Toán học - Chương 1: Biến cố và xác suất của biến cố

 BÀI GIẢNG TUẦN 2  NỘI DUNG CHÍNH: Các quy tắc tính xác suất Chương 1 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ --------------------------------------------------------------------------------- §4 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT TIẾP d) Xác suất có điều kiện Có những biến cố mà sự xảy ra của chúng có ảnh hưởng nhau. Ví dụ Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 3 con. Tính xác suất để gia đình này có hai con trai trong mỗi trường hợp sau: i) Nếu không biết số con gái của gia đình này; ii) Nếu được thông báo gia đình này có đứa con cả là con gái. Giải = {TTT, TTG, TGT, GTT, TGG, GTG, GGT, GGG}, “Gia đình đó có đứa con cả là con gái” {GTT, GTG, GGT, GGG}. “Gia đình đó có 2 con trai” {TTG, TGT, GTT}, P(B) = 3/8. Nếu biết rằng đã xảy ra thì không gian mẫu bây giờ thu hẹp lại chỉ còn là {GTT, GTG, GGT, GGG} = . Còn tập hợp các kết quả thuận lợi cho là {GTT} = . Vậy đáp số của ii) bằng .  Trong bài toán này ta thấy rằng khả năng để gia đình đó có hai con trai phụ thuộc vào việc biết biến cố đã xảy ra hay chưa. Điều này dẫn tới khái niệm xác suất có điều kiện. Nhưng nên định nghĩa xác suất có điều kiện như thế nào ? Xem lại lời giải của ii) ta có Nhận xét này dẫn ta đến định nghĩa xác suất có điều kiện như sau Nếu P(A)>0 thì xác suất có điều kiện của B khi A đã xảy ra, ký hiệu là được cho bởi . Chú ý Xác suất có điều kiện có thể tính trực tiếp từ bối cảnh bài toán mà không cần thông qua công thức trên. Ví dụ Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số nốt trên 2 con là 7, biết rằng có ít nhất một con ra mặt 5. Giải Cách 1 Không gian mẫu thu gọn bao gồm 11 kết quả có ít nhất một con ra mặt 5 là: với và với . Trong tập này có 2 trường hợp mà tổng bằng 7. . Cách 2 A = “Ít nhất một con ra 5”, B = “Tổng số chấm trên hai con bằng 7”. | | = 6 2 , . .  e) Quy tắc nhân xác suất Từ Định nghĩa Xác suất có điều kiện của B khi A (P(A) > 0) đã xảy ra: , ta suy ra Quy tắc nhân xác suất Nếu , thì Mở rộng công thức cho n biến cố, ta có Quy tắc nhân xác suất tổng quát Nếu (n>1), thì Chứng minh Từ ta có . Vì vậy, theo công thức tính xác suất có điều kiện: .. . Nhân hai vế với ta có Công thức nhân xác suất tổng quát.  Ví dụ Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Rút ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm theo kiểu mỗi lần rút không hoàn lại và kiểm tra. Nếu tất cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô hàng được nhận. Tìm xác suất để lô hàng này được nhận. Giải H = “Lô hàng được nhận”, = “Sản phẩm rút ở lần thứ i là tốt”, 0,6516.  f) Các biến cố độc lập Hai biến cố A và B liên quan đến một phép thử được gọi là độc lập nếu . Bản chất của tính độc lập: Khi , thì . Như vậy, việc xảy ra của biến cố A không làm thay đổi xác suất của biến cố B. Chú ý Nếu A và B độc lập thì hai biến cố trong mỗi cặp sau cũng độc lập : A và ; và B; và . Định nghĩa Các biến cố A1, A2, , An liên quan đến phép thử được gọi là độc lập toàn phần nếu chúng độc lập với nhau từng đôi và mỗi biến cố độc lập với tích của một số tùy ý các biến cố còn lại. Nhận xét Nếu các biến cố độc lập toàn phần thì Ví dụ Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Rút ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm theo kiểu mỗi lần rút thì kiểm tra xong và hoàn lại. Nếu tất cả 4 sản phẩm này đều tốt thì lô hàng được nhận. Tìm xác suất để lô hàng này được nhận. Giải H = “lô hàng được nhận”, = “sản phẩm rút ở lần thứ i là tốt”, (i = 1, 2, 3, 4) độc lập toàn phần và nên .  Chú ý A1, A2, , An độc lập toàn phần độc lập từng đôi một. Nhưng điều ngược lại có thể không đúng. Ví dụ Gieo một khối tứ diện đều có mặt thứ nhất sơn đỏ, mặt thứ hai sơn xanh, mặt thứ ba sơn vàng, mặt thứ tư sơn 3 màu: đỏ, xanh, vàng. Ký hiệu Đ, X, V tương ứng là biến cố xuất hiện mặt có màu đỏ, xanh, vàng. P(Đ) = P(X) = P(V) = . P(ĐX) = P(VX) = P(XV) = = P(ĐV) =P(XĐ) = P(VĐ) = Đ, X, V độc lập từng đôi. P(ĐXV) = P(Đ)P(X)P(V) Đ, X, V không độc lập toàn phần. 