ 1 1 1 2 2 2 ⇔ y = sin x C dx +    ∫ 1 1 2 2 Vaäy y = cos x− 1 2 4 + C1x + C2 laø nghieäm toång quaùt . Vì / ( ) ( ) y y =  = 0 0 0 1 ⇒ C C  − + =   + = 2 1 1 0 4 0 1 Neân nghieäm rieâng thoûa (D) laø y = cos x x− + +1 12 4 4 ii) Phöông trình coù veá phaûi khoâng chöùa y : daïng y’’ = f(x, y’). Ñaët y’ = u, y’’ = u’ phöông trình thaønh u’ = f(x, u) Ñaây laø phöông trình caáp 1. Ví duï : Giaûi phöông trình y’’ = x - ' y x (1) Ñaët y’ = u ⇒ y’’ = u’ .Khi ñoù Toaùn cao caáp: Giaûi tích 190 (1) thaønh u’ = x - u x ⇔ u’ + u x = x. Ñaây laø phöông trình tuyeán tính caáp 1 coù nghieäm laø u = Cx x + 2 1 3 hay y’ = Cx x + 2 1 3 . Vaäy nghieäm toång quaùt laø y = ln Cx x C x C x   + = + +    ∫ 2 3 1 1 2 3 9 iii) Phöông trình coù veá phaûi khoâng chöùa x: daïng y’’ = f(y, y’). Ñaët y’ = u, xem u laø haøm cuûa y laáy ñaïo haøm hai veá theo x, ta coù u / = // du du dy duy u dx dy dx dy = = = Khi ñoù phöông trình thaønh u du dy = f(y, u). Ñaây laø phöông trình vi phaân caáp 1 vôùi u laø haøm vaø y laø bieán ñoäc laäp. Neáu phöông trình naøy giaûi ñöôïc, ta coù u = ϕ(y, C1) hay dy dx = ϕ(y, C1) hay dy= ϕ(y, C1)dx Ví duï: Giaûi phöông trình : 2yy’’ + (y’)2 = 0. Ñaët y’ = u ⇒ y’’ = u du dy , phöông trình thaønh : 2yu du dy + u2 = 0 ⇔ ( ) (**) du dyu hay y c hay u y = = = − 0 2 ⇔ ( ) (**) = = = −0 2 du dy u hay y c hay u y ⇔ ,c ln u ln y = − ⇔ = >2 0 2 du dy c u y ⇔ ,= = ± ≠1 1 0 C u C c y ⇔ , = ≠1 1 0 Cdy C dx y Toaùn cao caáp: Giaûi tích 191 ⇔ y= ( )hx k+ 23 , h, k ∈ , ≠ 0ℝ h Neáu cho h = 0 ⇒ hoï nghieäm (* * ) ⇒ nghieäm toång quaùt laø y = ( )hx k+ 23 , h, k ∈ ℝ 3. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 2: • Ñònh nghóa: Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 2 laø phöông trình coù daïng: y// + a1y/ + a2y = f(x) (a) hay y// + a(x)y/ + b(x)y = c(x) • Neáu f(x) = 0 thì (a) ñöôïc goïi laø phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát. • Neáu a1, a2 laø haèng soá thì (a) goïi laø phöông trình tuyeán tính coù heä soá khoâng ñoåi(heä soá haèng). a. Phöông trình tuyeán tính caáp hai thuaàn nhaát: y// + a1(x)y/ + a2(x)y = 0 (b) . Ta coù caùc keát quaû: i). Tính chaát 1: Neáu y1(x) vaø y2(x) laø hai nghieäm cuûa (b) thì y = C1y1(x) + C2y2(x) laø nghieäm cuûa (b) (vôùi C1, C2 ∈ℝ ) Ñònh nghóa: Caùc haøm soá y1(x) vaø y2(x) ñöôïc goïi laø ñoäc laäp tuyeán tính treân D neáu tæ soá cuûa chuùng khoâng phaûi laø haèng soá : ( ) ( ) y x y x 1 2 ≠ constant. Noùi caùch khaùc, khoâng toàn taïi c ∈ℝ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ). . ,= = ∀ ∈1 2 2 1y x c y x hay y x c y x x D . Ngöôïc laïi, ta noùi chuùng phuï thuoäc tuyeán tính. Ví duï: • Caùc haøm soá y x= 1 4 vaø xy e= 2 laø ñoäc laäp tuyeán tính treân ℝ Toaùn cao caáp: Giaûi tích 192 • Caùc haøm y x= +2 1 2 2 vaø y x= +2 2 1 laø phuï thuoäc tuyeán tính treân ℝ . ii) Tính chaát 2: Neáu y1(x), y2(x) laø 2 nghieäm ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (b) thì y = C1y1(x) + C2y2(x) (trong ñoù C1, C2 laø 2 haèng soá tuøy yù) laø nghieäm toång quaùt cuûa (b). iii). Tính chaát 3: Neáu bieát moät nghieäm rieâng y1(x) cuûa (b) thì coù theå tìm ñöôïc moät nghieäm rieâng y2(x) cuûa (b) vôùi y1, y2 ñoäc laäp tuyeán tính baèng caùch ñaët y2 = y1(x)u(x). Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa '' ' xy y y x x + − − − 2 2 2 2 1 1 = 0 bieát moät nghieäm rieâng y1 = x. Giaûi: Ta tìm moät nghieäm y2 = xu(x), thay y2 vaøo phöông trình ñaõ cho ta coù : (2u/ + xu//) + x x− 2 2 1 (u +xu/) - ux x− 2 2 1 = 0 ⇔ u// x(1 - x2) + 2u’ = 0 Ñaët z = u/ ⇒ z’x(1 - x2) + 2z = 0 hay ( ) dz dx z x x = − − 2 2 1 ⇒ z = ( ) 1 ,C − ≠ 2 1 2 1 0 C x x Cho C1 = -1, ta ñöôïc z = x x x − = − 2 2 2 1 1 1 hay du dx x = − 2 1 1 ⇒ u = x C x + + 2 1 Ta chæ caàn laáy moät nghieäm rieâng u(x) ≠ haèng soá Choïn C2 = 0 ⇒ u = x + x 1 ⇒ y2 = x(x + x 1 ) = x2 + 1 ⇒ nghieäm toång quaùt laø y = k1x + k2(x2 + 1) vôùi k1, k2 laø haèng soá tuøy yù. Toaùn cao caáp: Giaûi tích 193 b. Phöông trình tuyeán tính caáp hai khoâng thuaàn nhaát: Cho phöông trình khoâng thuaàn nhaát (a) (ôû treân) vôùi f(x) ≠ 0 phöông trình y// + a1y/ + a2y = 0 (a’) ñöôïc goïi laø phöông trình thuaàn nhaát töông öùng (lieân keát) vôùi (a). i) Tính chaát 1: nghieäm toång quaùt cuûa (a) laø toång cuûa nghieäm toång quaùt cuûa (a’) vôùi moät nghieäm rieâng naøo ñoù cuûa (a). ii) Tính chaát 2: (nguyeân lyù choàng chaát nghieäm) cho phöông trình khoâng thuaàn nhaát y’’ + a1y’ + a2y = f1(x) + f2(x) (c) neáu y1 laø nghieäm rieâng cuûa y’’ + a1y’ + a2y = f1(x) vaø y2 laø nghieäm rieâng cuûa y’’ + a1y’ + a2y = f2(x) thì y1 + y2 laø nghieäm rieâng cuûa (c) (ñònh lyù vaãn ñuùng khi veá phaûi = f1 + f2 + ... + fn) iii) Phöông phaùp bieán thieân haèng soá Lagrange: Giaû söû cho phöông trình tuyeán tính khoâng thuaàn nhaát (a) (nhö treân) vaø giaû söû bieát nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát (a’) laø: y = C1y1 + C2y2 (a’’). Haõy tìm nghieäm cuûa (a). Ta seõ tìm nghieäm toång quaùt cuûa (a) döôùi daïng y = C1y1 + C2y2 (* ) trong ñoù C1, C2 laø caùc haøm theo x (* )⇒ / / / / / = + + + 1 1 2 2 1 1 2 2 y C y C y C y C y . Ta choïn C1, C2 sao cho: / / +1 1 2 2C y C y = 0 ⇒ / / /= + 1 1 2 2 y C y C y ⇒ // / / / / / / / /= + + + 1 1 2 2 1 1 2 2 y C y C y C y C y Theá y, y/, y// vaøo (a) ta coù: // / // / / / / /( ) ( ) + + + + + + + 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 C y a y a y C y a y a y C y C y = f(x) Vì y1, y2 laø nghieäm cuûa (a’) neân caùc bieåu thöùc trong ngoaëc baèng 0 ⇒ / / / / + 1 1 2 2 C y C y = f(x) ⇒ y = C1y1 + C2y2 laø nghieäm cuûa (a) neáu C1 , C2 laø nghieäm cuûa Toaùn cao caáp: Giaûi tích 194 (**) / / / / // / / / /( )   + =     ⇔ =      + =      1 1 2 2 11 2 1 21 1 2 2 2 0 0C y C y Cy y y y fC y C y f x C . Neáu y1, y2 ñoäc laäp tuyeán tính thì / / 1 2 1 2 y y y y ≠ 0 vaø (**) coù nghieäm / 1 C = ϕ1(x), /2C = ϕ2(x) ⇒ ( ) ( ) C x dx k C x dx k ϕ ϕ  = +  = + ∫ ∫ 1 1 1 2 2 2 Thay C1, C2 vaøo (* ) ta coù nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (a) laø: y = k1y1 + k2y2 + ( ) ( ) y x dx y x dxϕ ϕ+∫ ∫1 21 2 vôùi k1, k2 tuøy yù ∈ℝ . Cho k1 = k2 = 0 ta ñöôïc moät nghieäm rieâng cuûa (a). Ví duï: Tìm nghieäm toång quaùt cuûa ''' yy x x − = Nghieäm cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng ''' yy x − = 0 ⇔ '' ' y y x = 1 ⇔ ln|y’| = ln|k.x| ⇔ y’ = C.x ⇒y= C 2 x2 + C2 = C1x2 + C2, C1 = C 2 Bieåu thöùc: y = C1 (x).x2 + C2(x) laø nghieäm cuûa phöông trình neáu C1, C2 laø nghieäm cuûa / / / / . .  + =  + = 2 1 2 1 2 1 0 2 0 C x C C x C x ⇔ / /  =   = −  1 2 2 1 2 1 2 C C x ⇔ C x k xC k  = +   = − +  1 1 3 2 2 1 2 6 Nghieäm toång quaùt laø Toaùn cao caáp: Giaûi tích 195 y = x x xk x k k x k − + + + = + +       3 3 2 2 1 2 1 2 2 6 3 4. Phöông trình vi phaân tuyeán tính caáp 2 coù heä soá khoâng ñoåi: a. Phöông trình tuyeán tính thuaàn nhaát: a2y’’ + a1y’ + a0y = 0 vôùi , ,a a a 0 1 2 laø caùc haèng soá vaø a2 ≠ 0 phöông trình treân töông ñöông: y’’ + α1y’ + α0y = 0 (iv) vôùi , oo aa a a α α= =1 1 2 2 . Ta caàn tìm 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (iv). Ta tìm nghieäm rieâng cuûa (iv) döôùi daïng y = ekx vôùi k caàn xaùc ñònh . Ta coù: y’ = kekx, y’’ = k2ekx theá vaøo (iv) coù : k2ekx + α1kekx + αoekx = 0 ⇔ k2 + α1k + αo = 0 (v) Phöông trình naøy ñöôïc goïi laø phöông trình ñaëc tröng cuûa (iv). Phöông trình (v) coù 2 nghieäm k1,k2. Ta coù caùc tröôøng hôïp sau : • k1, k2 ∈ℝ vaø k1 ≠ k2 ⇒ 2 nghieäm rieâng cuûa (iv) laø , k x k xy e y e= =1 2 1 2 Hieån nhieân 2 nghieäm naøy ñoäc laäp tuyeán tính vì y y 1 2 ≠ haèng soá Suy ra nghieäm toång quaùt cuûa (iv) laø y = k x k xC e C e+1 2 1 2 vôùi C1, C2 tuøy yù ∈ℝ . Ví duï 1: Giaûi phöông trình : y’’ - 7y’ + 10y = 0 Phöông trình ñaëc tröng laø : k2 - 7k + 10 = 0 k hay k⇔ = =2 5 Nghieäm toång quaùt laø y = C1e2x + C2e5x • k1 = k2 ∈ ℝ : Khi ñoù 1 nghieäm rieâng cuûa (iv) laø y1 = 1k xe . Toaùn cao caáp: Giaûi tích 196 Ta tìm nghieäm rieâng y2 ñoäc laäp tuyeán tính vôùi y1 döôùi daïng y2 = y1u(x) = u(x) k xe 1 ⇒ ' ''' , '' 'k x k x k x k x k xy u e k ue y u e k u e k ue= + = + +1 1 1 1 12 2 1 2 1 1 2 . Theá vaøo (iv) ta coù : k xe 1 [u’’ + (2k1 + a1)u’ + (k12 + a1k1 + a0)u] = 0 (vì k1 laø nghieäm keùp cuûa (v) neân k12 + a1k1 + a0 = 0 vaø k1 = a − 1 2 ⇒ 2k1 + a1 = 0) ⇒ k xe 1 u’’ = 0 ⇒ u’’ = 0 ⇒ u = Ax + B Choïn A = 1, B = 0 ta coù u = x⇒ y2 = x k xe 1 ⇒ nghieäm toång quaùt laø y = C1 k xe 1 + C2x k xe 1 = (C1 + C2x) k xe 1 Ví duï 2: Giaûi phöông trình y’’ + 6y’ + 9y = 0. Phöông trình ñaëc tröng laø k2 + 6k + 9 = 0 coù nghieäm keùp laø k = -3 ⇒ nghieäm toång quaùt laø y = (C1 + C2x)e-3x. • k1, k2 ∈ ℂ ; k1 = a + ib, k2 = a – ib thì ( ) ( ) (cos sin ), (cos sin ) a ib x ax a ib x ax y e e bx i bx y e e bx i bx + − = = + = = − 1 2 laø 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (iv) ( ) cos ; ( ) sinax axu y y e bx u y y e bx i ⇒ = + = = − = 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 laø 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính cuûa (iv) ⇒ y = C1eaxcosbx + C2eaxsinbx laø nghieäm toång quaùt cuûa (iv). Ví duï 3: Giaûi phöông trình y’’ - 3y’ + 5y = 0 Phöông trình ñaëc tröng laø k2 -3k + 5 = 0 ⇔ k = i±3 11 2 Toaùn cao caáp: Giaûi tích 197 ⇒ 2 nghieäm rieâng ñoäc laäp tuyeán tính laø cos , sin x x y e x y e x= = 3 3 2 2 1 2 11 11 2 2 ⇒ nghieäm toång quaùt laø : y = cos sin x x C e x C e x+ 3 3 2 2 1 2 11 11 2 2 b. Vaøi daïng ñaëc bieät: Cho phöông trình y’’ + α1y’ + α0y = f(x) (1) trong ñoù α1, α2 laø 2 haèng soá.Ta xeùt caùc tröôøng hôïp rieâng sau ñaây cuûa f(x): • f(x) = ek x. Pn(x) vôùi k khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng. Khi ñoù (1) coù moät nghieäm rieâng coù daïng y1 = ek x. Qn(x), trong ñoù Pn(x), Qn(x) laø caùc ña thöùc baäc n. Ví duï 1: Tìm nghieäm toång quaùt vaø nghieäm thoûa ñieàu kieän ban ñaàu cuûa phöông trình vi phaân sau : y" + 2y’ + 2y = 4x2 ( A) vôùi y(0) = 2; y’(0) = −3. Phöông trình ñaëc tröng : k2 + 2k + 2 = 0 ⇔ k i= − ±1 .Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng laø ( )cos sinxy e c x c x−= +1 2 vôùi c1, c2 ∈ℝ k = 0 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng neân nghieäm rieâng cuûa (A) coù daïng y1 = ax2 + bx + c ⇒ / //;y ax b y a= + =1 12 2 . Theá vaøo (A) ta coù ,a ax b ax bx c x x+ + + + + = ∀2 22 4 2 2 2 2 4 ( ) ,ax a b x a b c x x⇔ + + + + + = ∀2 22 2 a a a b b a b c c = =    ⇔ + = ⇔ = −   + + = =  2 2 2 0 4 0 2 . Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa (A) laø y1 = 2x2 -4x + 2 ⇒ nghieäm toång quaùt cuûa (A) laø Toaùn cao caáp: Giaûi tích 198 y = y1 + ( )cos sinxy x x e c x c x−= − + + +2 1 22 4 2 vôùi c1, c2 ∈ℝ ⇒ ( ) ( )/ cos sin sin cosx xy x e c x c x e c x c x− −= − − + + − +1 2 1 24 4 y(0) = 2 vaø y’(0) = −3⇒ c1 = 0 vaø c2 = 1. Vaäy nghieäm cuûa (A) thoûa y(0) = 2 vaø y’(0) = −3 laø y = sinxx x e x−− + +22 4 2 Ví duï 2 : Giaûi y" – 4 y’ + 4y = ( x2 +1). e x. (B) Phöông trình ñaëc tröng : k2 – 4 k + 4 = 0 coù nghieäm keùp k =2 . Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng laø ( )xy e c c x= +2 1 2 vôùi c1, c2 ∈ℝ k = 1 khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng neân nghieäm rieâng cuûa (B) coù daïng y1 = e x (ax2 + bx + c) ⇒ / // ( ) ( ); ( ) ( ) x x x x x y e ax bx c e ax b y e ax bx c e ax b ae  = + + + +  = + + + + + 2 1 2 1 2 2 2 2 . Theá vaøo (B) vaø chia 2 veá cho e x ta coù ( ) ,ax bx c ax b a x x+ + − + + = + ∀2 22 2 2 1 ( ) ,ax a b x a b c x x⇔ + − + + − + = + ∀2 24 2 2 1 a a a b b a b c c = =    ⇔ − + = ⇔ =    − + = =  1 1 4 0 4 2 2 1 7 . Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa (B) laø ( ) xy x x e= + +21 4 7 ⇒ nghieäm toång quaùt cuûa (B) laø y = y1 + ( ) ( )x xy x x e e c c x= + + + +2 2 1 24 7 vôùi c1, c2 ∈ℝ Ví duï 3: y" + 3y’ + 2y = ( x2 +2x + 6). e3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = ( ax2 +bx + c). e3 x Ví duï 4 : y" + 3y’ + 2y = ( 2x + 1). e3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = ( ax +b). e3 x. Toaùn cao caáp: Giaûi tích 199 Ví duï 5 : y" + 3y’ + 2y = 6 e3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = a. e3 x. • f(x) = ek x. Pn(x) vôùi k laø nghieäm ñôn cuûa phöông trình ñaëc tröng. Khi ñoù (1) coù moät nghieäm rieâng coù daïng y1 = x.ek x. Qn(x), trong ñoù Pn(x), Qn(x) laø caùc ña thöùc baäc n. Ví duï 1: Giaûi y" + 3y’ – 18 y = ( 2x + 1). e3 x ( C ) Phöông trình ñaëc tröng : k2 +3k – 18 = 0 k hay k⇔ = = −3 6 . Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng laø x xy c e c e−= +3 6 1 2 vôùi c1, c2 ∈ℝ k = 3 laø nghieäm ñôn cuûa phöông trình ñaëc tröng neân nghieäm rieâng cuûa (C) coù daïng y1 = x (ax + b) e 3 x = (ax2 + bx ) e 3 x ⇒ / // ( ) ( ) ( ) ( ) .  = + + +  = + + + + 3 2 3 1 2 3 1 3 2 9 6 2 2 x x x x x y e ax bx e ax b y e ax bx e ax b a e Theá vaøo (C) vaø chia 2 veá cho e 3 x ta coù ( ) ,ax b a x x+ + = + ∀9 2 2 2 1 ,ax a b x x⇔ + + = + ∀18 2 9 2 1 a a a b b  ==  ⇔ ⇔  + =  =  1 18 2 9 72 9 1 81 Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa (C) laø y1 = 1 81 ( 9x2 + 7 x ) e 3 x ⇒ nghieäm toång quaùt cuûa (C) laø y = y1 + ( ) x x xy x x e c e c e−= + + +2 3 3 61 21 9 7 81 vôùi c1, c2 ∈ℝ hay ( ) x xy x x c e c e−= + + +2 3 621 9 7 81 vôùi c , c2 ∈ℝ ( c = 81c1 ) Ví duï 2: y" - 5y’ + 6y = ( x2 +2x + 6). e2 x coù nghieäm rieâng coù daïng Toaùn cao caáp: Giaûi tích 200 y = x.( ax2 +bx + c). e2 x vì k = 2 laø nghieäm ñôn cuûa phöông trình ñaëc tröng ( öùng vôùi e2 x ) Ví duï 3: y" + 3y’ – 18 y = ( 2x + 1). e3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = x.( ax +b). e3 x. Ví duï 4: y" + 3y’ – 18 y = 6 e3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = a.x. e3 x. • f(x) = ek x. Pn(x) vôùi k nghieäm keùp cuûa phöông trình ñaëc tröng. Khi ñoù (1) coù moät nghieäm rieâng coù daïng y1 = x2.ek x. Qn(x), trong ñoù Pn(x), Qn(x) laø caùc ña thöùc baäc n. Ví duï 1: Giaûi y" + 6 y’ + 9 y = 6 xe−3 .( D ) Phöông trình ñaëc tröng : k2 + 6k + 9 = 0 coù nghieäm keùp k = −3 .Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng laø ( )xy e c c x−= +3 1 2 vôùi c1, c2 ∈ℝ k = −3 laø nghieäm keùp cuûa phöông trình ñaëc tröng neân nghieäm rieâng cuûa (D) coù daïng y1 = ax2. xe−3 ⇒ / // ( ); . ( ) . x x x x x y e ax e ax y e ax e ax a e − − − − − = − + = − + 3 2 3 1 3 2 3 3 1 3 2 9 6 2 2 . Theá vaøo (D) vaø chia 2 veá cho xe−3 ta coù 2a = 6 ⇒ a = 3 Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa ( D) laø y1 = 3x2. xe−3 ⇒ nghieäm toång quaùt cuûa (D) laø y = y1 + ( )x xy x e e c c x− −= + +2 3 3 1 23 vôùi c1, c2 ∈ℝ hay ( )xy e c c x x−= + +3 2 1 2 3 vôùi c1, c2 ∈ℝ Ví duï 2: y" – 4 y’ + 4y = ( x2 +2x + 6). e2 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = x2.( ax2 +bx + c). e2 x vì k = 2 laø nghieäm keùp cuûa phöông trình ñaëc tröng ( öùng vôùi e2 x ) Ví duï 3: y" – 6 y’ + 9 y = ( 2x + 1). e3 x coù nghieäm rieâng coù daïng Toaùn cao caáp: Giaûi tích 201 y = x.( ax +b). e3 x. Ví duï 4: y" – 6 y’ + 9 y = 6 e3 x coù nghieäm rieâng coù daïng y = a.x2. e3 x. • f(x) = ea x. [ Pn(x)cosbx + Qm(x)cosbx ] vôùi a + ib khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng.Khi ñoù (1) coù moät nghieäm rieâng coù daïng y1 = ea x [ R(x) cosbx+ S(x) sinbx ] trong ñoù R(x), S(x) laø caùc ña thöùc coù baäc { }max ,n m≤ . • f(x) = ea x. [ Pn(x)cosbx + Qm(x)cosbx ] vôùi a + ib laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng.Khi ñoù (1) coù moät nghieäm rieâng coù daïng y1 = x. ea x [ R(x) cosbx+ S(x) sinbx ] trong ñoù R(x), S(x) laø caùc ña thöùc coù baäc { }max ,n m≤ . Ví duï: Giaûi y" + y = cos3 x = cos cosx x+3 1 3 4 4 ( E ) Vì i laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng neân y" + y = cos3 x = cos ( )x E 1 3 4 coù nghieäm rieâng coù daïng : y1 = ( ax + b)cosx + (cx +d )sinx . Suy ra : ( ) ( ) / cos ( )sin sin ( )cos cos sin y a x ax b x c x cx d x cx a d x ax b c x = − + + + + = + + − + − 1 ( ) ( )// cos siny ax b c x cx a d x= − − + − + +1 2 2 Theá vaøo ( E1 ) ta coù .cos sin cos ,+ = ∀ 3 2 2 4 c x ax x x x ⇔ = 3 8 c vaø a = 0. Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa ( E1 ) laø y1 = .sinx x 3 8 Vì 3i khoâng laø nghieäm cuûa phöông trình ñaëc tröng neân Toaùn cao caáp: Giaûi tích 202 y" + y = cos3 x = cos ( )x E 2 1 3 4 coù nghieäm rieâng coù daïng : y2 = acos3x + bsin3x ⇒ / // cos sin cos sin y b x a x y a x b x  = −  = − − 2 2 3 3 3 3 9 3 9 3 . Theá vaøo ( E2 ) ta coù .cos sin cos ,a x b x x x a −− − = ∀ ⇔ =1 18 3 8 3 3 4 32 vaø b = 0 Vaäy moät nghieäm rieâng cuûa ( E2 ) laø y2 = cos −1 3 32 x Töø nghieäm rieâng cuûa ( E1 ) vaø ( E2 ) ta coù moät nghieäm rieâng cuûa ( E) laø y3 = .sinx x 3 8 cos x− 1 3 32 ( nguyeân lyù choàng chaát nghieäm). Nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình thuaàn nhaát töông öùng vôùi (E ) laø cos siny c x c x= + 1 2 vôùi c1, c2 ∈ℝ Vaäy nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình (E ) laø y = y3 + y = .sinx x 3 8 cos x− 1 3 32 + cos sinc x c x+ 1 2 vôùi c1, c2 ∈ℝ Toaùn cao caáp : Giaûi tích 203 Chöông X ÖÙNG DUÏNG VAØO KINH TEÁ 1. Kyù hieäu : A C D E G I K L M P pi Q R S T U W Y : : : : : : : : : : : : : : : : : : Advertising Cost, consumption Demand Elasticity Government Income, investment, investor Capital Labor, liquidity Money Price Profit Quantity Revenue, rate of interest Supply Tax Utility Wage Income 2. Caùc khaùi nieäm cô baûn: a- Bieân teá (bieân)( marginal): Trong kinh teá, khaùi nieäm bieân teá duøng ñeå chæ söï thay ñoåi cuûa moät bieán kinh teá naøy ñöôïc gaây ra bôûi söï thay ñoåi cuûa moät bieán kinh teá khaùc.Cho y = f(x) vaø f laø haøm khaû vi, ta coù bieân teá cuûa y taïi x laø ( )( ) 'My x f x= Ví duï: Goïi x laø löôïng saûn phaåm cuûa moät xí nghieäp, y laø toång chi phí saûn xuaát. Giaû söû y phuï thuoäc vaøo x nhö sau : Toaùn cao caáp : Giaûi tích 204 ( )y f x ax bx c= = + +2 (a, b, c : haèng soá döông) Khi ñoù, ta coù chi phí bieân teá cuûa xí nghieäp laø : ( )'MC f x ax b= = +2 Chuù yù: Khi ( )y f x ax b= = + thì My = a. Nhö vaäy, trong tröôøng hôïp haøm soá laø baäc nhaát, giaù trò bieân teá chính laø ñoä thay ñoåi cuûa haøm soá khi bieán soá taêng theâm 1 ñôn vò. Ví duï: Giaû söû toång chi phí cuûa moät nhaø maùy tính theo coâng thöùc oC WL rK= − Trong ñoù L chæ soá löôïng lao ñoäng, W chæ tieàn löông cho moãi lao ñoäng, Ko chæ tieàn voán, r laø laõi suaát cuûa voán. Ta coù chi phí bieân teá theo lao ñoäng laø : MC = W. Ñaây laø chi phí taêng theâm khi theâm moät lao ñoäng. b- Ñoä co daõn (Elasticity): Trong nhieàu öùng duïng kinh teá, toác ñoä thay ñoåi cuûa moät haøm soá thöôøng phuï thuoäc vaøo ñôn vò tính cuûa bieán ñoäc laäp x vaø bieán phuï thuoäc y. Ñeå traùnh ñieàu naøy, caùc nhaø kinh teá söû duïng khaùi nieäm ñoä co daõn. Ñoä co daõn cuûa bieán y theo bieán x ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : ( )/( ) . ' . /yx dy y dy x x x y x dx x dx y y ε = = = Ví duï: Tìm ñoä co daõn cuûa y theo x, neáu : a) y = ex ; ( )' . .xx xy x e y y ε = = Khi x = 100 thì y = e100. Khi x = 101 thì y = e101 Ta coù dy/y = (e101 – e100)/e100 = e – 1 ≈ 1,7= %170 Maët khaùc : ( ) . /yx e dy y e ε = = ≠100 100 100 100 100 Toaùn cao caáp : Giaûi tích 205 b) y = 3x + 5 ; ( )' . x xy x y x ε = = + 3 3 5 Khi x = 100 thì y = 305. Khi x = 101 thì y = 308 Ta coù dy/y = (308 – 305)/305 = 3/305 = %300 305 Maët khaùc ( ). / . /dy yε = + = =3003 100 3 100 5 305 Chuù yù: Khi y = f(x) = ax + b thì ñoä co daõn cuûa y theo x chính laø söï thay ñoåi cuûa y tính theo phaàn traêm khi x taêng theâm 1%. 3. Baøi toaùn cöïc ñaïi, cöïc tieåu hoùa: a.Haøm loài, haøm loõm: i) Taäp loài: Cho D n⊂ ℝ . D ñöôïc goïi laø taäp loài neáu ( ) ( ), ' , , '∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ + − ∈0 1 1x x D x x Dλ λ λ ii) Haøm soá y = f(x) goïi laø loài ngaët treân taäp loài D n⊂ ℝ neáu ( )( ) ( ) ( ) ( )' ' ,+ − < + −1 1f x x f x f xλ λ λ λ ( ), ' , ,∀ ∈ ∀ ∈ 0 1x x D λ . iii) Haøm soá y = f(x) goïi laø loõm ngaët treân taäp loài D n⊂ ℝ neáu ( )( ) ( ) ( ) ( )' ' , , 'f x x f x f x x xλ λ λ λ+ − > + − ∀ ∈ℝ1 1 , ( ),λ∀ ∈ 0 1 . b- Cöïc trò ñòa phöông, cöïc trò toaøn cuïc cuûa haøm soá thöïc theo moät bieán soá thöïc Xeùt haøm soá : y = f(x), x D∈ ⊂ ℝ • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi ox D∈ neáu : ( ) ( ) ( ): , :o o ox x x D f x f xε ε ε∃ > ∀ ∈ − + ∩ ≤0 • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi ox neáu : ( ) ( ) ( ): , :o o ox x x D f x f xε ε ε∃ > ∀ ∈ − + ∩ ≥0 • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc treân D taïi xo neáu : ( ) ( ),∀ ∈ ≤ ox D f x f x Toaùn cao caáp : Giaûi tích 206 • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc tieåu toaøn cuïc treân D taïi xo neáu : ( ) ( ),∀ ∈ ≥ ox D f x f x Chuù yù: - Moät cöïc trò ñòa phöông khoâng chaéc laø cöïc trò toaøn cuïc. - Khoâng phaûi haøm soá naøo cuõng coù cöïc trò toaøn cuïc. - Trong caùc öùng duïng kinh teá, haàu heát caùc haøm soá chæ coù moät cöïc trò ñòa phöông duy nhaát vaø ñoù cuõng laø cöïc trò toaøn cuïc. - Treân taäp loài D⊂ ℝ , ñoái vôùi caùc baøi toaùn kinh teá thöôøng gaëp ta coù: + Neáu f”(x) > 0, x D∀ ∈ thì f loài ngaët toaøn cuïc treân D. Khi ñoù, moät ñieåm cöïc tieåu ñòa phöông cuõng laø cöïc tieåu toaøn cuïc treân D. + Neáu f”(x) < 0, x D∀ ∈ thì f loõm ngaët toaøn cuïc treân D. Khi ñoù, moät ñieåm cöïc ñaïi ñòa phöông cuõng laø cöïc ñaïi toaøn cuïc treân D. c- Cöïc trò ñòa phöông, cöïc trò toaøn cuïc cuûa haøm soá thöïc theo hai bieán soá thöïc Xeùt haøm soá ( ) ( ), , ,z f x y x y D= ∈ ⊂ 2ℝ Ñaët ( ) ( ) ( ) ( ){ }/( , ), , / ,o o o oB x y x y x x y yε ε ε = − + −  1 22 2 0 • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi ( ),o ox y D∈ neáu ( ) ( )( ) ( ) ( ): , , , : , ,o o o ox y B x y D f x y f x yε ε∃ > ∀ ∈ ≤0 ∩ • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi ( ),o ox y neáu ( ) ( )( ) ( ) ( ): , , , : , ,o o o ox y B x y D f x y f x yε ε∃ > ∀ ∈ ≥0 ∩ • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc taïi ( ),o ox y D∈ neáu ( ) ( ) ( ), , , ,o ox y D f x y f x y∀ ∈ ≤ • Haøm soá f goïi laø ñaït cöïc tieåu toaøn cuïc taïi ( ),o ox y D∈ neáu ( ) ( ) ( ), , , ,o ox y D f x y f x y∀ ∈ ≥ Toaùn cao caáp : Giaûi tích 207 Caùc chuù yù ôû tröôøng hôïp haøm moät bieán vaãn ñuùng cho tröôøng hôïp hai bieán.
Ñieàu kieän caàn cuûa cöïc trò ñòa phöông (ñieàu kieän caáp 1) Neáu haøm f ñaït cöïc trò ñòa phöông taïi (xo, yo) vaø f coù caùc ñaïo haøm rieâng taïi (xo, yo) thì ( ) ( )' , ' ,x yf x y f x y= =0 0 0 0 0
Ñieàu kieän ñuû cuûa cöïc trò ñòa phöông (ñieàu kieän caáp 2) Nhaéc laïi: Cho z = f (x,y) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 lieân tuïc, ta coù vi phaân caáp 1 vaø vi phaân caáp 2 cuûa f laàn löôït nhö sau : ' ' x ydz f dx f dy= + ; " " "xx xy yyd z f dx f dxdy f dy= + +2 2 22 Ta coù : " " " " " " " xy xx yy xy xx xx xx f dy f f f d z f dx dyf f    − = + +           2 2 2 2 ( giaû söû ''xxf ≠ 0 ) Suy ra: + Neáu "xxf 0 thì d z <2 0 + Neáu "xxf >0 vaø "xxf "yyf - "xyf 2> 0 thì d z >2 0 Baây giôø, ta coù ñieàu kieän ñuû cuûa cöïc trò ñòa phöông nhö sau : • Neáu df(xo,yo) = 0 vaø d2f(xo,yo) < 0 thì f ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi (xo,yo). • Neáu df(xo,yo) = 0 vaø d2f(xo,yo) > 0 thì f ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi (xo,yo). Ta ñaët: "" " " xyxx yx yy ff H f f  =    (H goïi laø ma traän Hesse); // ,xxH f H H= =1 2 Ta coù : i) ,H H thì d f <2 1 2 0 0 0 (cöïc ñaïi ñòa phöông) ii) ,H H thì d f> > >2 1 2 0 0 0 (cöïc tieåu ñòa phöông) Toaùn cao caáp : Giaûi tích 208 + Neáu ( ) ( ), , ,d z x y x y D> ∀ ∈2 0 thì f loài ngaët toaøn cuïc treân D. Khi ñoù, moät ñieåm cöïc tieåu ñòa phöông cuõng laø cöïc tieåu toaøn cuïc treân D. + Neáu ( )( , ) , ,d z x y x y D< ∀ ∈2 0 thì f loõm ngaët toaøn cuïc treân D. Khi ñoù, moät ñieåm cöïc ñaïi ñòa phöông cuõng laø cöïc ñaïi toaøn cuïc treân D. d- Ñònh lyù: Cho z = f (x,y) coù caùc ñaïo haøm rieâng caáp 2 lieân tuïc treân taäp môû vaø loài D ⊂ ℝ2 . Giaû söû , taïi ( ),x y D∈0 0 ta coù ( ) ( )' , ' ,x yf x y f x y= =0 0 0 0 0 .Khi ñoù i) Neáu ( , ) , ( , ) , ( , )H x y H x y x y D> > ∀ ∈ 1 2 0 0 thì f ñaït cöïc tieåu toaøn cuïc treân D taïi ( ),x y0 0 ii ) Neáu ( , ) , ( , ) , ( , )H x y H x y x y D ∀ ∈ 1 2 0 0 thì f ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc treân D taïi ( ),x y0 0 3. Caùc ví duï veà kinh teá: Ví duï 1: Giaû söû haøm lôïi nhuaän cuûa moät xí nghieäp ñoái vôùi moät loaïi saûn phaåm coù daïng : R C T PQ cQ tQ f∏ = − − = − − − trong ñoù ∏ laø lôïi nhuaän, R laø doanh thu, C laø chi phí goàm ñònh phí f (ñoäc laäp vôùi saûn löôïng) vaø bieán phí cQ (c : bieán phí ñôn vò treân 1 saûn phaåm, Q : saûn löôïng), t laø thueá treân moät ñôn vò saûn phaåm, T laø toång thueá. Giaû söû: P = a – bQ (a, b > 0) Khi ñoù, ta coù : ( )aQ bQ c t Q f∏ = − − + −2 Ñeå ñôn giaûn, ta giaû söû : a = 10, b = 1, c = 2, f = 1. ta coù : Toaùn cao caáp : Giaûi tích 209 ( )Q Q t Q∏ = − − + −210 2 1 Baøi toaùn ñaët ra laø xí nghieäp muoán xaùc ñònh möùc saûn löôïng Q ñeå lôïi nhuaän ñaït cöïc ñaïi. Ñoàng thôøi nhaø nöôùc cuõng muoán xaùc ñònh möùc thueá t treân moät ñôn vò saûn phaåm ñeå toång thueá T ñaït cöïc ñaïi. Tröôùc tieân, ta ñöùng treân cöông vò cuûa xí nghieäp, xem t nhö laø tham soá thì pi laø haøm soá thöïc theo moät bieán soá thöïc Q. Ñieàu kieän caáp 1 : ( )/Q tQ t Q t−∏ = − + − = ⇔ = < <82 8 0 0 8 2 Ñieàu kieän caáp 2 : //QQ∏ = − <2 0 Vaäy haøm pi loõm ngaët toaøn cuïc neân ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc khi : ( )* tQ Q t−= = < <8 0 8 2 Vôùi Q = Q*, ta coù : * t tT tQ −= = 2 8 2 Ñieàu kieän caáp 1 : ' " t tt tT t T − = = ⇔ = = − < 8 2 0 4 2 1 0 Vaäy haøm T loõm ngaët toaøn cuïc neân ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc khi : t = t* = 4 (thoûa ñieàu kieän 0 < t < 8) Khi ñoù, ta coù : Q = Q* = 2 P = P* = a – bQ* = 10 – 2 = 8 Vaø * .∏ = ∏ = − − − =20 4 6 2 1 3 Ví duï 2: Giaû söû haøm lôïi nhuaän cuûa moät coâng ty ñoái vôùi moät saûn phaåm laø : R C PQ wL rK∏ = − = − − Toaùn cao caáp : Giaûi tích 210 trong ñoù ∏ laø lôïi nhuaän, R laø doanh thu, C laø chi phí, L laø löôïng lao ñoäng, w laø tieàn löông cuûa moät lao ñoäng, K laø tieàn voán, r laø laõi suaát cuûa tieàn voán, P laø ñôn giaù baùn. Giaû söû Q laø haøm saûn xuaát Cobb-Douglas daïng / /Q L K= 1 3 1 3 Giaû söû w = 1, r = 0,02, P = 3 Khi ñoù, ta coù : / / ,L K L KΠ = − −1 3 1 33 0 02 / / / / / /; ,L KL K L K − −∏ = − ∏ = −2 3 1 3 1 3 2 31 0 02 Ta coù ñieàu kieän caàn ñeå Π ñaït cöïc trò taïi (L,K) laø: / / / / / / ,L KL K L K − −∏ = − = ∏ = − = ⇔vaø2 3 1 3 1 3 2 31 0 0 02 0 ( )( , ) ( , )( , ) K KK LL L vì LL L K L K  = = =   ⇔ ⇔   = >= =   =  2 2 3 2 3 4 3 2 1 2500 50 00 02 0 02 0 02 Ta coù ma traän Hesse : / / / / // // // // / / / / LL LK KL KK L K L K H L K L K − − − − − −   −  ∏ ∏ = =   ∏ ∏     −    5 3 1 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 3 5 3 2 1 3 3 1 2 3 3 Ñieàu kieän caáp 2 : / /H L K−= − <5 3 1 3 1 2 0 3 / / / / / / ,H L K L K L K do L K− − − − − −= − = > > >4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 3 2 4 1 1 0 0 0 9 9 3 Suy ra Π loõm ngaët toaøn cuïc. Do ñoù, Π ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc taïi : K v L= =aø2500 50 Ví duï 3: Giaû söû moät xí nghieäp saûn xuaát moät loaïi saûn phaåm vaø baùn taïi hai thò tröôøng taùch bieät. Giaû söû ñôn giaù baùn taïi thò tröôøng 1 laø P1 cao hôn ñôn giaù baùn taïi thò tröôøng 2 laø P2 : P1 > P2 Toaùn cao caáp : Giaûi tích 211 Giaû söû toång chi phí laø : C = C(Q) + tq2 trong ñoù Q = q1 + q2 laø löôïng haøng baùn ñöôïc ôû caû hai thò tröôøng. q1, q2 laàn löôït laø löôïng haøng baùn ñöôïc ôû thò tröôøng 1 vaø thò tröôøng 2, t laø chi phí taêng theâm treân moät ñôn vò saûn phaåm ôû thò tröôøng 2. Ta coù haøm lôïi nhuaän : ( )Pq P q C Q tq∏ = + − −1 1 2 2 2 Ñeå ñôn giaûn, ta giaû söû , , ( ) ,p p C Q q q q q t= = = + + + =2 2 1 2 1 1 2 2 7 6 3 1 Khi ñoù ta coù : q q q q q q q∏ = + − − − − −2 2 1 2 1 1 2 2 2 7 6 3 q q q q q q= − − − + + −2 2 1 2 1 2 1 2 7 5 3 Ñieàu kieän caáp 1 : / / q q q q q q q q q q ∏ = − − + = + =  ⇔ ⇔   − − + = + =∏ =   1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 7 0 2 7 2 5 0 2 4 100 q q = ⇔  = 1 2 3 1 Ñieàu kieän caáp 2 : Ma traän Hesse // // // // q q q q q q q q H  ∏ Π − −  = =    − −∏ Π     1 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 ,H H H= − = − 1 2 2 2 0 3 0 Vaäy Π loõm ngaët toaøn cuïc, do ñoù Π ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc khi : * *vaøq q q q= = = = 1 1 2 2 3 1 Khi ñoù : *∏ = ∏ = − − − + + − =9 1 3 21 5 3 10 Ví duï 4: Moät coâng ty saûn xuaát ñoäc quyeàn moät loaïi saûn phaåm vaø tieâu thuï treân 2 thò tröôøng rieâng bieät. Giaû söû caùc haøm caàu treân 2 thò Toaùn cao caáp : Giaûi tích 212 tröôøng 1 vaø 2 laàn löôït laø QD1 = 80 - P 1 3 , QD2 = 80 - P 2 4 , haøm toång chi phí laø C(Q) = Q2 + 30Q + 10. Trong ñoù Pi laø ñôn giaù treân thò tröôøng thöù i, i = 1, 2 ; Q laø toång saûn löôïng. Tìm khoái löôïng saûn phaåm coâng ty cung caáp cho caùc thò tröôøng ñeå lôïi nhuaän cao nhaát ? Giaûi: Giaû söû coâng ty cung caáp cho thò tröôøng i laø Qi. Ta coù : Q1 = 80 - P 1 3 , Q2 = 80 - P 2 4 ; vaø Q1 + Q2 = Q ⇒ P1 = 240 - 3Q1, P2 = 320 - 4Q2 ⇒ R1 = (240 - 3Q1)Q1 , R2 = (320 - 4Q2)Q2. Vôùi Ri laø doanh thu treân thò tröôøng thöù i, i = 1,2 Ñieàu kieän caàn ñeå pi = R1 + R2 - Q2 - 30Q - 10 ñaït cöïc trò laø Q Q pi pi∂ ∂ = = ∂ ∂ 1 2 0 ⇔ ( ) ( ) Q Q Q Q Q Q − = + +  − = + + 1 1 2 2 1 2 240 6 30 2 320 8 30 2 ⇔ Q Q Q Q + =  + = 1 2 1 2 4 105 5 145 ⇔ (Q1, Q2) = (20, 25). ; ;Q Q Q Q pi pi pi∂ ∂ ∂ = − = − = − ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 8 10 2 H = − −    − −  8 2 2 10 , H2 = > 0 − − − − 8 2 2 10 , H1 = -8 < 0, ( ),Q Q∀ 1 2 ⇒ pi loõm ngaët toaøn cuïc ⇒ pi ñaït cöïc ñaïi toøan cuïc taïi ( , )Q Q 1 2 = (20, 25). Vaäy coâng ty cung caáp cho : - Thò tröôøng thöù 1 laø Q1= 20 ñôn vò haøng vôùi ñôn giaù laø P1 = 240 - 3Q1 = 180 - Thò tröôøng thöù 2 laø Q2 = 25 vôùi ñôn giaù P2 = 320 - 4Q2 = 220 4. Cöïc trò raøng buoäc cuûa haøm soá thöïc theo hai bieán soá thöïc: Xeùt baøi toaùn tìm cöïc trò haøm f(x, y) vôùi raøng buoäc g(x, y) = go ( giaû söû g0 > 0) Toaùn cao caáp : Giaûi tích 213 Tröôùc tieân, ta laäp haøm Lagrange : ( ) ( ) ( )( ), ; , ,oL x y f x y g g x yλ λ= + − (λ goïi laø nhaân töû Lagrange) Ta thaáy cöïc trò cuûa haøm f vôùi raøng buoäc g(x, y) = go cuõng chính laø cöïc trò cuûa haøm Lagrange L. Ta coù ñieàu kieän caáp 1 töông töï tröôøng hôïp cöïc trò khoâng raøng buoäc Ñieàu kieän caáp : Neáu L ñaït cöïc trò ñòa phöông taïi (xo, yo, oλ ) thì ( )' ' ', taïi= = = = =0 0 0 0x yL L L hay dLλ (xo, yo, oλ ) Ñieàu kieän caáp 2: Ta ñònh nghóa Hessian bao nhö sau : " " '' " " " " " '' xx xy x yx yy y x y L L L H L L L L L L λ λ λ λ λλ     =       Ñaët " '' " '' , λ λ λλ   = =     1 2 xx x x L L H H H L L Ta coù caùc ñònh lyù sau : • Neáu dL(xo, yo, oλ ) = 0 vaø H 2 0 taïi (xo, yo, oλ ) thì L ñaït cöïc ñaïi ñòa phöông taïi (xo, yo, oλ ). • Neáu dL(xo, yo, oλ ) = 0 vaø H <1 0 taïi (xo, yo, oλ ), H <2 0 taïi (xo, yo, oλ ) thì L ñaït cöïc tieåu ñòa phöông taïi (xo, yo, oλ ). • Neáu dL(xo, yo, oλ ) = 0 vaø H 2 0 , ( ), ,x y λ∀ thì (xo, yo) laø ñieåm cöïc ñaïi toaøn cuïc cuûa f vôùi raøng buoäc g(xo, yo) = go. Toaùn cao caáp : Giaûi tích 214 • Neáu dL(xo, yo, oλ ) = 0 vaø H <1 0 , H <2 0 , ( ), ,x y λ∀ thì (xo, yo) laø ñieåm cöïc tieåu toaøn cuïc cuûa f vôùi raøng buoäc g(xo, yo) = go. Chuù yù: Baøi toaùn tìm cöïc trò haøm f(x, y) vôùi raøng buoäc g(x, y) = go coù theå giaûi ñôn giaûn baèng caùch töø raøng buoäc, ruùt y theo x (hay x theo y) vaø theá vaøo f. Töø ñoù, baøi toaùn ñöa veà vieäc tìm cöïc trò cuûa haøm moät bieán. Tuy nhieân, khoâng phaûi luùc naøo ta cuõng ruùt ñöôïc bieán naøy theo bieán kia. Hôn nöõa, phöông phaùp Lagrange aùp duïng ñöôïc cho tröôøng hôïp haøm nhieàu bieán toång quaùt vôùi nhieàu raøng buoäc vaø nhaân töû Lagrange λ coù yù nghóa ñaëc bieät trong kinh teá. Ví duï 1: Giaû söû haøm lôïi ích ñoái vôùi hai saûn phaåm laø ( ), ln lnx y x y= +∪ trong ñoù x laø löôïng haøng thöù nhaát, y laø löôïng haøng thöù hai. Giaû söû ngöôøi tieâu duøng coù thu nhaäp I phaûi duøng heát ñeå mua hai saûn phaåm treân, Px vaø Py laàn löôït laø ñôn giaù cuûa hai maët haøng. Baøi toaùn ñaët ra laø caàn tìm x vaø y ñeå cöïc ñaïi hoùa ∪ vôùi raøng buoäc Pxx + Pyy = I ( ñieàu kieän ;x yI P I P≥ ≥2 2 ). Haøm Lagrange cuûa baøi toaùn : ( )ln ln x yL x y I P x P yλ= + + − − Ñieàu kieän caáp 1 : ' ' ' x x y y x y P xL L P y L I P x P yλ λ λ  − =  =    = ⇔ − =    =  − − =   1 0 0 1 0 0 0 0 Toaùn cao caáp : Giaûi tích 215 x y x x y y I xP yP I x P P I Iy P P λ λ λ λ λ   =   = =   ⇔ ⇔ = =    =  = =  2 1 1 1 22 1 2 Hessian bao : / x y x y x P H P y P P   − −     = − −       − −  2 2 1 0 1 0 0 ; / , x x x x P H P P − − = = − < − 2 2 1 1 0 0 , , , ( , )= = + > ∀ ≥ ≥ 22 2 2 2 0 1 1 yx PPH H x y x y y x λ Vaäy ∪ ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc vôùi raøng buoäc g(x,y) = I taïi : * x I x x P = = 2 vaø * y Iy y P = = 2 Khi ñoù : ln ln ln x y x y I I I P P P P = + = 2 2 2 4 ∪ Ví duï 2: Giaû söû haøm lôïi ích phuï thuoäc vaøo soá tieàn tieâu duøng taïi cuoái hai thôøi kyø 1 vaø 2 laø C1 vaø C2 nhö sau : ∪ = C1 C2. Giaû söû laõi suaát taïi cuoái thôøi kyø thöù 1 laø r = 0,5%, toång thu nhaäp taïi cuoái thôøi kyø thöù 1 laø I. Giaû söû ta coù raøng buoäc CC I r + = + 2 1 1 (C2/(1+r) laø hieän giaù cuûa C2 taïi cuoái thôøi kyø thöù 1). Baøi toaùn ñaët ra laø tìm C1, C2 ñeå cöïc ñaïi hoùa haøm lôïi ích ∪ . Ta coù haøm Lagrange cuûa baøi toaùn : Toaùn cao caáp : Giaûi tích 216 ( ), , , λ λ  = + − −    2 1 2 1 2 1 1 005 CL C C C C I C Ñieàu kieän caáp 1: ' ' ' , , , λ λ λ λ λ   − = =  =    = ⇔ − = ⇔ =      ==  − − =  1 2 2 2 1 1 1 2 1 00 0 0 1 005 1 005 20 0 1 005 C C CL C L C C C IL CI C , , IC IC Iλ  =   ⇔ =   =  1 2 2 1 005 2 1 005 2 Hessian bao : , , H     −     = −      − −    0 1 1 1 1 0 1 005 1 1 0 1 005 Ñieàu kieän caáp 2 : , , , − = = − − 1 2 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 005 1 005 H H H ( ), ,C C λ∀ 1 2 Vaäy ∪ ñaït cöïc ñaïi toaøn cuïc khi * *, ,= = = = 1 1 2 2 1 005 2 2 I IC C C C Toaùn cao caáp : Giaûi tích 217 Ví duï 3: Giaû söû moät xí nghieäp caàn xaùc ñònh löôïng lao ñoäng L, löôïng voán K ñeå cöïc tieåu hoùa chi phí C(L,K) = wL + rK. Trong ñoù w = 400 laø tieàn löông cho moãi lao ñoäng, r = 0,01 laø laõi suaát cuûa voán vay . Giaû söû xí nghieäp phaûi saûn xuaát Qo = 1000 ñôn vò saûn phaåm vaø haøm saûn phaåm laø :Q = F(L,K) = L1/2K1/2 Haøm Lagrange : F (L,K,λ ) = wL + rK + λ (Qo – L1/2K1/2) Ñieàu kieän caáp 1 : / / ' ' / / ' / / ( ) ( , ) λ λ λ λ λ − −  = − =   =    = ⇔ − = ⇔ =      =   − = =     2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 6 0 8001 0 20 1 0 02 0 0 2 0 0 10 L K K w L K LF LF r L K K F Q L K LK . L K λ =  ⇔ =  = 4 5 200 000 Hessian bao: / / / / / / / / / / / / / / / / L K L K L K H L K L K L K L K L K λ λ λ λ − − − − − − − − − −   − −      = − −       − −    3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 4 4 2 1 1 1 4 4 2 1 1 0 2 2 / / / / / / L K L K H L K L K λ − − − − − = = − < − 3 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 14 2 0 1 4 0 2 / / / / / / / /H H L K L K L K L Kλ λ λ λ− − − − − − − −= = − − − − <1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 1 1 1 1 0 16 16 16 16 Toaùn cao caáp : Giaûi tích 218 , ,L K λ∀ > 0 . Vaäy, haøm chi phí C ñaït cöïc tieåu toaøn cuïc khi L = L* = 5, K = K* = 200.000.