Toán học - Chương 5: Chuỗi số và chuỗi lũy thừa

Chương 5 CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI LŨY THỪA ThS. Huỳnh Văn Kha TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Dãy số và sự hội tụ. 2. Chuỗi số. 3. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số. 4. Chuỗi lũy thừa. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 2 1. DÃY SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ • Dãy số (sequence) là danh sách các con số được sắp theo một thứ tự nào đó
,
,
, ,
, • Ví dụ, dãy 2,4,6,8, , 2, có phần tử thứ nhất là
 = 2, phần tử thứ hai là
 = 4, phần tử thứ  là
 = 2, • Có thể coi dãy số như một hàm số, biến 1 thành
, biến 2 thành
, biến  thành
, • Dãy số được mô tả bằng công thức
 =   . 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 3 Ví dụ dãy số • Dãy số
 =  có các phần tử là
 = 1, 2, 3, 4, , , 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 4 • Dãy số
 =  có các phần tử là
 = 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , , 1  , 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 5 • Dãy số
 =    có các phần tử là
 = 1,− 1 2 , 1 3 , − 1 4 , , −1   , 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 6 Dãy số hội tụ • Nếu các phần tử trong dãy số tiến về một giá trị thực nào đó khi  lớn, thì ta nói dãy số là hội tụ (converge). • Các phần tử của dãy
 =  tiến về 0 khi  lớn. • Các phần tử của dãy
 =  tiến về 1 khi  lớn. • Nếu các phần tử trong dãy số không tiến về giá trị thực nào cả, hoặc chúng tiến ra vô cùng, thì ta nói dãy số là phân kỳ (diverge). • Các phần tử của dãy số
 =  có thể lớn tùy ý khi  đủ lớn, nên dãy số này phân kỳ. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 7 • Các phần tử của dãy số
 = −1  nhận giá trị xen kẽ giữa −1 và 1 nên nó không hội tụ về con số thực nào cả. Dãy này phân kỳ. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 8 Định nghĩa 1. Dãy số hội tụ Dãy số
 được nói là hội tụ (converge) về  nếu ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ > ,
 −  <  Nếu không số  nào như vậy, ta nói dãy
 phân kỳ (diverge). Nếu
 hội tụ về  ta viết lim→%
 =  hay
 → . Và khi đó ta nói  là giới hạn (limit) của dãy số
 . 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 9 Một số tính chất 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 10 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 11 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 12 Một số giới hạn cơ bản 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 13 Ví dụ 1. Tính các giới hạn dãy số sau đây. 1. lim→% ln   2. lim→%   3. lim→% 3  4. lim→% − 1 2  5. lim→%  − 2  6. lim→% 100 ! 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 14 2. CHUỖI SỐ • Chuỗi số (series) là tổng tất cả con số trong một dãy số, tổng đó có dạng
 +
 +
 +⋯+
 +⋯ • Tổng vô hạn các con số là gì? Cách tính nó? • Để tính tổng vô hạn các con số, ta tính tổng riêng phần (partial sum) thứ  - =
 +
 +
 +⋯+
 và sau đó cho  → ∞. • Ví dụ, tính tổng của chuỗi số 1 + 12 + 1 4 + 1 16 +⋯+ 1 2 +⋯ 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 15 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 16 Sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 17 Định nghĩa 2. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Cho chuỗi số
 +
 +
 +⋯+
 +⋯ Dãy - được định nghĩa bởi - =
 - =
 +
 - =
 +
 +⋯+
 = /
0  01 được gọi là dãy tổng riêng phần (sequence of partial sums) của chuỗi số. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 18 Định nghĩa 2 (tt). Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Nếu dãy tổng riêng phần nói trên hội tụ về  thì ta nói chuỗi số là hội tụ và có tổng bằng , ta viết
 +
 +⋯+
 +⋯ = /
 % 1 =  Nếu dãy tổng riêng phần không hội tụ thì ta nói chuỗi số là phân kỳ. Chuỗi hình học • Chuỗi hình học (geometric series) là chuỗi có dạng
+
2 +
2 +⋯+
2 +⋯ = /
2 % 1 ≡ /
2 % 14 trong đó
và 2 là các số thực cho trước (
≠ 0). • Các chuỗi sau là chuỗi hình học 1 + 12 + 1 4 +⋯+ 1 2 +⋯ = / 1 2 % 1 2 − 23 + 2 9 −⋯+ 2 − 1 3  +⋯ = /2 −13 % 14 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 19 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 20 Định lý 1. Sự hội tụ của chuỗi hình học. Xét chuỗi hình học
+
2 +
2 +⋯+
2 +⋯ = /
2 % 1 ≡ /
2 % 14 Nếu 2 < 1 thì chuỗi hình học hội tụ và /
2 % 1 =
1 − 2 , 2 < 1 Nếu 2 ≥ 1 thì chuỗi hình học phân kỳ. Ví dụ 2. 1. Các chuỗi hình học sau có hội tụ không? Nếu có hãy tính tổng của chúng.
) / 13 % 1 9) / 5 −1  4 % 14 2. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số
) 5.232323 9) 0.999999 . 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 21 Một số tính chất • Các chuỗi số sau có hội tụ không? /1 % 1 /  + 1 % 1 • Nếu chuỗi ∑
 hội tụ thì
 → 0. • Nhưng ngược lại không đúng, có những chuỗi phân kỳ nhưng dãy số tương ứng hội tụ về 0. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 22 Kiểm tra chuỗi số phân kỳ dựa vào dãy Nếu dãy
 không có giới hạn hoặc lim→%
 ≠ 0 thì chuỗi ∑
 phân kỳ. Ví dụ 3. Các chuỗi số sau hội tụ hay phân kỳ? 1./  % 1 2./ −2 + 5 % 1 3./ −1  % 1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 23 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 24 Ví dụ 4. Tính tổng các chuỗi số sau đây 1./ 3  − 1 6 % 1 2./ 42 % 14 Chú ý /
 % 1 =
 +
 +⋯+
0 +/
 % 10 Nên nếu ∑
%1 hội tụ thì ∑
%10 cũng hội tụ với mọi ; ≥ 1 và ngược lại. Ví dụ 5. Tính tổng chuỗi số 1./ 15 % 1< 2./ 2 + 3  7 % 1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 25 3. CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 26 Tiêu chuẩn tích phân (integral test). Cho
 là dãy số dương (nghĩa là
 > 0, ∀). Giả sử
 =   với  là hàm số liên tục, dương, giảm với mọi > ≥  ( là số nguyên dương). Thì chuỗi ∑
%1? và tích phân @  > A>%? cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Chuỗi ∑ B (C – series) Ví dụ 6. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số 1./ 1 % 1 2./ 11 +  % 14 3./ 1 ln  % 1 Ví dụ 7. Với giá trị nào của C thì chuỗi sau hội tụ? / 1D % 1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 27 E – series Chuỗi ∑ B%1 hội tụ khi C > 1 và phân kỳ khi C ≤ 1. Tiêu chuẩn so sánh 1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 28 Tiêu chuẩn so sánh 1 (comparison test) Cho các chuỗi số không âm ∑
, ∑G, ∑A. Giả sử có số nguyên dương  sao cho A ≤
 ≤ G, ∀ >  Nếu ∑G hội tụ thì ∑
 hội tụ. Nếu ∑A phân kỳ thì ∑
 phân kỳ. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 29 Ví dụ 8. Xét sự hội tụ của các chuỗi số. 1./ 55 − 1 % 1 2./ 1 + 1 % 1 3./ 12 +  % 14 4./ ln  % 1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 30 Tiêu chuẩn so sánh 2 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 31 Tiêu chuẩn so sánh 2 (limit comparison test) Giả sử
 ≥ 0, 9 > 0, ∀ ≥  (với  là số nguyên dương). 1. Nếu lim→% H I = G ∈ 0,∞ thì chuỗi ∑
 và chuỗi ∑9 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 2. Nếu lim→% H I = 0 và ∑9 hội tụ thì ∑
 hội tụ. 3. Nếu lim→% H I = ∞ và ∑9 phân kỳ thì ∑
 phân kỳ. Ví dụ 9. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. 1./ 2 + 1 + 1  % 1 2./ 2  − 1 3 + 1 % 1 3./  + 1  + 1 % 1 4./ 3  + 2 2 + 3 % 1 5./  ln  + 5 % 1 6./ ln/ % 1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 32 Chuỗi đan dấu (Alternating series) • Chuỗi đan dấu là chuỗi mà các hạng tử mang dấu dương và âm xen kẽ, ví dụ 1 − 12 + 1 3 − 1 4 +⋯+ −1   +⋯ −2 + 1 − 12 + 1 4 − 1 8 +⋯+ −1 4 2 +⋯ 1 − 2 + 3 − 4 + 5 −⋯+ −1  +⋯ • Tổng quát, chuỗi đan dấu là chuỗi ∑
, trong đó
 = −1 K hoặc
 = −1 K với K ≥ 0, ∀. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 33 Tiêu chuẩn Leibniz 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 34 Tiêu chuẩn Leibniz (Leibniz’s test) Chuỗi đan dấu / −1 K % 1 = K − K + K − K< + KP −⋯ hội tụ nếu có  ∈ ℕ để các điều kiện sau đây là đúng 1. K > 0, ∀ >  2. K Q? là dãy giảm, nghĩa là K ≥ K, ∀ ≥  3. K → 0. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 35 Ví dụ 12. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số. 1./ −1  % 1 2./ −1   + 1 % 14 3./ −1  2 + 1 % 14 Hội tụ tuyệt đối • Chuỗi ∑
 được nói là hội tụ tuyệt đối (absolutely convergent) nếu chuỗi ∑
 hội tụ. • Chuỗi hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối được gọi là hội tụ có điều kiện (conditionally convergent). 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 36 Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối (The absolute convergence test) Nếu chuỗi ∑
 hội tụ thì chuỗi ∑
 hội tụ. Ví dụ 13. Các chuỗi số sau có hội tụ, có hội tụ tuyệt đối không? 1./ −1  % 1 2./ −1   % 1 3./ 1 % 1 • Nếu ta sắp xếp lại thứ tự lấy tổng cho một chuỗi hội tụ có điều kiện thì tổng thu được có thể khác nhau. • Với chuỗi hội tụ tuyệt đối, mọi cách sắp xếp lại thứ tự lấy tổng đều cho kết quả như nhau. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 37 Tiêu chuẩn tỉ số (của d’Alembert) 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 38 Tiêu chuẩn tỉ số (ratio test) Xét chuỗi số ∑
, giả sử rằng lim→%

 = R Nếu R < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu R > 1 hoặc R = ∞ thì chuỗi phân kỳ. (Nếu R = 1 thì không có kết luận tổng quát.) Ví dụ 10. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. 1./ 2  + 5 3 % 1 2./ ! % 1 3./ 2 !!  % 1 4./   2 ! % 1 5./ 4  !  2 ! % 1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 39 Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy) 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 40 Tiêu chuẩn căn số (root test) Xét chuỗi số ∑
, giả sử rằng lim→%
  = R Nếu R < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu R > 1 hoặc R = ∞ thì chuỗi phân kỳ. (Nếu R = 1 thì không có kết luận tổng quát.) Ví dụ 11. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. 1./   2 % 1 2./ 11 +  % 1 3./ 2  + 3 3 + 2 % 1 4./  + 1 S% 1 5./ 10 1 − 2 S% 1 6./ 15 S  + 3 S % 1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 41 Tóm tắt các tiêu chuẩn hội tụ 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 42 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 43 Bài tập Ví dụ 12. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. 1./  − 12 + 1 % 1 2./   + 1 3 + 4 + 2 % 1 3./ TS % 1 4./ −1    < + 1 % 1 5./ 2 0 ;! % 01 6./ 12 + 3 % 1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 44 4. CHUỖI LŨY THỪA 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 45 Định nghĩa 3. Chuỗi lũy thừa (power series) Chuỗi lũy thừa tâm tại
là chuỗi có dạng /G > −
 % 14 = G4 + G > −
+ G > −
 +⋯ trong đó tâm
và các hệ số G4, G, G, là các hằng số cho trước. Có thể coi chuỗi lũy thừa là đa thức có bậc vô cùng. Ví dụ 13. Với giá trị nào của > thì các chuỗi lũy thừa sau hội tụ? Tính tổng của chúng. 1./ > % 14 = 1 + > + > + > +⋯ 2./ −1  2 > − 2  % 14 = 1 − 12 > − 2 + 1 4 > − 2  − 18 > − 2  +⋯ 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 46 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 47 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 48 Ví dụ 14. Với giá trị nào của > thì các chuỗi lũy thừa sau đây hội tụ? 1./ ! > % 14 2./ > − 3  % 1 3./ −1 > 2 !  % 14 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 49 Định lý về sự hội tụ 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 50 Định lý 2. Về sự hội tụ của chuỗi lũy thừa. Xét chuỗi lũy thừa ∑ G>%14 = G4 + G> + G> + G> +⋯ 1. Nếu nó hội tụ tại > = G ≠ 0 thì nó hội tụ tại mọi > thỏa > < G . 2. Nếu nó phân kỳ tại > = A thì nó phân kỳ tại mọi > thỏa > > A . Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa The Radius of Convergence of a Power Series 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 51 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Chuỗi lũy thừa ∑G > −
 chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau. 1. Có số U > 0 sao cho chuỗi phân kỳ với > −
> U và hội tụ (tuyệt đối) với > −
< U. Còn tại các đầu mút > =
− U, > =
+ U chuỗi có thể hội tụ, có thể phân kỳ. 2. Chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi > (U = ∞). 3. Chuỗi chỉ hội tụ tại > =
và phân kỳ tại mọi > ≠
(U = 0). • Giá trị U nói trên gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. • Khoảng hội tụ (hay miền hội tụ) là khoảng chứa tất cả các giá trị của > để chuỗi lũy thừa hội tụ. • Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ cho các chuỗi lũy thừa trong Ví dụ 14. 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 52 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 53 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 54 Bài tập Ví dụ 15. Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ. 1./ −3 >  + 1 % 14 2./  > + 2  3 % 14 3./  2> − 1  % 1 4./ 3> + 2   + 1 % 14 5./ 1 − 2>5 % 14 6./ −1 > ! % 14 7./ −1 >  +  % 1 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 55 Vi phân chuỗi lũy thừa 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 56 Tích phân chuỗi lũy thừa 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 57 Chuỗi Taylor 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 58 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 59 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 60 Đa thức Taylor 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 61 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 62 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 63 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 64 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 65 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 66 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 67 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 68 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 69 Sự hội tụ của chuỗi Taylor 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 70 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 71 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 72 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 73 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 74 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 75 24/08/2015 C01121 – Chuỗi số và chuỗi lũy thừa 76