Toán kỹ thuật - Hàm phức và ứng dụng

Toán kỹ thuật I. Giải tích Fourier II. Phép biến đổi Laplace III.Hàm phức và ứng dụng Hàm phức và ứng dụng 1. Hàm giải tích 2. Tích phân phức 3. Chuỗi hàm phức 4. Lý thuyết thặng dư 5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 6. Phép biến đổi bảo giác 3. Chuỗi hàm phức  a. Chuỗi hàm phức  b. Chuỗi hàm phức hội tụ đều  c. Chuỗi lũy thừa  d. Chuỗi Taylor  e. Chuỗi Laurent 3. Chuỗi hàm phức a. Chuỗi hàm phức Định nghĩa: Tổng riêng: Hội tụ về S(z) Miền hội tụ: tập hợp cái điểm z tại đó chuỗi hội tụ. 1 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ( ) 0, ( , ) : ( ) ( ) ,                     n n n n n k k n f z f z f z f z S z f z N z S z S z n N 3. Chuỗi hàm phức a. Chuỗi hàm phức - Chuỗi S(z) gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi: hội tụ. - Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ là các chuỗi phần thực và phần ảo: hội tụ. 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ... ( ) ...        n n n f z f z f z f z     1 1 Re ( ) ; Im ( )      n n n n f z f z 3. Chuỗi hàm phức a. Chuỗi hàm phức Tiêu chuẩn d’Alembert: Xét giới hạn: 0 ≤ |r(z)| < 1: chuỗi hội tụ tuyệt đối |r(z)| > 1: chuỗi phân kỳ |r(z)| = 1: không có kết luận Ví dụ: Tìm miền hội tụ của chuỗi: 1( )lim ( ) ( )   n n n f z r z f z 21 1 ... ... 1        nz z z z 3. Chuỗi hàm phức a. Chuỗi hàm phức Chuỗi hội tụ đều: Chuỗi hàm phức được gọi là hội tụ đều về hàm f(z) trong miền D nếu: Phép thử M-Weierstrass: Nếu có một dãy hằng số dương {Mn} sao cho |fn(z)| ≤ Mn (∀n và ∀z ∈ D) và chuỗi 𝑀𝑛 hội tụ thì chuỗi 𝑓𝑛 hội tụ đều trong D. Tính chất của chuỗi hội tụ đều: Tham khảo tài liệu. 0; ( ) : ( ) ( ) ; ,          nN f z S z n N z D 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa có dạng: Miền hội tụ: |z – a| < R = 1/L Với Ví dụ: tìm miền hội tụ của các chuỗi sau: 1 ( )    nn n a z a 1lim    n n n a L a   2 1 1 1 1 1 . 2 . ! ( 1)2 1 . . ( )                 n n n n n nz n n n z a z j b n n c e d n j z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Giải: a. Hội tụ với mọi z b. Đặt w = z2, hội tụ với |w| |z| < 2 c. Đặt w = e-z, hội tụ với |w| x > 0. d. Đặt w = z-1, hội tụ với |w| |z| > 1. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Ví dụ: Cho chuỗi sau: Chuỗi trên có bán kính hội tụ R = 1 Sử dụng chuỗi trên để biểu diễn hàm thành tổng lũy thừa trong 3 miền sau: i. |z| < 3 ii. |z| > 3 iii. |z – 2| < 1 21 1 ... ... 1        nz z z z 1 3z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Giải: i. |z| < 3  |w| < 1 ii. |z| > 3  |w| < 1   2 21 1 11 ... ... 1 ... ... 3 3 3 3 9 3                      n n n z z z w w w z 1 1 1 1 1 3 3 3 1 1 3        zz w 1 1 1 1 1 33 1 1       z z z w z  2 2 1 1 1 3 9 3 1 ... ... 1 ... ... 3                    n n n w w w z z z z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi lũy thừa Giải: iii. |z - 2| < 1  |w| < 1     2 2 1 1 ... ... 3 1 ( 2) ( 2) ... ( 2) ...                     n n w w w z z z z 1 1 1 3 1 ( 2) 1        z z w Kết luận: Tại mỗi miền khác nhau trên mặt phẳng phức, tương ứng ta có các chuỗi khác nhau cùng hội tụ về hàm 1 3z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Định lý Taylor: Nếu f(z) giải tích trong miền D giới hạn bởi đường cong kín C, a ∈ D, thì: Nếu C là đường tròn tâm z = a, ta có chuỗi Taylor ( 1) 2 1 ( ) '( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) 1! 2! ( 1)! ( ) ( ) 2 ( ) ( )               n n n n n C R z f a f a f a f z f a z a z a z a n z a f t dt j t a t z ( ) 0 ( ) ( ) ( ) !     n n n f a f z z a n 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor  Khi a = 0 ta có chuỗi Mac Laurin  Bán kính hội tụ R, với R có thể tính như ở chuỗi lũy thừa hoặc: R = Min{|z – zi|}, với zi là các điểm bất thường của f(z). Ví dụ: Khai triển chuỗi Taylor đến số hạng n = 4 của hàm: quanh điểm z = j. 1 ( ) ( 2 )   f z z z j 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor (1) (1) 2 2 (2) (2) 3 3 (3) (3) 4 4 (4) (4) 5 5 1 1 1 ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 0 2 ( 2 ) 1 2 2 ( ) ( ) 2 2 ( 2 ) 1 6 6 ( ) ( ) 0 2 ( 2 ) 1 24 24 ( ) ( ) 24 2 ( 2 )                                                 f z f j j z j z f z f j j z j z f z f j j z j z f z f j j z j z f z f j j z j z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Bán kính hội tụ R = 1, miền hội tụ |z – j| < 1. 2 4 2 4 1 2 24 1 ( ) ( ) ... ( 2 ) 2! 4! 1 ( ) ( ) ...               z j z j z z j z j z j 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Chuỗi Mac Laurin của một số hàm: 0 2 2 0 2 1 0 2 0 0 0 . ! 3 . ! .sin ( 1) (2 1)! .cos ( 1) (2 )! 1 . ; 1 1 1 . ( 1) ; 1 1                                  n z n n z n n n n n n n n n n n n n z i e n ii z e z n z iii z n z iv z n v z R z vi z R z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Ví dụ: 1. Tìm chuỗi Mac Laurin của các hàm sau: 2. Tìm chuỗi Taylor của i. Hàm f3(z) ở ví dụ trên quanh điểm a = 1 ii. Hàm f4(z) ở ví dụ trên quanh điểm a = 2 iii. quanh điểm a = j 1 2 2 3 4 2 1 . ( ) . ( ) 3 4 1 1 . ( ) . ( ) 1 3 2           z i f z ii f z z z z iii f z iv f z z z z 1 ( ) ( 2 )   f z z z j 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Giải: 1. Chuỗi Mac Laurin   2 2 1 2 4 3 5 2 22 2 3 2 1 1 1 1 1 . ( ) 1 .. ... 3 3 3 3 9 3 9 27 1 3 1 . ( ) 1 ... ... 4 4 4 4 16 4 16 64 1 4 1 1 . ( ) 1 2 1 2 1 ... 1 1 1 2 2 ...                                                     z z z z i f z zz z z z z z z z z ii f z zz z iii f z z z z z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Giải: 1. Chuỗi Mac Laurin 4 2 2 3 2 3 2 3 4 1 1 1 . ( ) 3 2 1 2 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 4 8 1 2 1 3 7 15 ( ) ... 2 4 8 16                                iv f z z z z z z z z z z z z zz f z z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Giải: 2. Chuỗi Taylor i. Đặt w = z – 1. Để tìm khai triển Taylor quanh điểm a, ta đặt w = z – a rồi tìm khai triển Mac Laurin theo w (sử dụng các khai triển đã biết). 2 3 2 3 2 3 1 1 ( ) 1 ... 1 2 2 2 2 4 1 2 1 ( 1) ( 1) ... ... 2 4 8 2 4 8                          z w w w w w f z wz w w w w z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Taylor Giải: 2. Chuỗi Taylor ii. Đặt w = z – 2. iii. 4 2 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 3 2 1 2 3 4 1 1 3 4            f z w wz z z z       2 4 2 1 1 ( ) 1 ... ( 2 ) 1            f z z j z j z z j z j 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Khai triển Laurent: Nếu f(z) giải tích khắp nơi trong miền kín D giới hạn bởi 2 đường tròn C1, C2 có tâm chung là a thì: 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 ( )          n n n n n C f z a z a f t dt a j t a Cách tìm chuỗi Laurent: Sử dụng chuỗi Taylor với các biến đổi phù hợp trên các miền phù hợp. 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Ví dụ: Bài 1: Tìm chuỗi Laurent của các hàm sau: Bài 2. Khai triển hàm sau trên các miền đã cho: 1 5 . ; 0 1 . cos ; 0 1 . ; 1 ( 1)( 3 )       zi e a ii z a z iii a z z j 1 . 1 | | 3 .| | 3 ( 1)( 3) .0 | 1| 2 .| | 1          i z ii z z z iii z iv z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Giải: Bài 1: 1 2 0 2 2 5 5 5 0 0 3 5 3 1 1 1 1 1 . 1 ...; 0 | | ! 2! 1 1 ( 1) ( 1) . cos (2 )! (2 )! 1 1 1 1 1 1 1 ...; 0 | | 2 24 720 40320 1 1 1 1 . 1( 1)( 3 ) 1 1 3 1 1 3                                                        n z n n n n n n n i e z n z z z ii z z z z z n n z z z z z z iii zz z j z j j     3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Giải Miền hội tụ |z + 1| > 0 và 1 1 | 1| 10 1 3       z z j 0 1 0 1 1 1 1 . 1( 1)( 3 ) 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 1 3                                                                n n n n iii zz z j z j j z z j j z j j 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Bài 2 i. 1 < |z| < 3 2 2 2 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 12 1 2 3 2 6 1 1 3 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 6 3 9 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 2 2 6 18 54                                                          f z zz z z z z z z z z z z z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Bài 2 ii. |z| > 3 2 3 2 3 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 32 1 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 3 9 27 1 ... 1 ... 2 2 1 4 13 ...                                                             f z z z z z z z z z z z z z z z z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Bài 2 iii. 0 < |z + 1| < 2; đặt u = z + 1 2 3 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ... 2 2 2 4 8 1 2 1 1 1 1 ( ) ( 1) ( 1) ... 2( 1) 4 8 16                             f u u u u uu u f z z z z 3. Chuỗi hàm phức b. Chuỗi Laurent Bài 2 iv. |z| < 1  2 3 2 3 2 3 1 1 1 1 ( ) 2 1 6 1 3 1 1 1 1 1 1 ... 1 ... 2 6 3 9 27 1 4 13 40 ... 3 9 27 81                                    f z zz z z z z z z z z z