Toán học - Giới hạn hàm số

GiỚI HẠN HÀM SỐái niệm giới hạn hàm sốHàm số y = f(x) xác định trong lân cận x0( có thể không xác định tại x0). Nếu giá trị của f(x) rất gần với a khi x đủ gần x0 thì a gọi là giới hạn của f tại x0.Xem 2 VD số sau đây:khi x  0x f(x)f(x) không xác định tại 0, nhưng khi x  0 thì f(x)  1Đồ thị của hàm sốkhông bị đứt tại x  0Lúc này coi như f(0)  1(giới hạn của f tại x = 0 là 1)khi x  0f(x) không xác định tại 0, nhưng khi x  0 thì f(x)  0SAI vì f(x) = 1x f(x)Có vô số giá trị x gần 0 mà f(x) = 0, hoặc f(x)=1ĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ X0a(hữu hạn)xf(x)Hạn chế của đn:Phải chia nhiều trường hợp tùy thuộc vào giá trị của xo và a là vô hạn hay hữu hạnĐỊNH NGHĨA GiỚI HẠN HÀM SỐ QUA DÃYnếuthì Tiện ích của đn:Áp dụng chung cho cả trường hợp a hay xo là .Các tính chất và phép toán của giới hạn dãy vẫn còn đúng cho giới hạn hàm số.Dễ dàng trong việc chứng minh hàm số không có giới hạn.VÍ DỤ ÁP DỤNGChứng minh: Giả sử:Lấy dãy {xn} tùy ý (nằm trong Df và Dg) sao cho:Từ (), theo đn:vàVậy:(),Giới hạn cho hàm mũXét hàm số có dạng: Chứng minh:Phương pháp chứng minh hàm không có giới hạnChọn 2 dãy {xn} và {x’n} sao cho:Ví dụ: Chứng minh không có gh khi x  0Chọn0,0,n n n n  + Chứng minh:Không có gh khi x  + Chọnn n n n (xo = + )+ + 01GiỚI HẠN MỘT PHÍAxonếuthì Giới hạn trái tại xo:Giới hạn phải tại xo:(Xét xn>xo và xn  xo)GiỚI HẠN MỘT PHÍAVD:Xét gh của f(x) tại xo = 1Xét gh của f(x) tại xo = 0 f(x) không có gh khi x  0.4/ Cho f(x) và g(x) có đồ thị như hình vẽA = 1B không tồn tại y=f(x)y=g(x)Không tồn tạiTính các gh sau nếu cóTồn tại hay không các gh GiỚI HẠN CƠ BẢNCác hàm log, mũ, lũy thừa: xem lại bài HÀM SỐvì với phép đặt : ex – 1 = u, ta cóGiỚI HẠN CƠ BẢNBẢNG TÓM TẮT GH CƠ BẢNLƯU Ý KHI TÍNH GiỚI HẠNNhớ kiểm tra dạng vô định trước khi lấy giới hạn.Tùy theo dạng vô định, chọn gh cơ bản thích hợp.Nếu dạng VĐ là 0,   , chuyển về 0/0 hoặc /Nếu là dạng VĐ mũ, biến đổi theo các cách sau: lấy lim của lnf(x)[u(x)]v(x)= ev(x)lnu(x)Dạng 1, dùng gh (1+x)1/x  eVÍ DỤDạng 0/0Dạng 0/0Đặt:Dạng 0/0Dạng 0/0Có thể biến đổi như sau:Dạng 0/0SAI(Dạng 1)0Dạng 0/0Đặt:Dạng 0/0(Biểu thức trong ln tiến về 1)Dạng 0(Biểu thức trong ln tiến về 0)Dạng 0 với mọi x > 0 x  + 00Không có dạng vô định.