Toán học - Chương 4: Phân tích tác động của các nhân tố qua tham số (Phân tích phương sai)

Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 37 Phần II qui hoạch hoá thực nghiệm Ch-ơng 4 phân tích tác động của các nhân tố qua tham số. ( Phân tích ph-ơng sai ) Phân tích tác động của các nhân tố qua tham số ph-ơng sai, gọi là phân tích ph-ơng sai (ANOVA). Có ba loại bài toán phổ biến và coi nh- là cơ sở cho các bài toán chung về phân tích ph-ơng sai. - Bài toán một nhân tố, k mức nghiên cứu, mỗi mức nghiên cứu làm lặp lại n lần và - Bài toán hai nhân tố A và B, nhân tố A có k mức nghiên cứu, nhân tố B có m mức nghiên cứu, với mỗi mức của 2 nhân tố A và B cùng tiến hành làm nghiên cứu lặp lại n lần. - Bài toán ba nhân tố trở lên. 4.1. Bài toán một nhân tố : Bài toán này đ-ợc mô tả bằng một bảng qui hoạch nghiên cứu có dạng sau: A n A1 A2 A3 . . . Ai . . . Ak 1 y11 y21 y31 yi1 yk1 2 y12 y22 y32 yi2 yk2 3 y13 y23 y33 yi3 yk3 . . . j y1j y2j y3j yij ykj . . . n y1n y2n y3n yin ykn Tổng n y1j j n y2j j n y3j j n yij j n ykij Để so sánh sự sai khác giữa các giá trị kết quả nghiên cứu (y ij) do thay đổi các mức nghiên cứu ( Ai ) của nhân tố A, ng-ời ta so sánh ph-ơng sai của sự thay đổi các mức nghiên cứu với sai số nghiên cứu (Ph-ơng sai của sai số nghiên cứu) có khác nhau đáng tin cậy hay không. Nếu khác nhau không đáng tin cậy, nhân tố A tỏ ra không ảnh h-ởng lên kết quả nghiên cứu, nếu khác nhau đáng tin cậy thì chứng tỏ nhân tố A đã ảnh h-ởng lên kết quả nghiên cứu. Sử dụng chuẩn Fisher để so sánh ph-ơng sai: Ftính = 2 2 2 1 S S so với Fbảng ( P,f1,f2 ) Trong đó: S1 2: Đặc tr-ng cho sự khác nhau của kết quả nghiên cứu (yij) do sự khác nhau giữa các mức (Ai) của A gây ra. S22: Đặc tr-ng cho sai số nghiên cứu nói chung, vì làm nghiên cứu bao giờ cũng mắc sai số. f1: Bậc tự do của số mức nghiên cứu đã làm f1 = k - 1 f2: Bậc tự do của số nghiên cứu đã tiến hành trong qui hoạch nghiên cứu f2 = k(n - 1). Với: H0: 2 2 2 1 SS  ; Ha: 2 2 2 1 SS  ; Vì F luôn lớn hơn 1 ( F > 1 ), nên: Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 38 - Nếu Ftính < Fbảng thì Ftính không đáng tin cậy, tức là S1 2S22 không đáng tin cậy, cho nên chúng đ-ợc coi là giống nhau. Chúng không khác nhau cho nên nhân tố A khi thay đổi mức đã tỏ ra không có tác động đến kết quả nghiên cứu. - Nếu Ftính > Fbảng thì Ftính đáng tin cậy, tức là S12S22 .Suy ra nhân tố A đã có tác động lên kết quả nghiên cứu Nhằm dễ tính toán, tránh nhầm lẫn, ng-ời ta lập bảng các công đoạn tính ph-ơng sai để so sánh cho bài toán 1 nhân tố, k mức nghiên cứu và n lần lặp lại nh- sau: Yếu tố f  (Xi - X )2 S2 A k - 1 SSA = SS2 - SS3 1k SS S A2A  Tno k(n - 1) SSTN = SS1 - SS2 )1n(k SS S TN2TN  Bảng trên thực chất đã sử dụng công thức tính ph-ơng sai:    }N )X( X{ N 1 )XX( N 1 S 2 i2 i 2 i 2 4.1 Các định nghĩa kí hiệu cho ph-ơng pháp tính, trình bày ở bảng trên nh- sau:    n 1j iji yA    k 1i 2 i2 An 1 SS 4.2     k 1i n 1j 2 ij1 )y(SS    k 1i 2 i3 )A(N 1 SS 4..3 rồi tính Ftính: Ftính = 2 TN 2 A S S so với Fbảng(P, fA, fTN) 4.4 trong đó fA = k -1 và fTN = k(n-1). 4.2. Bài toán hai nhân tố : Có hai nhân tố: Nhân tố A: k mức nghiên cứu. Nhân tố B: m mức nghiên cứu. Mỗi mức thử nghiệm lặp lại n lần. Bảng qui hoạch nghiên cứu tác động của hai nhân tố nh- sau: A a1 a2 . . . ai . . . ak b1 y111,y112 . . . , y11n y211,y212 . . ., y21n yi11,yi12 . . .,yi1n yk11,yk12 . . .,yk1n b2 y121,y122 . . ., y12n y221,y222 . . .,y22n yi21,yi22 . . .,yi2n yk21,yk22 . . ., yk2n B . . . bj y1j1,y1j2 . . ., y1jn y2j1,y2j2 . . .,y2jn yij1,yij2 . . ., yijn ykj1,ykj2 . . .,ykjn . . . bm y1m1, . . . . . . ,y1mn y2m1,. . . . . .,y2mn yim1,. . . . . .,yimn ykm1,. . . . . .,ykmn Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 39 Ph-ơng pháp tính ph-ơng sai của qui hoạch nghiên cứu hai nhân tố cho ở bảng sau: Nhântố f (Xi - X )2 S 2 A k - 1 SSA = SS2 - SS4 1k SS S A2A  B m - 1 SSB = SS3 – SS4 1m SS S B2B   AB (k-1).(m-1) SSAB=SS1-SS2-SS3+ SS4 )1m)(1k( SS S AB2AB  TNo mk(n - 1) SSTN = SS1 - n y k m ij 1 1 2 )1n(mk SS S TN2TN   Trong đó: - SA 2: Đặc tr-ng cho ảnh h-ởng của nhân tố A lên kết quả nghiên cứu. - SB2: Đặc tr-ng cho ảnh h-ởng của nhân tố B lên kết quả nghiên cứu. - SAB 2: Đặc tr-ng cho ảnh h-ởng đồng thời của cả hai nhân tố A và B lên kết quả nghiên cứu . - STN2: Đặc tr-ng cho sai số nghiên cứu. Các b-ớc tính ph-ơng sai theo bảng trên nh- sau:    n 1u ijij uyY 4.5 u: nghiên cứu lặp lại thứ u. i: mức đối với A. j: mức đối với B Công thức trên chính là tổng tất cả các kết quả nghiên cứu trong một ô. ( ô ij là mô tả điều kiện nghiên cứu nhân tố A theo mức (ai) và nhân tố B theo mức (b j) làm lặp lại n lần ). 2 n 1u ij 2 ij )uy(Y    4.6 Tổng tất cả các kết quả nghiên cứu Tổng tất cả các kết quả nghiên cứu trong 1 hàng: trong 1 cột:     m 1j ij n 1u i uyA     k 1i ij n 1u j uyB 4.7 Tổng các cột = tổng các hàng:     m j j k i iij m j n u i k i BAuYA 1 11 4.8 Các giá trị trong bảng trên đ-ợc tính theo công thức sau: Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 40     m 1j n 1u 2 ij k 1i 1 uySS    k 1i 2 i2 An.m 1 SS 4.9    m 1j 2 j3 Bn.k 1SS 4.10         m 1j n 1u k 1i m 1j 2 j 2 i 2 ij k 1i 4 )B(n.m.k 1 )A( n.m.k 1 )uy( n.m.k 1 SS 4.11 Làm nghiên cứu theo một qui hoạch định tr-ớc của 2 nhân tố ảnh h-ởng lên kết quả nghiên cứu trên, phải có 3 tr-ờng hợp so sánh để kết luận thống kê nh- sau: 2 TN 2 A A S SF  2 TN 2 B B S S F  2 TN 2 AB AB S SF  4.12 fA = k -1; fB = m - 1; fAB = (k - 1)(m - 1) và fTN= mk(n - 1) 4.13 Ví dụ 4.1: Qui hoạch hai nhân tố A, 4 mức; B, 4 mức; mỗi cặp mức làm lặp lại 2 lần A a1 a2 a3 a4 b1 13,2 13,9 4,7 5,8 53,4 48,3 13,6 13,2 b2 18,1 21,1 19,8 17,9 14,0 13,2 9,5 8,6 B b3 7,3 8,5 38,2 37,7 5,1 5,9 54,4 55,2 b4 20,0 20,8 60,1 60,9 19,6 18,5 58,2 59,7 Giải: 1. Tổng các giá trị thực nghiệm trong 1 Ô : a1 A2 a3 a4 hàng b1 27,1 10,5 101,7 26,8 166,1 b2 39,2 37,7 27,2 18,1 122,1 b3 15,8 75,9 11,0 109,6 212,3 b4 40,8 121,0 38,1 117,9 317,8  cột 122,9 245,1 178,0 272,4 818,4 2. Bình ph-ơng tổng các giá trị thực nghiệm trong 1 Ô: a1 a2 a3 a4 b1 734,41 110,25 10342,89 718,24 b2 1528,81 1421,29 739,84 327,61 b3 249,64 5760,81 121,0 12012,16 b4 1064,64 14641,0 1451,61 13900,41 Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 41 3. Tìm tổng số đối với các cột : thí dụ : A1 = 27,1 + 39,1 + 15,8 + 40,8 = 122,8 4. Tìm tổng số đối với các hàng : thí dụ : B2 = 39,1 + 37,1 + 27,2 + 18,1 = 122,1 5. Tìm tổng tất cả các kết quả :  yiju =  Ai =  Bj = 818,3 6. Tìm tổng bình ph-ơng của tất cả các kết quả : SS1 =yiju2 = 32916,43 7. Tìm tổng bình ph-ơng của tổng các cột chia cho số kết quả mỗi cột : 95,22262 8 01,181039 )4,2720,1781,2458,122( 24 1 A 24 1 SS 22222i2   8. Tìm tổng bình ph-ơng của tổng các hàng chia cho số kết quả mỗi hàng : 72,23570 8 75,188565)8,3173,2121,1221,166( 24 1B 24 1SS 22222j3      9. Tìm số hạng bổ chính đ-ợc định nghĩa nh- là phép chia của bình phuơng của tổng tất cả các kết quả cho tổng số số kết quả : 47,20925 32 3,818 32 )uy( SS 22ij 4   10. Tìm tổng bình ph-ơng của sự sai khác của A và B : SSA = SS2 - SS4 = 22262,95 - 20925,47 = 1704,48 SSB = SS3 - SS4 = 23570,72 - 20925,47 = 2645,25 11. Tìm tổng bình ph-ơng của ph-ơng sai sai số : SSsai số = 13,542 61,6572443,329161 21   ijynSS 12. Tìm tổng của tổng bình ph-ơng : SStổng = SS1 - SS4 = 32916,43 - 20295,47 = 11990,96 13. Tìm tổng bình ph-ơng của số hạng t-ơng tác : SSAB = SStổng -SSA -SSB -SSsai số = 11990,96 - 1704,48 - 2645,25 - 54,13 = 7587,11 14. Tìm ph-ơng sai t-ơng ứng : 16,568 14 48,1704 1 2 k SS SS AA 75,881 14 25,2645 1m SS SS B2B     Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 42 01,843 )14)(14( 11,7587 )1m)(1k( SS SS AB2AB     S2sai số = 38,3)12(44 13,54 )1n(mk SSsaiso     Viết thành bảng kết quả ta đ-ợc : Nhân tố f ( ) 2 S2 A B AB Sai số Tổng 3 3 9 16 31 1704,48 2645,25 7587,11 54,13 11990,97 568,16 881,75 843,01 3,38 2,3)16,3;95,0(F09,168 38,3 09,568 S S F 2 SS 2 A A  2,387,260 38,3 75,881 S S F 2 SS 2 B B  65,2)16,9;95,0(F41,249 38,3 01,843 S S F 2 SS 2 AB AB  Kết luận : yếu tố A, B và t-ơng tác đồng thời AB đều ảnh h-ởng mạnh lên kết quả nghiên cứu. 4.3. Bài toán ba nhân tố trở lên : Ph-ơng pháp Ô vuông La tinh: Trong tr-ờng hợp có ba nhân tố trở lên, ng-ời ta sử dụng ph-ơng pháp ô vuông la tinh để xây dựng ma trận thực nghiệm.(Bảng qui hoạch thực nghiệm ). Bản chất của ph-ơng pháp ô vuông La tinh là ph-ơng pháp phân tích ph-ơng sai nh-ng đã xây dựng bảng qui hoạch nghiên cứu theo một qui luật riêng. a1 a2 a3 a4 b1 c1 y1111,y1112 y1113. c2 y2121,y2122 y2123. c3 y3131,y3132 y3133. c4 y4141,y4142 y4143. b2 c2 y1221,y1222 y1223. c3 y2231,y2232 y2233. c4 y3241,y3242 y3243. c1 y4211,y4212 y4213. b3 c3 y1331,y1332 y1333. c4 y2341,y2342 y2343. c1 y3311,y3312 y3313. c2 y4321,y4322 y4323. b4 c4 y1441,y1442 y1443. c1 y2411,y2412 y2413. c2 y3421,y3422 y3423. c3 y4431,y4432 y4433. Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 43 Nguyên tắc xây dựng qui hoạch nghiên cứu theo ô vuông La tinh là: không đ-ợc để cho một điều kiện nghiên cứu xác định lặp lại trong cùng 1 hàng hay 1 cột. Nói một cách khác: trong bảng qui hoạch nghiên cứu không đ-ợc có hai ô giống nhau. Giả thiết có ba nhân tố A, B, C mỗi nhân tố có 4 mức nghiện cứu, Mỗi ô mô tả 1 điều kiện nghiên cứu là tổ hợp các mức nghiên cứu của 3 nhân tố. Thí dụ: ô 1 khi làm nghiên cứu A lấy mức a1, B lấy mức b1, C lấy mức c1. Qui hoạch hoá nghiên cứu theo ph-ơng pháp ô vuông La tinh cũng dùng ph-ơng pháp phân tích ph-ơng sai để đánh giá. Cách tính ph-ơng sai của ph-ơng pháp ô vuông Latin 3 nhân tố, mỗi nhân tố 4 mức , làm theo qui hoạch ở bảng trên , cho ở bảng sau: Nhân tố f X X ni i2 2  ( ) S2 A n - 1 SSA = SS2 - SS5 1n SS S A2A  B n - 1 SSB = SS3 - SS5 1n SS S B2B  C n - 1 SSC = SS4 - SS5 1n SS S C2C  TNo (n-1)(n-2) SSTNo = SS1 - SS2 - SS3 - SS4 + 2 SS5 )2n)(1n( SS S TNo2TNo  Cách tính cho bảng trên là: A1 = y111 + y122 + y133 + y144 4.14 A1: Tổng các giá trị y ( y là giá trị trung bình của 3 lần thử nghiệm lặp của cùng điều kiện theo một ô ) có mức a1 tham gia (tức là tổng trung bình các kết quả của các ô trong cột a1). T-ơng tự, ta tính các giá trị khác là: A2, A3, A4 là tổng của các kết quả có mức a2, a3, a4. B1, .., B4 là tổng của các kết quả có mức b1, b2, b3, b4. C1, .., C4 là tổ của các kết quả có mức c1, c2, c3, c4.     n 1j n 1i 2 ij1 ySS 4.15 SS1 là tổng bình ph-ơng của các giá trị có mặt trong bảng, t-ơng tự ta có:    n 1i 2 i2 An 1SS    n 1j 2 j3 Bn 1 SS    n 1q 2 q4 Cn 1 SS 4.16        n 1i n 1j n 1q 2 q 2 j 2 i5 )C(n 1)B( n 1)A( n 1SS 4.17 Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 44 Ph-ơng pháp này đ-ợc sử dụng rất phổ biến trong nghiên cứu nông nghiệp, lâm nghiệp, sinh học, y học và xã hội - tâm lí học. Ví dụ 4.2: Qui hoạch ghoá nghiên cứu theo ph-ơng pháp Ô vuông Latin, 3 nhân tố, mỗi nhân tố 4 mức. B Tổng b1 b2 b3 b4 hàng a1 c1 13,2 c2 2,7 c3 49,2 c4 7,2 72,2 A a2 c2 19,0 c3 8,0 c4 15,5 c1 9,5 52,0 a3 c3 4,6 c4 5,9 c1 31,5 c2 53,1 95,1 a4 c4 14,7 c1 16,3 c2 60,9 c3 55,2 147,1 Tổng cột 51,5 32,9 157,0 125,0 1. Tìm tổng của các Ci: C1= 70,5 ; C2 = 135,7 ; C3 = 116,9 ; C4 = 43,3 2. Tìm tổng bình ph-ơng của tất cả các kết quả :   14,145052,55.....7,22,13ySS 2222ij1 3. Tìm trung bình của tổng bình ph-ơng theo hàng : 82,9649 4 1,1471,950,522,72SS 2222 2   4. Tìm trung bình của tổng bình ph-ơng theo cột : 16,11002 4 0,1250,1579,325,51 SS 2222 3   5. Tìm trung bình tổng bình ph-ơng theo Ci : 31,9731 4 3,439,1167,1355,70SS 2222 4   6. Tìm số hạng bổ chính : 56,8390)1,1471,950,522,72( 44 1 2 5 SS 56,8390)0,1250,1579,325,51( 44 1 2  56,8390)3,439,1167,1355,70( 44 1 2    7. Tìm tổng bình ph-ơng đối với hàng ( đối với A ): SSA = SS2 - SS5 = 9649,82 - 8390,56 = 1259,26 Lê Đức Ngọc – Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001 45 8. Tìm tổng bình ph-ơng đối với các cột ( đối với B ): SSB = SS3 - SS5 = 11002,16 - 8390,56 = 2611,60 9. Tìm tổng bình ph-ơng đối với ô ( đôí với C): SSC = SS4 - SS5 = 9731,31 - 8390,56 = 1340,75 10. Tìm tổng tổng bình ph-ơng : SStổng = SS1 - SS4 = 14505,14 - 8390,56 = 6114,58 11. Tìm tổng d- của tổng bình ph-ơng : SSd- = SStổng - SSA - SSB - SSC SSd- = 6114,58 - 1259,26 - 2611,60 - 1340,75 = 902,97 12. Tìm ph-ơng sai của A : SA 2 = SSA/3 = 419,75 13. Tìm ph-ơng sai của B : SB2 = SSB/3 = 870,00 14.Tìm ph-ơng sai của C: SC 2 = SSC/3 = 446,92 15. Tìm ph-ơng sai sai số : Sss2 = 902,97/6 = 150,5 Trình bày thành bảng ta có: Nhân tố f ( Xi - X )2 S 2 A B C Sai số Tổng 3 3 3 6 15 1259,28 2611,60 1340.75 902,97 6114,58 419,15 870,00 446,92 150,50 8,4)6,3;95,0(F64,2 5,150 75,419 S S F 2 SS 2 A A  8,462,5 5,150 00,870 S S F 2 SS 2 B B  8,488,2 5,150 92,446 S S F 2 SS 2 C C  Kết luận : Chỉ có nhân tố B là ảnh h-ởng lên kết quả nghiên cứu.