Toán rời rạc - Chương 1: Ma trận – định thức

9/11/2013 1 NỘI DUNG Chương 1: Ma trận và định thức Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính Chương 3: Phương trình vi phân cấp 1 Chương 4: Phương trình vi phân cấp 2 Chương 5: Chuỗi Tài liệu Giáo trình chính: [1] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 1- Đại số và hình học giải tích, NXB GD 2011. Tài liệu tham khảo: [2] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 3- Phép giải tích hàm nhiều biến số, NXB GD 2011. [3] Đ.C. Khanh, Toán cao cấp - Lý thuyết chuỗi và phương trình vi phân, NXB ĐHQG TPHCM, 2003 [4] N.Đ. Trí, Toán cao cấp tập 3- Phép giải tích hàm một biến số, NXB GD 2011. Chương 1. Ma trận, định thức 1.1 Ma trận và các phép toán 1.2 Định thức 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.4 Hạng ma trận Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2.1. Khái niệm chung. 2.2. Hệ Cramer. 2.3. Định lý Kronecker – Capelli. 2.4. Phương pháp Gauss. 2.5. Hệ thuần nhất. Phần bổ sung (dành riêng cho ngành Hóa ứng dụng) Không gian Rn Không gian Rn. Độc lập và phụ thuộc. Cơ sở và số chiều. Chương 3. Phương trình vi phân cấp 1 3.1. Các ví dụ thực tế dẫn đến phương trình vi phân. 3.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp 1. 3.3. Phương trình vi phân có dạng tách biến. 3.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. 9/11/2013 2 Chương 4. Phương trình vi phân cấp 2 4.1. Các phương trình vi phân có thể giảm cấp. 4.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số hằng. Chương 5. Chuỗi 5.1. Định nghĩa. 5.2. Chuỗi số không âm. 5.3. Chuỗi đan dấu. 5.4. Chuỗi lũy thừa. Chương 1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC I. Ma trận và các phép toán 1. Một số định nghĩa: Định nghĩa 1.1.1: Một ma trận A loại là một bảng hình chữ nhật m hàng n cột với m.n phần tử, có dạng sau: m n× 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ Kí hiệu: , các phần tử có thể là số thực, phức, hàm số hoặc .
Nếu , thì A được gọi là ma trận vuông cấp n . Trong mỗi ma trận vuông cấp n có một đường chéo chính (đường chéo) gồm các phần tử và một đường chéo phụ gồm các phần tử . ( ), 1, ; 1,ijA a i m j n= = = ija m n A × m n= , 1,iia i n= ( 1) , 1,i n ia i n− + = Ví dụ 1.1.1 Xét ma trận
Các phần tử trên đường chéo chính: 1,4,1,-4
Các phần tử trên đường chéo phụ: 2,1,2,3. 2 1 2 3 0 3 5 0 1 1 6 1 1 4 1 4 A −      =   −    −
Ma trận chéo cấp n là ma trận vuông cấp n mà tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 Ví dụ 1.1.2 ( 0, ; , 1, ).= ∀ ≠ =ija i j i j n 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A α α α α       =       9/11/2013 3
Nếu các phần tử trên đường chéo chính của ma trận chéo cấp n đều bằng 1 thì ma trận đó đgl ma trận đơn vị cấp n. Kí hiệu: hay . Ví dụ 1.1.3 nI I 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 10 0 0 I I       = =      
Một ma trận tam giác trên (tam giác dưới) là một ma trận vuông mà tất cả hệ số nằm phía dưới (phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ 1.1.4 A, B t.ư. là ma trận tam giác trên (dưới) ( 0, 1 ; 0, 1 )ij ija j i n a i j n= ∀ ≤ < ≤ = ∀ ≤ < ≤ 11 12 1 22 20 0 0 n n nn a a a a a A a       =       ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 11 21 22 1 2 0 0 0 n n nn a a a B a a a       =       ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ Định nghĩa 1.1.2: Các phép biến đổi sau đây đối với hàng của ma trận đgl các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng: 1. Nhân tất cả các phần tử của một hàng với một số khác 0 . 2. Cộng các phần tử của một hàng đã được nhân cho cùng một số vào các phần tử t.ư. của hàng khác, 3. Đổi vị trí hai hàng ( 0, )i ih hα α≠ → ( , ).α→ + ≠j j ih h h i j ( ).↔i kh h Ví dụ 1.1.5 1 122 2 3 1 2 2 3 1 3 6 3 1 1 4 2 0 2 8 4 0 3 6 3 1 h hA →         = − → −            3 3 13 3 6 3 1 0 0 3 1 2 2 0 1 2 2 0 2 0 3 1 2 3 1 0 1h h hB → −         = →           − Định nghĩa 1.1.3: Ma trận đgl có dạng bậc thang nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Các hàng bằng 0 (nếu có) phải nằm dưới các hàng khác 0. 2. Phần tử cơ sở của một hàng phải nằm phía phải so với phần tử cơ sở của hàng trên.
Hàng bằng 0: tất cả phần tử trên hàng đều bằng 0.
Hàng khác 0: có ít nhất 1 phần tử trên hàng khác 0.
Phần tử cơ sở: phần tử khác 0 đầu tiên của hàng (tính từ trái sang phải) Ví dụ 1.1.6 Cho các ma trận sau 2 1 4 1 3 1 0 1 1 0 2 5 0 0 3 0 0 0 A B         = =        −    2 6 1 1 3 2 1 0 0 8 0 0 0 0 0 5 0 0 0 2 5 C D         = =            9/11/2013 4
Ma trận A, B có dạng bậc thang;
Ma trận C, D không có dạng bậc thang. Định lý 1.1.1: Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Ví dụ 1.1.7 Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang 1 2 1 1 1 2 3 1 3 5 3 , 1 1 0 3 2 4 0 2 1 3 A B         = = −            Định nghĩa 1.1.4: Ma trận đgl có dạng bậc thang rút gọn nếu thỏa mãn hai điều kiện sau: 1. Nó có dạng bậc thang; 2. Phần tử cơ sở của hàng bằng 1 và là phần tử duy nhất khác 0 trong cột chứa nó. Ví dụ 1.1.8 Các ma trận sau có dạng bậc thang rút gọn 1 0 3 1 2 0 0 0 1 2 , 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 A B         = =            Định lý 1.1.2: Mọi ma trận có thể đưa về dạng bậc thang rút gọn nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Ví dụ 1.1.9 Đưa các ma trận sau về dạng bậc thang rút gọn 1 3 2 0 1 3 1 0 2 1 0 0 1 0 , 1 3 3 1 0 0 3 0 0 0 0 A B           = =          2. Các phép toán đối với ma trận 2.1 Các phép toán Định nghĩa 1.1.5: Hai ma trận cùng loại đgl bằng nhau nếu với mọi i,k. Định nghĩa 1.1.6: Tổng của hai ma trận cùng loại là một ma trận cùng loại với A,B được kí hiệu là A+B, với phần tử ở hàng i cột k là , ( ), ( )ik ikA a B b= = ik ika b= ( ), ( )ik ikA a B b= = ik ika b+ ( )ik ikA B a b+ = + Định nghĩa 1.1.7: Tích của ma trận với một số là một ma trận cùng loại được kí hiệu là với phần tử ở hàng i cột k là Định nghĩa 1.1.8: Cho ma trận loại ma trận loại . Tích của hai ma trận A và B là ma trận loại được kí hiệu là AB , với phần tử hàng i cột j là: ( )ikA a= λ Aλ ( )ikA aλ λ=,ikaλ ( )ikA a= m n× ( )kjB b= n p× m p× 1 1 2 2 1 ... n i j i j i n nj ik kj k a b a b a b a b = + + + = ∑ Định lý 1.1.3 Với các ma trận A, B, C và các số ta có các mệnh đề sau (giả thiết các phép toán đều hợp lệ) ,λ β ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1. 2. 3. 4. 5. ) ( ) A B B A A B C A B C A B C AB C A BC A B C AC BC A B C AB AC + = + + + = + + = + + = + = + + = + 9/11/2013 5 .6. 7. ( ) ( ) ( ) 8. 9 ( ) ( ) ( ) ( ). A A AB A B A B A B A B A A A αβ α β α α α α α α α β α β = = = + = + + = + 2.2 Các phép toán và phép biến đổi sơ cấp với ma trận Ví dụ 1.1.10 Xét các ma trận 1 2 0 1 1 2 0 1 2 0 3 2 , 2 0 3 2 1 1 4 1 2 2 8 2 1 0 0 0 1 0 0 0 2 A B E − −        = =        − −        =       Ta có:
EA=B
Vậy phép biến đổi sơ cấp thứ nhất tương đương với việc nhân phía trái của A với một ma trận E. Định lý 1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp 1,2,3 đối với hàng của ma trận loại tương đương với nhân bên trái của A một ma trận vuông (loại ) cấp m có các dạng tương ứng sau: 3 32h hA B→→ ( )ikA a= m n× m m× 1. Phép biến đổi sơ cấp thứ nhất: nhân hàng thứ i với hàng i α 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 E α         =           2. Phép biến đổi sơ cấp thứ hai: cộng hàng i đã nhân vào hàng j hàng i hàng j α 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 E α         =           3. Phép biến đổi sơ cấp thứ ba: đổi vị trí hàng i với hàng j Các ma trận đgl các ma trận sơ cấp. 3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 E         =           1 2 3, ,E E E 9/11/2013 6 2.3 Ma trận chuyển vị Định nghĩa 1.1.9. Cho ma trận loại Ma trận chuyển vị của ma trận A là một ma trận loại được kí hiệu là với phần tử hàng i cột k là , . Ví dụ 1.1.11 ( )ikA a= m n× n m× TA kia ( )T kiA a= 1 4 1 2 3 , 2 5 4 5 6 3 6 TA A       = =          Định lý 1.1.5 Đối với phép chuyển vị ma trận ta có (giả thiết các phép toán có nghĩa) 1. 2. 3 ( ) ( ) ( ). 4. ( ) T T T T T T T T T T A A A B A B AB B A A Aλ λ = + = + = = 3. Ma trận nghịch đảo 3.1 Khái niệm về ma trận nghịch đảo (trong phần này chỉ xét tập các ma trận vuông cấp n) Định nghĩa 1.1.10 Ma trận vuông I cấp n đgl ma trận đơn vị nếu với mọi ma trận vuông A cấp n. Định nghĩa 1.1.11 Ma trận vuông B đgl ma trận nghịch đảo của A (vuông cấp n), nếu Khi đó, A đgl khả đảo, và kí hiệu ma trận nghịch đảo của nó là . AI IA A= = .AB BA I= = 1A− Định lý 1.1.6 Ta có các mệnh đề sau: 1. Nếu A, B khả đảo thì tích AB khả đảo và 2. Nếu A khả đảo thì khả đảo và 3. Nếu A khả đảo thì khả đảo và 4. Nếu A khả đảo và thì ma trận cũng khả đảo và 1 1 1( ) ;AB B A− − −= TA 1 1( ) .A A− − =1A− 1 1( ) ( ) ;T TA A− −= 0α ≠ Aα 1 11( )A Aα α − − = 3.2 Tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Định lý 1.1.7 Các ma trận sơ cấp thì khả đảo. Định nghĩa 1.1.12. Hai ma trận đgl tương đương hàng nếu từ ma trận này có thể biến thành ma trận kia nhờ các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Định lý 1.1.8 Ma trận (vuông) A khả đảo khi và chỉ khi nó tương đương hàng với ma trận đơn vị. Cách tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp đối với hàng. Xét ma trận mở rộng Biến đổi Ví dụ 1.1.12 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 1( ) ( )A I I A−→ ( )A I 1 1 1 1 2 3 0 1 1 A     =       9/11/2013 7 Ví dụ 1.1.13 Xét ma trận A có khả đảo? 1 2 4 1 2 1 2 3 1 1 1 1 3 0 1 2 A −      =   −     Định lý 1.1.9 Cho ma trận vuông A (cấp n) khả đảo và . Xét phương trình ma trận và . Khi đó , n p m nB C× × A X B= YA C= 1 1 ) ; ) . i AX B X A B ii YA C Y CA − − = ⇔ = = ⇔ = Ví dụ 1.1.14 Giải các phương trình ma trận sau: 1 2 3 5 1) 3 4 5 9 3 1 5 6 14 16 2) 5 2 7 8 9 10 1 2 3 5 3) 2 4 4 2 X X X     =        −      =      −          =        II. Định thức 1. Một số định nghĩa: Với ma trận vuông A, định thức của ma trận A được kí hiệu là det A hay . Định nghĩa 1.2.1. Ta có các định thức cấp 1, 2, 3: Cấp 1: Cấp 2: A ( ) det .A a A a= ⇒ = 11 12 11 22 12 21 21 22 det a a A A a a a a a a   = ⇒ = −    Cấp 3: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32 det a a a A a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a     =       ⇒ = + + − − − − Định nghĩa 1.2.2. Cho là ma trận vuông cấp n . Định thức của ma trận A được tính bởi công thức sau: trong đó, và là ma trận vuông cấp (n-1) nhận được từ A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ k. Đại lượng đgl phần bù đại số của ; đgl định thức con bù của . ( )ikA a= 11 11 12 12 1 1det .. ,. n nA a A a A a A= + + + 1 det( )iik kk iA M+= − ikM ikA ika det ikM ika 9/11/2013 8 Ví dụ 1.2.1 Tính det A, với 1 3 0 2 4 1 2 1 3 1 0 2 2 3 3 5 A     −  =       Định lý 1.2.1 Với ma trận vuông cấp ta có thể khai triển định thức của nó theo một hàng bất kỳ hoặc một cột bất kỳ theo công thức sau: (theo hàng , ) (theo cột k, ) 2n≥ 1 1 2 2 1 det ... n i i i i in in ij ij j A a A a A a A a A = = + + + =∑ 1 1 2 2 1 det ... n k k k k nk nk ik ik i A a A a A a A a A = = + + + =∑ 1,i n= 1,k n= i Ví dụ 1.2.2 Tính det A, với 1 2 0 1 3 1 0 1 1 2 4 5 2 3 1 0 A       =   −     2. Các tính chất của định thức

Khi nhân một số vào trong một hàng (cột) nào đó thì định thức cũng được nhân cho số đó. Ví dụ 1.2.3 Xét ma trận det det( ).TA A= α α 1 0 2 3 1 1 2 1 2 A     = −    − 
Ta có các tính chất sau (định thức bằng 0): i. Nếu ma trận có một hàng (cột) bằng 0 thì định thức của nó bằng 0. ii. Nếu ma trận có hai hàng (cột) bằng nhau thì định thức của nó bằng 0. iii. Nếu ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau thì định thức của nó bằng 0.
Với ma trận vuông A cấp n, ta có:
Định thức không đổi nếu ta cộng vào một hàng (cột) nào đó một hàng (cột) khác đã được nhân cho một số.
Định thức đổi dấu nếu ta đổi vị trí hai hàng (cột). 1 1 2 2 det , ... 0,i j i j in jn A i j a A a A a A i j = + + + =  ≠ 9/11/2013 9
Cho ma trận có tính chất: mỗi phần tử của hàng thứ i biểu diễn ở dạng: Kí hiệu: là ma trận nhận từ bằng cách thay hàng thứ i bằng các phần tử , nhận từ bằng cách thay hàng i bằng các phần tử . Khi ấy ta có: (1) (2) ik ik ika a a= + 1A A A (1) ika 2A A (2) ika 1 2det det detA A A= +
Nếu ma trận A có dạng tam giác thì định thức của nó bằng tích các số nằm trên đường chéo, 11 22det ... nnA a a a= Định lý Laplace. Khai triển định thức theo r hàng (cột). Cho ma trận vuông A cấp n . Xét k hàng và k cột Kí hiệu: là định thức của ma trận vuông cấp k gồm các phần tử nằm trên giao của k hàng và k cột đó: 1 2 ... ki i i< < < 1 2 ... kj j j< < < δ 1 1 1 2 1 1 2 k k k k k i j i j i j i j i j i j a a a a a a δ = ⋮ là định thức của ma trận vuông cấp nhận được từ A bằng cách bỏ đi k hàng và k cột trên đgl định thức con bù của . Đại lượng đgl phần bù đại số của định thức . β ( )n k− δ 1 1... ... .( 1) k ki i j jβ + + + + +∆ = − δ Ví dụ 1.2.4 Cho ma trận vuông cấp 5 1 3 1 0 2 2 3 2 1 1 4 1 0 2 3 2 1 1 4 1 6 2 1 1 2 A        =   −      Định lý 1.2.2 (Định lý Laplace) Định thức của một ma trận bằng tổng của tích mọi định thức con rút ra từ k hàng (cột) với bù đại số tương ứng của chúng. Ví dụ 1.2.5 Tính định thức cấp 4: 2 0 2 3 7 0 1 2 4 1 1 0 0 3 2 1 A       =       9/11/2013 10 Ví dụ 1.2.6 Tính định thức cấp 5: 1 2 0 0 0 2 1 0 0 0 5 3 1 1 2 8 1 2 3 5 4 2 1 2 3 A        =   −      Ví dụ 1.2.7 Dùng khai triển Laplace, tính định thức sau: 2 3 0 0 1 1 9 4 0 0 3 7 4 5 1 1 2 4 3 8 3 7 6 9 1 1 0 0 0 0 3 7 0 0 0 0 − − − Ví dụ 1.2.8 Dùng các t/c của đth tính các định thức sau: 2 2 21 ) 1 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1) 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a b c a b a b c c a b a a c a a + + + 3. Công thức tính ma trận nghịch đảo. Định thức tích hai ma trận. 3.1 Ma trận biến đổi sơ cấp và định thức tích hai ma trận Định lý 1.2.3 Với ba ma trận biến đổi sơ cấp hàng ta có: 1 2 3det ; det 1; det det 1E E E Iα= = = − = − 1 2 3, ,E E E det( ) (det )(det ), 1, 2,3.i iE A E A i= = Định lý 1.2.4 Ma trận vuông A khả đảo khi và chỉ khi Định lý 1.2.5 det (det )(det )AB A B= det 0.A ≠ Định nghĩa 1.2.3 Ma trận vuông A đgl không suy biến nếu det A ≠ 0. Ngược lại, A đgl suy biến. Định lý 1.2.6 Ma trận vuông khả đảo khi và chỉ khi nó không suy biến. 9/11/2013 11 3.2 Công thức tính ma trận nghịch đảo Cho ma trận 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a       =       Xét ma trận trong đó là phần bù đại số của , ma trận đgl ma trận phụ hợp của A. 11 21 1 12 22 2 1 2 n n A n n nn A A A A A A P A A A       =       ijA ija AP Đinh lý 1.2.7 Ta có : Nếu A khả đảo, thì (det ) .A AAP P A A I= = 1 1 . det A A P A − = Ví dụ 1.2.9 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau: 1 2 0 3 1 4 2 1 2 A     =     −  4. Hạng của ma trận 4.1 Khái niệm hạng của ma trận Xét . Các phần tử nằm trên giao của k hàng và k cột tạo một ma trận vuông loại Định thức của nó đgl định thức con cấp k. Ví dụ 1.2.10 Cho ma trận loại m nA × .k k× 3 4× 1 1 1 2 3 2 1 5 4 0 2 1 A −    =     −  Xét ma trận có định thức là một định thức con cấp 2. 3 1 4 2 δ  =   −  det 10δ = − 9/11/2013 12 Định nghĩa 1.2.4 Hạng của một ma trận là cấp cao nhất của các định thức con khác 0. Nói cách khác, hạng của ma trận A bằng r nếu tồn tại ít nhất một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp cao hơn r đều bằng 0. Kí hiệu: hoặc là hạng của ma trận A.Ar rank A Ví dụ 1.2.11 Tính hạng của ma trận sau: 1 2 2 3 2 1 4 0 1 1 6 3 A −    =    − −  Ví dụ 1.2.12 Cho ma trận dạng bậc thang 1 2 3 1 0 0 2 1 2 1 0 0 1 3 2 0 0 0 0 0 A −      =   −     Ví dụ 1.2.13 Cho ma trận dạng bậc thang 1 2 3 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 B −      =   −     Định lý 1.2.8 Ma trận bậc thang có r hàng khác 0 có hạng bằng r. Định lý 1.2.9 Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng ma trận. Để tìm rank A, đưa A → ma trận bậc thang B, .rank A rank B= Ví dụ 1.2.14 Tính hạng của ma trận sau: 1 2 2 3 2 1 4 0 1 1 6 3 A −    =    − −  9/11/2013 13 Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I. Khái niệm chung 1. Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính tổng quát (m phương trình, n ẩn) có dạng: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 (1) ............................................ n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + =  + + + =    + + + = ở đây: là các ẩn phải tìm.
Nếu đặt thì hệ (1) được viết dưới dạng ma trận: 1 2, ,..., nx x x 1 111 12 1 21 22 2 2 2 1 2 , , n n m m mn m n b xa a a a a a b x A b X a a a b x                = = =                 ⋮ ⋮ .AX b= Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm của hệ phương trình (1) là một bộ n số : thỏa mãn hệ trên. Định nghĩa 2.1.2. Hai hệ phương trình có cùng số ẩn đgl tương đương nếu tập nghiệm của chúng trùng nhau (tức nghiệm của hệ này là nghiệm của hệ kia và ngược lại). 1 1 2 2, , ..., n nx x xα α α= = = Định lý 2.1.1 Các phép biến đổi sau đây chuyển một hệ phương trình tuyến tính thành một hệ tương đương: 1) Nhân cả hai vế phương trình cho một số khác 0. 2) Cộng một phương trình đã được nhân cho một số vào một phương trình khác. 3) Đổi vị trí hai phương trình. Ví dụ 2.1.1 Giải hệ phương trình tuyến tính sau: (Nghiệm : 1,3,-2). 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 2 7 2 5 5 x x x x x x x x x + + =  + + =  + + = − 2. Hệ phương trình tuyến tính và ma trận
Ma trận hệ số vế trái của hệ phương trình:
Ma trận mở rộng: 1 1 1 3 2 1 2 1 5           1 1 1 2 3 2 1 7 2 1 5 5         −  9/11/2013 14 Tổng quát: Xét ma trận mở rộng của hệ (1): ( ) 111 12 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m ba a a a a a b A b a a a b       =        ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma trận mở rộng về dạng: ( )A b 111 12 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m dc c c c c c d c c c d              ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ Khi đó, hệ (1) tương đương với hệ: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ........................................... n n n n m m mn n m c x c x c x d c x c x c x d c x c x c x d + + + =  + + + =    + + + = Phương pháp Gauss: Đưa ma trận mở rộng → ma trận bậc thang Lưu ý: Qua các phép biến đổi sơ cấp hạng của ma trận không thay đổi. ( )A b Định lý 2.1.2 (Định lý Kronecker – Capelli) Hệ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( )rank A b rank A= 3. Số nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Định lý 2.1.3 Cho hệ phương trình . Khi ấy: 1) Nếu thì hệ vô nghiệm 2) Nếu thì hệ có nghiệm 2.1 Nếu (số ẩn) thì hệ có một nghiệm duy nhất. 2.2 Nếu thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số. AX b= ( ) ( )rank A b rank A≠ ( ) ( ) ( )rank A b rank A r= = ( )r n= ( )r n< ( )n r− 9/11/2013 15 Ví dụ 2.1.2 Giải hệ phương trình: 2 3 5 10 3 7 4 3 2 2 3 x y z x y z x y z + + =  + + =  + + = Ví dụ 2.1.3 Giải hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 4 2 6 6 4 2 3 6 6 3 9 13 x x x x x x x x x x x x + + =  + + =  + + =  + + = Ví dụ 2.1.4 Giải hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 2 3 0 4 5 7 6 x x x x x x x x x + + =  + + =  + + = VD 2.1.2 (Nghiệm : 3, -2, 2) VD 2.1.3 (Hệ vô nghiêm) VD 2.1.4 Hệ có vô số nghiệm: (với là số bất kỳ). 1 2 3 3 4 6 ; ; 3 3 x x x α α α − − − = = = α 4. Phương pháp Gauss giải hệ phương trình - Bước 1: Đưa ma trận mở rộng về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp với hàng. - Bước 2: Xét hạng ma trận bậc thang đó:
: hệ vô nghiệm.
: hệ có nghiệm: • (số ẩn): hệ có nghiệm duy nhất. • : xđ r ẩn cơ sở phụ thuộc (n-r) ẩn tự do (hệ có vô số nghiệm). ( )A b ( ) AAbr r≠ ( ) AAbr r r= = r n= r n< Ví dụ 2.1.5 Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m 2 4 2 3 1 3 2 2 x y z x z x y mz + + =  + =  + + = 9/11/2013 16 Ví dụ 2.1.6 Giải hệ 2 1x y z x y z x y z λ λ λ λ λ  + + =  + + =  + + =


hệ vô nghiệm. 2 ( ) 1 1 (1 )1, 2 : 3, , , 2 2 2AA b r r x y zλ λλ λ λ λ λ + + ≠ ≠ − = = = − = = + + + ( )1: 1, 1 , , .AAbr r x y zλ α β α β= = = = − − = = ( )2 : 3, 2,AA br rλ = − = = 5. Hệ phương trình thuần nhất Là hệ phương trình có dạng: Hệ luôn có nghiệm: Nghiệm đó đgl nghiệm tầm thường. 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... ... .......................................... ... 0 0 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + =  + + + =    + + + = 1 2 ... .0nx x x= = = = Định lý 2.1.4 Hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi (số ẩn số). Hệ quả 2.1.1 Nếu hệ phương trình thuần nhất có số phương trình ít hơn các ẩn số thì hệ có nghiệm không tầm thường. 0AX = rank A n< II. Hệ phương trình Cramer, pp định thức 1. Phương pháp ma trận nghịch đảo Xét n phương trình n ẩn: với dạng ma trận . 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... (2) .......................................... ... n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + =  + + + =    + + + = AX b= Định nghĩa 2.2.1 Hệ (2) đgl hệ Cramer nếu Định lý 2.2.1 Hệ Cramer có một nghiệm duy nhất det 0.A≠ AX b= 1 .X A b−= 9/11/2013 17 2. Công thức Cramer Ta có: Vậy 111 21 1 12 22 2 21 1 2 1 det n n n n nn n bA A A A A A b X A b A A A A b −          = =          ⋮ ( )1 1 2 21 ... , 1,detk k k nk nx A b A b A b k nA= + + + = Xét định thức nhận được từ định thức của A bằng cách thay cột thứ k bởi cột vế phải ↑ (cột thứ k) k∆ 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 n n k n n nnn a a a a a a a a b a b b ∆ = Khai triển định thức theo cột thứ k : (phần bù đại số của chính là phần bù đại số của ) Vậy k∆ ib ika 1 1 2 2 ...k k k n nkb A b A b A∆ = + + + , 1,2,..., det k kx k nA ∆ = = Định lý 2.2.2 Nếu hệ n phương trình n ẩn có định thức thì hệ có một nghiệm duy nhất được xác định bởi công thức : trong đó là định thức nhận được từ bằng cách thay cột thứ k bởi cột vế phải. AX b= det 0A∆ = ≠ 1 2 1 2, , ..., n n x x x ∆∆ ∆ = = = ∆ ∆ ∆ k∆ ∆ Định lý 2.2.3 Hệ n phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi 0AX = det 0.A = Ví dụ 2.2.1 Giải hệ phương trình 2 3 5 10 3 7 4 3 2 2 3 x y z x y z x y z + + =  + + =  + + = 9/11/2013 18 Chương 3: KHÔNG GIAN VÉCTƠ I. Khái niệm về không gian véctơ 1. Định nghĩa Giả sử V là tập khác rỗng, K là một trường (R hoặc C). V đgl không gian véctơ (kgvt) trên trường K nếu có hai phép toán: - Phép toán trong (+): - Phép toán ngoài (.): ( , ) V V V u v u v × → +֏ ( , ) K V V v vα α × → ֏ thỏa mãn các điều kiện sau với mọi và, ,u v w V∈ , :Kα β ∈ 1. 2. ( ) ( ) 3. , 4. , 5. 1. 6. ( ) ( ) 7. ( ) 8. ( ) . u v v u u v w u v w u u u u V u u u u u u u v u v u u u θ θ θ θ α β αβ α α α α β α β + = + + + = + + ∃ + = + = ′ ′∃ ∈ + = = = + = + + = + Mỗi phần tử của V đgl véctơ. Nếu (hoặc C) thì V đgl không gian véctơ thực (hoặc phức). K R= 2. Ví dụ Ví dụ 3.1.1 Giả sử K là một trường, xét tập Ta định nghĩa: { }1 2( , ,..., ) , 1,n n iK x x x x x K i n= = ∈ = 1 1 1 1 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ) .( ,..., ) ( ,..., ), . n n n n n n x x y y x y x y x x x x Kα α α α + = + + = ∀ ∈ Hai phép toán trên thỏa mãn 8 điều kiện của kgvt với phần tử không , phần tử đối của là Khi K = R, ta có kgvt thực K = C, ta có kgvt phức (0,...,0)θ = 1( ,..., )nx x x= 1( ,..., ).nx x x− = − − . nR . nC Ví dụ 3.1.2 Tập gồm các ma trận loại với các hệ số trong K là một kgvt trên K với phép cộng véctơ là phép cộng ma trận thông thường và nhân vô hướng với véctơ là phép nhân thông thường một số với ma trận, trong đó véctơ không là ma trận không và véctơ đối của là ( ) :m nV M K×= m n× ( )ijA a= ( ).ijA a− = − 9/11/2013 19 Ví dụ 3.1.3 Xét tập gồm các hàm số xác định trên tập con Ta định nghĩa phép toán cộng véctơ (là phép toán cộng hàm số thông thường) và phép nhân vô hướng với số thực như sau: với hai phép toán này là kgvt thực, với véctơ không là hàm hằng phần tử đối của f là –f xác định bởi XR , .X R X⊂ ≠ ∅ ( )( ) ( ) ( ), , ( )( ) ( ), , . f g x f x g x x X f x f x R x Xα α α + = + ∀ ∈ = ∀ ∈ ∀ ∈ XR 0( ) 0, ,x x X= ∀ ∈ ( )( ) ( ), .f x f x x X− = − ∀ ∈ 3. Tính chất Định lý 3.1.1 Trong kgvt V ta có: 1. Phần tử không là duy nhất 2. Phần tử đối của u bất kỳ là duy nhất. 3. 4. 5. Nếu thì hoặc hoặc 6. (phần tử đối của ). θ u ′ 0.x θ= .λ θ θ= .uλ θ= 0λ = .u θ= ( 1)u u′− = u II. Độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính 1. Định nghĩa Định nghĩa 3.2.1. Tổ hợp tuyến tính của các véctơ trong không gian véctơ V là một véctơ có dạng: với các số bất kỳ. 1 2, , ..., mu u u 1 1 2 2 ... m mu u u uα α α= + + + 1 2, , ..., mα α α Một số tính chất 1. u là tổ hợp tuyến tính của khi và chỉ khi phương trình có nghiệm 2. Tổng của hai tổ hợp tuyến tính, tích của một số với một tổ hợp tuyến tính cũng là các tổ hợp tuyến tính. 3. Véctơ không luôn là tổ hợp tuyến tính của vì 1 2, ,..., mu u u 1 1 2 2 ... m mu u u uα α α+ + + = 1 2( , ,..., ) .mm Kα α α ∈ θ 1 2, ,..., mu u u 1 20. 0. ... 0. .mu u uθ = + + + 4. Mỗi véctơ là một tổ hợp tuyến tính của vì Tổng quát: Mọi tổ hợp tuyến tính của đều là tổ hợp tuyến tính của vì , 1,iu i m= 1 2, , ..., mu u u 1 1 1 1 1... ... 0. ... 0. .j j j j j mu u u u u uα α α α ++ + = + + + + + 1 1 10. ... 0. 1. 0. ... 0. .i i i i mu u u u u u− += + + + + + + 1 2, , ..., ju u u 1,j m= 1 2, , ..., ,ju u u 1,...,j mu u+ 5. Mọi tổ hợp tuyến tính của đều là tổ hợp tuyến tính của khi và chỉ khi là một tổ hợp tuyến tính của 1 2 1, , ..., ,m mu u u u− 1 2 1, , ..., mu u u − m u 1 2, , ...,u u 1 .mu − 9/11/2013 20 Hệ quả 3.2.1 Cho là m véctơ trong với1 2, , ..., mu u u nK 1 11 21 1 2 12 22 2 1 2 1 2 : ( , ,..., ); ( , , ..., ); .................... ( , , ............ ( , ,..., ). ..., ), 1,j j j n n n m m m nm ju u u u u u u u u u j u u u u u m u = = = = = Khi đó véctơ là tổ hợp tuyến tính của khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính có nghiệm X , trong đó 1 2( , ,..., ) nnu b b b K= ∈ 1 2, , ..., mu u u UX B= 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 ; ; m m n n nm n m u u u b u u u b U B X u u u b α α α                   = = =                   ⋮ ⋮ Ví dụ 3.2.1 Trong , cho các véctơ Tìm điều kiện để véctơ là một tổ hợp tuyến tính của : 4R 1 2(1,1,1,1); (2, 3, 1, 0);u u= = − 3 4( 1, 1,1,1); (1, 2,1, 1).u u= − − = − 1 2 3 4( , , , )u a a a a= 1 2 3 1 2 3 4 ) , , ; ) , , , . a u u u b u u u u Định nghĩa 3.2.2. Các véctơ đgl phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số không đồng thời bằng không sao cho: Ngược lại, chúng đgl độc lập tuyến tính. Vậy, độc lập tuyến tính có nghĩa là chỉ đúng trong một trường hợp duy nhất là : 1 2, ,..., mu u u 1 2, , ..., mα α α 1 1 2 2 ... 0 (*)m mu u uα α α+ + + = (*) 1 2 ... 0.mα α α= = = Ví dụ 3.2.2 Trong , xét các véctơ Chứng tỏ độc lập tuyến tính. Ví dụ 3.2.3 Trong , xét các véctơ Chứng tỏ phụ thuộc tuyến tính. 3R 1 2 3(2,1,1); (1, 3,1); (1, 0, 3).u u u= = = 1 2 3, ,u u u 3R 1 2 3(2, 3, 0); (0,1, 2); (1, 0, 3).u u u= − = = 1 2 3, ,u u u Ví dụ 3.2.4 Trong không gian xét các đa thức sau: Kiểm tra độc lập tuyến tính. 2[ ],P x 2 2 2 1 2 32 1; 3 2; 1f x x f x x f x x= + + = + + = + + 1 2 3, ,f f f 9/11/2013 21 Kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các véctơ trong . - Bước 1: Lập ma trận A bằng cách xếp thành các dòng. - Bước 2: Xác định hạng của A (rank A) i) Nếu thì độc lập tt. ii) Nếu thì phụ thuộc tt. 1 2, , ..., mu u u nK 1 2, , ..., mu u u rank A m= 1 2, ,..., mu u u rank A m< 1 2, ,..., mu u u Một số tính chất Định lý 3.2.1 Các véctơ của kgvt V là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi một véctơ trong chúng là tổ hợp tuyến tính của các véctơ còn lại. 1 2, ,..., mu u u Định lý 3.2.2 Trong kgvt V các mệnh đề sau đúng: i) Nếu trong các véctơ có véctơ (không) thì chúng phụ thuộc tuyến tính; ii) Khi thêm véctơ vào một tập phụ thuộc tuyến tính ta được tập phụ thuộc tuyến tính; iii) Khi bớt véctơ từ một tập độc lập tuyến tính ta được tập độc lập tuyến tính. 1 2, ,..., mu u u θ Định lý 3.2.3(Bổ đề cơ bản) Cho m véctơ là tổ hợp tuyến tính của k véctơ Nếu thì các véctơ phụ thuộc tuyến tính. 1 2, ,..., mv v v 1 2, ,..., .ku u u m k> 1 2, ,..., mv v v III. Hạng của hệ véctơ – Hạng ma trận Định nghĩa 3.3.1 Trong kgvt V, cho hệ véctơ: Ta nói hệ có hạng bằng r nếu tồn tại r véctơ (của ) độc lập tuyến tính, và mọi (r+1) véctơ (của ) đều phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, hạng của hệ véctơ là số tối đa các véctơ độc lập tuyến tính của hệ ấy. 1 2{ , ,..., }mH u u u= H H H Định lý 3.3.1 Hệ các véctơ có hạng bằng r khi và chỉ khi tồn tại r véctơ của độc lập tuyến tính và mọi véctơ của đều là tổ hợp tuyến tính của r véctơ đó. H H H 9/11/2013 22 Định lý 3.3.2 (về hạng ma trận) Hạng ma trận A bằng hạng của hệ các véctơ hàng và bằng hạng của hệ các véctơ cột. -Véctơ hàng: -Véctơ cột: 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       1 2( , , ..., ), 1, .i i i inA a a a i m= = 1 2( , , ..., ) , 1, .j Tj j mjA a a a j n= = Ví dụ 3.3.1 Trong tìm hạng của hệ véctơ sau:3 ,R 1 2 3 4 (1, 2, 1); (0,3,3); (2,3, 3); (1,1, 2). u u u u = − = = − = − IV. Cơ sở – số chiều 1. Cơ sở, tập sinh Định nghĩa 3.4.1 Tập các véctơ M (của kgvt V) đgl tập sinh của V nếu mọi véctơ của V có thể biểu điễn được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các véctơ thuộc M. Khi M là tập sinh của kgvt V, ta nói tập M sinh kgvt V hoặc V được sinh bởi M. Ví dụ 3.4.1 • Tập các véctơ là tập sinh của • Tập các đa thức là tập sinh của 1 2 3(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)e e e= = = 3 .R 2 3 1 2 3 41; ; ;f f t f t f t= = = = 3[ ].P t Ví dụ 3.4.2 Trong xét tập M gồm các véctơ Chứng tỏ M là tập sinh của 3 ,R 1 2 3(1,1,0); (2,1, 1); (3,1, 2)u u u= = − = 3 .R Định nghĩa 3.4.2 Tập các véctơ đgl cơ sở của kgvt V nếu S độc lập tuyến tính và sinh kgvt V. Ví dụ 3.4.3 Các véctơ là cơ sở của , nó đgl cơ sở chính tắc của . 1 2{ , , ..., }mS u u u= 1 2 1 0 0 0 1 0 ; ; ...; 0 0 1 ne e e                   = = =                   ⋮ ⋮ ⋮ nR nR 9/11/2013 23 Ví dụ 3.4.4 Xét hệ véctơ Chứng tỏ M là cơ sở của { 1 2 3(1,1, 2); (1, 2,1); (2, 2, 2)}= = = =M u u u 3 .R 2. Số chiều và cơ sở Định lý 3.4.1 Trong kgvt hữu hạn chiều số véctơ trong mọi cơ sở đều bằng nhau. Định nghĩa 3.4.3 Số véctơ trong một cơ sở của kgvt V đgl số chiều của V (dim V). Định nghĩa 3.4.4 Kgvt V đgl vô hạn chiều nếu với mọi số tự nhiên n, V chứa n véctơ độc lập tuyến tính. Định lý 3.4.2 Trong kgvt n chiều i) Bất kỳ tập có số véctơ lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính. ii) Bất kỳ tập có số véctơ nhỏ hơn n đều không là tập sinh của không gian. iii) Mọi tập n véctơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở. iv) Mọi tập n véctơ sinh không gian đều là cơ sở. Hệ quả 3.4.2 i) Số chiều là số tối đại các véctơ độc lập tuyến tính. ii) Số chiều là số tối thiểu các véctơ của các tập sinh. Định lý 3.4.3 (bổ sung cơ sở) Có thể bổ sung (n-k) véctơ vào một tập k véctơ độc lập tuyến tính để được cơ sở của kgvt n chiều. Định lý 3.4.4 Nếu tập là tập sinh không gian V, thì S chứa một cơ sở của V. { 1 2, ,..., }mS u u u=