Toán học - Chương 2: Định thức và hệ phương trình đại số tuyến tính

CHƯƠNG 2 ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ----- 1
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 1. Định nghĩa định thức cấp n: Định nghĩa 1: Cho A là ma trận vuông cấp n, định thức của A là một số thực bằng ( )1 1 1 1 1 n j j j j a M+ = −∑ Ký hiệu định thức: 11 12 1 21 22 2det n n a a a a a a aA∆ = = = ⋯ ⋯ 1 2 ij n n nna a a ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ Định thức con M1j là định thức của ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng 1 và cột j Ví dụ: 13 4 5 7 8 M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A    =     2
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Định nghĩa 2: Phần phụ đại số của các phần tử dòng 1, ký hiệu là A1j, được định nghĩa qua các định thức con M1j bằng công thức: ( )11 11 jj jA M+= − Khi đó định thức của ma trận vuông cấp n của A là: 1 1 1 n j j j a A = ∆ =∑ 3
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Định lý 1 (Định lý Laplace) Phần phụ đại số của các phần tử dòng 1, ký hiệu là A1j, được định nghĩa qua các định thức con M1j bằng công thức: 1 1 2 2det ... n i i i i in in ij ijA a A a A a A a A = ∆ = = + + + =∑ a) dòng i: (công thức khai triển định thức theo dòng i) 1j b) cột j: (công thức khai triển định thức theo cột j) 1 1 2 2 1 det ... n j j j j nj nj ij ij i A a A a A a A a A = ∆ = = + + + =∑ Trong đó Aij là phần phụ đại số: ( )1 i jij ijA M+= − 4 • Công thức tính định thức MT cấp 2 và 3 a) Định thức MT cấp 2:
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT a b c d   =   A det a b ad bc c d ∆ = = = −A b) Định thức MT cấp 3: 11 12 13a a a  21 22 23 31 32 33 a a a a a a   =     A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 2 11 12 21 22 3 3 32 12 2 3 1 3 3 2 1 det a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∆ = = = = + + − − − A 5 Ví dụ: Tính định thức của ma trận 0 0 0 0 0 0 a b d a c e b c d e A − − −   − − =    
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 31 31 32 32 33 33 34 34det a A a A a A a AA∆ = = + + + Để giảm chi phí tính toán khi áp dụng định lý Laplace thường ta sẽ chọn khai triển theo dòng (cột) có nhiều số không nhất. Khai triển theo dòng 3. 6 ( )3 131 311A M+= −
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT ( )3 10 1 a b d b d M c e e+ − − − − − = − − = − = [ ]e be cd= − ( )( ) ( )( ) [ ] 31 0 0 c e e b e c d e e e cdb − − = − − − − − = −   7 ( )3 132 0 1 0 0 b d b d M a c e d c e d + − − − − = − − = − = − − ( )3 232 321A M+= − [ ]d be cd= − − ( )( ) ( )( ) [ ]d b e c d d be cd= − − − − − = −   • Vậy ( ) ( ) ( )2be be cd cd be cd be cd∆ = − − − = − 8 VD 2. Tính định thức của các ma trận sau: 3 2 1 4 A −  =   , 1 2 1 3 2 1 2 1 1 B −   = −    . Giải 3 2−
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT [ ] [ ] 1 2 1 det 3 2 1 1.( 2).1 2.1.2 3.1.( 1) 2 1 1 2.( 2)( 1) 3.2.1 1.1.1 12. B − = − = − + + − − − − + + = − det 3.4 1( 2) 14 1 4 A = = − − = . 9
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT VD 3. Tính định thức của ma trận 0 0 3 1 4 1 2 1 3 1 0 2 2 3 3 5 A −   − =     . 4 1 1 4 1 2 3 3 1 2 3 1 0 49 2 3 5 2 3 3 − = + = − . Giải. 11 12 13 14det 0. 0. 3. ( 1).A A A A A= + + + − 1 3 1 4 13 143( 1) det ( 1) detM M+ += − − − 10
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 2. Các tính chất cơ bản của định thức: Tính chất 1: det det T=A A Nhận xét: Tính chất 1 chứng tỏ rằng một kết luận đúng với dòng thì nó cũng đúng với cột. Do đó các tính chất sau đây ta chỉ phát biểu cho dòng. VD 4. 1 3 2 1 2 1 2 2 1 3 2 1 12 1 1 1 2 1 1 − − = − = − − . 11
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 2. Các tính chất cơ bản của định thức: Tính chất 2: Khi hoán vị hai dòng, định thức sẽ thay đổi dấu. Gọi A’ là ma trận có được bằng cách hoán vị 2 dòng khác nhau của A thì det det′ = −A A 1 3 2 1 1 1 1 1 1− − Tính chất 3: (Hệ quả t/c 2) Nếu hai dòng của ma trận có các phần tử tương ứng bằng nhau thì det(A)=0 VD 5. 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 3 2 3 1 2 − = − − = − − . VD 6. 3 3 1 2 2 1 0 1 1 7 = ; 2 3 2 5 2 5 1 0 1 x x x y y y y = . 12
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 2. Các tính chất cơ bản của định thức: Tính chất 4: Nếu nhân một dòng của ma trận A với một số α khác 0 thì det(A) tăng lên α lần. det det det= +A B C Tính chất 5: Nếu các phần tử ở dòng i của ma trận A có dạng aij=bj+cj thì trong đó B và C là hai ma trận có dòng thứ i gồm các phần tử lần lượt là bj và cj. Chú ý: Từ t/c 4 và 5 ta có thể phát biểu tổng quát như sau: Nếu dòng i của ma trận A có dạng: ij j ja b cλ µ= + Thì: det det detλ µ= +A B C trong đó B và C là hai ma trận có dòng thứ i gồm các phần tử lần lượt là bj và cj. 13
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT VD 7. 3.1 0 3.( 1) 1 0 1 2 1 2 3 2 1 2 3 1 7 3 1 7 − − − = − ; 3 3 3 3 1 1 1 ( 1) 1 x x x x x x y y x y y + + = + . 3 31 1x z z z z+ VD 8. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x y y x y y y y x z z x z z z z + + = + − − . 14
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 2. Các tính chất cơ bản của định thức: Tính chất 7: Nếu hai dòng của ma trận A có các hệ số tương ứng Tính chất 6: Nếu ma trận A có một dòng là dòng 0 thì det(A)=0 Tính chất này dễ dàng suy ra được từ t/c 6 và chú ý ở trên. Tính chất 8: (Hệ quả của t/c 6 và 7) Nếu ma trận A có một dòng là tổ hợp tuyến tính của hai dòng khác thì det(A)=0 (Hệ quả của t/c 3 và 4) tỉ lệ nhau thì det(A)=0. 15
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 2. Các tính chất cơ bản của định thức: Tính chất 9: Định thức không thay đổi khi cộng vào một dòng tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Như vậy: Nếu A’ có được từ A qua phép biến đổi sơ cấp trên dòng loại (III) thì det(A’)=det(A) Tính chất 10: Nếu A’ có được từ A qua hữu hạn các phép biến đổi (Tổng quát hóa t/c 9) sơ cấp trên dòng loại (III) thì det(A’)=det(A) Nhắc lại: Vì det(A)=det(AT) nên các t/c từ (2) đến (9) vẫn đúng khi ta thay chữ “dòng” bằng chữ “cột” 16
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 3. Định thức của tích ma trận. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông khả nghịch. • Định thức của tích ma trận: Định lý: Cho A và B là hai ma trận vuông cấp n, ta có ( )det det det=AB A B Hệ quả: Cho A, A1, A2,, Ak là các ma trận vuông cấp n, ta có ( )1 2 1 2det ... det det detk k=A A A A A A ( ) ( )det det mm m= ∀ ∈A A N ( ) ( )1 1det det − =A A i) ii) iii) Nếu A khả nghịch thì 17
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT • Điều kiện cần và đủ để ma trận khả nghịch: Định lý: Để ma trận vuông cấp n A khả nghịch, điểu kiện cần và đủ là định thức của A khác không. ( )det 0≠AA khả nghịch khi và chỉ khi Chứng minh: Điều kiện cần: A khả nghịch => ( )det 0≠A Do A khả nghịch => tồn tại B sao cho AB=I ( ) ( )det det⇒ =AB I ( ) ( ) ( )det det det 1⇔ = =A B I ( ) ( )det 0 det 0⇔ ≠ ∧ ≠A B ( )det 0⇒ ≠A 18
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Điều kiện đủ: ( )det 0≠A A khả nghịch Ta cần chứng minh: tồn tại ma trận B sao cho AB=BA=I Nghĩa là ta sẽ tìm ma trận B sao cho AB=BA=I A A A ⋯ B sẽ được tìm thông qua ma trận liên hợp của A có dạng như sau: trong đó các Aij là phần phụ đại số. 11 21 1 12 22 2 1 2 n nV n n nn A A A A A A    =     A ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 19
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Bây giờ ta sẽ xét tích AAV 11 12 1 11 21 1 21 22 2 12 22 2 1 2 1 2 n n n nV n n nn n n nn a a a A A A a a a A A A a a a A A A           = =           C AA ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ ⋯ Phần tử bất kỳ của C: 1 n ij ik jk k c a A = =∑ Trường hợp i=j, ta có 1 n ii ik ik k c a A = =∑ vế phải của (*) chính là công thức khai triển định thức theo dòng i. 20 (*)
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Trường hợp i≠j, ta sẽ cm cij=0. Gọi D là ma trận có được từ A bằng cách thay các phần tử dòng j bằng các phần tử dòng i. Vậy D là ma trận có 2 dòng i và j giống nhau 11 12 1na a a     ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ { { 1 2 1 2 i i in i i in dong i a a a dong j a a a =       D ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 21
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Mà 1,jk ik ik d d a k n = = = ( ) 1 det n jk jk k d D = =∑D Theo tính chất thứ 3 thì định thức của D bằng 0 Áp dụng công thức khai triển theo dòng j của định thức D: jk jkD A= Vậy: ( ) 1 0 det n ik jk ij k a A c = = = =∑D 22
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Cuối cùng ta được: 0 0 0 0 0 0 V ∆  ∆ = =   ∆  C AA ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ Vậy ta chọn B như sau: 1 V = ∆ B A Hay nói cách khác: A khả nghịch và ma trận nghịch đảo của A là: 1 1 V− = ∆ A A Định lý được chứng minh. 23
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT • Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng ma trận liên hợp Giả sử rằng A khả nghịch (det(A)≠0). Lập ma trận liên hiệp của A ký hiệu là AV bằng cách: thay các phần tử của A bằng các phần phụ đại số tương ứng, sau đó ta chuyển vị ma trận vừa tìm được. Khi đó AV có dạng như sau: A A A ⋯11 21 1 12 22 2 1 2 n nV n n nn A A A A A A    =     A ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ Ma trận khả nghịch của A là: 1 1 V− = ∆ A A 24 4. Các phương pháp tính định thức. 1. Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) loại (III) để triệt tiêu tất cả các phần tử trên dòng (cột) trừ một phần tử của dòng (cột) đó
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 2. Dẫn về định thức ma trận tam giác: khi đó định thức được tính theo công thức ( )det n a a a a= =∏A 11 22 1 ii nn i= trong đó các aii là các phần tử trên đường chéo chính của ma trận tam giác A. 25
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT VD 9. Tính các định thức 1 2 3 1 2 1 2 3 4 − − ; 1 1 1 1 1 1 x x x . 2 3 3 2 2 1 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3dd dd d d → +→ + 3 3 12 1 2 1 0 4 2 0 4 2 6 2 3 4 0 1 2 30 0 2 d d d→ − − − ==== ==== = − − − − 26 1 1 2 3 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ( 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 d d d d x x x x x x x x x x x → + + + + + ===== = + 2 2 1 2 1 1 1 ( 2) 0 1 0 ( 2)( 1) d d d x x x x → − ==== + − = + − .
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 3 3 1 0 0 1 d d d x → − − 27
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 5. Quy tắc Cramer giải hệ phương trình đại số tuyến tính n ẩn và n phương trình. 1. Xét hệ phương trình gồm n phương trình và n ẩn số, được biểu diễn dưới dạng ma trận: AX=B (*) 2. Hệ này có nghiệm duy nhất khi ma trận hệ số tự do: A không suy biến (det(A) ≠ 0). 28 3. Ký hiệu: 11 12 1 21 22 2 1 2 det n n n n nn a a a a a a a a a ∆ = =A ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT gọi là định thức của hệ phương trình. Và
j ⋯ ⋯11 1 1 1 1 11 21 2 1 2 1 22 1 1 1 j j n j j n j nn nj nj nn a a a ab a a a ab ba a a a − + − + − + ∆ = ⋯ ⋯ ⋮⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ 29 Định lý (Quy tắc Cramer)
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Nếu hệ phương trình (*) có det(A) ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất được biểu thị bằng công thức Cramer: 1,jjx j n ∆ = = ∆ Ví dụ: 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z + − = + = + + = − 30
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Giải 2 1 1 0 1 3 4 2 1 1 − ∆ = = , 1 1 1 1 3 1 3 1 12 1 1 − = = − − ∆ , 12 1− 12 1 2 30 3 24 2 1 1 ∆ − = = , 3 30 1 4 2 11 ∆ − = = − . Vậy 31 23, 6, 1x y z ∆∆ ∆= = − = = = = − ∆ ∆ ∆ . 31
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Cho A là ma trận cấp mxn. 6. Hạng của ma trận Lấy từ A k dòng và k cột bất kỳ: Các phần tử giao của k dòng và k cột này tạo thành ma trận vuông cấp k. Định thức của ma trận này gọi là định thức con cấp k của A. Do đó ma trận A có các định thức con cấp từ 1 đến min(m,n). 0 0 0 0 0 0 1 2 4 0 3 5 0 0 4 1        Giữa các định thức con khác không của A có ít nhất mộtđịnh thức con cấp lớn nhất. Ví dụ: 1 2 4 0 3 5 0 0 4 32
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Định nghĩa: 6. Hạng của ma trận Cấp lớn nhất của định thức con khác không của ma trận đã cho gọi là hạng của ma trận. Ký hiệu là: rank(A) hoặc r(A) Ví dụ: 0 0 0 0 0 0 1 1 2 4 0 3 5 0 0 4    =     A 1 2 4 0 3 5 12 0 0 0 4 = ≠( )det 0=A Hạng của ma trận A là 3 33
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Nhận xét: 6. Hạng của ma trận Ví dụ: ( ) ( )0 min ,r m n≤ ≤A• * • Một ma trận bất kỳ có thể có nhiều định thức con cùng cấp khác 0 ( ) 0r = ⇔A A = 0• * 0 0 0 0 0 0 1 1 2 4 0 3 5 0 0 4    =     A 1 2 4 0 3 5 12 0 0 0 4 = ≠ 1 2 4 0 3 5 3 0 0 0 1 = ≠ 34
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Tính chất: 6. Hạng của ma trận i. Khi chuyển vị, hạng của ma trận không thay đổi ii. Hạng của ma trận không thay đổi khi hoán vị hai dòng iii. Hạng của ma trận không thay đổi khi nhân một dòng với một số khác 0 iv. Hạng của ma trận không thay đổi nếu cộng vào một dòng khác sau khi đã nhân với một số khác không. v. Hạng của ma trận không thay đổi nếu bỏ đi một dòng toàn số 0 vi. Hạng của ma trận không thay đổi nếu bỏ đi một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác 35
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Nhận xét: • Hạng của ma trận không thay đổi khi ta thực hiện hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên dòng • Hai ma trận tương đương có hạng bằng nhau 6. Hạng của ma trận Một định nghĩa khác về hạng ma trận: Định lý: • Hạng của ma trận dạng bậc thang bằng số dòng khác không của nó • Cho A là ma trận dạng bậc thang chính tắc. Khi đó số dòng khác không của A chính là hạng của ma trận A. Lưu ý: Số dòng khác không của ma trận dạng bậc thang và dạng bậc thang chính tắc là như nhau. 36
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Phương pháp tìm hạng của ma trận • Dựa vào nhận xét thứ nhất và định lý ở trên, ta có thể tìm hạng ma trận bằng pp Gauss hoặc Gauss-Jordan. • Áp dụng pp Gauss (Gauss-Jordan): đưa ma trận về dạng bậc thang (bậc thang chính tắc), khi đó số dòng khác không của ma trận sau 6. Hạng của ma trận biến đổi chính là hạng của ma trận. 37 VD 18. Tìm hạng của ma trận 1 3 4 2 2 5 1 4 3 8 5 6 A −   = −   −  . Giải. 2 2 123 1 3 4 2 0 1 7 0d d dd d dA → − → − −   → − 
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 3 3 1 0 1 7 0 −  3 3 2 1 3 4 2 0 1 7 0 ( ) 2 0 0 0 0 d d d r A→ − −   → − ⇒ =    . 38 VD 19. Tìm hạng của ma trận: 2 1 1 3 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 4 A −   − =    − −  . Giải. 3 3 2 2 1 1 3 0 1 0 0d d dA → + −   −  →
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 4 4 2 0 0 2 0 0 0 1 4 d d d→ −    −  4 4 32 2 1 1 3 0 1 0 0 ( ) 4 0 0 2 0 0 0 0 8 d d d r A→ − −   −  → ⇒ =   −  . 39
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Định thức con cơ sở: • Ma trận có hạng bằng r tức là nó chứa định thức con cấp r khác không. Một định thức bất kỳ như vậy gọi là định thức con cơ sở. 6. Hạng của ma trận • Dòng và cột mà giao điểm của chúng là các phần tử của định thức con cơ sở gọi là dòng và cột cơ sở. 40 1 0 2 4 0 0 3 5 0 0 0 4 0 0 0 1    =     A 1 2 4 0 3 5 12 0 0 0 4 = ≠ Ví dụ: Dòng 1, 2, 3 là các dòng cơ sở Cột 1, 3, 4 là các cột cơ sở
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 1 2 4 0 3 5 3 0 0 0 1 = ≠ Dòng 1, 2, 4 là các dòng cơ sở Cột 1, 3, 4 là các cột cơ sở 1 0 2 4 0 0 3 5 0 0 0 4 0 0 0 1    =     A 41
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 6. Quy tắc tổng quát giải hệ phương trình đại số tuyến tính • Xét hệ pt ĐSTT biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: AX = B (*) trong đó 1,m n nM M× ×∈ ∈A B, X Định lý (Kronecker - Capelli): Hệ (*) tương thích khi và chỉ khi ( ) ( )r r=A Aɶ trong đó [ ]=A A | Bɶ là ma trận hệ số mở rộng. 42
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 6. Quy tắc tổng quát giải hệ phương trình đại số tuyến tính • Biện luận số nghiệm của hệ phương trình tương thích Định lý: Cho hệ PT ĐSTT dạng tổng quát Hệ AX=B, ( ) ( )r r=A Aɶ[ ]=A A | Bɶ thì ( ) ( ) 1r r= +A Aɶhoặc hơn nữa i. nếu ( ) ( ) 1r r= +A Aɶ thì hệ vô nghiệm ii. nếu ( ) ( )r r n= =A Aɶ thì hệ có nghiệm duy nhất iii. nếu ( ) ( )r r n= <A Aɶ thì hệ có vô số nghiệm 43 Định lý: Hệ AX=B, n∈A M , ta có các điều sau tương đương i. ( )r n=A ii. Hệ AX=B có nghiệm duy nhất.
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT iii. Hệ AX=0 có nghiệm tầm thường. 44 VD 2. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình: 2 8 7 1 3 2 4 5 1 5 2 2 mx z t m x my z t m mz t m z mt m + − = − + + + = + = − − = + ệ ấ
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT có nghi m duy nh t là: A. 0m ≠ ; B. 1m ≠ ; C. 1m ≠ ± ; D. 5m ≠ ± . Giải. 0 8 7 3 2 4 ( ) 4 det 0 0 0 5 0 0 5 m m A r A A m m −   = ⇒ = ⇔ ≠   −  2 2( 25) 0 0m m m A⇔ + ≠ ⇔ ≠ ⇒ . 45