Toán học - Chương 2: Dãy số thực

Chương 2 DÃY SỐ THỰC Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 1 / 19 Nội dung 1 Dãy số hội tụ và các tính chất Dãy số – Giới hạn – Một số tính chất Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Các giới hạn cơ bản – Tính giới hạn 2 Dãy con và Định lý Bolzano - Weierstrass 3 Dãy Cauchy Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 1 / 19 Dãy số Một dãy số có thể được xem là một dãy (vô hạn) các con số được được xếp theo một thứ tự nào đó a1, a2, a3, a4, . . . , an, . . . . Với mỗi số tự nhiên n ta có tương ứng duy nhất một số thực an cho nên có thể định nghĩa dãy số là một ánh xạ từ N vào R. Dãy số {a1, a2, a3, . . . } được ký hiệu là {an} hoặc {an}∞n=1 Chú ý, dãy số có thể được đánh số từ 0 hoặc từ bất kỳ số tự nhiên nào khác. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 2 / 19 Dãy số thường được cho dưới dạng công thức cho an. Ví dụ 1. 1. Dãy { n n + 1 }∞ n=1 có an = n n + 1{ 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , . . . , n n + 1 , . . . } 2. Dãy { (−1)n √n − 3 }∞ n=3 có an = (−1)n √ n − 3{ 0, 1,− √ 2, √ 3, . . . , (−1)n √n − 3, . . . } 3. Dãy {cos(npi/3)}∞n=0 có an = cos(npi/3) {1, 1/2,−1/2,−1, . . . , cos(npi/3), . . . } Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 3 / 19 Tuy nhiên nhiều dãy số không thể cho dưới dạng công thức đơn giản như vậy. Ví dụ 2 1. Dãy Fibonacci {an} được định nghĩa bằng quy nạp a1 = 1, a2 = 1, an = an−1 + an−2, n ≥ 3 2. Gọi an là ký tự thứ n trong phần thập phân của số pi thì các phần tử đầu tiên của dãy {an} là {1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4, . . . } 3. Gọi pn là số dân thế giới vào Ngày 31 Tháng 12 Năm n. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 4 / 19 Dãy số hội tụ Xét dãy số an = n n + 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 5 / 19 Ta thấy an = n/(n + 1) tiến về 1 khi n đủ lớn. Cụ thể ta thấy khoảng cách giữa 1 và an là 1− n n + 1 = 1 n + 1 . Khoảng cách này có thể nhỏ tùy ý miễn n đủ lớn. Trong trường hợp này, ta nói dãy {n/(n + 1)} có giới hạn là 1 và viết lim n→∞ n n + 1 = 1. Tổng quát, dãy {an} được nói là có giới hạn bằng L nếu các an có thể gần L tùy ý khi n đủ lớn. Ký hiệu lim n→∞ an = L hoặc lim an = L. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 6 / 19 Một cách chính xác, ta có định nghĩa Định nghĩa Dãy số an được nói là có giới hạn bằng L nếu với mọi ε > 0 đều tồn tại số tự nhiên N sao cho |an − L| < ε,∀n ≥ N. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 7 / 19 Tương tự, dãy số an được nói là có giới hạn bằng ∞ (tương ứng −∞) nếu với mọi số thực M đều tồn tại số tự nhiên N sao cho an > M,∀n ≥ N (tương ứng an < M,∀n ≥ N). Khi đó ta cũng ký hiệu lim an =∞ (tương ứng lim an = −∞) và nói dãy {an} có giới hạn bằng ∞ (hoặc −∞). Nếu lim an = L ∈ R thì ta nói {an} là dãy hội tụ. Ngược lại, nếu lim an = ±∞ hoặc lim an không tồn tại thì ta nói {an} là dãy phân kỳ. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 8 / 19 Một số tính chất Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . bằng tổng, hiệu, tích, thương, căn, lũy thừa, . . . của giới hạn (miễn là tính được). Ví dụ nếu lim an và lim bn đều tồn tại thì: lim(an ± bn) = lim an ± lim bn lim(anbn) = (lim an) (lim bn) lim an bn = lim an lim bn (với bn 6= 0, lim bn 6= 0) lim √ an = √ lim an (với an ≥ 0, lim an ≥ 0) lim(an) r = (lim an) r . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 9 / 19 Tiêu chuẩn giới hạn kẹp Nếu an ≤ bn ≤ cn, ∀n ≥ n0 và lim an = lim cn = L thì lim bn = L. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 10 / 19 Dãy đơn điệu - Dãy bị chận Dãy {an} gọi là dãy tăng nếu: an ≤ an+1,∀n ∈ N. Dãy {an} gọi là dãy giảm nếu: an ≥ an+1,∀n ∈ N. Nếu {an} là dãy tăng hoặc giảm thì ta nói {an} đơn điệu. Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của các dãy số sau. an = n 2, an = n + 1 n , an = (−1)n √ n + 1 {an} gọi là bị chận trên nếu: ∃M ∈ R, an ≤ M,∀n ∈ N. {an} gọi là bị chận dưới nếu: ∃N ∈ R, an ≥ N,∀n ∈ N. Nếu {an} bị chận trên và dưới thì ta nói nó bị chận. Ví dụ 4. Xét tính bị chận của các dãy số trên. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 11 / 19 Tiêu chuẩn Weierstrass – Số e Tiêu chuẩn Weierstrass Một dãy số tăng và bị chận trên thì hội tụ. Một dãy số giảm và bị chận dưới thì hội tụ. Xét dãy an = ( 1+ 1 n )n . Người ta chứng minh được nó là dãy tăng và bị chận trên. Suy ra nó hội tụ. Ta định nghĩa e = lim n→+∞ ( 1+ 1 n )n e là số vô tỉ và e ≈ 2.7182818284590 . . . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 12 / 19 Các giới hạn cơ bản 1. Nếu a > 0 thì lim n→∞ 1 na = 0, lim n→∞ n a = +∞. 2. Nếu |a| < 1 thì: lim n→∞ a n = 0. Nếu a > 1 thì lim n→∞ a n = +∞. 3. Nếu a > 1 và α ∈ R thì: lim n→∞ nα an = 0. 4. Nếu a > 0 thì lim n→∞ n √ a = 1 Đồng thời lim n→∞ n √ n = 1. 5. Giới hạn liên quan số e: lim n→+∞ ( 1+ x n )n = ex Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 13 / 19 Tính giới hạn Biến đổi đưa về giới hạn cơ bản, áp dụng các tính chất, sử dụng giới hạn kẹp, . . . . Ví dụ 5. Tính các giới hạn các dãy số sau. 1. lim n→∞ 4n2 + 1 3n2 + 2 2. lim n→∞ (√ n2 + 1− n) 3. lim n→∞ (√ 2n + √ n −√2n + 1 ) 4. lim n→∞ n √ n n √ n2 + n √ n + 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 14 / 19 5. lim n→∞ 3 · 5n − 2n 4n + 2 · 5n 6. lim n→∞ n2n + 1 3n + n2 7. lim n→∞ ( 2n − 1 2n )n 8. lim n→∞ ( n n + 1 )2n 9. lim n→∞ n sin √ n n2 + n − 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 15 / 19 Dãy con Định nghĩa Cho dãy số (an). Nếu: n1 < n2 < n3 < · · · < nk < . . . là dãy tăng (ngặt) các số tự nhiên thì dãy bk = ank gọi là dãy con của dãy (an) Ví dụ: Các dãy a1, a3, a5, a7, a9, . . . , a2k−1, . . . a1, a2, a3, a5, a8, . . . (với nk+2 = nk+1 + nk) là các dãy con của dãy an. Đặt biệt, (an) là dãy con của chính nó. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 16 / 19 Định lý Dãy số hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều hội tụ và có chung một giới hạn. Suy ra nếu dãy {an} có một dãy con không hội tụ hoặc có hai dãy con hội tụ về hai giới hạn khác nhau thì {an} không hội tụ. Ngoài ra, ta còn có tính chất sau Mọi dãy đều có ít nhất một dãy con đơn điệu Định lý Bolzano-Weierstrass Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 17 / 19 Dãy Cauchy Định nghĩa Dãy xn gọi là dãy Cauchy nếu: ∀ε > 0,∃n0 ∈ N,∀m, n ≥ n0 : |xm − xn| < ε Có thể kiểm chứng dễ dàng rằng mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. Ngoài ra, do tính đầy đủ của R nên ta có chiều ngược lại. Tức là: Định lý Dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 18 / 19 Bài tập. Tính các giới hạn các dãy số sau. 1. lim n→∞ 2n + n3 1+ 2n3 2. lim n→∞ (√ 3n2 + n − n√3 ) 3. lim n→∞ ( 1+ 2 3n )2n 4. lim n→∞ n − 3n+2 2n + 3n 5. lim n→∞ n! + n + 1 (n + 1)! + 2 6. lim n→∞ n √ n + 1 3n √ n + 2 7. lim n→∞ ( 3n − 1 3n + 1 )n 8. lim n→∞ ( n 2n + 1 )n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 2: Dãy số thực Toán T1 - MS: C01016 19 / 19