Toán học - Phương trình vi phân cấp 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1BÀI TOÁN DẪN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂNVận tốc nguội lạnh của một vật trong không khí tỷ lệ với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ không khí. Tìm quy luật giảm nhiệt của vật nếu nhiệt độ của không khí là 200C và nhiệt độ ban đầu của vật là 1000C. Quy luaät giaûm nhieät  söï thay ñoåi nhieät ñoä theo thôøi gianGọi nhiệt độ của vật là hàm số T theo biến thời gian t PTVPBÀI TOÁN DẪN VỀ PTVPĐạo hàm 2 vếLưu ý:1xM(x,y)Tìm pt đường cong đi qua điểm (1, 1) nếu với đoạn [1, x] bất kỳ, diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong này bằng tích 2 lần tọa độ điểm M(x,y) thuộc đường cong (x>0, y>0)1MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA PTVP là phương trình mà hàm phải tìm nằm dưới dấu đạo hàm hoặc vi phân..Cấp của ptvp là cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm.Nếu ẩn hàm là hàm 1 biến  PTVP thường. Nếu ẩn hàm là hàm nhiều biến  PTVP đạo hàm riêng.Hệ PTVP là hệ gồm nhiều PTVP và nhiều ẩn hàm.NGHIỆM CỦA PTVPXét ptvp thường cấp n: F(x,y,y’,,y(n)) = 0 (1)Hàm số y = (x,c1,,cn) thỏa mãn (1) với ci là các hằng số gọi là nghiệm tổng quát của (1). Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta được nghiệm riêng của (1).Hàm (x,c1,,cn, y) = 0 thỏa mãn (1) gọi là tích phân tổng quát của (1) (y được tìm ở dạng ẩn) Nếu cho ci các giá trị cụ thể ta đươc tích phân riêng của (1).NGHIỆM CỦA PTVPĐồ thị của hàm nghiệm gọi là đường cong tích phân.Hàm y = y(x) thỏa (1) nhưng không phải là nghiệm riêng được gọi là nghiệm kỳ dị của (1).Bài toán Cauchy cho ptvp cấp 1Xét ptvp cấp 1:F(x, y, y’) = 0 (1)y’ = f(x, y) (2)Hoặc(2) Gọi là pt đã giải ra được đối với đạo hàm.Bài toán tìm hàm y thỏa (1) hoặc (2) với điều kiện ban đầuy(x0) = y0Gọi là bài toán Cauchy.MỘT SỐ DẠNG PTVP CẤP 1Phương trình tách biếnPhương trình đẳng cấpPhương trình tuyến tính cấp 1Phương trình vi phân toàn phầnPhương trình Bernoulli.PHƯƠNG TRÌNH TÁCH BiẾNPhương trình có thể tách y và x về 2 vế khác nhau gọi là phương trình tách biến.f(y) dy = g(x) dxPhương pháp giải: tích phân 2 vếCác dạng có thể gặp:f(y) y’ = g(x)y’ = f(y)g(x)f1(y)g1(x) y’ = f2(y)g2(x)Ví dụ3y2y’ = 2x (1)y(0) = 1 (2)( tích phân tổng quát )Thay x = 0, y = 1 vào TPTQ  C = 1Vậy nghiệm của (1) và (2) là:Hoặc tích phân riêng là: y3 = x2 + 1(3)xy’ = y (1)y = 0 là 1 nghiệm của pty  0: chia 2 vế cho xy (không xét TH x = 0)y = 0 là trường hợp C = 0 trong nghiệm tổng quáty’ = 3x2y, y(0) = 2Hàm y = 0 không thỏa đk ban đầu nên không xétx = 0, y = 2  C = 2  nghiệm : Ví dụy’ – xy2 = 2xy y’ = xy2 + 2xy = xy(y + 2) (1)DẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾNy’ = f(ax + by + c)Đặt u = ax + by +cVd: y’ = (4x + y – 1)2Pt trở thànhDẠNG ĐƯA VỀ TÁCH BiẾNVd:Đổi biến:Pt trở thành:PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤPVd:Hay: y = uxPt trở thành: u + ln|u-1| = ln|x| + CĐổi biến:PT ĐƯA VỀ ĐẲNG CẤPBước 1: giải hệ ptVới cặp nghiệm (x0, y0), đặt :x = X + x0y = Y + y0Bước 2: giải pt đẳng cấp và trả về x, yPt trở thành:đưa về tách biếnVí dụGiải pt:Đổi biến: x = X + 1, y = Y + 2, pt trở thànhĐổi biến: Y = UX  Y’ = U’X + U(trả về x, y)PT VI PHÂN TOÀN PHẦNDạng:Tích phân tổng quát: Với U(x,y) cho bởi: hay(x0, y0) là điểm mà P, Q xác địnhVí dụGiải pt: P(x,y)Q(x,y)Chọn :Vậy tích phân tổng quát làVí dụGiải pt: P(x,y)Q(x,y)Chọn :Tích phân tổng quát:PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1Toàn bộ pt chỉ chứa hàm bậc 1 theo y và y’.y’ +p(x)y = q(x)(1)y’ + p(x)y = 0: pt thuần nhất(2)Cấu trúc nghiệm tổng quát của (1):y = y0 + yr y0 là nghiệm tổng quát của (2) yr là 1 nghiệm riêng của (1)Một nghiệm riêng của (1) :Bước 1: tìm nghiệm tổng quát của pt thuần nhất.y’ + p(x)y = 0(dạng tách biến)Biến thiên hằng số: trong y0 coi C =C(x)Thay y0 vào y’ + p(x)y = 0 (1) để xác định C(x).Bước 2: tìm 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhấtChọnCông thức nghiệm ptvp tuyến tính cấp 1Vd:p(x) = -1/x , q(x) = x2Đạo hàm 2 vế(Đk ban đầu tại cận dưới tp)y(0)=1 C = 2Nghiệm bài toán:Lưu ý: y’ =1/x’ (đạo hàm hàm ngược)Pt viết lại:(2)(1),Xem x là hàm theo yPHƯƠNG TRÌNH BERNOULLIy’ +p(x)y = q(x)y,   0 và   1Phương pháp giải: Chia 2 vế cho y và đổi biến u = y1  u’ + (1 - )p(x)u = (1 - )q(x)(Tuyến tính )Pt trở thành:Vd:Chia hai vế cho y2: Đặt u = y 12 = y 1Pt trở thành:Nhân 2 vế với y2 (chia cho y2), pt trở thành:Đổi biến: u = y3Đổi biến: u = x 2, pt trở thành: