Toán học - Tích phân bất định

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNHĐỊNH NGHĨAF(x) là nguyên hàm của f(x) trong (a, b) F’(x) = f(x)f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất địnhBẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀMBẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀMVí dụCÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂNĐổi biến:Đổi biến 1: x = u(t)  dx = u’(t) dt f(x) dx = f(u(t))u’(t) dt Đổi biến 2: u(x) = t u’(x) dx = dt f(u(x))u’(x) dx = f(t) dt2. Tích phân từng phần: u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) ­ u’(x)v(x) dxVí dụMột số lưu ý khi dùng tp từng phầnlà đa thức bậc n.dv là phần còn lạiu là phần còn lạiVí dụTÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶNguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bảnTrong đó: * m là các số tự nhiên, * Các tam thức bậc 2 có = p2 - 4q 1)Tích phân các phân thức cơ bảnĐạo hàm của MS (lấy hết Ax)Tích phân các phân thức cơ bảnVí dụTích phân các phân thức cơ bảnChứng minh quy nạp InĐỊNH LÝ PHÂN TÍCHHàm hữu tỷ:Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam thức ở mẫu có  < 0, sẽ được phân tích ở dạngMỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCHTính A: nhân 2 vế với (x-1), sau đó thay x bởi 1Để tính nhanh, trong biểu thứcChe (x-1) rồi cho x = 1 ta tìm được A Tính B: nhân 2 vế với (x+3), sau đó thay x bởi -3 (hoặc che x+3 trong phân thức ban đầu) B = 7/4 Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3 Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3 Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3 Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x Tính B: vế trái che (x-1)2, sau đó thay x bởi 1Tính C: vế trái che (x + 3), thay x bởi -3 Tính A: nhân 2 vế với x rồi cho x Sử dụng nguyên tắc chungQuy đồng mẫu số và đồng nhất tử số 2 vếVí dụ tính tích phânTÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶtrong đó m1, n1, m2, n2 là các số nguyên.Phương pháp chung: đặtn là BSCNN(n1, n2)Ví dụCác trường hợp riêng của tích phân EurlerNguyên tắc chung: đưa về bình phương đúng của các tam thức dưới căn và áp dụng tp bảng.Tương tự cho trường hợp còn lại.Ví dụVí dụTỔNG QUÁTSau khi đưa tam thức bậc 2 về bình phương đúng, có thể rơi vào các TH sau: Đặt u = Asint, t [-/2, /2] Đặt u = A/sint, t [-/2, /2] Đặt u = Atant, t (-/2, /2)Lưu ýĐặt x – k = 1/u sẽ đưa về dạngVí dụĐặt u = tantTÍCH PHÂN TREBUSEVm,n, p là các sô hữu tỷTH 1: p là số nguyên : Đặt x = tk, k là BSCNN mẫu số của m, n.TH 2: là số nguyên: TH 2: là số nguyên:Đặt axn +b = tk , k là mẫu số của pĐặt bx n +a = tk , k là mẫu số của pVÍ DỤVí dụĐặt x-2 +1 = t2  -2x-3dx = 2tdt* m =2k + 1* n =2k + 1* m, n chẵn: dùng công thức hạ bậcTÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁCTÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁCThay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổiThay x bởi –x, biểu thức dưới dấu tp không đổiThay x bởi +x, biểu thức dưới dấu tp không đổiTổng quát:VÍ DỤThay x bởi  - x trong biểu thức dưới dấu tpĐặt x = sintMột dạng đặc biệt của tp hàm lượng giácBiểu diễn TỬ SỐ = A (đạo hàm mẫu số) + B(MẪU SỐ) +CTìm A, B, C bằng đồng nhất thức.Ví dụ