Toán học - Chương 5: Chuỗi lũy thừa

nn n xxa )( 0 1    )( 0xxX  n n n Xa  1 Bằng phép biến đổi ta đưa chuỗi trên về dạng IV. CHUỖI LŨY THỪA Do đó các kết quả về chuỗi lũy thừa chỉ cần xét cho trường hợp chuỗi có dạng n n nxa  1 hội tụ tại Rõ ràng chuỗi n n nxa  1 0x Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng 1.Định nghĩa  Khoảng (-R, R) được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa 2. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.  Số R > 0 sao cho chuỗi lũy thừa n n nxa  1 Rxx : hội tụ với mọi và phân kỳ với mọi Rxx : được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi. n n nxa  1 nn nxa  1 n n nxa  1 Nếu chuỗi lũy thừa Nếu chuỗi lũy thừa phân kỳ x  0 ta cho R = 0. hội tụ x  R ta cho R = + . 2. Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).   n n n a a 1lim n n nxa  1 3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là:          0, 0,1 ,0     R a) Định lý Abel: Giả sử   n nn alim n n nxa  1 b. Định lý Cauchy: khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa là:          0, 0,1 ,0     R 3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt). Giả sử Chú ý: Để tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n n nxa  1 nn nxa  1 Ta dựa vào hai định lý trên để tìm bán kính hội tụ R. Bước 1: Khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa này là: -R < x < R Xét sự hội tụ của chuỗi tại các đầu mút của khoảng hội tụ. Từ đó ta sẽ có được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Bước 2: Bước 3: 3. Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).   1n n n x 1 1 1 1     n n a a n a n n n VD1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Ta có: Vậy R = 1 4. Một số ví dụ:  Khoảng hội tụ của chuỗi là -1 <x <1 Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x =  1 Tại x = 1 ta có chuỗi   1 1 n n phân kỳ     1 3. )2( n n n n x   1 3.n n n n X VD2: Tìm miền hội tụ của chuỗi Đặt X = (x+2) chuỗi ban đầu trở thành 4. Một số ví dụ - VD 1(tt): tiêu chuẩn Leibnitz. Tại x = -1 ta có chuỗi     1 1)1( n n n hội tụ theo Vậy miền hội tụ của chuỗi là -1 ≤ x <1 4. Một số ví dụ - VD2(tt): 1 5-  x Vậy R = 3 Khoảng hội tụ của chuỗi là 3 2)( 3- 3 3-  xX 3 1 3 1 3. 1  n n nnn n a n aTa có:     1 1)1( n n n   1 1 n n Tại x = 1 ta có chuỗi Vậy miền hội tụ của chuỗi là: -5 ≤ x <1 Tại x = -5 ta có chuỗi hội tụ. phân kỳ. 4. Một số ví dụ - VD2(tt): Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = -5 và x = 1:   1 2 9.n n n n x   1n n n Xa nn n a 9. 1 9 1 9 1  n n n n a VD3: Tìm miền hội tụ của chuỗi Đặt X = x2 , chuỗi ban đầu trở thành Ta có: Vậy R = 9 4. Một số ví dụ (tt): 3x 3- 3 2 x   1 1 n n Khoảng hội tụ của chuỗi là Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x =  3: phân kỳ. 4. Một số ví dụ - VD3(tt): Tại x =  3 ta có chuỗi Vậy miền hội tụ của chuỗi là: -3 < x < 3         1 1 1 12 )1( n nn x x n x xX   1 1      1 12 )1( n n n X n 12 )1(    n a n n 11 32 121    R n n a a n n VD4: Tìm miền hội tụ của chuỗi Đặt Chuỗi ban đầu trở thành Ta có: 4. Một số ví dụ (tt): 0 1 1 1 1- 1 1-    x x xX      1 12 )1( n n n Khoảng hội tụ của chuỗi là Vậy miền hội tụ của chuỗi là: 0 ≤ x < + 4. Một số ví dụ - VD4 (tt): Xét sự hội tụ của chuỗi tại đầu mút x = 0: Tại x = 0 ta có chuỗi chuẩn Leibnitz. hội tụ theo tiêu               1 1 1 n n n n n n xnaxa     1 1 n n nxna 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa: khi đó chuỗi cũng có bán kính hội tụ là R. a) Tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm số liên tục trên miền hội tụ của nó. b) Trên khoảng hội tụ ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của từng chuỗi lũy thừa, nghĩa là                 1 1 100 1 1n nn n x n n x n n n xn a dttadtta     1 1 1n nn x n a c) Trên khoảng hội tụ ta có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi lũy thừa, nghĩa là: khi đó chuỗi cũng có bán kính hội 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa (tt): tụ là: R ... 12 )1(... 53 )( 1253     n xxxxxS n n 12 )1()( 12 0      n xxS n n n 21 1)( x xS   VD1: Hãy tính tổng của chuỗi trong miền hội tụ của chúng. có bán kính hội tụ là R=1 Ta có: . Vậy 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa (tt):       0 2 0 2 )(.)1()(' n n n nn xxxS cũng có bán kính hội tụ là R=1 ...)1(... 32 )( 1 32   n xxxxxS n n VD2: Hãy tính tổng của chuỗi trong miền hội tụ của chúng.    xx dt t dttSSxS 0 2 0 1 1)()0()( Mà S(0)= 0 nên S(x) = arctgx 0arctgarctg  x 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD1 (tt):         0 1 1 1 )()1()( n nn n n xxxS x xS   1 1)( bán kính hội tụ là R = 1. Vậy cũng có Cho nên n xxS n n n    1 1)1()( có bán kính hội tụ là R=1 Ta có: 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD2 (tt): ......321)( 12  nnxxxxS VD3: Hãy tính tổng của chuỗi trong miền hội tụ của chúng. 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD2 (tt): Mà S(0) = 0 nên S(x) = ln(1+x) )1ln( 1 1)()0()( 00 xdt t dttSSxS xx                  11 1)()( 0 x dttSxS x  21 1)( x xS   1 1 1)( 0    xtS x Vậy 1 1 )(     n n xnxS có bán kính hội tụ là R=1 Ta có: 5. Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD3 (tt):     10 )( n n x xdttS cũng có bán kính hội tụ là R=1 6. Chuỗi Taylor 6. Chuỗi Taylor (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt) 7. Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt)