Toán học - Chương 4: Tích phân và ứng dụng

Chương 4 TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ThS. Huỳnh Văn Kha TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Một số bài toán mở đầu. 2. Định nghĩa tích phân xác định. 3. Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân. 4. Các phương pháp tính tích phân. 5. Một số ứng dụng của tích phân. 6. Phương pháp số. 7. Tích phân suy rộng. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 2 1. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU • Tính diện tích hình phẳng
nằm trên trục , dưới đường  =   = 1 −  và giữa  = 0,  = 1. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 3 • Xấp xỉ bằng tổng trên (upper sum). 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 4 • Xấp xỉ tốt hơn khi tăng số khoảng chia. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 5 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 6 • Có thể xấp xỉ bằng tổng dưới (lower sum). 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 7 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 8 • Có thể xấp xỉ bằng các hình chữ nhật có chiều cao bằng giá trị của  tại điểm giữa các khoảng chia. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 9 • Khoảng xác định , của hàm số  có thể được chia thành  khoảng con có độ dài bằng nhau Δ = −  • Chiều cao của mỗi hình chữ nhật có thể được tính bằng giá trị của  tại một điểm tùy ý nào đó trong mỗi khoảng con. • Tổng như vậy có dạng   +    +    +⋯+    • Chú ý là tổng này vẫn chưa phải là giá trị chính xác của diện tích cần tìm. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 10 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 11 Tính khoảng cách di chuyển • Nếu một vật di chuyển với vận tốc   thì trong khoảng thời gian từ  =  đến  = vật đó đi được bao xa? • Nếu biết một nguyên hàm của   là   thì vị trí của vật đó ở thời điểm  là   =   + . • Quãng đường đi được là  −   =  −   . • Trong nhiều trường hợp ta không biết nguyên hàm của   hoặc thậm chí chỉ biết vận tốc tại một vài thời điểm nhất định. Có cách nào xấp xỉ khoảng cách di chuyển của vật đó hay không? 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 12 • Chia khoảng , thành n khoảng thời gian đều nhau có độ dài Δ. – Trên khoảng thời gian thứ 1, chọn tùy ý. – Trên khoảng thời gian thứ 2, chọn  tùy ý. – – Trên khoảng thời gian thứ , chọn  tùy ý. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 13 • Xấp xỉ quãng đường đi được như sau – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 1 xấp xỉ bằng   Δ. – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 2 xấp xỉ bằng   Δ. – – Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ  xấp xỉ bằng   Δ. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 14 2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Nhiều biểu thức tổng (như các tổng xấp xỉ nói trên) có thể được viết gọn bằng ký hiệu sigma    =  +  +  +⋯+  +  • Ví dụ 1 + 2 + 3 +⋯+ 10 = " #   1 +  2 +⋯+  100 = $ ## % 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 15 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 16 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 17 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 18 Ví dụ 1. Xét bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục , đường cong  =   = 1 −  và hai đường thẳng đứng  = 0,  = 1. Chia khoảng 0,1 thành  khoảng con có độ dài bằng nhau Δ = 1/. a) Viết lại tổng dưới ' bằng ký hiệu sigma và tínhlim→, ' b) Viết lại tổng trên - bằng ký hiệu sigma và tínhlim→,- Lặp lại yêu cầu trên, thay hàm số   bằng .  = . 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 19 Tổng Riemann • Tổng quát, xét hàm số  xác định trên khoảng , . • Chia , thành  khoảng (không nhất thiết có độ dài bằng nhau) bằng cách chọn  − 1 điểm ,  , ,  nằm trong khoảng , thỏa <  <  < ⋯ <  < • Để tiện lợi, đặt # =  và  = . • Tập hợp 1 = #, ,  , ,  gọi là một phân hoạch (partition) của khoảng , . • Đặt Δ =  −  (nếu cách khoảng chia đều nhau thì Δ = −  / với mọi "). 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 20 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 21 • Trên khoảng con thứ " chọn số  tùy ý. • Tổng sau đây gọi là tổng Riemann của  trên , 23 =   Δ   • Chú ý, nếu các khoảng chia là đều và  được chọn tại đầu mút bên phải tại mỗi khoảng con thì 2 =   + " −  −     24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 22 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 23 Định nghĩa tích phân • Chuẩn (norm) của phân hoạch 1, ký hiệu 1 , được định nghĩa là độ rộng lớn nhất của các khoảng con1 = max66Δ • Nếu với mọi phân hoạch 1 để cho 1 đủ nhỏ, tổng Riemann 23 đủ gần giá trị 7 nào đó (bất chấp cách chọn  trong mỗi khoảng con) thì ta nói 7 là tích phân xác định của  trên khoảng , . • Nói cách khác, nếu tổng Riemann 23 tiến về giá trị 7 nào đó khi 1 → 0 thì ta nói tích phân xác định của  trên , là 7. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 24 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 25 Định nghĩa 1. Tích phân xác định – definite integral Cho hàm số  xác định trên khoảng , . Ta nói 7 là tích phân xác định của  trên , nếu 7 là giới hạn của tổng Riemann 23 = ∑   Δ khi 1 → 0 theo nghĩa Với mọi 9 > 0, tồn tại ; > 0 sao cho với mọi phân hoạch 1 của , thỏa 1 < ; và với mọi sự lựa chọn  ∈ ,  ta có 23 − 7 =   Δ   − 7 < 9 • Tích phân xác định 7 của  trên , được ký hiệu là =   >? @ 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 26 • Nếu điều kiện trong định nghĩa trên được thỏa mãn, thì ta nói tổng Riemann hội tụ về tích phân xác định 7 = A   >?@ và hàm  là khả tích trên , . Khi đó ta có thể viết lim3 →#  Δ   = 7 = =   >? @ • Chú ý, tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số, không phụ thuộc vào cách gọi tên biến số, cho nên =   >? @ = =   >? @ = =  B >B? @ = ⋯ 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 27 Tính khả tích của hàm liên tục • Không phải mọi hàm số đều khả tích, ví dụ hàm số   = C1, nếu  hữu tỉ0, nếu  vô tỉ là không khả tích. • Hàm số   được gọi là có bước nhảy (jump discontinuity) tại  nếu giới hạn trái và phải khi  tiến về  đều tồn tại hữu hạn nhưng khác nhau. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 28 Định lý 1. Tính khả tích của hàm liên tục Nếu hàm số  liên tục trên , hoặc nếu  chỉ có hữu hạn bước nhảy trên , thì A   >?@ tồn tại và  khả tích trên , . Một số tính chất 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 29 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 30 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 31 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 32 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 33 Ví dụ 2. 1. Tính tích phân = >? # , với > 0 2. Tính tích phân = >? @ , với >  3. Tính tích phân =  >? @ , với >  24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 34 3. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI TÍCH PHÂN • Nếu   khả tích trên , thì với  ∈ , đặt   = =   >O @ 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 35   + ℎ −   ≈   ℎ R  = limS→#   + ℎ −   ℎ =   24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 36 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 37 Định lý 2. Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 1 Nếu  liên tục trên , thì   = A   >O@ liên tục trên , , khả vi trên , và R  =   R  = >>=   > O @ = R  Ví dụ 3. Dùng định lý trên tính TU TO biết 1.  = = 1 +  >O @ 2.  = = cos 1 +  >O Z  3.  = = [\]^ _>` aOZ Công thức Newton-Leibnitz 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 38 Định lý 2 (tt). Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 1 Nếu  liên tục trên , và  là một nguyên hàm của  trên , thì =   >? @ =  −   ≡   c@ ? Ví dụ 4. Tính các tích phân. 1.= sin  >d # 2. = 32  − 4  > `  3.= >1 +   # 4. = >1 +  >  # 4. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 39 Định lý 3. Quy tắc đổi biến (substitution rule) cho tích phân bất định Nếu B = .  là hàm số khả vimà giá trị thuộc khoảng f và nếu  liên tục trên f thì = .  .R  > = = B >B Ví dụ 5. Tính các tích phân bất định. 1.= [Og> 2. = >h[i + [i 3.= 2 + 1> 4. = 2j>jj + 1g 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 40 Định lý 4. Quy tắc đổi biến cho tích phân xác định Nếu .R liên tục trên , và  liên tục trên miền giá trị của B = .  thì =  .  .R  >? @ = =  B >Bk ? k @ Ví dụ 6. Tính các tích phân xác định. 1.= 3  + 1>  2. = cos hsin h >h d/ d/` 3.= tan  >d/` d/` 4. = 4> 1 + ln  lm/n  Tích phân của hàm đối xứng (symmetric function) • Cho hàm số  xác định trên khoảng đối xứng −,  . •  được nói là chẵn nếu  − =   , ∀ ∈ −,  . •  được nói là lẻ nếu  − = −  , ∀ ∈ −,  . 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 41 Định lý 7. Tích phân hàm đối xứng Cho  liên tục trên khoảng đối xứng −,  . a) Nếu  chẵn (even) thì A   >@@ = 2A   >@# . b) Nếu  lẻ (odd) thì A   >@@ = 0. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 42 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 43 Tích phân từng phần – integration by parts 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 44 Định lý 5. Tích phân từng phần cho tích phân bất định =  .R  > =   .  − =R  .  > hoặc viết gọn AB> = B − A>B. Ví dụ 7. Tính các tích phân bất định. 1.= cos 2 > 2. =ln  > 3.=arctan  > 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 45 Định lý 6. Tích phân từng phần cho tích phân xác định =   .R  >? @ =   .  c@ ? −= R  .  >? @ hoặc viết gọn A B>?@ = B|@? − A >B?@ . Ví dụ 8. Tính các tích phân. 1.= [O>` # 2. = arcsin  > # 3.= [O> 4. = sin 3 > 5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN • Một thiết diện (cross-section) của khối 2 là một miền phẳng tạo thành từ việc cắt 2 bằng một mặt phẳng. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 46 Tính thể tích • Thể tích khối trụ bằng diện tích đáy nhân chiều caoThể tích = diện tích đáy × chiều cao 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 47 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 48 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 49 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 50 • Một cái nêm được cắt ra từ một khối trụ tròn có bán kính đáy bằng 3 bằng hai mặt phẳng. Mặt phẳng thứ nhất vuông góc với trục của khối trụ. Mặt thứ hai cắt mặt thứ nhất theo một góc 45# tại tâm của khối trụ. Tính thể tích cái nêm này. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 51 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 52 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 53 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 54 Tính độ dài đường cong • Đường cong  =   gọi là trơn (smooth) nếu  là hàm số khả vi và đạo hàm của nó liên tục. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 55 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 56 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 57 • Tính độ dài của đồ thị hàm số   = 12 + 1  ,  ∈ 1,4 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 58 Tính công của lực • Một vật chịu tác động của một lực (force)  có độ lớn không đổi theo hướng chuyển động, nếu nó di chuyển một khoảng > thì công (work) của lực  được định nghĩa là } = >. • Nếu lực  =   (không phải là hằng số), tác động làm vật di chuyển từ  =  đến  = thì công của lực là bao nhiêu? • Chia khoảng , thành  khoảng con ,  . Lấy  ∈ ,  thì công được xấp xỉ bằng Work ≈   Δ   24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 59 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 60 • Định luật Hooke (Hooke’s Law) nói rằng lực cần thiết để giữ một lò xo ở trạng thái nén hay giãn  đơn vị so với chiều dài tự nhiên của nó tỷ lệ thuận với  = " với " là hằng số. • Tìm công cần thiết để nén một lò xo có chiều dài tự nhiên 1  xuống còn 0.75 , biết " = 16 ‚ / 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 61 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 62 6. PHƯƠNG PHÁP SỐ • Xấp xỉ hình thang (trapezoidal approximation) 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 63 Quy tắc hình thang 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 64 Quy tắc Simpson – Simpson’s Rule • Quy tắc Simpson xấp xỉ hàm số bằng các đường parabola. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 65 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 66 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 67 7. TÍCH PHÂN SUY RỘNG • Nếu các cận lấy tích phân bằng vô cùng thì ta nói tích phân là suy rộng loại I (improper integral of Type I). 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 68 Định nghĩa 2. Tích phân suy rộng loại I Nếu  liên tục trên ,∞ thì =   >, @ = lim?→,=   > ? @ Nếu  liên tục trên −∞, thì =   >? , = lim@→,=   > ? @ • Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge). • Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge). • Nếu cả hai cận bằng vô cùng, ta cũng có tích phân suy rộng loại I =   >, , = =   >„ , +=   >, „ với  liên tục trên −∞,∞ và  là hằng số tùy ý. • Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 69 Ví dụ 9. Tính các tích phân suy rộng. 1.= [O/ >, # 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 70 2.= 12 − 3>  , 3.= 1 + 1> , # 4.= 11 +  , , 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 71 5.= [ O># , 6.= 13 + 5  > ,  7.= ln  > ,  24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 72 8.= 2 + 1[O > , # 9.= [ O 1 + [ O > , , Ví dụ 10. Với giá trị nào của ‡ thì tích phân sau hội tụ? f = = 1ˆ > ,  24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 73 Tích phân suy rộng loại II • Nếu hàm số lấy tích phân tiến ra vô cùng trong khoảng lấy tích phân (hữu hạn), ta nói tích phân là suy rộng loại II (improper integral of Type II). 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 74 Định nghĩa 3. Tích phân suy rộng loại II Nếu  liên tục trên , và gián đoạn tại  thì =   >? @ = lim„→@‰=   > ? „ Nếu  liên tục trên , và gián đoạn tại thì =   >? @ = lim„→?Š=   > „ @ • Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge). • Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge). • Nếu  liên tục trên ,  ∪ , và gián đoạn tại  ∈ , thì ta cũng có tích phân suy rộng loại II =   >? @ = =   >„ @ +=   >? „ • Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ. 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 75 Ví dụ 11. Tính các tích phân suy rộng. 1.= >  # 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 76 2.= 11 −  >  # 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 77 3.= > − 1 /  # 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 78 4.= >cos  d/ # 5.= ln  > # Ví dụ 12. Với giá trị nào của ‡ thì tích phân sau hội tụ? = 1ˆ >  # 24/08/2015 Tích phân và ứng dụng 79