Tên đề tài : Toán đại cương
CÁC BÀI TẬP
I. QUAN HỆ CHIA HẾT:
1. BÀI 1:
Chứng minh rằng trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.
Giải
Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1
Lấy a chia cho 2 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 2.
+ Với r = 0 thì a = 2.q (2
+ Với r = 1 thì a + 1 = 2.q + 1 + 1 = 2.q + 2 = 2( q + 1) ( 2
Vậy trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2.
2. BÀI 2:
Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.
Giải
Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2
Lấy a chia cho 3 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 3.
+ Với r = 0 thì a = 3.q ( 3
+ Với r = 1 thì a = 3.q + 1 . Khi đó : a + 2 = 3.q + 3 (3
+ Với r = 2 thì a = 3.q + 2 . Khi đó a + 1 = 3.q + 3 (3
Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.
3. BÀI 3:
Chứng minh rằng trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.
Giải
Gọi n số tự nhiên liên tiếp là : a, a +1 , a +2 a( n-1)
Lấy a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0 ≤ r < n.
+ Với r = 0 thì a = n.q ( n
+ Với r = 1 thì a = n.q + 1 ( n . Khi đó : a+ (n-1) = n.q + 1 + (n-1) = n.q + n ( n
+ Với r = 2 thì a = n.q + 2 ( n. Khi đó a + (n-2) = n.q + 2 + (n+-2) = n.q + n ( n
+ Với r = n-1 thì a = n.q + n - 1 (n . Khi đó a + 1 = n.q + n-1 +1= n.q + n ( n
Vậy trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.
*Một số phương pháp chứng minh chia hết
4. BÀI 4
Tính chất 8:
CMR tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 6
Giải
Giả sử ta gọi ba số tự nhiên liên tiếp là: a, a+1, a + 2
Theo đề bài : A = a( a +1) ( a + 2) ( 6
Ta có : 6 = 3x2 mà ( 3, 2) =1
- A ( 2 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 2
- A ( 3 vì trong A số tự nhiên liên tiếp có một số tự nhiên chia hết cho 3
Vậy A ( 6
5. BÀI 5
CMR tích của ba số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Giải
Giả sử hai số tự nhiên chẵn liên tiếp là: 2k , 2k + 2.
Theo đề bài chứng minh, B = 2k.( 2k + 2) ( 8 hay B = 4k ( k + 1)
Ta có 4 ( 4 và k+1 ( 2 vì trong B có một số chia hết cho 2
Vậy B ( 8
6. BÀI 6
VD : CMR: 11 a + a ( 6 ( a ( N
Giải
Ta có: 11 a + a = 12 a - a + a
= 12 a - ( a - a)
= 12 a - a( a - 1)
= 12 a - a ( a- 1) ( a+ 1)
12 a ( 6
A = a ( a -1 ) ( a + 1)
Nếu a = 0 ( A = a( a-1)(a+1) = 0 ( 6
Nếu a > 0 ( A = a (a-1)( a+1)
16 trang |
Chia sẻ: aloso | Lượt xem: 4053 | Lượt tải: 2
Bạn đang xem nội dung tài liệu Toán đại cương, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
CÁC BÀI TẬP
I. QUAN HỆ CHIA HẾT:
1. BÀI 1:
Chứng minh rằng trong hai số tự nhiờn liờn tiếp cú một số chia hết cho 2.
Giải
Gọi hai số tự nhiờn liờn tiếp là : a, a +1
Lấy a chia cho 2 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 2.
+ Với r = 0 thỡ a = 2.q +2
+ Với r = 1 thỡ a + 1 = 2.q + 1 + 1 = 2.q + 2 = 2( q + 1) + 2
Vậy trong hai số tự nhiờn liờn tiếp cú một số chia hết cho 2.
2. BÀI 2:
Chứng minh rằng trong ba số tự nhiờn liờn tiếp cú một số chia hết cho 3.
Giải
Gọi ba số tự nhiờn liờn tiếp là : a, a +1 , a +2
Lấy a chia cho 3 ta được: a = 2.q + r với 0 ≤ r < 3.
+ Với r = 0 thỡ a = 3.q + 3
+ Với r = 1 thỡ a = 3.q + 1 . Khi đú : a + 2 = 3.q + 3 +3
+ Với r = 2 thỡ a = 3.q + 2 . Khi đú a + 1 = 3.q + 3 +3
Vậy trong ba số tự nhiờn liờn tiếp cú một số chia hết cho 3.
3. BÀI 3:
Chứng minh rằng trong n số tự nhiờn liờn tiếp cú một số chia hết cho n.
Giải
Gọi n số tự nhiờn liờn tiếp là : a, a +1 , a +2 …a( n-1)
Lấy a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0 ≤ r < n.
+ Với r = 0 thỡ a = n.q + n
+ Với r = 1 thỡ a = n.q + 1 , n . Khi đú : a+ (n-1) = n.q + 1 + (n-1) = n.q + n + n
+ Với r = 2 thỡ a = n.q + 2 , n. Khi đú a + (n-2) = n.q + 2 + (n+-2) = n.q + n + n
+ Với r = n-1 thỡ a = n.q + n - 1 ,n . Khi đú a + 1 = n.q + n-1 +1= n.q + n + n
Vậy trong n số tự nhiờn liờn tiếp cú một số chia hết cho n.
*Một số phương phỏp chứng minh chia hết
4. BÀI 4
Tớnh chất 8:
CMR tớch của ba số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 6
Giải
Giả sử ta gọi ba số tự nhiờn liờn tiếp là: a, a+1, a + 2
Theo đề bài : A = a( a +1) ( a + 2) + 6
Ta cú : 6 = 3x2 mà ( 3, 2) =1
- A + 2 vỡ trong A số tự nhiờn liờn tiếp cú một số tự nhiờn chia hết cho 2
- A + 3 vỡ trong A số tự nhiờn liờn tiếp cú một số tự nhiờn chia hết cho 3
Vậy A + 6
5. BÀI 5
CMR tớch của ba số chẵn liờn tiếp chia hết cho 8
Giải
Giả sử hai số tự nhiờn chẵn liờn tiếp là: 2k , 2k + 2.
Theo đề bài chứng minh, B = 2k.( 2k + 2) + 8 hay B = 4k ( k + 1)
Ta cú 4 + 4 và k+1 + 2 vỡ trong B cú một số chia hết cho 2
Vậy B + 8
6. BÀI 6
VD : CMR: 11 a + a + 6 " a ẻ N
Giải
Ta cú: 11 a + a = 12 a - a + a
= 12 a - ( a - a)
= 12 a - a( a - 1)
= 12 a - a ( a- 1) ( a+ 1)
12 a + 6
A = a ( a -1 ) ( a + 1)
Nếu a = 0 đ A = a( a-1)(a+1) = 0 + 6
Nếu a > 0 đ A = a (a-1)( a+1) + 6 vỡ trong A cú một số tự nhiờn chia hết cho 6
Vậy : 11 a + a + 6
Bài 7
Dựng quy nạp CMR tổng cỏc lũy thừa bậc ba của ba số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 9.
Giải
Tổng cỏc lũy thừa bậc 3 của 3 số tự nhiờn liờn tiếp cú dạng: (n-1) + n + (n+1) + 9
Ta cú : (n-1) + n + (n+1) = n - 3n +3n-1+ n + n +3n +3n +1
= 3n + 6n + 9
Giả sử: n = 1, ta cú: 3.1 +6.1 = 9 + 9
Giả sử n = k , ta cú: 3k +6.k + 9
Ta chứng minh: n = k+1 , ta cú: 3(k+1)+6(k+1) = 3(k +3k +3k+1)+6k+6
= 3k +9k +9k+3+6k+6
= 3k +6k + 9k +9k+9
Mà 3k +6k + 9 và 9k +9k+9 + 9
Vậy: 3n + 6n + 9
Theo nguyờn lý quy nạp thỡ (n-1) + n + (n+1) + 9
Bài 8: : CMR " a ẻ N ta cú :
a( a+1) ( 2a + 1) + 6
Giải
a(a+1)( 2a+ 1) + 6
Ta cú: a(a+1)( 2a+ 1) = a(a+1)( a -1 + a+ 2) = a(a+1)(a-1) + a(a+1)( a+2)
Nếu a = 0 thỡ a(a+1)(2a+1) = 0 + 6
Nếu a > 0 thỡ a( a+1) (a-1) + 6 vỡ tớch 3 số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 6
a( a+1)( a+2) + 6 vỡ tớch 3 số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 6
Do đú : a(a+1( 2a+1) + 6 " a ẻ N
Bài 9 CMR " a ẻ N ta cú :
a - a + 30
Giải
Ta cú: a ≡ a (mod 5)
a -a ≡ a - a (mod 5)
a - a ≡ 0 (mod 5)
Vậy a - a + 30
Cỏch 2:
a - a = a( a -1) = a[(a) - 1 ]
= a(a -1)(a +1)
= a(a-1)(a+1)(a -4+5)
= a(a-1)(a+1)[(a -2)(a+2)+5]
= a(a- 1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)
Nếu a=0 thỡ a - a = 0 + 30
Nếu a>0 thỡ a(a- 1)(a+1)(a-2)(a+2) + 30 vỡ tớch năm số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 30, ( 5,6)=1
Và : 5a(a-1)(a+1) + 30 vỡ tớch của ba số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 6
Vậy a - a + 30
Bài 10 CMR " a ẻ N ta cú :
2a ( a - 16) + 30
Giải
Ta cú: 2a ( a - 16) = 2a( a+4)(a -4)
= 2a( 5+ a -1)( a-2)(a+2)
= 2a[5+(a-1)(a+1)](a-2)(a+2)
= 10a (a-2)(a+2) + 2a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1)
Nếu a=0 thỡ 2a( 5+ a -1)( a-2)(a+2) + 30
Nếu a>0 thỡ 10a (a-2)(a+2) + 30 vỡ tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 30
2a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1) + 30 vỡ tớch năm số tự nhiờn liờn tiếp chia hết cho 6.
Vậy : 2a ( a - 16) + 30
Bài 11: Chứng minh rằng:
a(a+2) + 8 , với a là số chẵn , a ẻ N
Giải
Vỡ a chẵn nờn a = 2k ; k ẻ N
Ta cú: a(a+2) = 2k(2k+2) = 4k(k+1)
+ Nếu k chẵn ị 4k + 8
+ Nếu k lẻ ị k+1 là số chẵn
+ Nếu k lẻ ị 4k(k+1)+ 8
Vậy a(a+2) + 8 , với a là số chẵn , a ẻ N
Bài 12 CMR: n +11n + 3 "n
Giải
Ta cú: n (n -1 +12) = n(n -1) + 12n
= n(n -1)(n+1) +12n + 3
Vỡ n(n-1)(n+1) là tớch ba số tụe nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 3.
Vậy: n +11n + 3 "n.
Bài 13: CMR : với bất kỳ n ta cú : n - n + 3
Giải
Ta cú : n(n -1) = n(n-1)(n+1) + 3 ( vỡ tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 3)
Vậy: n - n + 3 " n.
Bài 14 CMR : [(a +a)(2a+1)] + 6 " a ẻ N
Giải
Ta cú: (a +a)(2a+1) = a(a+1)[(a-1)+(a+2)]
= [a(a+1)(a-1)+a(a+1)(a+2)] + 6
Vỡ a(a+1)(a-1) và a(a+1)(a+2) là tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 6.
Vậy: [(a +a)(2a+1)] + 6 " a ẻ N.
Bài 15 CMR: [a(a -2)+13a]+ 6 " a ẻ N.
Giải
Ta cú: a(a -2)+13a = a(a - 1- 1)+13a
= a(a -1) - a+13a
= a(a -)(a+1) +12a
Vỡ a(a -)(a+1) +12a là tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 6.
Vậy: [a(a -2)+13a]+ 6 " a ẻ N.
Bài 16 CMR : [m(m +5) + 6 " mẻ N
Giải
Ta cú: m(m +5) = m( m - 1+6)
= m(m-1)(m+1) +6m
Vỡ m(m-1)(m+1) +6m là tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 6.
Vậy: [m(m +5) + 6 " mẻ N
Bài 17 CMR: ( a +b ) + 6 Û (a+b) + 6 với a,b ẻ N và a,b ³ 1.
Giải
Xột (a +b )-(a+b) = a +b - a-b
= a - a + b - b = a( a - 1) + b (b -1)
= a(a-1)(a+1) + b(b-1)(b+1)
Vỡ a(a+1)(a-1) và b(b+1)(b-1) là tớch ba số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 6.
Vậy: ( a +b ) + 6 Û (a+b) + 6 với a,b ẻ N và a,b ³ 1.
*DÙNG QUY TẮC KẫO THEO:
VD : CMR trong ba số tự nhiờn bất kỳ cú hiệu hai số chia hết cho 2
Giải
Giả sử cú ba số tự nhiờn bất kỳ là: a,b,c
Lấy a,b,c chia cho 2 ta được : a = 2.q + r với 0 Ê r < 2
b = 2.q + r với 0 Ê r < 2
c = 2.q + r với 0 Ê r < 2
Ta nhận thấy : r , r , r đều nhận hai giỏ trị là 0 và1. Theo nguyờn tắc ngăn kộo thỡ số cú 2 số nhận cựng một giỏ trị . Giả sử r = r = 1 . Khi đú : a - b = 2.q - 2.q + 2 (đpcm) .
VD : CMR trong bốn số tự nhiờn bất kỳ cú hiệu hai số chia hết cho 3 (Tự giải)
VD : CMR trong n+1 số tự nhiờn bất kỳ cú hiệu hai số cia hết cho n.
Giải
Giả sử n+1 số tự nhiờn bất kỳ là: a , a , a …..a .
Lấy a , a , a …..a chia cho n ta được: a = n.q + r với 0Ê r < n
a = n.q + r với 0Ê r < n
.
.
a = n. q + r với 0 Ê r <n
Ta nhận thấy r , r ….r nhận n giỏ trị {0,1…n+1} theo nguyờn tắc kộo theo thỡ số cú hai số nhận cựng giỏ trị. Giả sử r = r = n-3. Khi đú :
a - a = n.q - n.q + n (đpcm)
* DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC :
a - b + a-b ; a + b + a+b với n lẻ
------------------------------------------------
II. ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT
1. BÀI 1( Tớnh chất 5)
Dựng thuật toỏn Ơclit tỡm ( 895, 195)
Giải
Ta cú:
895 = 195. 4 + 115
195 = 115. 1 + 80
115 = 80. 1 + 35
80 = 35. 2 + 10
35 = 10. 3 + 5
10 = 5.2 + 0
Vậy ( 895, 195) = 5
2. BÀI 2
Tỡm tất cả cỏc cặp số tự nhiờn a, b thừa món điều kiện sau:
a + b = 432 và ( a, b) = 36
giải
-Vỡ vai trũ của a và b như nhau nờn ta giả sử a ≥ b.
- Vỡ ( a, b) = 36 . Theo tớnh chất 5. Ta cú:
= 1
Đặt a = và b = . Khi đú (a ,b) = 1 (1)
a ≥ b (2)
a + b = + = (a+b) = =12 (3)
Từ (1), (2) và (3) ta chọn:
ị
và
ị
Vậy cú cỏc cặp ( 346,36) và (252,180) thừa món điều kiện đề bài
BÀI 3
Tỡm tất cả cỏc cặp số tự nhiờn a, b thừa món điều kiện sau:
a x b = 2700 và (a, b) = 6
giải
-Vỡ vai trũ của a và b như nhau nờn ta giả sử a ≥ b.
- Vỡ ( a, b) = 6 . Theo tớnh chất 5. Ta cú:
= 1
Đặt a = và b = . Khi đú ( a ,b ) = 1 (1)
a ≥ b (2)
a x b = x = a x b = = 75 ( 3)
Từ (1), (2) và (3) ta chọn:
ị
và
ị
Vậy cú cỏc cặp ( 450, 6) và (90, 30) thừa món điều kiện đề bài.
CÁC BÀI TOÁN LIấN QUAN VỀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT
Áp dụng tớnh chất 5:
Bài 1 : Tỡm cỏc cặp số tự nhiờn a, b thừa món điều kiện sau:
a x b = 360 , [a,b] = 60
Giải
Vỡ vai trũ của a ,b như nhau , ta giả sử a ³ b
Vỡ [a,b]= 60 . Theo tớnh chất 5 ị = 1
Đặt a = , b = . Khi đú :
( a, ) = 1 (1)
a Ê b (2)
a x b = x = = 10 ( 3)
Từ (1) , (2). Ta chọn:
ị
và
ị
Vậy cú cỏc cặp (60; 10) và (30 ; 12)
Bài 2: Tỡm cỏc cặp số tự nhiờn a, b thừa món điều kiện sau:
( a,b) = 15 và [a,b] = 2835
Giải
Vỡ vai trũ của a ,b như nhau , ta giả sử a Ê b
Vỡ (a,b) = 15 . Theo tớnh chất 5 ị = 1
Đặt a = , b = . Khi đú :
( a , ) = 1 (1)
a Ê b (2)
a x b = x = [a.b] = = 189 ( 3)
Từ (1) , (2) và (3) Ta chọn:
ị
và
ị
Vậy cú cỏc cặp (15; 2835) và (105 ; 405)
Bài 3:
Cho n ẻ N , n ≠ 0 , n ≠ 1
Tớnh : a/ ( n, n+1) , [n, n+1]
b/ ( n, 2n + 1) ,[ n, 2n +1]
,Giải
a/ Ta cú: n+1 = n.1+1
( n, n+1) = (n,1) = 1
Khi đú: [ n, n+1 ] = n(n+1)
b/ Ta cú : 2n +1 = n.2 +1
(n, 2n+1) = ( n,n) = 1
[ n, 2n+1] = n( 2n+1)
Bài 4Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất khỏc 2 để khi chia số đú cho 3, 5,7,10 đều cú số dư là 2.
Giải
Giả sử số tự nhiờn cần tỡm là : a , theo đề bài ta cú:
a - 2 + 3 , a - 2 + 5, a - 2 + 7, a - 2 + 10
hay a - 2 = [ 3, 5,7,10]k ( k ẻ N)
a - 2 = 210. k
vỡ a nhỏ nhất khỏc 2 nờn k = 1 hay a - 2 = 210.1 = 210 + 2 = 212
Bài 5 :
Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất biết rằng chia số đú cho 3 dư 2, chia 5 dư 4 , 7 dư 6, chia 10 dư 9.
Giải
Giả sử số tự nhiờn nhỏ nhất là : a, theo đề bài ta cú:
a + 1 + 3; a + 1 + 5 ; a + 1 + 7; a + 1 + 10
hay a +1 = [ 3, 5,7,10]k ( k ẻ N)
a +1 = 210. k
vỡ a nhỏ nhất khỏc 2 nờn k = 1 hay a +1 = 210.1 = 210 - 1 = 209.
Bài 6
Tỡm hai số tự nhiờn biết rằng tổng của chỳng bằng 84 và UCLN của chỳng là 6.
Giải
Gọi 2 số phải tỡm là : a, b ( b>a)
Theo đố bài ta cú: a + b = 84 và UCLN(a,b) = 6
Suy ra: a=6.k, b= 6.l (k,l ẻ N) và UCLN(k,l)=1 ị a+b=6.k+6.l=6(k+l) = 84
ị (k+l)= 14.
Do đú:
k
7
a
b
1
13
6
75
3
11
18
66
5
9
30
54
Vậy cú cỏc cặp số (6,78), (18, 66), (30,54).
* MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRèNH Vễ ĐỊNH BẬC NHẤT HAI ẨN:
VD :
Trăm trõu trăm cỏ
Trõu đứng ăn năm
Trõu nằm ăn ba
Lụ khụ trõu già
Ba con một bú
Hỏi bao nhiờu trõu đứng, trõu nằm , trõu già?
Giải
Gọi x là số trõu đứng x > 0
Gọi y là số trõu nằm y >0
Trõu già là: 100 - ( x+y)
Theo đề bài ta cú phương trỡnh:
5x + 3y + = 100
14x + 8y = 200
7x + 4y = 100 (1)
Phương trỡnh (1) cú một nghiệm riờng ( 0; 25) nờn nghiệm của (1) là:
t ẻ Z
vỡ x>0, y>0 nờn 0< A Ê 3
A
Trõu đứng
Trõu nằm
Trõu già
1
4
18
78
2
8
11
81
3
12
4
84
VD :
32x - 48y = 112 (1)
3x = 112+ 48y
x = = y + 3 +
Đặt = t ị 16y +16 = 32t
ị y = = 2t -1.
Vậy (1) cú nghiệm là:
t ẻ Z
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYấN TỐ
Bài 1
Tỡm số cỏc ước của một số tự nhiờn, chẳng hạn: 30 , 1960
Giải
30 = 2.3.5
Ta cú cụng thức chung tỡm là: F(a)= (x + 1)(x + 1)……..(x +1)
Cụ thể: F(30)= (1+1)(1+1)(1+1)= 2 = 8 đ cú 8 ước
1960 = 2 .5.7 . Ta cú: F(1960)= (3+1)(1+1)(2+1)= 4.2.3= 24 đ cú 24 ước
Bài 2
Tỡm UCLN và BCNN của hai số
VD: ( 62,35) , [62,35]
Giải
62= 2.31 = 2. 5 . 7 .31
35= 5.7 = 2 . 5. 7. 31
(62,35)= 2 . 5 .7 . 31 =1
[62,35] = 2 . 5 . 7 . 31 = 62.35 = 2170.
CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỐNG GHI SỐ
VD : 3975
Ta cú: 3975= 8.496 + 7
496= 8. 96 + 0
62= 8.7 +6
7 = 8. 0+7
Vậy : (3975) = (7607)
(7607) = 7. 8 .6. 8 . 0.8. 7. 8 = 3975.
VD : (3456) sang hệ cơ số 8
Ta cú: (3456) = 3. 7 .4.7 .5.7.6.7 = 1029+ 196+35+6= 1266
(1266) = 8.158 +2
158= 8.19+6
19= 8.2+3
2= 8.0+2
Vậy: (3456) = (2362) .
CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG DƯ THỨC
VD :
Hóy chứng minh đồng dư theo mod m là quan hệ tương đương trong tập số nguyờn
Giải
- Tớnh phản xạ:
"a ẻ Z, ta cú: a ≡ a (mod m)
Thật vậy: vỡ a-a=0 + m hay a ≡ a (mod m)
- Tớnh đối xứng:
"a, b ẻ Z, nếu a ≡ b(mod m), ta cần chứng minh b ≡ a (mod m)
Thật vậy: vỡ a ≡ b(mod m) ị a-b + m ị b-a + m ( vỡ a,b ẻ Z)
Hay b ≡ a (mod m).
- Tớnh bắc cầu:
"a, b, c ẻ Z nếu a ≡ b(mod m) và b ≡ c(mod m) ta cần chứng minh a ≡ c (mod m)
Thậy vậy: vỡ a ≡ b(mod m) ị a-b + m (1)
Vỡ b ≡ c(mod m) ị b-c + m (2)
Lấy (1) cộng (2) ta được: a- b+b-c + m hay a-c + m
Do đú : a ≡ c (mod m)
Vậy cú quan hệ tương đương.
VD :
Tỡm số dư trong phộp chia cú dư : 2945 -3 chia cho 9.
Giải
Ta cú : 2945 = 9. 327+ 2
Nờn 2945= 2 (mod 9)
Do đú : (2945 ) - 3 ≡ 2 - 3 (mod 9) (1)
Mà 2 -3 = 29= 9.3+2
Hay 2 - 3 ≡ 2 (mod 9) (2)
Khi đú 2945 -3 ≡ 2 (mod 9)
Vậy số dư trong phộp chia 2945 -3 chia 9 là 2 .
VD
Tỡm số dư trong phộp chia cú dư : 1532 - 1 chia cho 9.
VD :
( 1997 + 1998 + 1999 ) chia cho 111
Giải
Ta cú: 1997= 111.18+(-1) hay 1997 ≡ -1 (mod 111)
1998= 111. 18 +0 hay 1998 ≡ 0 (mod 111)
1999 = 111. 18+ 1 hay 1999 ≡ 1(mod 111)
Khi đú: ( 1997 + 1998 + 1999 ) = (mod 111)
Hay ( 1997 + 1998 + 1999 ) = 2 (mod 111)
Mà 2 = 1024 = 111.9 +25
Nờn ( 1997 + 1998 + 1999 ) = 25 (mod 111)
Vậy số dư là 25.
VD
Chứng minh rằng: 3 - 3 chia hết cho 13
Giải
Ta cú : 3 = 27 = 13.3 +1 hay 3 ≡ 1 (mod 13)
Mà 3 = 3 = 3. 3 ≡ 3 (mod 13) vỡ 3. 3 ≡ 3 (mod 13)
Suy ra : 3 - 3 ≡ 3-3 (mod 13) hay 3 -3 ≡ 0 (mod 13)
Vậy 3 - 3 chia hết cho 13.
CÁC BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG
VD :
R = { (a,b) ẻ NxN / a cú cựng chữ số hàng đơn vị với b} Í N
Giải
a R b Û a cú cựng cú cựng chữ số hàng đơn vị với b.
- Tớnh phản xạ:
" a ẻ N ta cú a cú cựng chữ số hàng đơn vị với a hay a R a
- Tớnh đối xứng:
" a, b ẻ N giả sử a R b nghĩa là a cú cựng chữ số hàng đơn vị với b ị b cú cựng chữ số hàng đơn vị với a hay b R a. Do đú R cú tớnh đối xứng.
- Tớnh bắc cầu :
" a, b , c ẻ N giả sử a R b và b R c nghĩa là a cú cựng chữ số hàng đơn vị với b và b cú cựng chữ số hàng đơn vị với b thỡ a cú cựng chữ số hàng đơn ị với c hay a R c. Do đú R cú tớnh bắc cầu
Vậy R là quan hệ tương đương.
VD :
Ký hiệu X là tập hợp cỏc điểm trờn mặt phẳng và 0 ẻ X cố định. Trờn X xột quan hệ M S N Û OM=ON
Giải
- Tớnh phản xạ:
" M ẻ X ta luụn cú OM=OM hay M S M.
- Tớnh đối xứng:
" M, N ẻ X giả sử M S N nghĩa là OM=ON hay ON =OM.
Vậy : M S N . Cú tớnh đối xứng
- Tớnh bắc cầu:
" M, N, P ẻ X giả sử M S N và N S P nghĩa là OM = ON và ON = OP ị OM=OP hay M S P.
Do đú S cú tớnh bắc cầu.
Vậy S là quan hệ tương đương.
CÁC BÀI TOÁN VỀ ÁNH XẠ
VD :
A = { 1,2,3} , B= { a, b, c}
F : A ếB f : A ếB f : A ếB
1 a a 1 a a 1 a b
2 a b 2 a b 2 a a
3 a c 3 a b 3 a c
F là 1ỏnh xạ f là 1 ỏnh xạ 2 a b
f khụng phải a/ xạ vỡ 1ptử 2cú 2 ảnh.
* CÁC BÀI TOÁN VỀ CHÚNG QUY NẠP
Bài 1
Dựng quy nạp chứng minh rằng:
1 + 3 + 5 +…….+ (2n -1) = n ( n ≥ 1, n ẻ N)
Áp dụng tớnh tổng sau: A =1 + 3 + 5 + …..+ 1999
Giải
Đặt S = 1 + 3 + 5 +…….+ (2n -1) = n
Ta cú : S = (2.1-1)=1 = 1 - đỳng .
Giả sử đỳng với n= k tức là S = k . Ta cần chứng minh đỳng với n= k +1 tức là chứng minh
S = (k + 1) .
Thật vậy: S = 1 + 3 + 5+ ….(2k - 1) + 2( k+1)- 1
= S + 2k+1
= k + 2k +1 = (k +1)
Vậy S = n ( n ≥ 1, n ẻ N)
Áp dụng , ta cú: 2n - 1 = 1999
2n = 2000
n = 1000
A= 1 + 3 + 5 + ……+ 1999 = 1000 = 1000.000
Bài 2
Dựng quy nạp toỏn học chứng minh rằng:
1 + 2 + 3 + …..+ n = ( n ≥ 1)
Giải
Đặt S = 1 + 2 + 3 + …..+ n =
Ta cú: S = 1 = = 1 . Đẳng thức đỳng với n =1
Giả sử đỳng với n = k, tức là S = . Ta chứng minh đỳng với n= k+1, tức là:
Chứng minh : S = . Thật vậy:
S = 1 + 2 + 3 + ….k + k +1 = S - k+1
= + k+1 = =
Vậy S = ( n ≥ 1).
Bài 3
Dựng quy nạp chứng minh
2 + 4 + 6 +….+ 2n = n(n+1) với ( n ≥ 1)
Áp dụng tớnh : 2 + 4 + 6 +…..+ 3998
Giải
Đặt S = 2 + 4 + 6 +….+ 2n = n(n+1)
Ta cú: S = 2 = 1(1+1) , đỳng
Giả sử đỳng n =k , tức là : S = k(k+1). Ta chứng minh đỳng với n= k+1, tức là:
Chứng minh: S = (k+1)(k+2). Thật vậy:
S = 2 + 4 + 6 +….2k + 2(k+1)
= S + 2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1)
= (k+1)(k+2)
Vậy S = n(n+1) "n ≥ 1
Áp dụng: ta cú: 2n = 3998
n= 1999
A = 2 + 4 + 6 +….+ 3998
= 1999 (1999+1) = 1999x 2000= 3998000
Bài 4:
Chứng minh rằng:
1 + 2 + …..+ n = ("n ≥ 1)
Giải
Đặt S = 1 + 2 + …..+ n =
Ta cú: S = 1 = - đẳng thức
Giả sử đỳng n= k , tức là :
S =
Ta chứng minh với n= k+1 tức là chứng minh :
S = .Thật vậy
S = 1 + 2 + …..+ k + (k+1)
= S + (k+1) = + (k+1)
= + (k+1) = =
= = =
Vậy S = ("n ≥ 1).
Bài 5:
Chứng minh mệnh đề sau
1 + 2 + 3 +…..+ n = "n ẻ N
Giải
Với n=1 VT = 1
VP = =1 . Đẳng thức đỳng với n = 1
Giả sử đỳng n = k 1 + 2 + 3 +…..+ k = . Ta chứng minh đẳng thức đỳng với n= k+1. Ta chứng minh:
1 + 2 + 3 +…..+ k + (k+1) =
=
Ta cú vế trỏi = 1 + 2 + 3 +…..+ k + (k+1) = + (k+1)
= = =
= = = VP (đpcm).
Bài 6:
Chứng minh rằng: (1+a) ³ 1+n.a với a > -1, a ≠ 0, n >1, n ẻ N
Giải
Với n= 2 , ta cú: (1+a) = 1+2a+a ³ 1+2.a ị bất phương trỡnh đỳng.
Giả sử đỳng với n= k , tức là: (1+a) ³ 1+k.a
Ta cần chứng đỳng với n= k+1, tức là chứng minh:
(1+a) ³ 1+(k+1).a hay (1+a) ³ 1+a.k+a
Thật vậy: (1+a) = (1+a) .(1+a) ³ (1+k.a)(1+a)
= (1+a) .(1+a) ³ 1+k.a+a+k.a
= (1+a) .(1+a) ³ 1+k.a+a
Vậy : (1+a) ³ 1+n.a với a > -1, a ≠ 0, n >1, n ẻ N
Bài 7 : CMR " n ³ 1, ta cú : 7 + 3n -1 + 9 ( 1)
Giải
Với n=1 thỡ 7 + 2= 9 + 9
Giả sử (1) đỳng với n = k , nghĩa là 7 + 3k-1 + 9
Ta cần chứng minh (1), đỳng với n= k+1 , nghĩa là 7 + 3(k+1)-1 + 9
Thật vậy, ta cú: 7 + 3(k+1)-1= (7 + 3k -1) + 6.7 +3
= ( 7 + 3k -1) + 6( 7 - 1) +9
Mà 7 +3k-1 + 9
Và 6( 7 -1) + 36 nờn 6( 7 -1) + 9 và 9 + 9
Nờn 7 + 3(k+1) -1 + 9
Vậy theo nghuyờn tắc quy nạp 7 + 3n -1 + 9 với " n ³ 1 .
Bài 8: CMR: " n ³ 1, ta cú : 16 - 15n -1 + 25 (1) và 10 + 18n - 1 + 27
Giải
Với n= 1 thỡ 16 - 16= 0 + 225
Giả sử (1) đỳng với n= k ³ 1 , nghĩa là 16 - 15k -1 + 225
Ta cần chứng minh (1) đỳng n= k+1, nghĩa là : 16 - 15(k+1) -1 + 225
Vậy : 16 - 15(k+1) -1 = ( 16 - 15k -1) + 15.16 -15
= ( 16 - 15k -1) + 15(16 -1)
Mà 16 - 15k-1 + 225 và 15( 16 - 1) + 225
Do đú 16 - 15(k+1) -1 + 225
Vậy theo nguyờn tắc quy nạp thỡ 16 - 15n -1 + 225 " n ³ 1
Bài 9:
Chứng minh rằng: 7 + 3n - 1+ 9 "n ẻ N , n ³ 1
Giải
Với n=1 ta cú: 7 +3.1- 1= 9 + 9
Giả sử đỳng với n=k , tức là: 7 +3k-1 + 9
Ta cần chứng minh đỳng với n=k+1 , tức chứng minh: 7 +3(k+1)-1+ 9
Thật vậy: 7 +3(k+1)-1 = 7 .7+3k+ 3-1 = 7 .(6+1)+3k+3-1
= 6.7+7 +3k+3-1= (7 +3k-1) +6.7 +3
Ta cú : (7 +3k-1)+ 9 (1)
Ta chứng minh: 6.7 +3 + 9
- Với k=1 ị 6.7+3 = 45 + 9
- Giả sử đỳng k=m tức là : 6.7 +3 + 9. Ta cần chứng minh:
Với k= m+1 , tức là chứng : (6.7 +3)+ 9
Thật vậy: (6.7 +3) = 6.7 .7+3 = (6. 7 +3).7 - 18 + 9
Do đú : 6.7 + 3 + 9 (2)
Từ (1)(2) ị 7 +3(k+1)-1 + 9
Vậy : 7 + 3n - 1+ 9 "n ẻ N , n ³ 1
Bài 19: Cho biết n chia 3 dư 2 , chia 2 dư 1. Tỡm dư trong phộp chia n cho 6.
Giải
C : Theo định lý phộp chia cú dư, ta cú : n = 6.q + r ( 0 Ê r< 6)
Để n chia 2 dư 1 thỡ r phải chia 2 dư 1 (1)
Để n chia 3 dư 2thỡ phải chia 3 dư 2 (2)
Cỏc giỏ trị của r thỡ chỉ cú r = 5 thừa món (1), (2)
C : Theo đề bài ta cú: ( n+1) + 3 và ( n+1) + 2
Mà (3,2) = 1nờn (n+1) + 6 hay n+1 = 6.q + 6
n = 6.q + 5
Vậy số dư trong phộp chia n cho 6 là 5.
Bài 11: Cho biết n chia 3 dư 1 , chia 5 dư 2. Tỡm dư trong phộp chia n cho 15.
Bài 12: Cho biết n chia 11 dư 7 , chia 5 dư 4. Tỡm dư trong phộp chia n cho 55.
Bài 13:Cho biết n chia 11 dư 10 , chia 3 dư 2. Tỡm dư trong phộp chia n cho 33.
* CÁC BÀI TOÁN VỀ TẬP HỢP
Bài 1
Cho tập hợp A = {x ẻ N/ x\6} , B = {x ẻ R/ (x-1)(x -4x+3)=0 }
a/ Tỡm Aầ B, Aẩ B, A\B , A.B
b/ Hóy thiết lập 4 ỏnh xạ từ A đ B
Giải
A = {x ẻ N/ x\6} = {1,2,3,6}
B = {x ẻ R/ (x-1)(x -4x+3)=0 } = {1,3}
a/ Aầ B = {x/ x ẻ A và x ẻ B} = {1,3}
Aẩ B = {x/ x ẻ A hoặc x ẻ B} = {1,2,3,6}
A\B = {x/ x ẻ A và x ẽ B} = {2,6}
A.B = { (x,y) ẻ A.B / x ẻ A , y ẻ B} = (1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3),(6,1)(6,3).
b/ Thiết lập 4 song ỏnh:
f A đ B f A đ B f A đ B f A đ B
1a 1 1a 1 1a 3 1a 3
2a 1 2a 3 2a 1 2a 3
3a 3 3a 1 3a 1 3a 1
6a 3 6a 3 6a 2 6a 1
J Chỳc cỏc bạn thi tốt! J
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- LÝ THUYẾT CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ.doc