Toán học - Chương 3: Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến

Chương 3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN ThS. Huỳnh Văn Kha TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến. 2. Đạo hàm riêng. 3. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân. 4. Đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn. 5. Cực trị địa phương. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 2 1. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN • Thể tích của khối trụ là
= ℎ • Thể tích
=
, ℎ là hàm số theo 2 biến  và ℎ. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 3 Định nghĩa 1. Hàm nhiều biến – function of several variables Cho  là tập hợp các bộ con số có dạng , , , . Một hàm số (function)  trên  là một quy tắc mà ứng với mỗi phần tử của  cho tương ứng duy nhất một con số thực  =  , , , . Miền  được gọi là tập xác định (domain) của . Tập các giá trị có thể của  gọi là miền giá trị (range). 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 4 Ví dụ hàm hai biến 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 5 Ví dụ hàm ba biến 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 6 Đồ thị hàm hai biến • Tập hợp các điểm , ,  ,  với ,  thuộc tập xác định của  được gọi là đồ thị (graph) của . 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 7 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 8 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 9 Giới hạn hàm hai biến • Nếu giá trị của  ,  có thể gần  tùy ý với mọi ,  đủ gần ,  thì ta nói  có giới hạn bằng  khi ,  tiến về ,  . 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 10 Định nghĩa 2. Giới hạn - limit Ta nói  ,  có giới hạn bằng  khi ,  tiến về ,  và viết lim, → ,  ,  =  nếu với mọi  > 0 đều tồn tại  > 0 sao cho với mọi ,  thuộc miền xác định của  0 < −   +  −   <  ⇒  ,  −  <  24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 11 Sự liên tục của hàm hai biến 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 12 Định nghĩa 3. Liên tục – continuous Ta nói  ,  liên tục tại điểm ,  nếu 1.  xác định tại ,  , 2. lim, → ,  ,  tồn tại, 3. lim, → ,  ,  =  ,  . Một hàm số được nói là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó. 2. ĐẠO HÀM RIÊNG • Cho hàm hai biến  ,  . Cố định  =  ta được hàm một biến " =  ,  . • Đạo hàm của hàm số này tại  gọi là đạo hàm riêng (viết tắt là ĐHR) theo biến của  tại điểm ( , ). 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 13 Định nghĩa 4. Đạo hàm riêng – partial derivative Đạo hàm riêng theo biến của hàm số  ,  tại điểm ,  được định nghĩa là% % & , = lim'→   + ℎ,  −  , ℎ 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 14 • Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa% % & , = ((  ,  & • ĐHR theo biến của ) =  ,  tại điểm ,  được ký hiệu theo nhiều cách% % & , ,  ,  , hoặc %)% & , , ) ,  • ĐHR theo biến của ) =  ,  cũng là hàm số hai biến và được ký hiệu% %  hoặc %) % ) 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 15 • Tương tự ta có định nghĩa% %& , = ((  ,  & = lim'→  ,  + ℎ −  , ℎ • Đạo hàm riêng theo biến  của ) =  ,  tại điểm ,  được ký hiệu theo nhiều cách% %& , ,  ,  , hoặc %)%& , , ) ,  • ĐHR theo biến  của ) =  ,  cũng là hàm số hai biến và được ký hiệu% %  hoặc %) % ) 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 16 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 17 Véc-tơ gradient – Tính ĐHR • Để tính ĐHR theo , ta coi  là hằng số. • Để tính ĐHR theo , ta coi là hằng số. • Nếu các ĐHR đều tồn tại, ta đn véc-tơ gradient là / =  ,  Ví dụ 1. a) Tính 01 0, 01 0 và / tại điểm 4,−5 biết ,  =  + 3  +  − 1 b) Tính 01 0, 01 0 và / trong các trường hợp sau  ,  =  sin  ,  ,  = 2 + cos 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 18 ĐHR hàm nhiều biến hơn • Định nghĩa ĐHR cho hàm nhiều biến hơn hoàn toàn tương tự. • Véc-tơ gradient là véc-tơ mà thành phần thứ 9 là đạo hàm riêng theo biến thứ 9 / = : , ; , , < • Để tính ĐHR theo một biến, ta coi tất cả các biến còn lại là hằng số. Ví dụ 2. Tính , , = và / biết , , ) = sin  + 3) 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 19 ĐHR cấp cao • Các ĐHR  và  của hàm hai biến  ,  cũng là những hàm hai biến. • Các ĐHR của  và  được gọi là các ĐHR cấp hai của . Chúng được ký hiệu lần lượt là  = %% % % = % %  ,  = % % % % = % %%  = %% % % = % % % ,  = % % % % = % % • Các ĐHR cấp cao hơn thì tương tự. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 20 Ví dụ 3. Tính tất cả các ĐHR cấp hai của a)  ,  = cos  + > b)  ,  =  24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 21 Định lý 1. Định lý Clairaut. Nếu  ,  và các ĐHR của nó , , ,  tồn tại trên một miền mở chứa điểm ?, @ và tất cả chúng đều liên tục tại ?, @ thì ?, @ =  ?, @ • Định lý trên nói rằng, nếu tất cả các ĐHR đều liên tục thì thứ tự lấy đạo hàm không quan trọng. • Với hàm nhiều biến hơn thì các định nghĩa và ký hiệu cũng tương tự, ví dụ%A % % =  %B % %%) = = Ví dụ 4. Tính = biết , , ) = 1 − 2 ) +  24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 22 Tính khả vi - differentiability • Hàm một biến  =  khả vi tại  khi nó có đạo hàm tại đó, nghĩa là giới hạn sau tồn tại C  = lim'→ Δ Δ = lim'→   + ℎ −  ℎ • Nếu đặt  = ΔΔ − C  thì Δ = C  Δ + Δ và limE→  = 0. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 23 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 24 Định nghĩa 5. Khả vi - differentiable Cho hàm số ) =  ,  và đặtΔ) =   + Δ ,  + Δ −  ,  Hàm số nói trên được gọi là khả vi tại ,  nếu  ,  và  ,  tồn tại, đồng thời Δ) thỏa mãn một phương trình có dạngΔ) =  ,  Δ +  ,  Δ + Δ + Δ Trong đó mỗi  và  đều tiến về 0 khi cả Δ , Δ → 0. Ta nói  khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc miền xác định. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 25 Định lý 2. Nếu các ĐHR ,  của  ,  đều liên tục trên một miền mở F thì  khả vi tại mọi điểm thuộc F. Định lý 3. Nếu  ,  khả vi tại ,  thì nó liên tục tại ,  . 3. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ VI PHÂN • Nếu  ,  , đặt Δ = −  và Δ =  −  thì ,  −  , =  ,  Δ +  ,  Δ + Δ + Δ với ,  → 0 khi Δ , Δ → 0 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 26 Định nghĩa 6. Xấp xỉ tuyến tính – linear approximation Nếu  ,  khả vi tại ,  thì tuyến tính hóa (linearization) của  tại đó là hàm , =  ,  +  ,  −  +  ,   −  Và xấp xỉ  ,  ≈  ,  được gọi là xấp xỉ tuyến tính (linear approximation) của  tại ,  . 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 27 • Nếu  có các ĐHR cấp một và cấp hai liên tục trên một hình chữ nhật mở F có tâm tại ,  , • và gọi H là một chận trên của  ,  ,  trên F thì sai số I ,  =  ,  −  ,  thỏa I ,  ≤ 1 2 H −  +  −   Ví dụ 5. Xấp xỉ tuyến tính  ,  =  −  +   + 3 tại 3,2 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị  3.1,2.1 và đánh giá sai số của xấp xỉ này. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 28 Vi phân – differential • Trong xấp xỉ nói trênΔ ≈  ,  Δ +  ,  Δ Nếu ta thay Δ = ( , Δ = ( thì vế phải chính là vi phân toàn phần của  tại ,  . 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 29 Định nghĩa 7. Vi phân toàn phần – total differential Vi phân toàn phần của  ,  tại ,  được định nghĩa là( ,  =  ,  ( +  ,  ( Hay viết gọn ( = ( + ( • Tương tự cho hàm nhiều biến hơn. • XXTT của  , , ) tại L , , ) là , , ) ≈  , , )=  L +  L −  +  L  −  + = L ) − ) • Sai số I =  , , ) −  , , ) thỏa I ≤ 1 2 H −  +  −  + ) − )  • Vi phân toàn phần của hàm ba biến là ( = ( + ( + =() 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 30 Ví dụ 6. a) Cho hàm số  ,  = A + > - Tính ( 2,0 . - Xấp xỉ tuyến tính cho  tại 2,0 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị  1.94, −0.09 và đánh giá sai số của xấp xỉ này. b) Cho hàm số  , , ) =  −  + 3 sin ) - Tính ( 2,1,0 . - Xấp xỉ tuyến tính cho  tại 2,1,0 . Dùng nó tính xấp xỉ giá trị  2.01,0.98,0.01 và đánh giá sai số của xấp xỉ này. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 31 4. ĐẠO HÀM HÀM HỢP, HÀM ẨN • Trường hợp 1 biến, nếu  =  và = " O thì( (O = ( ( ( (O 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 32 Định lý 4. Đạo hàm hàm hợp 1. Nếu  =  ,  khả vi và = O ,  =  O cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp  =  O ,  O khả vi theo O và( (O =  O ,  O C O +  O ,  O C O Hay PQ PR = 010 PPR + 010 PPR . 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 33 • Trường hợp nhiều biến hơn, ta có công thức tương tự. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 34 Định lý 5. Đạo hàm hàm hợp 2. Nếu  =  , , ) khả vi và = O ,  =  O , ) =) O cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp  =  O ,  O , ) O khả vi theo O và ( (O = % % ( (O + % % ( (O + % %) () (O 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 35 Ví dụ 7. a) Dùng công thức đạo hàm hàm hợp tính đạo hàm của =  theo biến O, biết = cos O và  = sin O. Tính giá trị của đạo hàm này tại O = /2. b) Tính (/(O biết  =  + ), = cos O ,  = sin O , ) = O Tính PQ PR 0 . 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 36 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 37 Định lý 6. Đạo hàm hàm hợp 3. Nếu  =  , , ) khả vi và = " , T ,  = ℎ , T , ) = U , T cũng là những hàm khả vi thì hàm hợp  = " , T , ℎ , T , U , T khả vi và % % = % % % % + % % % % + % %) %) % % %T = % % % %T + % % % %T + % %) %) %T 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 38 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 39 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 40 • Trường hợp  =  ,  và = " , T ,  = ℎ , T ta cũng có công thức tương tự 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 41 % % = % % % % + % % % %% %T = % % % %T + % % % %T • Tổng quát,  =  , , , và mỗi V là một hàm theo U biến O, O, , OW thì với mỗi X = 1, U% %OY = % % % %OY + % %  % %OY +⋯+ % % % %OY Ví dụ 8. a) Tính %/% và %/%T biết = + 2 + ) = T ,  =  + ln T , ) = 2 b) Tính %/% và %/%T biết =  + , =  − T,  =  + T 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 42 Đạo hàm hàm ẩn • Các phương trình A + A − 9  = 0 và  +  − 25 = 0 thể hiện mối liên hệ ẩn của  theo . • Nếu từ ] ,  = 0 ta có thể suy ra  =  ( là hàm số theo ) thì khi đó ta nói  là một hàm ẩn (implicit function). • Một số trường hợp ta có thể suy ra công thức tường minh cho hàm ẩn  =  . • Tuy nhiên trong nhiều trường hợp ta không có được công thức tường minh. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 43 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 44 • Giả sử rằng – Hàm số ] ,  khả vi, – Phương trình ] ,  = 0 xác định được hàm ẩn khả vi = ℎ . • Khi đó hàm hợp  = ] , ℎ khả vi và do  = 0 nên 0 = (( = %] % ( ( + %] % ( ( = ] + ] ( ( • Nếu ] ≠ 0 thì ( ( = − ]] 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 45 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 46 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 47 Định lý 7. Đạo hàm ẩn. Nếu ] ,  khả vi và phương trình ] ,  = 0 xác định được  là hàm ẩn khả vi theo thì tại những điểm ] ≠ 0 ( ( = − ]] Ví dụ 9. a) Tính C biết  = . b) Tính C biết  =  + sin  c) Tính độ dốc đường tròn  +  = 25 tại 3,−4 . 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 48 • Nếu – Hàm số ] , , ) khả vi, – Phương trình ] , , ) = 0 xác định được ) =  ,  là hàm ẩn khả vi • Thì hàm hợp  = ] , ,  ,  khả vi và 0 = %% = ] % % + ] % % + ]= %) % = ] + ]= %) % 0 = %% = ] % % + ] % % + ]= %) % = ] + ]= %) % 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 49 • Suy ra, nếu ]= ≠ 0 thì%) % = − ]]= %) % = − ]]= Ví dụ 10. Tính %)/% và %)/% tại điểm 0,0,0 biết A + ) + >= + ) cos  = 0 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 50 5. CỰC TRỊ ĐỊA PHƯƠNG 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 51 Định nghĩa 8. Cực trị địa phương – Local extremum Cho  ,  là hàm số xác định trên F chứa điểm ?, @ . Điểm ?, @ được gọi là một điểm cực đại địa phương (local maximum) của  nếu tồn tại đĩa tròn mở _ có tâm tại ?, @ sao cho ?, @ ≥  ,  , ∀ ,  ∈ _ ∩ F Điểm ?, @ được gọi là một điểm cực tiểu địa phương (local minimum) của  nếu tồn tại đĩa tròn mở _ có tâm tại ?, @ sao cho ?, @ ≤  ,  , ∀ ,  ∈ _ ∩ F 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 52 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 53 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 54 • Nếu  đạt cực đại hoặc cực tiểu địa phương tại ?, @ thì ta nói ?, @ là một điểm cực trị (địa phương) của . 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 55 Định lý 8. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm riêng cấp 1. Nếu  ,  đạt cực trị tại điểm trong ?, @ của miền xác định và nếu các đạo hàm riêng của  tại đó đều tồn tại thì khi đó  ?, @ =  ?, @ = 0 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 56 • Điểm trong của miền xác định, mà tại đó  và  đều bằng 0 hoặc ít nhất một trong chúng không tồn tại, thì ta nói điểm đó là điểm tới hạn (critical point). • Định lý 8 nói rằng một điểm là cực trị (địa phương) thì bắt buộc phải là điểm tới hạn hoặc điểm biên. • Tuy nhiên không phải mọi điểm tới hạn đều là cực trị. • Điểm tới hạn ?, @ của hàm số khả vi  được nói là điểm yên ngựa (saddle point) nếu nó không phải là cực trị. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 57 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 58 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 59 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 60 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 61 Định lý 9. Kiểm tra cực trị bằng đạo hàm riêng cấp 2. Cho  ,  là hàm số có đạo hàm riêng cấp 1 và 2 liên tục trên đĩa tròn tâm ?, @ . Giả sử  ?, @ = ?, @ = 0 (tức là ?, @ là điểm tới hạn), khi đó đặt Δ = Δ ?, @ =  ?, @  ?, @ −  ?, @  ta sẽ có các kết luận sau a) Nếu Δ > 0 và  ?, @ > 0 thì ?, @ là cực tiểu. b) Nếu Δ > 0 và  ?, @ < 0 thì ?, @ là cực đại. c) Nếu Δ < 0 thì ?, @ là điểm yên ngựa. Ví dụ 11. Tìm cực trị địa phương của các hàm số sau. 1.  ,  =  −  −  − 2 − 2 + 4. 2.  ,  = 3 − 2A − 3  + 6 . 3.  ,  = 1 +  +  . 4.  ,  =  +  +  . 5.  ,  = B + B − 4  + 1. 24/08/2015 Đạo hàm riêng và vi phân hàm nhiều biến 62