Toán học - Chương 3: Tích phân và ứng dụng
Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn
tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge).
• Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô
cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge).
• Nếu � liên tục trên �, � ∪ �, � và gián đoạn tại
� ∈ �, � thì ta cũng có tích phân suy rộng loại II
• Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân
vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ.
84 trang |
Chia sẻ: nguyenlam99 | Lượt xem: 907 | Lượt tải: 0
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Toán học - Chương 3: Tích phân và ứng dụng, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương 3
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
ThS. Huỳnh Văn Kha
TÓM TẮT NỘI DUNG
1. Một số bài toán mở đầu.
2. Định nghĩa tích phân xác định.
3. Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân.
4. Các phương pháp tính tích phân.
5. Một số ứng dụng của tích phân.
6. Tích phân suy rộng.
7. Các tiêu chuẩn hội tụ.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
2
1. MỘT SỐ BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
• Tính diện tích hình phẳng 𝑅 nằm trên trục 𝑂𝑥, dưới
đường 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 và giữa 𝑥 = 0, 𝑥 = 1.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
3
• Xấp xỉ bằng tổng trên (upper sum).
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
4
• Xấp xỉ tốt hơn khi tăng số khoảng chia.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
5
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
6
• Có thể xấp xỉ bằng tổng dưới (lower sum).
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
7
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
8
• Có thể xấp xỉ bằng các hình chữ nhật có chiều cao
bằng giá trị của 𝑓 tại điểm giữa các khoảng chia.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
9
• Khoảng xác định 𝑎, 𝑏 của hàm số 𝑓 có thể được
chia thành 𝑛 khoảng con có độ dài bằng nhau
Δ𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
• Chiều cao của mỗi hình chữ nhật có thể được tính
bằng giá trị của 𝑓 tại một điểm tùy ý nào đó trong
mỗi khoảng con.
• Tổng như vậy có dạng
𝑓 𝑐1 𝛥𝑥 + 𝑓 𝑐2 𝛥𝑥 + 𝑓 𝑐3 𝛥𝑥 + ⋯ + 𝑓 𝑐𝑛 𝛥𝑥
• Chú ý là tổng này vẫn chưa phải là giá trị chính xác
của diện tích cần tìm.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
10
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
11
Tính khoảng cách di chuyển
• Nếu một vật di chuyển với vận tốc 𝑣 𝑡 thì trong
khoảng thời gian từ 𝑡 = 𝑎 đến 𝑡 = 𝑏 vật đó đi được
bao xa?
• Nếu biết một nguyên hàm của 𝑣 𝑡 là 𝐹 𝑡 thì vị trí
của vật đó ở thời điểm 𝑡 là 𝑠 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐶.
• Quãng đường đi được là 𝑠 𝑏 − 𝑠 𝑎 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 .
• Trong nhiều trường hợp ta không biết nguyên hàm
của 𝑣 𝑡 hoặc thậm chí chỉ biết vận tốc tại một vài
thời điểm nhất định. Có cách nào xấp xỉ khoảng cách
di chuyển của vật đó hay không?
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
12
• Chia khoảng 𝑎, 𝑏 thành n khoảng thời gian đều
nhau có độ dài Δ𝑡.
– Trên khoảng thời gian thứ 1, chọn 𝑡1tùy ý.
– Trên khoảng thời gian thứ 2, chọn 𝑡2 tùy ý.
–
– Trên khoảng thời gian thứ 𝑛, chọn 𝑡𝑛 tùy ý.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
13
• Xấp xỉ quãng đường đi được như sau
– Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 1 xấp xỉ
bằng 𝑣 𝑡1 Δ𝑡.
– Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 2 xấp xỉ
bằng 𝑣 𝑡2 Δ𝑡.
–
– Quãng đường đi được trên khoảng thời gian thứ 𝑛 xấp xỉ
bằng 𝑣 𝑡𝑛 Δ𝑡.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
14
2. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
• Nhiều biểu thức tổng (như các tổng xấp xỉ nói trên)
có thể được viết gọn bằng ký hiệu sigma
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛
• Ví dụ
12 + 22 + 32 + ⋯ + 102 =
𝑘=1
10
𝑘2
𝑓 1 + 𝑓 2 + ⋯ + 𝑓 100 =
𝑖=1
100
𝑓 𝑖
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
15
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
16
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
17
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
18
Ví dụ 1. Xét bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi trục 𝑂𝑥, đường cong 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 1 − 𝑥2 và hai
đường thẳng đứng 𝑥 = 0, 𝑥 = 1.
Chia khoảng 0,1 thành 𝑛 khoảng con có độ dài bằng
nhau Δ𝑥 = 1/𝑛.
a) Viết lại tổng dưới 𝐿𝑛 bằng ký hiệu sigma và tính
lim
𝑛→∞
𝐿𝑛
b) Viết lại tổng trên 𝑈𝑛 bằng ký hiệu sigma và tính
lim
𝑛→∞
𝑈𝑛
Lặp lại yêu cầu trên, thay hàm số 𝑓 𝑥 bằng 𝑔 𝑥 = 𝑥3.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
19
Tổng Riemann
• Tổng quát, xét hàm số 𝑓 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑏 .
• Chia 𝑎, 𝑏 thành 𝑛 khoảng (không nhất thiết có độ
dài bằng nhau) bằng cách chọn 𝑛 − 1 điểm
𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑛−1 nằm trong khoảng 𝑎, 𝑏 thỏa
𝑎 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑏
• Để tiện lợi, đặt 𝑥0 = 𝑎 và 𝑥𝑛 = 𝑏.
• Tập hợp
𝑃 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑛
gọi là một phân hoạch (partition) của khoảng 𝑎, 𝑏 .
• Đặt Δ𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 (nếu cách khoảng chia đều
nhau thì Δ𝑥𝑘 = 𝑏 − 𝑎 /𝑛 với mọi 𝑘).
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
20
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
21
• Trên khoảng con thứ 𝑘 chọn số 𝑐𝑘 tùy ý.
• Tổng sau đây gọi là tổng Riemann của 𝑓 trên 𝑎, 𝑏
𝑆𝑃 =
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝑐𝑘 Δ𝑥𝑘
• Chú ý, nếu các khoảng chia là đều và 𝑐𝑘 được chọn
tại đầu mút bên phải tại mỗi khoảng con thì
𝑆𝑛 =
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝑎 + 𝑘
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑏 − 𝑎
𝑛
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
22
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
23
Định nghĩa tích phân
• Chuẩn (norm) của phân hoạch 𝑃, ký hiệu 𝑃 , được
định nghĩa là độ rộng lớn nhất của các khoảng con
𝑃 = max
1≤𝑘≤𝑛
Δ𝑥𝑘
• Nếu với mọi phân hoạch 𝑃 để cho 𝑃 đủ nhỏ, tổng
Riemann 𝑆𝑃 đủ gần giá trị 𝐽 nào đó (bất chấp cách
chọn 𝑐𝑘 trong mỗi khoảng con) thì ta nói 𝐽 là tích
phân xác định của 𝑓 trên khoảng 𝑎, 𝑏 .
• Nói cách khác, nếu tổng Riemann 𝑆𝑃 tiến về giá trị 𝐽
nào đó khi 𝑃 → 0 thì ta nói tích phân xác định của
𝑓 trên 𝑎, 𝑏 là 𝐽.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
24
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
25
Định nghĩa 1. Tích phân xác định – definite integral
Cho hàm số 𝑓 xác định trên khoảng 𝑎, 𝑏 . Ta nói 𝐽 là
tích phân xác định của 𝑓 trên 𝑎, 𝑏 nếu 𝐽 là giới hạn
của tổng Riemann 𝑆𝑃 = 𝑘=1
𝑛 𝑓 𝑐𝑘 Δ𝑥𝑘 khi 𝑃 → 0
theo nghĩa
Với mọi 𝜀 > 0, tồn tại 𝛿 > 0 sao cho với mọi phân
hoạch 𝑃 của 𝑎, 𝑏 thỏa 𝑃 < 𝛿 và với mọi sự lựa
chọn 𝑐𝑘 ∈ 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘 ta có
𝑆𝑃 − 𝐽 =
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝑐𝑘 Δ𝑥𝑘 − 𝐽 < 𝜀
• Tích phân xác định 𝐽 của 𝑓 trên 𝑎, 𝑏 được ký hiệu là
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
26
• Chú ý, tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số,
không phụ thuộc vào cách gọi tên biến số, cho nên
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = ⋯
• Nếu điều kiện trong định nghĩa trên được thỏa mãn,
thì ta nói tổng Riemann hội tụ về tích phân xác định
𝐽 = 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 và hàm 𝑓 là khả tích trên 𝑎, 𝑏 . Khi
đó ta có thể viết
lim
𝑃 →0
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝑐𝑘 Δ𝑥𝑘 = 𝐽 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
27
Tính khả tích của hàm liên tục
• Không phải mọi hàm số đều khả tích, ví dụ hàm số
𝑓 𝑥 =
1, nếu 𝑥 hữu tỉ
0, nếu 𝑥 vô tỉ
là không khả tích.
• Hàm số 𝑓 𝑥 được gọi là có bước nhảy (jump
discontinuity) tại 𝑐 nếu giới hạn trái và phải khi 𝑥
tiến về 𝑐 đều tồn tại hữu hạn nhưng khác nhau.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
28
Định lý 1. Tính khả tích của hàm liên tục
Nếu hàm số 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑏 hoặc nếu 𝑓 chỉ có hữu
hạn bước nhảy trên 𝑎, 𝑏 thì 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 tồn tại và 𝑓
khả tích trên 𝑎, 𝑏 .
Một số tính chất
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
29
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
30
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
31
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
32
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
33
Ví dụ 2.
1. Tính tích phân
0
𝑏
𝑥𝑑𝑥 , với 𝑏 > 0
2. Tính tích phân
𝑎
𝑏
𝑥𝑑𝑥 , với 𝑏 > 𝑎
3. Tính tích phân
𝑎
𝑏
𝑥2𝑑𝑥 , với 𝑏 > 𝑎
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
34
3. ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH
VI TÍCH PHÂN
• Nếu 𝑓 𝑡 khả tích trên 𝑎, 𝑏 thì với 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 đặt
𝐹 𝑥 =
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
35
𝐹 𝑥 + ℎ − 𝐹 𝑥 ≈ 𝑓 𝑥 ℎ
𝐹′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝐹 𝑥 + ℎ − 𝐹 𝑥
ℎ
= 𝑓 𝑥
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
36
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
37
Định lý 2. Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 1
Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑏 thì 𝐹 𝑥 = 𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 liên tục
trên 𝑎, 𝑏 , khả vi trên 𝑎, 𝑏 và 𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥
𝐹′ 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑎
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑥
Ví dụ 3. Dùng định lý trên tính
𝑑𝑦
𝑑𝑥
biết
1. 𝑦 =
𝑎
𝑥
1 + 𝑡3 𝑑𝑡 2. 𝑦 =
1
𝑥2
cos 1 + 𝑡2 𝑑𝑡
3. 𝑦 =
1+3𝑥2
4
𝑒sin 𝑡𝑑𝑡
Công thức Newton-Leibnitz
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
38
Định lý 2 (tt). Định lý cơ bản của vi tích phân – phần 2
Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑏 và 𝐹 là một nguyên hàm của 𝑓
trên 𝑎, 𝑏 thì
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 ≡ 𝐹 𝑥
𝑎
𝑏
Ví dụ 4. Tính các tích phân.
1.
0
𝜋
sin 𝑥 𝑑𝑥 2.
1
4 3
2
𝑦 −
4
𝑦2
𝑑𝑦
3.
0
1 𝑑𝑡
1 + 𝑡
4.
0
1 1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
4. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH
PHÂN
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
39
Định lý 3. Quy tắc đổi biến (substitution rule) cho tích
phân bất định
Nếu 𝑢 = 𝑔 𝑥 là hàm số khả vi mà giá trị thuộc khoảng
𝐼 và nếu 𝑓 liên tục trên 𝐼 thì
𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑢 𝑑𝑢
Ví dụ 5. Tính các tích phân bất định.
1. 𝑥2𝑒𝑥
3
𝑑𝑥 2.
𝑑𝜃
𝑒𝜃 + 𝑒−𝜃
3. 𝑥 2𝑥 + 1𝑑𝑥 4.
2𝑧𝑑𝑧
3
𝑧2 + 1
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
40
Định lý 4. Quy tắc đổi biến cho tích phân xác định
Nếu 𝑔′ liên tục trên 𝑎, 𝑏 và 𝑓 liên tục trên miền giá trị
của 𝑢 = 𝑔 𝑥 thì
𝑎
𝑏
𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑔 𝑎
𝑔 𝑏
𝑓 𝑢 𝑑𝑢
Ví dụ 6. Tính các tích phân xác định.
1.
−1
1
3𝑥2 𝑥3 + 1𝑑𝑥 2.
𝜋/4
𝜋/2 cos 𝜃
sin3 𝜃
𝑑𝜃
3.
−𝜋/3
𝜋/4
tan 𝑥 𝑑𝑥 4.
1
𝑒 3 4𝑑𝑡
𝑡 1 + ln2 𝑡
Tích phân của hàm đối xứng
(symmetric function)
• Cho hàm số 𝑓 xác định trên khoảng đối xứng −𝑎, 𝑎 .
• 𝑓 được nói là chẵn nếu 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ −𝑎, 𝑎 .
• 𝑓 được nói là lẻ nếu 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ −𝑎, 𝑎 .
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
41
Định lý 7. Tích phân hàm đối xứng
Cho 𝑓 liên tục trên khoảng đối xứng −𝑎, 𝑎 .
a) Nếu 𝑓 chẵn (even) thì −𝑎
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 0
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥.
b) Nếu 𝑓 lẻ (odd) thì −𝑎
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
42
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
43
Tích phân từng phần –
integration by parts
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
44
Định lý 5. Tích phân từng phần cho tích phân bất định
𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
hoặc viết gọn 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢.
Ví dụ 7. Tính các tích phân bất định.
1. 𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 2. ln 𝑥 𝑑𝑥
3. arctan 𝑥 𝑑𝑥
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
45
Định lý 6. Tích phân từng phần cho tích phân xác định
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥
𝑎
𝑏
−
𝑎
𝑏
𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥
hoặc viết gọn 𝑎
𝑏
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 𝑎
𝑏 − 𝑎
𝑏
𝑣𝑑𝑢.
Ví dụ 8. Tính các tích phân.
1.
0
4
𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥 2.
0
1
arcsin 𝑥 𝑑𝑥
3. 𝑥2𝑒𝑥𝑑𝑥 4. 𝑥3 sin 3𝑥 𝑑𝑥
5. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH
PHÂN
• Một thiết diện (cross-section) của khối 𝑆 là một miền
phẳng tạo thành từ việc cắt 𝑆 bằng một mặt phẳng.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
46
Tính thể tích
• Thể tích khối trụ bằng diện tích đáy nhân chiều cao
Thể tích = diện tích đáy × chiều cao
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
47
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
48
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
49
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
50
• Một cái nêm được cắt ra từ một khối trụ tròn có bán
kính đáy bằng 3 bằng hai mặt phẳng. Mặt phẳng thứ
nhất vuông góc với trục của khối trụ. Mặt thứ hai cắt
mặt thứ nhất theo một góc 450 tại tâm của khối trụ.
Tính thể tích cái nêm này.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
51
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
52
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
53
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
54
Tính độ dài đường cong
• Đường cong 𝑦 = 𝑓 𝑥 gọi là trơn (smooth) nếu 𝑓 là
hàm số khả vi và đạo hàm của nó liên tục.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
55
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
56
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
57
• Tính độ dài của đồ thị hàm số
𝑓 𝑥 =
𝑥3
12
+
1
𝑥
, 𝑥 ∈ 1,4
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
58
Tính công của lực
• Một vật chịu tác động của một lực (force) 𝐹 có độ
lớn không đổi theo hướng chuyển động, nếu nó di
chuyển một khoảng 𝑑 thì công (work) của lực 𝐹 được
định nghĩa là 𝑊 = 𝐹𝑑.
• Nếu lực 𝐹 = 𝐹 𝑥 (không phải là hằng số), tác động
làm vật di chuyển từ 𝑥 = 𝑎 đến 𝑥 = 𝑏 thì công của
lực là bao nhiêu?
• Chia khoảng 𝑎, 𝑏 thành 𝑛 khoảng con 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘 .
Lấy 𝑐𝑘 ∈ 𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘 thì công được xấp xỉ bằng
Work ≈
𝑘=1
𝑛
𝐹 𝑐𝑘 Δ𝑥𝑘
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
59
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
60
• Định luật Hooke (Hooke’s Law) nói rằng lực cần thiết
để giữ một lò xo ở trạng thái nén hay giãn 𝑥 đơn vị
so với chiều dài tự nhiên của nó tỷ lệ thuận với 𝑥
𝐹 = 𝑘𝑥
với 𝑘 là hằng số.
• Tìm công cần thiết để nén một lò xo có chiều dài tự
nhiên 1 𝑓𝑡 xuống còn 0.75 𝑓𝑡, biết 𝑘 = 16 𝑙𝑏/𝑓𝑡
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
61
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
62
6. PHƯƠNG PHÁP SỐ
• Xấp xỉ hình thang (trapezoidal approximation)
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
63
Quy tắc hình thang
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
64
Quy tắc Simpson – Simpson’s Rule
• Quy tắc Simpson xấp xỉ hàm số bằng các đường
parabol.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
65
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
66
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
67
7. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
• Nếu các cận lấy tích phân bằng vô cùng thì ta nói tích
phân là suy rộng loại I (improper integral of Type I).
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
68
Định nghĩa 2. Tích phân suy rộng loại I
Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, ∞ thì
𝑎
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑏→∞
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Nếu 𝑓 liên tục trên −∞, 𝑏 thì
−∞
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑎→−∞
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
• Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn
tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge).
• Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô
cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge).
• Nếu cả hai cận bằng vô cùng, ta cũng có tích phân
suy rộng loại I
−∞
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
−∞
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑐
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
với 𝑓 liên tục trên −∞, ∞ và 𝑐 là hằng số tùy ý.
• Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân
vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
69
Ví dụ 9. Tính các tích phân suy rộng.
1.
0
∞
𝑒−𝑥/2𝑑𝑥
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
70
2.
−∞
1 1
2𝑥 − 3
𝑑𝑥
3.
0
∞ 1
𝑥 + 1
𝑑𝑥
4.
−∞
∞ 𝑑𝑥
1 + 𝑥2
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
71
5.
−∞
0
𝑒2𝑥𝑑𝑥
6.
−1
∞ 1
3𝑥 + 5 3
𝑑𝑥
7.
1
∞ ln 𝑥
𝑥2
𝑑𝑥
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
72
8.
0
∞ 2𝑥 + 1
𝑒3𝑥
𝑑𝑥
9.
−∞
∞ 𝑒𝑥
1 + 𝑒2𝑥
𝑑𝑥
Ví dụ 10. Với giá trị nào của 𝑝 thì tích phân sau hội tụ?
𝐼 =
1
∞ 1
𝑥𝑝
𝑑𝑥
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
73
Tích phân suy rộng loại II
• Nếu hàm số lấy tích phân tiến ra vô cùng trong
khoảng lấy tích phân (hữu hạn), ta nói tích phân là
suy rộng loại II (improper integral of Type II).
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
74
Định nghĩa 3. Tích phân suy rộng loại II
Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑏 và gián đoạn tại 𝑎 thì
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑐→𝑎+
𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑏 và gián đoạn tại 𝑏 thì
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑐→𝑏−
𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
• Trong các định nghĩa trên, nếu giới hạn bên phải tồn
tại và hữu hạn, ta nói tích phân là hội tụ (converge).
• Ngược lại, nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô
cùng thì ta nói tích phân là phân kỳ (diverge).
• Nếu 𝑓 liên tục trên 𝑎, 𝑐 ∪ 𝑐, 𝑏 và gián đoạn tại
𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 thì ta cũng có tích phân suy rộng loại II
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
• Tích phân này được nói là hội tụ nếu cả hai tích phân
vế phải hội tụ, ngược lại gọi là phân kỳ.
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
75
Ví dụ 11. Tính các tích phân
suy rộng.
1.
0
1 𝑑𝑥
𝑥
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
76
2.
0
1 1
1 − 𝑥
𝑑𝑥
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
77
3.
0
3 𝑑𝑥
𝑥 − 1 2/3
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
78
4.
0
𝜋/2 𝑑𝑥
cos 𝑥
5.
0
1
ln 𝑥 𝑑𝑥
Ví dụ 12. Với giá trị nào của 𝑝 thì tích phân sau hội tụ?
0
1 1
𝑥𝑝
𝑑𝑥
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
79
7. CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
80
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
81
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
82
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
83
24/08/2015
C01128 - Chương 3: Tích phân và ứng
dụng
84
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- 3_tichphanvaungdung_2336.pdf