Toán học - Dạng toàn phương

DẠNG TOÀN PHƯƠNG Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 1 / 43 Nội dung 1 Định nghĩa dạng toàn phương. Phương pháp biến đổi trực giao, phương pháp biến đổi Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 2 Dạng toàn phương xác định dấu: Luật quán tính, tiêu chuẩn Sylvester 3 Nhận dạng đường và mặt bậc hai TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 2 / 43 Những khái niệm cơ bản Định nghĩa Định nghĩa Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực f : Rn → R, ∀x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Rn : f (x) = xT .M .x , trong đó M là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc). Ví dụ f (x) = f (x1, x2) = 2x 2 1 + 3x 2 2 − 6x1x2 là dạng toàn phương. Ma trận M có dạng M = ( 2 −3 −3 3 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 3 / 43 Những khái niệm cơ bản Định nghĩa Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở dạng f (x) = f (x1, x2, x3) = Ax21 + Bx 2 2 + Cx 2 3 + 2Dx1x2 + 2Ex1x3 + 2Fx2x3. Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng M =  A D ED B F E F C  f (x1, x2, x3) = x T .M .x = (x1 x2 x3).M .  x1x2 x3  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 4 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ Ví dụ f (x) = f (x1, x2, x3) = x21 − 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 − x23 là 1 dạng toàn phương. Ma trận của dạng toàn phương là M =  1 −1 2−1 0 1 2 1 −1  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 5 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Cho dạng toàn phương f (x) = xT .M .x , với x = (x1, x2, x3) T . Vì M là ma trận đối xứng thực nên M chéo hóa được bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D : D = PTMP ⇒ M = PDPT . Khi đó f (x) = xT .P .D.PT .x = (PT .x)T .D.(PT .x). Đặt y = PT .x = P−1x ⇔ x = Py . Ta có g(y) = yTDy = (y1, y2, y3)  λ1 0 00 λ2 0 0 0 λ3  y1y2 y3  . Vậy f (x) = g(y) = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + λ3y 2 3 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 6 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Định nghĩa Dạng toàn phương g(y) = yTDy được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương f (x) = xTMx . Định lý Dạng toàn phương f (x) = xTMx luôn luôn có thể đưa về dạng chính tắc g(y) = yTDy bằng cách chéo hóa trực giao ma trận M của dạng toàn phương. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 7 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao Bước 1. Viết ma trận M của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc) Bước 2. Chéo hóa M bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D. Bước 3. Kết luận: dạng chính tắc cần tìm là g(y) = yTDy . Phép biến đổi cần tìm x = Py . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 8 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ Ví dụ Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao f (x1, x2, x3) = −4x1x2− 4x1x3 + 3x22 − 2x2x3 + 3x23 Ma trận của dạng toàn phương M =  0 −2 −2−2 3 −1 −2 −1 3  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 9 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ det(M − λI ) = ∣∣∣∣∣∣ −λ −2 −2 −2 3− λ −1 −2 −1 3− λ ∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ −λ3 + 6λ2−32 = 0⇔ λ1 = −2, λ2 = λ3 = 4. Xác định ma trận trực giao. Với λ1 = −2, ta có P∗1 =  2√ 6 1√ 6 1√ 6  . Với λ2 = λ3 = 4, ta có P∗2 =  − 1√ 5 2√ 5 0  , P∗3 =  − 2√ 30 − 1√ 30 5√ 30  . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 10 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ Do đó ma trận trực giao P =  2√ 6 − 1√ 5 − 2√ 30 1√ 6 2√ 5 − 1√ 30 1√ 6 0 5√ 30  . Phép biến đổi (x1, x2, x3)T = P(y1, y2, y3)T sẽ đưa dạng toàn phương f về dạng chính tắc f = −2y 21 + 4y 22 + 4y 23 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 11 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange Định nghĩa Phép biến đổi x = Py được gọi là phép biến đổi không suy biến nếu P là ma trận không suy biến. Nội dung của phương pháp Lagrange là sử dụng các phép biến đổi không suy biến đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 12 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange Bước 1. Chọn 1 thừa số khác 0 của hệ số của x2k , lập thành 2 nhóm: 1 nhóm gồm tất cả các hệ số chứa xk , nhóm còn lại không chứa xk . Bước 2. Trong nhóm đầu tiên: lập thành tổng bình phương. Như vậy, ta sẽ được 1 tổng bình phương và 1 dạng toàn phương không chứa xk . Bước 3. Sử dụng bước 1, 2 cho dạng toàn phương không chứa xk . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 13 / 43 Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi Lagrange Chú ý. Nếu trong dạng toàn phương ban đầu tất cả các hệ số x2k đều bằng 0, thì ta chọn thừa số khác 0 của hệ số xixj . Đổi biến ∀k 6= i , j : xk = yk , xi = yi + yj , xj = yi − yj TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 14 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ Ví dụ Dùng phương pháp Lagrange đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc f (x1, x2, x3) = x 2 1 + 2x 2 2 − 7x23 − 4x1x2 + 8x1x3. Ta có f (x1, x2, x3) = x 2 1 − 4x1(x2 − 2x3) + 2x22 − 7x23 = [x21 − 4x1(x2 − 2x3) + 4(x2 − 2x3)2] + 2x22 − 7x23 − 4(x2 − 2x3)2 = (x1 − 2x2 + 4x3)2−2(x22 − 8x2x3)− 23x23 = TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 15 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ = (x1− 2x2 + 4x3)2−2(x22 − 8x2x3 + 16x23 )+9x23 = = (x1 − 2x2 + 4x3)2 − 2(x2 − 4x3)2 + 9x23 . Vậy dùng phép biến đổi y1 = x1 − 2x2 + 4x3 y2 = x2 − 4x3 y3 = x3 →  x1 = y1 + 2y2 + 4y3 x2 = y2 + 4y3 x3 = y3 Ta đưa f về dạng chính tắc f (x) = g(y) = y 21 − 2y 22 + 9y 23 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 16 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ Dùng phương pháp Lagrange đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc f (x1, x2, x3) = x21 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x 2 2 + 16x2x3 + 4x 2 3 . Hệ số của x21 khác 0 nên f được đưa về dạng f = (x1 + 2x2 + 2x3) 2 + 8x2x3. Dùng phép biến đổi y1 = x1 + 2x2 + 2x3, y2 = x2, y3 = x3 hay x1 = y1 − 2y2 − 2y3, x2 = y2, x3 = y3 x1x2 x3  =  1 −2 −20 1 0 0 0 1  y1y2 y3  ta đưa f về dạng f = y 21 + 8y2y3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 17 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ Đối với dạng 8y2y3 vì hệ số của các bình phương đều bằng 0 nên ta đặt y1 = z1, y2 = z2 + z3, y3 = z2 − z3 y1y2 y3  =  1 0 00 1 1 0 1 −1  z1z2 z3  ta đưa f về dạng f = z21 + 8z22 − 8z23 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 18 / 43 Những khái niệm cơ bản Ví dụ Như vậy với phép biến đổi x1x2 x3  =  1 −2 −20 1 0 0 0 1  y1y2 y3  =  1 −2 −20 1 0 0 0 1  1 0 00 1 1 0 1 −1  z1z2 z3  =  1 −4 00 1 1 0 1 −1  z1z2 z3  ta đưa f về dạng chính tắc f = z21 + 8z22 − 8z23 . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 19 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Định nghĩa Định nghĩa Dạng toàn phương f (x) = xTMx được gọi là xác định dương, nếu ∀x 6= 0 : f (x) > 0 xác định âm, nếu ∀x 6= 0 : f (x) < 0 nửa xác định dương, nếu ∀x : f (x) > 0,∃x0 6= 0 : f (x0) = 0. nửa xác định âm, nếu ∀x : f (x) 6 0,∃x0 6= 0 : f (x0) = 0. không xác định dấu, nếu ∃x1, x2 : f (x1) 0. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 20 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ Ví dụ Khảo sát tính chất xác định của dạng toàn phương f = x21 + 5x 2 2 + 4x 2 3 − 4x1x2 − 2x2x3 f có thể đưa về dạng f = (x1 − 2x2)2 + (x2 − x3)2 + 3x23 . Rõ ràng f > 0, f = 0 khi và chỉ khi x1 − 2x2 = 0 x2 − x3 = 0 x3 = 0 ⇔ x1 = x2 = x3 = 0 nên dạng toàn phương này xác định dương. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 21 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ Giả sử dạng toàn phương đưa về dạng chính tắc g(y) = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + . . . + λny 2 n Nếu λk > 0,∀k thì DTP xác định dương Nếu λk < 0,∀k thì DTP xác định âm Nếu λk > 0,∀k,∃λi = 0 thì DTP nửa xác định dương Nếu λk 6 0,∀k,∃λi = 0 thì DTP nửa xác định âm Nếu ∃λi > 0, λj < 0, i 6= j thì DTP không xác định dấu TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 22 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Luật quán tính Giả sử dạng toàn phương đưa về dạng chính tắc g(y) = λ1y 2 1 + λ2y 2 2 + . . . + λny 2 n Định nghĩa Số các hệ số dương được gọi là chỉ số dương quán tính. Số các hệ số âm được gọi là chỉ số âm quán tính Có nhiều phương pháp khác nhau để đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. Đặc điểm chung của các phương pháp này là: số lượng các hệ số âm và số lượng các hệ số dương là không đổi. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 23 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Luật quán tính Luật quán tính Định lý Chỉ số dương quán tính, chỉ số âm quán tính của dạng toàn phương là những đại lượng bất biến không phụ thuộc vào cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 24 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Tiêu chuẩn Sylvester Định nghĩa Cho ma trận M vuông cấp n. Tất cả các định thức con tạo nên dọc theo đường chéo chính được gọi là định thức con chính cấp 1, 2, . . . , n. Kí hiệu ∆1,∆2, . . . ,∆n. M =  a11 a12 a13 . . . a1n a21 a22 a23 . . . a2n a31 a32 a33 . . . a3n . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 an3 . . . ann  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 25 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Tiêu chuẩn Sylvester Các định thức con chính ∆1 = |a11|,∆2 = ∣∣∣∣a11 a12a21 a22 ∣∣∣∣ , ∆3 = ∣∣∣∣∣∣ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ∣∣∣∣∣∣ , . . . ,∆n = det(A). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 26 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Tiêu chuẩn Sylvester Tiêu chuẩn Sylvester Định lý Cho dạng toàn phương f (x) = xTMx 1 f (x) xác định dương khi và chỉ khi ∆i > 0,∀i = 1, 2, . . . , n. 2 f (x) xác định âm khi và chỉ khi (−1)i∆i > 0,∀i = 1, 2, . . . , n. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 27 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ Ví dụ Khảo sát tính chất xác định của dạng toàn phương sau f (x1, x2, x3) = 5x 2 1 +x 2 2 +5x 2 3 +4x1x2−8x1x3−4x2x3 Ta có ma trận của dạng toàn phương f là M =  5 2 −42 1 −2 −4 −2 5  Vì ∆1 = 5 > 0, ∆2 = ∣∣∣∣ 5 22 1 ∣∣∣∣ = 1 > 0, TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 28 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ ∆3 = ∣∣∣∣∣∣ 5 2 −4 2 1 −2 −4 −2 5 ∣∣∣∣∣∣ = 1 > 0 nên theo tiêu chuẩn Sylvester dạng toàn phương đã cho xác định dương. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 29 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ Ví dụ Cho dạng toàn phương f (x1, x2, x3) = −5x21 − x22 −mx23 − 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3. Với giá trị nào của m thì dạng toàn phương f xác định âm Ta có ma trận của dạng toàn phương f là A =  −5 −2 1−2 −1 1 1 1 −m  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 30 / 43 Dạng toàn phương xác định dấu Ví dụ Vì (−1)1∆1 = −(−5) > 0, (−1)2∆2 = (−1)2 ∣∣∣∣ −5 −2−2 −1 ∣∣∣∣ = 1 > 0, (−1)3∆3 = (−1)3 ∣∣∣∣∣∣ −5 −2 1 −2 −1 1 1 1 −m ∣∣∣∣∣∣ = −2 + m. Để dạng toàn phương đã cho xác định âm thì m − 2 > 0 hay m > 2. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 31 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Định nghĩa Nhận dạng đường và mặt bậc hai Định nghĩa Đường bậc hai là đường có phương trình dạng ax2 + 2bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, a, b, c, d , e, f ∈ R. Định nghĩa Mặt bậc hai là mặt có phương trình dạng ax2 + by 2 + cz2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + kz + m = 0, a, b, c, d , e, f , g , h, k,m ∈ R TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 32 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Các đường và mặt bậc hai cơ bản Ellipse x 2 a2 + y 2 b2 = 1 Hyperbol x 2 a2 − y 2 b2 = 1 Parabol y 2 = 2px Ellipsoid x 2 a2 + y 2 b2 + z2 c2 = 1 Hyperboloid 1 tầng x 2 a2 + y 2 b2 − z 2 c2 = 1 Hyperboloid 2 tầng x 2 a2 + y 2 b2 − z 2 c2 = −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 33 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Các đường và mặt bậc hai cơ bản Paraboloid Elliptic z = x 2 a2 + y 2 b2 Paraboloid Hyperbolic z = x 2 a2 − y 2 b2 Mặt nón 2 phía x 2 a2 + y 2 b2 = z2 c2 Mặt trụ ellipse x 2 a2 + y 2 b2 = 1, z ∈ R Mặt trụ parabol y 2 = 2px , z ∈ R TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 34 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Nhận dạng đường và mặt bậc hai Nhận dạng đường và mặt bậc hai Bước 1. Đưa đường và mặt bậc hai về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao (phép quay) Bước 2. Sử dụng phép tịnh tiến để đưa phương trình của đường (mặt) bậc hai về đường (mặt) bậc hai cơ bản. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 35 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ Ví dụ Nhận dạng đường cong bậc hai sau: 3x2 + 2xy + 3y 2 + 8 √ 2y − 4 = 0. Xét f = 3x2 + 2xy + 3y 2. Ma trận của f là M = ( 3 1 1 3 ) . Phương trình đặc trưng của M là χM(λ) = det(M − λI ) = ∣∣∣∣ 3− λ 11 3− λ ∣∣∣∣ = 0 ⇔ λ1 = 2, λ2 = 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 36 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ Với λ1 = 2, ta có P∗1 = ( 1√ 2 − 1√ 2 ) Với λ2 = 4, ta có P∗2 = ( 1√ 2 1√ 2 ) Ma trận của phép biến đổi trực giao P = ( 1√ 2 1√ 2 − 1√ 2 1√ 2 ) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 37 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ Với phép biến đổi X = PY hay x = 1√ 2 x ′ + 1√ 2 y ′ y = − 1√ 2 x ′ + 1√ 2 y ′ Vậy thay vào phương trình ban đầu ta được x ′2 + 2y ′2 − 4x ′ + 4y ′ − 2 = 0. Sử dụng phép tịnh tiến, ta viết phương trình trên dưới dạng (x ′ − 2)2 + 2(y ′ + 1)2 = 8. Đặt{ x ′′ = x ′ − 2 y ′′ = y ′ + 1 ta được x ′′2 8 + y ′′2 4 = 1. Ellipse TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 38 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ Ví dụ Nhận dạng mặt bậc hai sau: 2x21 + 2x 2 2 + 3x 2 3 − 2x1x3 − 2x2x3 − 16 = 0. Xét f = 2x21 + 2x22 + 3x23 − 2x1x3 − 2x2x3. Ma trận của f là M =  2 0 −10 2 −1 −1 −1 3  . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 39 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ Phương trình đặc trưng của M là χM(λ) = |M − λI | = ∣∣∣∣∣∣ 2− λ 0 −1 0 2− λ −1 −1 −1 3− λ ∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇔ λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 4. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 40 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ Với λ1 = 1, ta có P∗1 =  1√ 3 1√ 3 1√ 3  Với λ2 = 2, ta có P∗2 =  1√ 2 − 1√ 2 0  Với λ3 = 4, ta có P∗3 =  1√ 6 1√ 6 − 2√ 6  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 41 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ Ma trận của phép biến đổi trực giao P =  1√ 3 1√ 2 1√ 6 1√ 3 − 1√ 2 1√ 6 1√ 3 0 − 2√ 6  TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 42 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ Với phép biến đổi X = PY hay x1 = 1√ 3 x ′1 + 1√ 2 x ′2 + 1√ 6 x ′3 x2 = 1√ 3 x ′1 − 1√ 2 x ′2 + 1√ 6 x ′3 x3 = 1√ 3 x ′1 + 0.x ′ 2 − 2√6x ′3 Vậy thay vào phương trình ban đầu ta được x ′21 + 2x ′2 2 + 4x ′2 3 = 16 hay x ′21 16 + x ′22 8 + x ′23 4 = 1. Ellipsoid TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 43 / 43 Nhận dạng đường và mặt bậc hai Ví dụ THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 44 / 43