Toán rời rạc - Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1
Chương 3. Phương trình vi phân cấp 1
3.1. Các ví dụ thực tế dẫn đến phương trình
vi phân.
3.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi
phân cấp 1.
3.3. Phương trình vi phân có dạng tách biến.
3.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
4 trang |
Chia sẻ: nguyenlam99 | Lượt xem: 948 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem nội dung tài liệu Toán rời rạc - Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
10/3/2014
1
Chương 3. Phương trình vi phân cấp 1
3.1. Các ví dụ thực tế dẫn đến phương trình
vi phân.
3.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi
phân cấp 1.
3.3. Phương trình vi phân có dạng tách biến.
3.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.
CHƯƠNG 3
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
2
1. Các khái niệm cơ bản
Phương trình vi phân (PTVP) cấp 1 là
phương trình có dạng
trong đó
Ví dụ 3.1
0 1( , , ) , ( )F x y y′ =
.
dyy
dx
′ =
2 2 2 0; ( ) .y y x x y dy ydx′ + = + − =
3
Nếu giải phương trình (1) theo , ta được
Nghiệm của PTVP hoặc trên khoảng
là hàm số xác định trên
sao cho khi thay vào PTVP ta được một đẳng
thức đúng.
Nghiệm có thể cho ở dạng tường
minh hoặc dạng ẩn.
y′
2( , ). ( )y f x y′ =
1( ) 2( )
( , )a b ( )y y x= ( , )a b
4
( )y y x=
Đồ thị của nghiệm được gọi là
đường cong tích phân của
Bài toán Cauchy (Côsi) (bài toán đầu)
Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của
PTVP hoặc thỏa mãn điều kiện đầu
hay nói cách khác là tìm một đường cong tích
phân của (1) hoặc (2) đi qua điểm
1( ) 2( )
0 0 3( ) ( )y x y=
0 0( , ).x y
5
( )y y x=
1( ). Hàm số được gọi là nghiệm tổngquát của PTVP cấp 1 trong miền nếu
với mọi điểm tồn tại duy nhất một
số sao cho là nghiệm của
bài toán Cauchy với điều kiện đầu
Điều đó có nghĩa là tồn tại duy nhất sao cho
i) là nghiệm trong lân cận
ii)
6
( , )y x C= ϕ
2D ⊂ ℝ
0 0( , ) ,x y D∈
0C 0( , )y x C= ϕ
0 0( ) .y x y=
0C
0( , )y x C= ϕ 0x
0 0 0( , ).y x C= ϕ
10/3/2014
2
Nghiệm bất kỳ nhận được từ nghiệm tổng
quát khi cho hằng số C một giá trị cụ thể
được gọi là nghiệm riêng.
Nghiệm không thể nhận được từ nghiệm
tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào
được gọi là nghiệm kỳ dị.
7
Ví dụ 3.2 Giải PTVP
Tìm nghiệm riêng thỏa mãn
Ta có
với là hằng số tùy ý, là tất cả các nghiệm
của phương trình.
Vì nên
và nghiệm riêng cần tìm là
8
cosy x′ =
0 1( ) .y =
cos sin ,y xdx C x C= + = +∫
C
1 0 0( ) sin ,y C= = + 1C =
1sin .y x= +
2. Một số dạng PTVP cấp 1
2.1 Phương trình tách biến (có biến phân li)
Dạng cơ bản
Phương pháp giải
Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình (4),
ta được
với là hằng số tùy ý.
9
4( ) ( ) ( )f x dx g y dy=
( ) ( ) ,f x dx g y dy C= +∫ ∫
C
Ví dụ 3.3 Giải PTVP
10
2 0.xdx y dy− =
Chú ý
1. Phương trình dạng
có thể đưa về dạng (4): trước hết cần lưu ý
- Nếu tại thì là nghiệm
của (5).
- Nếu tại thì là nghiệm
của (5) .
11
1 1 2 2 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g y dx f x g y dy=
1 0( )g y = y b=
2 0( )f x = x a=
b
a
- Các nghiệm khác tìm được bằng cách chia
hai vế cho rồi lấy tích phân
2. Phương trình
có thể đưa về biến phân ly bằng cách đổi
biến
12
1 2( ) ( )g y f x
1 2
2 1
( ) ( )
.
( ) ( )
f x g y
dx dy Cf x g y= +∫ ∫
( )y f ax by c′ = + +
.z ax by c= + +
10/3/2014
3
Ví dụ 3.4 Giải PTVP
Ví dụ 3.5 Giải PTVP
13
2 21 1 0( ) ( ) .x y dx y x dy+ + + =
2( ).y xy y′ = +
Bài tập 1 Giải các PTVP sau
14
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
1 1 1 0
2 1
3 0
4 0
5
. ( ) ( ) .
. ( ) .
. ( ) .
. ( ) ( ) .
. ( ) .
x y dx y x dy
x y xy
x yx y y xy
x y x dx y x y dy
ydx x a dy
+ + + =
′+ =
′
− + + =
− + − =
= −
Bài tập 2 Tìm nghiệm của PTVP thỏa mãn
điều kiện ban đầu
15
2
2
6 2 4
2
1
31 2 2
1
2 2 2 0
4
3 1 1 0 0 1
4 0 1
1 2
x
x
xy xy y
x
y x y x y y
x y dx y x dy y
e
e ydx dy y
x
+
+
′ = =
+
pi
′ + + = − =
+ + + = =
pi
− = =
−
. , ( ) .
. cos( ) cos( ), ( ) .
. ( ) ( ) , ( ) .
. tan , ( ) .
2.2 Phương trình tuyến tính cấp 1
Dạng cơ bản
Phương pháp giải
Bước 1: Giải phương trình thuần nhất
được nghiệm
16
6( ) ( ) ( )y p x y q x′ + =
0( )y p x y′ + =
( )
. .
p x dx
y C e−∫=
Bước 2: Tìm nghiệm của (6) ở dạng
Thế vào (6), ta được
với là hằng số tùy ý. Thế (8) vào (7), ta
được nghiệm của (6)
17
7( )( ). ( )p x dxy C x e−∫=
7( )
( )
( ) ( ).
p x dxC x q x e∫′ =
1 8
p x dxC x C q x e dx∫⇒ = + ∫
( )
( ) ( ). ( )
1C
1
p x dx p x dx
y e C q x e dx− ∫ ∫= + ∫
( ) ( )
. ( ).
Ví dụ 3.6 Giải PTVP
Ví dụ 3.7 Giải PTVP
18
4 .y y x′ + =
2 1 2( ) .x y xy′+ + = −
10/3/2014
4
Ví dụ 3.8 Giải PTVP
Ví dụ 3.9 Giải PTVP
19
2 90 3, ( ) .y x y y e′ − = = −
sincos .xy y x e−′ + =
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- toana5chuong_3_phuong_trinh_vi_phan_cap_1_5187.pdf