Toán học - Chương 3: Dãy số và chuỗi

Chương 3 DÃY SỐ VÀ CHUỖI ThS. Huỳnh Văn Kha TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Dãy số và sự hội tụ. 2. Chuỗi số. 3. Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số. 4. Chuỗi lũy thừa. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 2 1. DÃY SỐ VÀ SỰ HỘI TỤ • Dãy số (sequence) là danh sách các con số được sắp theo một thứ tự nào đó 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, , 𝑎𝑛, • Ví dụ, dãy 2,4,6,8, , 2𝑛, có phần tử thứ nhất là 𝑎1 = 2, phần tử thứ hai là 𝑎2 = 4, phần tử thứ 𝑛 là 𝑎𝑛 = 2𝑛, • Có thể coi dãy số như một hàm số, biến 1 thành 𝑎1, biến 2 thành 𝑎2, biến 𝑛 thành 𝑎𝑛, • Dãy số được mô tả bằng công thức 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 . 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 3 Ví dụ dãy số • Dãy số 𝑎𝑛 = 𝑛 có các phần tử là 𝑎𝑛 = 1, 2, 3, 4, , 𝑛, 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 4 • Dãy số 𝑎𝑛 = 1 𝑛 có các phần tử là 𝑎𝑛 = 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , , 1 𝑛 , 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 5 • Dãy số 𝑎𝑛 = −1 𝑛+1 𝑛 có các phần tử là 𝑎𝑛 = 1,− 1 2 , 1 3 , − 1 4 , , −1 𝑛+1 𝑛 , 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 6 Dãy số hội tụ • Nếu các phần tử trong dãy số tiến về một giá trị thực nào đó khi 𝑛 lớn, thì ta nói dãy số là hội tụ (converge). • Các phần tử của dãy 𝑎𝑛 = 1 𝑛 tiến về 0 khi 𝑛 lớn. • Các phần tử của dãy 𝑎𝑛 = 𝑛−1 𝑛 tiến về 1 khi 𝑛 lớn. • Nếu các phần tử trong dãy số không tiến về giá trị thực nào cả, hoặc chúng tiến ra vô cùng, thì ta nói dãy số là phân kỳ (diverge). • Các phần tử của dãy số 𝑎𝑛 = 𝑛 có thể lớn tùy ý khi 𝑛 đủ lớn, nên dãy số này phân kỳ. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 7 • Các phần tử của dãy số 𝑎𝑛 = −1 𝑛+1 nhận giá trị xen kẽ giữa −1 và 1 nên nó không hội tụ về con số thực nào cả. Dãy này phân kỳ. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 8 Định nghĩa 1. Dãy số hội tụ Dãy số 𝑎𝑛 được nói là hội tụ (converge) về 𝐿 nếu ∀𝜀 > 0, ∃𝑁 ∈ ℕ, ∀𝑛 > 𝑁, 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀 Nếu không số 𝐿 nào như vậy, ta nói dãy 𝑎𝑛 phân kỳ (diverge). Nếu 𝑎𝑛 hội tụ về 𝐿 ta viết lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 𝐿 hay 𝑎𝑛 → 𝐿. Và khi đó ta nói 𝐿 là giới hạn (limit) của dãy số 𝑎𝑛 . 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 9 Một số tính chất 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 10 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 11 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 12 Một số giới hạn cơ bản 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 13 Ví dụ 1. Tính các giới hạn dãy số sau đây. 1. lim 𝑛→∞ ln 𝑛2 𝑛 2. lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑛2 3. lim 𝑛→∞ 𝑛 3𝑛 4. lim 𝑛→∞ − 1 2 𝑛 5. lim 𝑛→∞ 𝑛 − 2 𝑛 𝑛 6. lim 𝑛→∞ 100𝑛 𝑛! 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 14 2. CHUỖI SỐ • Chuỗi số (series) là tổng tất cả con số trong một dãy số, tổng đó có dạng 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ • Tổng vô hạn các con số là gì? Cách tính nó? • Để tính tổng vô hạn các con số, ta tính tổng riêng phần (partial sum) thứ 𝑛 𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 và sau đó cho 𝑛 → ∞. • Ví dụ, tính tổng của chuỗi số 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +⋯+ 1 2𝑛−1 +⋯ 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 15 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 16 Sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 17 Định nghĩa 2. Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Cho chuỗi số 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ Dãy 𝑠𝑛 được định nghĩa bởi 𝑠1 = 𝑎1 𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 = 𝑘=1 𝑛 𝑎𝑘 được gọi là dãy tổng riêng phần (sequence of partial sums) của chuỗi số. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 18 Định nghĩa 2 (tt). Chuỗi số hội tụ, phân kỳ. Nếu dãy tổng riêng phần nói trên hội tụ về 𝐿 thì ta nói chuỗi số là hội tụ và có tổng bằng 𝐿, ta viết 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ = 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 = 𝐿 Nếu dãy tổng riêng phần không hội tụ thì ta nói chuỗi số là phân kỳ. Chuỗi hình học • Chuỗi hình học (geometric series) là chuỗi có dạng 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 +⋯ = 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑟𝑛−1 ≡ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑟𝑛 trong đó 𝑎 và 𝑟 là các số thực cho trước (𝑎 ≠ 0). • Các chuỗi sau là chuỗi hình học 1 + 1 2 + 1 4 +⋯+ 1 2𝑛−1 +⋯ = 𝑛=1 ∞ 1 2𝑛−1 2 − 2 3 + 2 9 −⋯+ 2 − 1 3 𝑛−1 +⋯ = 𝑛=0 ∞ 2 − 1 3 𝑛 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 19 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 20 Định lý 1. Sự hội tụ của chuỗi hình học. Xét chuỗi hình học 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛−1 +⋯ = 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑟𝑛−1 ≡ 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑟𝑛 Nếu 𝑟 < 1 thì chuỗi hình học hội tụ và 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑟𝑛 = 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑟𝑛−1 = 𝑎 1 − 𝑟 , 𝑟 < 1 Nếu 𝑟 ≥ 1 thì chuỗi hình học phân kỳ. Ví dụ 2. 1. Các chuỗi hình học sau có hội tụ không? Nếu có hãy tính tổng của chúng. 𝑎) 𝑛=1 ∞ 1 3𝑛+1 𝑏) 𝑛=0 ∞ 5 −1 𝑛 4𝑛 2. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số 𝑎) 5.232323 𝑏) 0.999999 . 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 21 Một số tính chất • Các chuỗi số sau có hội tụ không? 𝑛=1 ∞ 1 𝑛=1 ∞ 𝑛 + 1 𝑛 • Nếu chuỗi 𝑎𝑛 hội tụ thì 𝑎𝑛 → 0. • Nhưng ngược lại không đúng, có những chuỗi phân kỳ nhưng dãy số tương ứng hội tụ về 0. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 22 Kiểm tra chuỗi số phân kỳ dựa vào dãy Nếu dãy 𝑎𝑛 không có giới hạn hoặc lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 ≠ 0 thì chuỗi 𝑎𝑛 phân kỳ. Ví dụ 3. Các chuỗi số sau hội tụ hay phân kỳ? 1. 𝑛=1 ∞ 𝑛2 2. 𝑛=1 ∞ −𝑛 2𝑛 + 5 3. 𝑛=1 ∞ −1 𝑛+1 4. 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 23 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 24 Ví dụ 4. Tính tổng các chuỗi số sau đây 1. 𝑛=1 ∞ 3𝑛−1 − 1 6𝑛 2. 𝑛=0 ∞ 4 − 2𝑛 3𝑛+1 Chú ý 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑘−1 + 𝑛=𝑘 ∞ 𝑎𝑛 Nên nếu 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 hội tụ thì 𝑛=𝑘 ∞ 𝑎𝑛 cũng hội tụ với mọi 𝑘 ≥ 1 và ngược lại. Ví dụ 5. Tính tổng chuỗi số 1. 𝑛=4 ∞ 1 5𝑛 2. 𝑛=2 ∞ 2 + 3𝑛 7𝑛+1 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 25 3. CÁC TIÊU CHUẨN HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 26 Tiêu chuẩn tích phân (integral test). Cho 𝑎𝑛 là dãy số dương (nghĩa là 𝑎𝑛 > 0, ∀𝑛). Giả sử 𝑎𝑛 = 𝑓 𝑛 với 𝑓 là hàm số liên tục, dương, giảm với mọi 𝑥 ≥ 𝑁 (𝑁 là số nguyên dương). Thì chuỗi 𝑛=𝑁 ∞ 𝑎𝑛 và tích phân 𝑁 ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Chuỗi 1 𝑛𝑝 (𝑝 – series) Ví dụ 6. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số 1. 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 2. 𝑛=0 ∞ 1 1 + 𝑛2 3. 𝑛=3 ∞ 1 𝑛 ln2 𝑛 Ví dụ 7. Với giá trị nào của 𝑝 thì chuỗi sau hội tụ? 𝑛=1 ∞ 1 𝑛𝑝 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 27 𝒑 – series Chuỗi 𝑛=1 ∞ 1 𝑛𝑝 hội tụ khi 𝑝 > 1 và phân kỳ khi 𝑝 ≤ 1. Tiêu chuẩn so sánh 1 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 28 Tiêu chuẩn so sánh 1 (comparison test) Cho các chuỗi số không âm 𝑎𝑛, 𝑐𝑛, 𝑑𝑛. Giả sử có số nguyên dương 𝑁 sao cho 𝑑𝑛 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 𝑐𝑛, ∀𝑛 > 𝑁 Nếu 𝑐𝑛 hội tụ thì 𝑎𝑛 hội tụ. Nếu 𝑑𝑛 phân kỳ thì 𝑎𝑛 phân kỳ. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 29 Ví dụ 8. Xét sự hội tụ của các chuỗi số. 1. 𝑛=1 ∞ 5 5𝑛 − 1 2. 𝑛=1 ∞ 1 𝑛3 + 1 3. 𝑛=0 ∞ 1 2𝑛 + 𝑛 4. 𝑛=1 ∞ ln 𝑛 𝑛 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 30 Tiêu chuẩn so sánh 2 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 31 Tiêu chuẩn so sánh 2 (limit comparison test) Giả sử 𝑎𝑛 ≥ 0, 𝑏𝑛 > 0, ∀𝑛 ≥ 𝑁 (với 𝑁 là số nguyên dương). 1. Nếu lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 𝑐 ∈ 0,∞ thì chuỗi 𝑎𝑛 và chuỗi 𝑏𝑛 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. 2. Nếu lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 0 và 𝑏𝑛 hội tụ thì 𝑎𝑛 hội tụ. 3. Nếu lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = ∞ và 𝑏𝑛 phân kỳ thì 𝑎𝑛 phân kỳ. Ví dụ 9. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. 1. 𝑛=1 ∞ 2𝑛 + 1 𝑛 + 1 2 2. 𝑛=1 ∞ 2𝑛 − 1 3𝑛 + 1 3. 𝑛=1 ∞ 𝑛 + 1 𝑛 𝑛2 + 1 4. 𝑛=1 ∞ 32𝑛 + 2𝑛 22𝑛 + 3𝑛 5. 𝑛=1 ∞ 𝑛 ln 𝑛 𝑛2 + 5 6. 𝑛=1 ∞ ln 𝑛 𝑛3/2 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 32 Chuỗi đan dấu (Alternating series) • Chuỗi đan dấu là chuỗi mà các hạng tử mang dấu dương và âm xen kẽ, ví dụ 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 +⋯+ −1 𝑛+1 𝑛 +⋯ −2 + 1 − 1 2 + 1 4 − 1 8 +⋯+ −1 𝑛4 2𝑛 +⋯ 1 − 2 + 3 − 4 + 5 −⋯+ −1 𝑛+1𝑛 +⋯ • Tổng quát, chuỗi đan dấu là chuỗi 𝑎𝑛, trong đó 𝑎𝑛 = −1 𝑛𝑢𝑛 hoặc 𝑎𝑛 = −1 𝑛+1𝑢𝑛 với 𝑢𝑛 ≥ 0, ∀𝑛. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 33 Tiêu chuẩn Leibniz 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 34 Tiêu chuẩn Leibniz (Leibniz’s test) Chuỗi đan dấu 𝑛=1 ∞ −1 𝑛+1𝑢𝑛 = 𝑢1 − 𝑢2 + 𝑢3 − 𝑢4 + 𝑢5 −⋯ hội tụ nếu có 𝑁 ∈ ℕ để các điều kiện sau đây là đúng 1. 𝑢𝑛 > 0, ∀𝑛 > 𝑁 2. 𝑢𝑛 𝑛≥𝑁 là dãy giảm, nghĩa là 𝑢𝑛 ≥ 𝑢𝑛+1, ∀𝑛 ≥ 𝑁 3. 𝑢𝑛 → 0. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 35 Ví dụ 10. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số. 1. 𝑛=1 ∞ −1 𝑛+1 𝑛 2. 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 𝑛2 + 1 3. 𝑛=0 ∞ −1 𝑛𝑛 2𝑛 + 1 Hội tụ tuyệt đối • Chuỗi 𝑎𝑛 được nói là hội tụ tuyệt đối (absolutely convergent) nếu chuỗi 𝑎𝑛 hội tụ. • Chuỗi hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối được gọi là hội tụ có điều kiện (conditionally convergent). 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 36 Tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối (The absolute convergence test) Nếu chuỗi 𝑎𝑛 hội tụ thì chuỗi 𝑎𝑛 hội tụ. Ví dụ 11. Các chuỗi số sau có hội tụ, có hội tụ tuyệt đối không? 1. 𝑛=1 ∞ −1 𝑛+1 𝑛 2. 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 𝑛2 3. 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 • Nếu ta sắp xếp lại thứ tự lấy tổng cho một chuỗi hội tụ có điều kiện thì tổng thu được có thể khác nhau. • Với chuỗi hội tụ tuyệt đối, mọi cách sắp xếp lại thứ tự lấy tổng đều cho kết quả như nhau. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 37 Tiêu chuẩn tỉ số (của d’Alembert) 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 38 Tiêu chuẩn tỉ số (ratio test) Xét chuỗi số 𝑎𝑛, giả sử rằng lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 = 𝜌 Nếu 𝜌 < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu 𝜌 > 1 hoặc 𝜌 = ∞ thì chuỗi phân kỳ. (Nếu 𝜌 = 1 thì không có kết luận tổng quát.) Ví dụ 12. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. 1. 𝑛=1 ∞ 2𝑛 + 5 3𝑛 2. 𝑛=1 ∞ 𝑛! 𝑛𝑛 3. 𝑛=1 ∞ 2𝑛 ! 𝑛! 2 4. 𝑛=1 ∞ 𝑛2𝑛 2𝑛 ! 5. 𝑛=1 ∞ 4𝑛 𝑛! 2 2𝑛 ! 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 39 Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy) 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 40 Tiêu chuẩn căn số (root test) Xét chuỗi số 𝑎𝑛, giả sử rằng lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑎𝑛 = 𝜌 Nếu 𝜌 < 1 thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu 𝜌 > 1 hoặc 𝜌 = ∞ thì chuỗi phân kỳ. (Nếu 𝜌 = 1 thì không có kết luận tổng quát.) Ví dụ 13. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. 1. 𝑛=1 ∞ 𝑛2 2𝑛 2. 𝑛=1 ∞ 1 1 + 𝑛 𝑛 3. 𝑛=1 ∞ 2𝑛2 + 3 3𝑛2 + 2 𝑛 4. 𝑛=1 ∞ 𝑛 𝑛 + 1 𝑛2 5. 𝑛=1 ∞ 10𝑛 1 − 2 𝑛 𝑛2 6. 𝑛=1 ∞ 15𝑛𝑛𝑛 2 𝑛 + 3 𝑛 2 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 41 Tóm tắt các tiêu chuẩn hội tụ 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 42 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 43 Bài tập Ví dụ 14. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. 1. 𝑛=1 ∞ 𝑛 − 1 2𝑛 + 1 2. 𝑛=1 ∞ 𝑛3 + 1 3𝑛3 + 4𝑛2 + 2 3. 𝑛=1 ∞ 𝑛𝑒−𝑛 2 4. 𝑛=1 ∞ −1 𝑛 𝑛3 𝑛4 + 1 5. 𝑘=1 ∞ 2𝑘 𝑘! 6. 𝑛=1 ∞ 1 2 + 3𝑛 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 44 4. CHUỖI LŨY THỪA 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 45 Định nghĩa 3. Chuỗi lũy thừa (power series) Chuỗi lũy thừa tâm tại 𝑎 là chuỗi có dạng 𝑛=0 ∞ 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 − 𝑎 + 𝑐2 𝑥 − 𝑎 2 +⋯ trong đó tâm 𝑎 và các hệ số 𝑐0, 𝑐1, 𝑐2, là các hằng số cho trước. Có thể coi chuỗi lũy thừa là đa thức có bậc vô cùng. Ví dụ 15. Với giá trị nào của 𝑥 thì các chuỗi lũy thừa sau hội tụ? Tính tổng của chúng. 1. 𝑛=0 ∞ 𝑥𝑛 = 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋯ 2. 𝑛=0 ∞ −1 𝑛 2𝑛 𝑥 − 2 𝑛 = 1 − 1 2 𝑥 − 2 + 1 4 𝑥 − 2 2 − 1 8 𝑥 − 2 3 +⋯ 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 46 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 47 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 48 Ví dụ 16. Với giá trị nào của 𝑥 thì các chuỗi lũy thừa sau đây hội tụ? 1. 𝑛=0 ∞ 𝑛! 𝑥𝑛 2. 𝑛=1 ∞ 𝑥 − 3 𝑛 𝑛 3. 𝑛=0 ∞ −1 𝑛𝑥2𝑛 22𝑛 𝑛! 2 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 49 Định lý về sự hội tụ 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 50 Định lý 2. Về sự hội tụ của chuỗi lũy thừa. Xét chuỗi lũy thừa 𝑛=0 ∞ 𝑐𝑛𝑥 𝑛 = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥 2 + 𝑐3𝑥 3 +⋯ 1. Nếu nó hội tụ tại 𝑥 = 𝑐 ≠ 0 thì nó hội tụ tại mọi 𝑥 thỏa 𝑥 < 𝑐 . 2. Nếu nó phân kỳ tại 𝑥 = 𝑑 thì nó phân kỳ tại mọi 𝑥 thỏa 𝑥 > 𝑑 . Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa The Radius of Convergence of a Power Series 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 51 Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. Chuỗi lũy thừa 𝑐𝑛 𝑥 − 𝑎 𝑛 chỉ có thể xảy ra một trong ba trường hợp sau. 1. Có số 𝑅 > 0 sao cho chuỗi phân kỳ với 𝑥 − 𝑎 > 𝑅 và hội tụ (tuyệt đối) với 𝑥 − 𝑎 < 𝑅. Còn tại các đầu mút 𝑥 = 𝑎 − 𝑅, 𝑥 = 𝑎 + 𝑅 chuỗi có thể hội tụ, có thể phân kỳ. 2. Chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi 𝑥 (𝑅 = ∞). 3. Chuỗi chỉ hội tụ tại 𝑥 = 𝑎 và phân kỳ tại mọi 𝑥 ≠ 𝑎 (𝑅 = 0). • Giá trị 𝑅 nói trên gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa. • Khoảng hội tụ (hay miền hội tụ) là khoảng chứa tất cả các giá trị của 𝑥 để chuỗi lũy thừa hội tụ. • Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ cho các chuỗi lũy thừa trong Ví dụ 14. 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 52 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 53 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 54 Bài tập Ví dụ 17. Tìm bán kính hội tụ và khoảng hội tụ. 1. 𝑛=0 ∞ −3 𝑛𝑥𝑛 𝑛 + 1 2. 𝑛=0 ∞ 𝑛 𝑥 + 2 𝑛 3𝑛+1 3. 𝑛=1 ∞ 𝑛𝑛 2𝑥 − 1 𝑛 4. 𝑛=0 ∞ 3𝑥 + 2 𝑛 𝑛 + 1 5. 𝑛=0 ∞ 1 − 2𝑥 5 𝑛 6. 𝑛=0 ∞ −1 𝑛𝑥𝑛 𝑛! 7. 𝑛=1 ∞ −1 𝑛𝑥𝑛 𝑛2 + 𝑛 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 55 Vi phân chuỗi lũy thừa 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 56 Tích phân chuỗi lũy thừa 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 57 Chuỗi Taylor 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 58 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 59 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 60 Đa thức Taylor 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 61 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 62 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 63 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 64 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 65 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 66 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 67 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 68 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 69 Sự hội tụ của chuỗi Taylor 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 70 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 71 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 72 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 73 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 74 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 75 24/08/2015 C01128 – Chương 3: Dãy số và chuỗi 76