Toán học - Bài 7: Dạng toàn phương

Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn CHƯƠNG 4 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương 2 '' 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 ( , ) ( , ) 2 "( , ) "( , ) 2 xx xy yyd f x y f x y dx f x y dxdy f x y dy Adx Bdxdy Cdy        Khi tìm cực trị của hàm 2 biến bài toán sẽ dẫn đến việc xác định dấu của vi phân cấp 2 của hàm f, nghĩa là ta cần xác định dấu của:  Khi xét hàm 3 biến thì ta cần xác định dấu của vi phân cấp 2: 2 2 2 2 11 12 13 22 23 332 2 2d f a dx a dxdy a dxdz a dy a dydz a dz      Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Tổng quát cho hàm nhiều biến thì việc tìm dấu của vi phân cấp 2 không đơn giản, do vậy “Dạng toàn phương” là một lý thuyết hổ trợ cho việc tìm dấu của vi phân cấp 2 của hàm nhiều biến. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Định nghĩa: Cho V là không gian vector n chiều trên R, hàm xác định như sau: với mỗi :V R  1 2( , ,..., )nx x x x V  Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 33 3 3 3 2 ( ) 2 2 ... 2 2 ... 2 ... 2 .................... n n n n n n nn n x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x               được gọi là dạng toàn phương trên V. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Cho dạng toàn phương: 3 1 2 3 2 1 1 2 1 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 : , ( , , ) ( ) 2 4 6 2 8 2 4 6 2 8 R R x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                 11a 122a 132a 22a 232a 33a Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Định nghĩa: Cho dạng toàn phương 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 33 3 3 3 2 ( ) 2 2 ... 2 2 ... 2 ... 2 .................... n n n n n n nn n x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x               khi đó, ma trận sau: Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Gọi là ma trận của dạng toàn phương 11 12 1 12 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a               Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Cho dạng toàn phương 3 1 2 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 3 3 : , ( , , ) ( ) 2 4 6 2 8 R R x x x x x x x x x x x x x x            Khi đó, ma trận của dạng toàn phương là: 2 2 3 2 1 1 3 1 8 A          Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau: 2 2 2 1 2 3 1 1 2 2 2 3 3( , , ) 6 3 4 5x x x x x x x x x x      1 3 0 3 3 2 0 2 5 A          Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Bài tập: Tìm ma trận của dạng toàn phương sau: 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 3 7 3 8 10 8x x x x x x x x x x       3 4 5 4 7 4 5 4 3 A            Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Cho dạng toàn phương có ma trận: 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 4 5 4 6 2x x x x x x x x x x       1 2 3 2 4 1 3 1 5 A           Khi đó, dạng toàn phương tương ứng là: Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương Nhận xét:  Xác định dấu của các dạng toàn phương sau: .35)( .432)( .523)( .8262)( 2 3 2 2 2 14 2 3 2 2 2 13 2 3 2 2 2 12 323121 2 3 2 2 2 11 xxxx xxxx xxxx xxxxxxxxxx         Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Dạng chính tắc của dạng toàn phương  Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận chéo               nna a a 000 ............ 0...0 0...0 22 11 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương ....)( 22222 2 111 nnnxaxaxax  Hay  Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng toàn phương. Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc  Phương pháp Lagrange (xem tài liệu)  Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 10 2 4 8x x x x x x x x x x       Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 a b a ab b a b ab a b a ab b a b ab               2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) 2 2 2 a b c a b c ab ac bc a b c a b c ab ac bc                 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 2 3 3 ( ) 2 10 2 4 8 ( 2 ) 6 4 ( 2 ) ( 2 ) 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                    1 1 2 3 2 2 3 3 3 2 2 y x x x y x x y x       2 2 2 1 2 3( ) 2y y y y     Đặt Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc: 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 6 13 4 6 2x x x x x x x x x x       2 1( )x 22x 33x 2 22x 2 34x 2 310x x 2 2 2 1 2 3 2 3 2 3( 2 3 ) 2[ 2 5 ]x x x x x x x      2 2 1 2 3 2( 2 3 ) 2[( ) ]x x x x    3 5 2 x 23 17 4 x 2 2 2 1 2 3 2 3 3 5 17 ( 2 3 ) 2( ) 2 2 x x x x x x      2 2 2 1 2 3 17 2 2 y y y   Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Ví dụ: Đưa DT phương sau về dạng chính tắc: 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 4 4 2x x x x x x x x x x       2 1( )x 22x 3x 2 35x x 1 1 2 3 2 3 3 2 2 3 2 , 2 2 y x x x x x x x y y        2 2 2 1 2 3( ) 5 5y y y y    Đặt Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange: 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 5 10 4 8 2x x x x x x x x x x       2 1 )(x Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc  Phương pháp Jacobi (xem tài liệu)  Ví dụ: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 2 4 6x x x x x x x x x x                     132 331 212 A Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương               132 331 212 A ,2111  aD0 1,D  11 12 2 21 22 2 1 5, 1 3 a a D a a     Đặt 11 12 13 3 21 22 23 31 32 33 2 1 2 1 3 3 35, 2 3 1 a a a D a a a a a a          Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Nếu thì dạng toàn phương có dạng chính tắc là: 2 2 20 1 2 1 2 3 1 2 3 ( ) D D D y y y y D D D     2 2 2 1 2 3 2 5 35 ( ) 1 2 5 y y y y     ,...2,1,0  iDi Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn §7: Dạng Toàn phương  Bài tập: Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Jacobi: 2 2 2 1 2 3 1 2 1 3 2 3( ) 2 3 4 2 8x x x x x x x x x x                      341 422 121 A