Toán học - Chương 2: Đạo hàm và ứng dụng

Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG ThS. Huỳnh Văn Kha TÓM TẮT NỘI DUNG 1. Định nghĩa đạo hàm. 2. Một số quy tắc tính đạo hàm. 3. Xấp xỉ tuyến tính và vi phân. 4. Cực trị và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 5. Quy tắc L’Hospital. 6. Phương pháp Newton xấp xỉ nghiệm phương trình
 = 0. 7. Nguyên hàm. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 2 1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM • Hàm đo khoảng cách di chuyển của một chất điểm là  =
 thì vận tốc tức thời tại thời điểm  là   = lim→
 + ℎ −
ℎ • Vận tốc   còn được gọi là đạo hàm của
tại thời điểm  và ký hiệu   =
  . • Độ dốc của đường cong  =
 tại  ,
 là   = lim→
 + ℎ −
ℎ • Độ dốc   còn được gọi là đạo hàm của
tại  và ký hiệu   =
  . 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 3 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 4 Ví dụ 1. 1. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm  = 1 của vật rơi tự do, biết hàm đo khoảng cách rơi tự do là = 16 2. Cho đường cong  = 1/ a) Tính độ dốc của nó tại  = −1. b) Những điểm nào trên đường cong này có độ dốc bằng −1/4? 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 5 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 6 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 7 Định nghĩa 1. Đạo hàm – derivative Cho  ∈ ,  và hàm số
 xác định trên khoảng ,  . Ta nói đạo hàm của
 tại  là giá trị
  = lim→
 + ℎ −
ℎ (nếu giới hạn này tồn tại). Hàm số đạo hàm • Nếu
có đạo hàm tại  ta nói
khả vi (differentiable) tại đó. • Ta có thể xem
 là hàm số theo  xác định bởi
  = lim→
 + ℎ −
 ℎ • Nếu hàm số này có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của
và ký hiệu
. • Tổng quát, nếu
có đạo hàm cấp  là
 thì đạo hàm cấp  + 1 được định nghĩa là
  =
   24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 8 • Đạo hàm của
 còn được ký hiệu là
 = !
! = ! !
• Ta có thể ký hiệu đạo hàm tại  =  bằng
  =
  "#$% = !
!&#$% = ! !
 &#$% • Các đạo hàm cấp cao cũng được ký hiệu là
 = !
! = ! !

 = !
! = ! !
24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 9 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 10 Định lý 1. (Có đạo hàm thì liên tục) Nếu
khả vi tại  = ' thì
liên tục tại  = '. Đạo hàm các hàm số sơ cấp (  = )(* + = 0, với + là hằng số #  = # ln  -#  = -# log%   = 1 ln  ln   = 1 sin   = cos  cos   = −sin  tan   = 1 + tan  = 1cos  cot   = − 1 + cot  = − 1sin  arcsin   = 11 −  arctan   = 1 1 +  24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 11 2. MỘT SỐ QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 5 ±   = 5 ±  75  = 75, với 7 là hằng số. 5  = 5 + 5 5   = 5 − 5 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 12 Ví dụ 2. a) Tính đạo hàm của hàm số
 = 1 + ln  b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số
 = 29 − 2 + 1 Đạo hàm hàm hợp 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 13 Định lý 2. Đạo hàm hàm hợp Nếu
5 khả vi tại 5 = :  và :  khả vi tại  thì hàm hợp
∘ :  =
:  cũng khả vi tại  và
∘ :   =
:   =
 :  · :  24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 14 5(  = )55(* 15  = − 55 =  = 5= ln  -=  = 5-= log% 5  = 5  5 ln  ln 5  = 5 5sin 5  = 5 cos 5 cos 5  = −5 sin 5 tan 5  = 5 1 + tan 5 = 5cos 5 cot 5  = −5 1 + cot 5 = − 5sin 5 arcsin 5  = 51 − 5 arctan 5  = 5 1 + 5 Ví dụ 3. a) Tính đạo hàm của các hàm số
 =  − 3 + 1:  = ln9  b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm sốℎ  = sin -# 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 15 3. XẤP XỈ TUYẾN TÍNH VÀ VI PHÂN • Trong một số trường hợp, ta cần xấp xỉ một hàm phức tạp bằng hàm đơn giản hơn. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 16 Định nghĩa 2. Xấp xỉ tuyến tính – linear approximation Nếu
khả vi tại  thì hàm số?  =
 +
   −  được gọi là tuyến tính hóa (linearization) của
tại . Và xấp xỉ
 ≈ ?  được gọi là xấp xỉ tuyến tính của
tại . 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 17 Ví dụ 5. 1. Xấp xỉ tuyến tính hàm số
 = 1 +  tại điểm  = 3 và tính xấp xỉ giá trị 4.1. 2. Xấp xỉ tuyến tính hàm số
 = cos  tại  = B/4 và tính xấp xỉ giá trị cos 44 . 3. Xấp xỉ tuyến tính hàm số
 = 1 +  C (với 7 là hằng số) tại  = 0. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 18 Vi phân • Trong cách ký hiệu  = !/!, ! được gọi là vi phân của biến số  và ! là vi phân của hàm số . 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 19 Định nghĩa 3. Vi phân - differential Nếu  =
() khả vi thì vi phân của hàm số này là! =
  ! Ví dụ 6. Cho hàm số  = F + 3 +  a) Tìm vi phân !. b) Tìm ! 1 . 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 20 4. CỰC TRỊ VÀ GTLN, GTNN 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 21 Định nghĩa 4. GTLN, GTNN – global extremum Hàm số
 đạt giá trị lớn nhất (hay cực đại toàn cục – global maximum – absolute maximum) tại điểm ' thuộc miền xác định G của
nếu
 ≤
' với mọi  ∈ G. Hàm số
 đạt giá trị nhỏ nhất (hay cực tiểu toàn cục – global minimum – absolute minimum) tại điểm ' thuộc miền xác định G của
nếu
 ≥
' với mọi  ∈ G. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 22 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 23 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 24 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 25 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 26 Định lý 3. (về GTLN, GTNN – extreme value theorem) Nếu
liên tục trên khoảng đóng ,  thì
đạt giá trị lớn nhấtJ và giá trị nhỏ nhấtK trên khoảng đó. Nghĩa là có hai số  ,  thuộc ,  sao cho
 =K,
 = J vàK ≤
 ≤ J với mọi  ∈ ,  . 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 27 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 28 Cực trị địa phương 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 29 Định nghĩa 5. Cực trị địa phương - local extremum Hàm số
 đạt cực đại địa phương (local maximum) tại điểm ' thuộc miền xác định G của
nếu có L > 0 sao cho
 ≤
' với mọi  ∈ G ∩ ' − L, ' + L . Hàm số
 đạt cực tiểu địa phương (local minimum) tại điểm ' thuộc miền xác định G của
nếu có L > 0 sao cho
 ≥
' với mọi  ∈ G ∩ ' − L, ' + L . Hàm số
 được nói là đạt cực trị địa phương (local extremum) tại ' nếu nó đạt cực đại hay cực tiểu địa phương tại đó. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 30 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 31 Định lý 4. Định lý Fermat Nếu
đạt cực trị địa phương tại điểm trong ' của miền xác định và nếu
 ' tồn tại thì
 ' = 0 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 32 Tìm GTLN, GTNN • Cực trị (địa phương hay toàn cục) của
chỉ có thể xảy ra tại một trong các loại điểm sau đây – Điểm trong của miền xác định và
 = 0 – Điểm trong của miền xác định và
 không xác định – Điểm biên của miền xác định. • Nếu ' là điểm trong của miền xác định và
 ' = 0 hoặc
 ' không tồn tại thì ta nói ' là điểm tới hạn (critical point) của
. • Để tìm GTLN, GTNN của
ta làm như sau – Tình giá trị của
tại các điểm tới hạn và các điểm biên. – Lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong các giá trị nói trên. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 33 Ví dụ 7. a) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
 = 10 2 − ln  trên khoảng 1, - . b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số
 =  O trên khoảng −2,3 . 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 34 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 35 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 36 Định lý Rolle 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 37 Định lý 4. Định lý Rolle Cho  =
 là hàm số liên tục trên khoảng đóng ,  và khả vi trên khoảng mở ,  . Nếu
 =
 thì có ít nhất một ' ∈ ,  sao cho
 ' = 0. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 38 Định lý Lagrange 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 39 Định lý 5. Định lý Lagrange Cho  =
 là hàm số liên tục trên khoảng đóng ,  và khả vi trên khoảng mở ,  . Khi đó có ít nhất một số ' ∈ ,  sao cho
 ' =
 −
 −  24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 40 • Định lý Lagrange là định lý cơ bản của phép tính vi phân. Nhiều kết quả quan trọng được suy ra từ đây. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 41 Hệ quả 1. Nếu
  = 0 với mọi  ∈ ,  thì
 = +, với + là hằng số. Hệ quả 2. Nếu
  = :  với mọi  ∈ ,  thì tồn tại hằng số + sao cho
 = :  + +. Nghĩa là
− : là hàm hằng trên ,  . Sự đơn điệu của hàm số • Ngoài ra ta còn hệ quả quan trọng sau đây về sự đơn điệu (tăng, giảm) của hàm số. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 42 Hệ quả 3. Cho hàm số
liên tục trên ,  và khả vi trên ,  . - Nếu
  > 0, ∀ ∈ ,  thì
tăng trên ,  . - Nếu
  < 0, ∀ ∈ ,  thì
giảm trên ,  . Tìm cực trị địa phương • Cho ' là điểm tới hạn của hàm số liên tục
và giả sử
khả vi trên một khoảng mở chứa ' (có thể ngoại trừ tại '). • Khi di chuyển từ trái sang phải – Nếu
đổi dấu từ âm sang dương thì ' là cực tiểu địa phương. – Nếu
đổi dấu từ dương sang âm thì ' là cực đại địa phương. – Nếu
không đổi dấu (nghĩa là
dương cả hai bên hoặc âm cả hai bên điểm ') thì ' không phải là cực trị địa phương. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 43 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 44 Ví dụ 8. a) Tìm cực trị địa phương của
 =  − 3 -# b) Tìm cực trị địa phương của
 = O  − 4 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 45 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 46 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 47 Một số bài toán ứng dụng • Một cái hộp không nắp đậy được làm bằng cách cắt bỏ 4 hình vuông nhỏ kích thước  ×  ở 4 góc của một tấm bìa 12 × 12 cm (xem hình vẽ). Tìm giá trị của  để thể tích hộp nói trên lớn nhất. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 48 • Bạn được yêu cầu thiết kế một cái hộp hình trụ tròn đứng có thể tích 1 lít. Bán kính và chiều cao của hình trụ bằng bao nhiêu để ít tốn nguyên liệu nhất? 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 49 • Ký hiệu – T  là doanh thu khi bán được  sản phẩm, – '  là chi phí để sản xuất  sản phẩm, – U  = T  − '  là lợi nhuận thu được. • Trong kinh tế người ta gọi – T  là doanh thu biên (marginal revenue), – '  là chi phí biên (marginal cost), – U  là lợi nhuận biên (marginal profit). • Khi đạt được lợi nhuận tối đa thì doanh thu biên sẽ bằng chi phí biên. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 50 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 51 • Giả sử T  = 9 và '  = 9 − 6 + 15, với  là số triệu máy nghe nhạc MP3 được sản xuất. Tìm  để lợi nhuận thu được là tối đa và mức lợi nhuận tối đa đó là bao nhiêu? 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 52 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 53 5. QUY TẮC L’HOSPITAL 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 54 Định lý 6. Quy tắc L’Hospital. Cho các hàm
, : khả vi và :  ≠ 0 trên một khoảng mở chứa  (có thể ngoại trừ tại ). Giả sử một trong hai điều sau đây là đúng a) lim#→%
 = lim#→%:  = 0 hoặc b) lim#→%
 = lim#→%:  = ±∞. Thì khi đó lim#→%
 :  = lim#→%
  :  miễn là giới hạn vế phải tồn tại (có thể bằng ±∞). • Chú ý, nếu thay  →  bằng  → ,  → *,  → ∞ hay  → −∞ thì quy tắc trên vẫn đúng. Ví dụ 9. Tính các giới hạn ) lim#→ ln  1 −  ) lim#→Z ln   ') lim#→[/ sin  1 − 2 cos  !) lim#→ -#  24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 55 -) lim#→ 3 − sin  
) lim#→ 1 +  − 1  :) lim#→ 2 1 +  −  − 2  ℎ) lim#→   − 1 − 1 ln  \) lim#→Z  sin 1  24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 56 6. PHƯƠNG PHÁP NEWTON • Trong nhiều trường hợp, ta không thể tính được nghiệm chính xác của phương trình
 = 0. • Một phương pháp có thể tính gần đúng nghiệm phương trình được đề xuất bởi Newton. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 57 Phương pháp Newton 1. Chọn nghiệm xấp xỉ ban đầu . 2. Tính các xấp xỉ tiếp theo bằng công thức  =  −

  , ∀ ∈ ℕ 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 58 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 59 • Tính gần đúng 2 bằng cách giải phương trình − 2 = 0 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 60 • Tìm hoành độ giao điểm của đường  = 9 −  và đường thẳng  = 1. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 61 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 62 7. NGUYÊN HÀM 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 63 Định nghĩa 6. Nguyên hàm - antiderivative Hàm số ^ được gọi là nguyên hàm của
trên khoảng _ nếu ^  =
 , ∀ ∈ _. Tìm một nguyên hàm cho các hàm số cos  2 1 + 2-# Định lý 7. Nếu ^ là một nguyên hàm của
thì nguyên hàm tổng quát của
có dạng ^  + + với + là hằng số. Ví dụ 10 a) Tìm nguyên hàm ^ của
 = 3 biết ^ 1 = −1. b) Tìm nguyên hàm của
 = F. c) Tìm nguyên hàm của
 = #. d) Tìm nguyên hàm của
 = sin #. e) Tìm nguyên hàm của
 = -*9#. f) Tìm nguyên hàm của
 = 2#. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 64 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 65 Bảng các nguyên hàm 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 66 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 67 • Từ các tính chất của đạo hàm, dễ dàng suy ra các tính chất sau đây của nguyên hàm. 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 68 Ví dụ 11. a) Tìm nguyên hàm của
 = 9# + sin 2. b) Tìm nguyên hàm của
 = `ab cd . 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 69 Tích phân bất định 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 70 Định nghĩa 7. Tích phân bất định – indefinite integral. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của
được gọi là tích phân bất định và ký hiệu là e
 ! Ví dụ 12. Tính các tích phân bất định. ) e 9 − 2 + 1 ! ) e   +  ! ') e 21 −  − 1  c ! !) e 2 cos 2 − 3 sin 3 ! -) e -9# + 5-*# ! 24/08/2015 Đạo hàm và ứng dụng 71