Toán học - Chương 3: Không gian vector

Chương 3 KHÔNG GIAN VECTOR Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán A2 - MS: C01002 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 1 / 23 Nội dung 1 Một số khái niệm cơ bản Khái niệm không gian vector, kg vector con Không gian sinh bởi tập hợp Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 2 Cơ sở, số chiều, hạng của hệ vector 3 Tọa độ Tọa độ vector, ma trận chuyển cơ sở 4 Tích vô hướng, cơ sở trực chuẩn Tích vô hướng Cơ sở trực chuẩn và trực giao hóa Gram-Schmidt Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 1 / 23 Không gian vector, kg vector con Cho tập V 6= ∅, trên V có 2 phép toán: cộng (+) và nhân với số thực. Nếu hai phép toán đó thỏa các tính chất sau thì ta nói V là một không gian vector: ∀u, v ,w ∈ V ; ∀h, k ∈ R 1. Giao hoán: u + v = v + u 2. Kết hợp: (u + v) + w = u + (v + w) 3. Tồn tại phần tử 0 sao cho: u + 0 = u, ∀u ∈ V 4. ∀u ∈ V ,∃(−u) ∈ V : u + (−u) = 0 5. h(ku) = (hk)u 6. (h + k)u = hu + ku 7. h(u + v) = hu + hv 8. 1.u = u Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 2 / 23 Ví dụ: Tập các ma trậnMm×n cùng với phép cộng ma trận và phép nhân số với ma trận là một kg vector Tập Rn với phép cộng và nhân: I (x1, ..., xn) + (y1, ..., yn) = (x1 + y1, ..., xn + yn) I k (x1, ..., xn) = (kx1, ..., kxn) lập thành không gian vector Cho V là kg vector, W ⊂ V , W 6= ∅ Nếu ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ta có: u + v ∈ W và ku ∈ W . Thì ta nói W là không gian vector con của V Ký hiệu: W ≤ V Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 3 / 23 Ví dụ: Xét xem W có là không gian vector con của V không? 1. V = R2, W = {(x , 0) : x ∈ R} 2. V = R2, W = {(x , 1) : x ∈ R} 3. V = R3, W = {(a − 2b, a + b, b) : a, b ∈ R} 4. V = Rn, W là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn số: AX = 0 (với A ∈Mm×n) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 4 / 23 Không gian sinh bởi tập hợp Cho V là kgvt và S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V Với mỗi bộ k1, k2, . . . , kn ∈ R, ta gọi vector v = k1u1 + k2u2 + · · ·+ knun là một tổ hợp tuyến tính của các vector u1, u2, . . . , un Gọi W là tập các tổ hợp tuyến tính của u1, u2, . . . , un thì W là không gian vector con của V . Ta nói W sinh bởi S hay S sinh ra W Ký hiệu: W = 〈S〉 = 〈u1, u2, ..., un〉 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 5 / 23 Ví dụ: Xét W = 〈u1, u2, u3〉 ≤ R4, với u1 = (2, 0,−1, 3), u2 = (0, 1, 2,−1), u3 = (2, 2, 3, 1) 1. Các vector v1 = (−2, 3, 7,−6), v2 = (2, 1, 1, 1) có thuộc W không? 2. Tìm điều kiện để v = (a, b, c , d) ∈ W Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 6 / 23 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Cho V là kgvt, S = {u1, u2, . . . , un} S được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi k1, k2, . . . , kn ∈ R, ta có: k1u1 + k2u2 + · · ·+ knun = 0 kéo theo k1 = k2 = · · · kn = 0 Nếu S không độc lập tuyến tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính Ví dụ: S = {u1, u2, u3} có độc lập tuyến tính không? 1. u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1) 2. u1 = (−1, 0, 2), u2 = (1,−3, 1), u3 = (−5, 6, 4) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 7 / 23 Cơ sở và số chiều Không gian vector V gọi là n chiều nếu V có n vector độc lập tuyến tính, và mọi họ lớn hơn n vector trong V đều phụ thuộc tuyến tính. n gọi là số chiều của V , ký hiệu: dimV = n Một họ n vector độc lập tuyến tính trong không gian n chiều là một cơ sở của không gian đó Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 8 / 23 Ví dụ: 1. Không gian Rn = {(x1, . . . , xn) : x1, . . . , xn ∈ R} có số chiều là n; có một cơ sở là B0 = {e1, e2, . . . , en}, với:  e1 = (1, 0, ..., 0) e2 = (0, 1, ..., 0) ... en = (0, 0, ..., 1) Ta gọi nó là cơ sở chính tắc của Rn 2. B = {(0, 1, 1), (−1, 2, 1), (1, 1, 1)} có là cơ sở của R3 không? Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 9 / 23 Chú ý Tập S ⊂ V là cơ sở của V khi và chỉ khi: S sinh ra V , nghĩa là: 〈S〉 = V , và S độc lập tuyến tính Nếu S là cơ sở của V thì: dimV = số phần tử của S Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 10 / 23 Hạng của hệ vector; cơ sở, số chiều của 〈S〉 Trong kgvt V , cho hệ S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V . Khi đó, số chiều của 〈S〉 gọi là hạng của S , ký hiệu: rank S Nếu S ′ thu được bằng cách: I Đổi chỗ 2 phần tử của S I Nhân một vector của S với số khác 0 I Thay một vector của S bằng tổng của nó với α lần một vector khác trong S Thì 〈S〉 = 〈S ′〉 Để tìm cơ sở, số chiều của 〈S〉, ta làm như sau: I Sắp các vector của S thành hàng I Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng, đưa về ma trận bậc thang. Suy ra sơ sở, số chiều (hạng của S) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 11 / 23 Ví dụ: 1. Trong R4, xét S = {u1, u2, u3, u4}, với u1 = (1, 1, 3, 0), u2 = (0,−2, 0, 1), u3 = (3,−1, 9, 2), u4 = (−1,−7,−3,−3). Tìm cơ sở và số chiều cho 〈S〉 2. Trong R4, xét B = {v1, v2, v3, v4}, với v1 = (2,−1, 7, 1), v2 = (0, 3, 1,−1), v3 = (−2,−2,−8, 3), v4 = (2,−7, 5, 1). Tìm cơ sở và số chiều cho 〈B〉 Chú ý: S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi: rank(S) = số vector của S Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 12 / 23 Cơ sở và số chiều của không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Dùng pp Gauss giải hệ, suy ra cơ sở, số chiều Ví dụ: Tìm cơ sở, số chiều của không gian nghiệm hệ: 1.  x1 + 2x2 − x3 + 3x4 − 4x5 = 02x1 + 4x2 − 2x3 + 7x4 + 5x5 = 0 2x1 + 4x2 − 2x3 + 4x4 − 2x5 = 0 2.  x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0 2x1 + x2 − x3 + 2x4 − 3x5 = 0 3x1 − 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0 2x1 − 5x2 + x3 − 2x4 + 2x5 = 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 13 / 23 Cơ sở và số chiều của không gian các số hạng tự do để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm Dùng 1 trong 2 cách sau: 1. Xem là kg sinh bởi các vector cột của ma trận hệ số 2. Dùng phương pháp Gauss Ví dụ: Tìm cơ sở, số chiều của không gian W = {(a, b, c , d , e) : hệ dưới đây có nghiệm} x1 + x2 + 2x4 = a 2x1 + 4x2 − x3 + 5x4 = b x1 + 3x2 + 5x4 = c 3x1 + 7x2 − 3x3 + 9x4 = d 2x1 + 8x2 − 4x3 + 2x4 = e Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 14 / 23 Tọa độ Cho B = {e1, e2, . . . , en} là một cơ sở được sắp của kgvt V . Khi đó, ∀u ∈ V ,∃!(k1, k2, . . . , kn) ∈ Rn sao cho: u = k1e1 + k2e2 + · · ·+ knen Tọa độ của u trong B là: [u]B =  k1 k2 ... kn  Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 15 / 23 Ví dụ: 1. Tìm tọa độ của u = (x1, x2, . . . , xn) trong cơ sở chính tắc của Rn 2. Chứng tỏ rằng B = {u1 = (2, 3, 3), u2 = (−1,−1,−3), u3 = (1, 2, 3)} là sơ sở của R3. Tìm tọa độ của u = (−1, 0, 0) trong B 3. a)Chứng tỏ rằng S = {v1 = (1,−1, 1, 1), v2 = (2,−2, 3, 0), v3 = (3,−3, 4, 3)} là một cơ sở của W = 〈S〉 ≤ R4. b) Chứng tỏ rằng v = (−1, 1,−2, 3) ∈ W . Tìm [v ]S c) Biết [w ]S =  −11 0 . Xác định w . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 16 / 23 Ma trận chuyển cơ sở Cho B, và B′ = {e ′1, e ′2, . . . , e ′n} là các cơ sở của kgvt V . Khi đó ma trận chuyển cơ sở từ B sang B′ được định nghĩa là: P(B → B′) = ([e ′1]B [e ′2]B · · · [e ′n]B) Các tính chất: P(B → B) = In P(B → C) = P(B → B′)P(B′ → C) P(B → B′) = [P(B′ → B)]−1 [v ]B = P(B → B′)[v ]B′ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 17 / 23 Ví dụ: Cho B0 là cơ sở chính tắc của R3 B = {u1 = (1, 0, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 1, 1)}, C = {v1 = (1, 1, 0), v2 = (1, 0, 2), v3 = (1, 2,−3)}. 1. Chứng tỏ rằng B, C đều là các cơ sở của R3. 2. Tìm P(B0 → B), P(B → B0), P(B → C), P(C → B) 3. Cho u = (−2, 1, 3). Tìm [u]B 4. Cho [v ]C =  −2−1 3 . Tìm [v ]B Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 18 / 23 Tích vô hướng Tích vô hướng trên kgvt V là một ánh xạ: V × V → R (u, v) 7→ 〈u, v〉 thỏa: ∀u, u1, u2, v ∈ V , ∀k ∈ R 〈u1 + u2, v〉 = 〈u1, v〉+ 〈u2, v〉 〈ku, v〉 = k〈u, v〉 〈u, v〉 = 〈v , u〉 〈u, u〉 > 0 nếu u 6= 0; và 〈u, u〉 = 0 khi u = 0 Chuẩn hay độ dài của vector u là: ‖u‖ =√〈u, u〉 Nếu ‖u‖ = 1, ta nói u là vector đơn vị Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 19 / 23 Ví dụ: Không gian Rn là không gian có tích vô hướng, với tích vô hướng được định nghĩa: u = (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn) 〈u, v〉 = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn Chuẩn ứng với tích vô hướng nói trên: ‖u‖ = √ 〈u, u〉 = √ x21 + x 2 2 + · · ·+ x2n BDT Cauchy-Schwarz: |〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖ BDT tam giác: |‖u‖− ‖v‖| ≤ ‖u + v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 20 / 23 Trực giao, trực chuẩn Xét không gian có tích vô hướng V : u, v ∈ V gọi là trực giao nếu: 〈u, v〉 = 0 Hệ vector u1, u2, . . . , un ∈ V gọi là trực giao nếu 〈ui , uj〉 = 0,∀i 6= j Hệ vector u1, u2, . . . , un ∈ V gọi là trực chuẩn nếu nó là hệ trực giao gồm toàn các vector đơn vị Cơ sở trực giao (trực chuẩn) là cơ sở mà các vector của nó tạo thành hệ trực giao (trực chuẩn) Hệ trực giao không chứa vector 0 thì độc lập tuyến tính. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 21 / 23 Trực giao hóa Gram-Schmidt Cho {u1, u2, . . . , un} là một cơ sở của kgvt V . Ta có thể xây dựng cơ sở trực giao {v1, v2, . . . , vn} cho V như sau: v1 = u1; v2 = u2 − 〈u2, v1〉〈v1, v1〉v1; v3 = u3 − 〈u3, v1〉〈v1, v1〉v1 − 〈u3, v2〉 〈v2, v2〉v2; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vn = un − n−1∑ i=1 〈un, vi〉 〈vi , vi〉 vi Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 22 / 23 Ví dụ: 1. Xét S = {u1 = (2, 3, 6), u2 = (5,−3, 8), u3 = (8, 5, 3)}. Chứng tỏ rằng S là cơ sở của R3. Sử dụng quá trình trực giao hóa Gram-Schmidt, từ S , hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn cho R3. 2. Cho u1 = (1, 1, 0, 0), u2 = (1, 0, 1, 0), u3 = (−1, 0, 0, 1), và S = {u1, u2, u3}. Hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn cho kgvt W = 〈S〉 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Không gian vector Toán A2 - MS: C01002 23 / 23