Toán cao cấp A1 - Bài 1: Khái niệm cơ bản

1/25/2013 1 Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Bài 1. Khái niệm cơ bản Bài 2. Đạo hàm riêng – Vi phân Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Bài 1. Khái niệm cơ bản 1.1. Các định nghĩa 1.2. Giới hạn của hàm hai biến số Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1.3. Hàm số liên tục 1.1. Các định nghĩa Bài 1. Khái niệm cơ bản a) Miền phẳng D D Bài 1. Khái niệm cơ bản Miền đóng D D D D D  1/25/2013 2 Bài 1. Khái niệm cơ bản Miền mở D \D D D  D Bài 1. Khái niệm cơ bản Miền đơn liên D D Bài 1. Khái niệm cơ bản D Miền đa liên 1 2 3D C C C    1C 2C 3C Bài 1. Khái niệm cơ bản D• • Miền liên thông 1/25/2013 3 Bài 1. Khái niệm cơ bản D Miền không liên thông Bài 1. Khái niệm cơ bản b) Lân cận của một điểm trong mặt phẳng • M0 ε S(M0,ε) 0 0( , ) ( , )M S M d M M     Bài 1. Khái niệm cơ bản • M0ε H(M0,ε) 0 0 0 | | ( , ) ( , ) | | x x M x y H M y y           Bài 1. Khái niệm cơ bản • M1 • M2 • M3 Điểm trong Điểm ngoài Điểm biên D D 1/25/2013 4 Bài 1. Khái niệm cơ bản d) Hàm số hai biến số 2:f D    ( , )( ) ., zy f yD xx    • Tập  2D được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm số ( , )f x y , ký hiệu là fD . 2{( , ) | ( , ) }fD x y f x y    Bài 1. Khái niệm cơ bản • ( , )z f x y được gọi là giá trị của hàm số tại ( , )x y . 0 0 0( , ) ( )z f x y f M  zO 0y 0xO 0 0( , )M x y• x y • 0z Bài 1. Khái niệm cơ bản O x y z b Đồ thị của hàm số z = f(x,y) D • N(a,b,c) • Ma ( ) ( , )f M a cf b  S {( , , ( )) | ( , ) }S x y f M M x y D  Bài 1. Khái niệm cơ bản VD 1 • Hàm số  2( , ) 3 cosf x y x y xy có  2fD . • Hàm số   2 24z x y có MXĐ là hình tròn đóng tâm (0; 0)O , bán kính  2R . Vì 2 2( , ) 4 0zM x y D x y     2 2 4x y   . 1/25/2013 5 Bài 1. Khái niệm cơ bản • Hàm số   2 2ln(4 )z x y có MXĐ là hình tròn mở tâm (0; 0)O , bán kính  2R . Vì 2 2( , ) 4 0zM x y D x y     2 2 4x y   . Bài 1. Khái niệm cơ bản • Hàm số    ( , ) ln(2 3)z f x y x y có MXĐ là nửa mp mở có biên   : 2 3 0d x y , không chứa O . 2 3 0x y   O x y d 2 3 0x y   Bài 1. Khái niệm cơ bản 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số a) Điểm tụ • M0 • Mn • • • • •• • • • ••• •••••••••• VD. (0, 0)O là điểm tụ của dãy điểm 2 1 1 ,nM n n       . Bài 1. Khái niệm cơ bản b) Định nghĩa giới hạn bội • Điểm 0 0 0( , )M x y được gọi là giới hạn của dãy điểm ( , ), 1,2,...n n nM x y n nếu 0 0 0( , )M x y là điểm tụ duy nhất của dãy. Ký hiệu là: 0lim nn M M   hay 0 n nM M  . 1/25/2013 6 Bài 1. Khái niệm cơ bản • Hàm số ( , )f x y có giới hạn là    { }L khi 0 n nM M  nếu lim ( , )n nn f x y L   . Ký hiệu là 0 lim ( ) M M L f M   0 0 0 0( , ) ( , ) lim ( , ).lim ( , ) x y x y x x y y f x y f x y     Bài 1. Khái niệm cơ bản D D •• O x y zO ( )  L  0M M f • Bài 1. Khái niệm cơ bản O x y • M0 • M z • L • ( )f M Bài 1. Khái niệm cơ bản VD 2.       2 2( , ) (1, 1) 2 3 1 3 lim 23x y x y x xy . 1/25/2013 7 Bài 1. Khái niệm cơ bản VD 3. Tìm ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y ,  2 2 ( , ) xy f x y x y . Giải. 0 0 2 2 2 0 ( , ) 0. x yxy xy f x y x x y y         Vậy   ( , ) (0,0) lim ( , ) 0 x y f x y . Bài 1. Khái niệm cơ bản Nhận xét O x y • M • M0  r0 y y 0x x 0 0 cos sin x x r y y r        0 0M M r   Bài 1. Khái niệm cơ bản VD 4. Tìm    2 2 2 2( , ) (0,0) sin( ) lim x y x y x y . Giải. Đặt    cos , sinx r y r , ta có:       2 2 2 2 2 2( , ) (0,0) 0 sin( ) sin lim lim 1 x y r x y r x y r . Bài 1. Khái niệm cơ bản VD 5. Cho hàm số  2 2 2 ( , ) xy f x y x y . Chứng tỏ rằng ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y không tồn tại. Giải. Đặt    cos , sinx r y r , ta có: 2 2( , ) (0,0) 0 sin2 lim ( , ) lim sin2 x y r r f x y r     . Do giới hạn phụ thuộc vào  nên không duy nhất. Vậy ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y không tồn tại. 1/25/2013 8 Bài 1. Khái niệm cơ bản c) Giới hạn lặp Giới hạn theo từng biến khi dãy điểm ( , )n n nM x y dần đến 0M của ( , )f x y được gọi là giới hạn lặp. • Khi  0x x trước,  0y y sau thì ta viết 00 lim ( , )lim x xy y f x y  • Khi  0y y trước,  0x x sau thì ta viết 00 lim ( , )lim y yx x f x y  Bài 1. Khái niệm cơ bản Chú ý • Nếu 0 0 0 0 lim lim ( , ) lim lim ( , ) y y x x x x y y f x y f x y      thì không tồn tại 0 0( , ) ( , ) lim ( , ) x y x y f x y  . • Sự tồn tại giới hạn lặp không kéo theo sự tồn tại của giới hạn bội. Bài 1. Khái niệm cơ bản VD 6. Xét hàm số    2 2 2 2 sin sin ( , ) x y f x y x y . Ta có:       2 20 0 0 sin lim lim ( , ) lim 1 y x y y f x y y ,      2 20 0 0 sin lim lim ( , ) lim 1 x y x x f x y x . Vậy      0 0 0 0 lim lim ( , ) lim lim ( , ) y x x y f x y f x y . Bài 1. Khái niệm cơ bản 1.3. Hàm số liên tục • Hàm số ( , )f x y liên tục tại 20 0 0( , )M x y D   nếu 0 0 0 0( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) x y x y f x y f x y   • Hàm số ( , )f x y liên tục trên tập  2D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D . 1/25/2013 9 Bài 1. Khái niệm cơ bản Chú ý Hàm số ( , )f x y liên tục trên miền đóng giới nội D thì nó đạt giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) trên D . Bài 1. Khái niệm cơ bản VD 7. Xét sự liên tục của    2 2 2 2 sin sin ( , ) x y f x y x y . Giải • Với ( , ) (0, 0)x y thì hàm số ( , )f x y xác định nên liên tục. • Tại (0, 0) thì ( , ) (0,0) lim ( , ) x y f x y  không tồn tại. Vậy hàm số ( , )f x y liên tục trên 2 \ {(0, 0)}. . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.1. Đạo hàm riêng 2.2. Vi phân Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp 2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn 2.5. Đạo hàm theo hướng 2.1. Đạo hàm riêng Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.1.1. Đạo hàm riêng cấp 1 Cho hàm số ( , )f x y xác định trên miền mở  2D chứa điểm 0 0 0( , )M x y . Cố định 0y , nếu hàm số 0( , )f x y có đạo hàm tại 0x thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm số ( , )f x y tại 0 0( , )x y , ký hiệu là: 0 0( , )xf x y hay 0 0( , ) f x y x   hay 0 0( , )xf x y . 1/25/2013 10 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Vậy 0 0 0 000 0 ( , ) ( , ) ( , ) limx x x f x f x f x x y y y x     Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại 0 0( , )x y là 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) limy y y f y f y y x x xf y y     Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Chú ý • Nếu ( )f x là hàm số một biến x thì ( ) ( ) d f x f x dx   . • Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự. Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Ý nghĩa O x y z • M(a,b) • ( , )z f x y y b ( , )xf a b Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Ý nghĩa O x y z • M(a,b) • ( , )z f x y x a ( , )yf a b 1/25/2013 11 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số 4 3 2 3( , ) 3 2 3f x y x x y y xy    tại ( 1; 2) . Giải 3 2 2( , ) 4 9 3xf x y x x y y    ( 1, 2) 46.xf    3 2( , ) 6 6 3 ( 1, 2) 39.y yf x y x y y x f        Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm số     2 2 2 1 ln 1 x z x y . Giải . Ta có             2 2 2 2 2 2 1 1 . 1 1 x x x x y z x y x     2 2 2 2 2 ( 1)( 1) xy x x y , 2 2 2 1 y y z x y      . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Cách khác Ta có     2 2 2ln( 1) ln( 1)z x x y . Suy ra 2 2 2 2 2 1 1 x x x z x x y       2 2 2 2 2 ( 1)( 1) xy x x y     .     2 2 2 1 y y z x y . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 3. Tính các đạo hàm riêng của hàm số ( , ) ln x y f x y x y    tại (2; 1) . Giải ( , ) .x x x y x y f x y x y x y          2 2 2y x y   2 (2, 1) 3x f    . 1 1 4 (2, 1) 2 ( 1) 2 1 3y f         . 1/25/2013 12 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 4. Cho hàm số 2 2 2( , , )f x y z x y z   . Tính 2 2 2( ) ( ) ( ) x y z f f f    . Giải. Ta có 2 2 2 2 22 2 2 2 ( ) 2 x x x x f f x y zx y z        . Tương tự 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) , ( )y z y z f f x y z x y z        . Vậy 2 2 2( ) ( ) ( ) 1 x y z f f f     . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.1.2. Đạo hàm riêng cấp cao • Các đạo hàm riêng (nếu có) của các hàm số ( , )xf x y , ( , )yf x y được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số ( , )f x y . Ký hiệu:  2 2 2xx xxx f f f x x f f x                2 2 2yy yyy f f f y y f f y               Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.1.2. Đạo hàm riêng cấp cao Ký hiệu:   2 x yxy xy f f y x f f f y x                   2 y xyx yx f f x y f f f x y                 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân • Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn 2 có định nghĩa tương tự. VD. 3 32 2 ( )5 ( , ) (((( ( , )) ) ) ) ( ( , )) x x y y yx y x y f x y f x y f x y        ; 2 2 2 2 (6) ( , , ) ((( ( , , )) ) ) y xx yxz x z f x y z f x y z    . 1/25/2013 13 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Sơ đồ ( , )f x y xf  yf  2x f  xyf  2y f  yxf  Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số 3 2 3 4( , ) yf x y x e x y y   tại ( 1; 1). Giải. Ta có 2 3 3 2 2 3 3 2 3 4 y x y y f x e xy f x e x y y         2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 6 2 3 6 6 1 3 6 2 y x y xy y y y y xf f xe y f x e x e x xy f x e x y y y                Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số 3 2 3 4( , ) yf x y x e x y y   tại ( 1; 1). 2 2 ( 1, 1) 6 2 ( 1, 1) ( 1, 1) 3 6 ( 1, 1) 6. x xy yx y f e f f e f e                   Bài 2. Đạo hàm – Vi phân • Định lý Schwarz Nếu hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng xyf và  yxf liên tục trong miền mở   2D thì  xy yxf f . 1/25/2013 14 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Hermann Amandus Schwarz (1843 – 1921) Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài tập. Cho ( , )u u x y , ( , )v v x y thỏa 2 2 . y u xv x v yu      Tính (1; 1) x u  và (1; 1) y v  biết (1; 1) 0u  , (1; 1) 1v  . Hướng dẫn. Đạo hàm từng phương trình theo x : 0 2 . 1 2 . . x x x x u u v xv v v yu           Thay 1, 1, 0, 1x y u v    vào hệ (1; 1) x u . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.2. VI PHÂN a) Số gia của hàm số 2.2.1. Vi phân cấp 1 Cho hàm số ( , )f x y xác định trong một lân cận của điểm 0 0 0 ( , )M x y . Cho x một số gia x và y một số gia y , khi đó hàm ( , )f x y có tương ứng số gia 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , )f x y f x x y y f x y     Bài 2. Đạo hàm – Vi phân b) Định nghĩa Giả sử hàm số ( , )f x y có các đạo hàm riêng 0 0 ( , ) x f x y và 0 0 ( , ) y f x y liên tục, khi đó ta có: 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y y f x y y x       0 0 ( , ). x f x y 1/25/2013 15 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Nghĩa là, khi 0x  thì tồn tại VCB 1  sao cho 0 0 0 0 ( , ) ( , )f x x y y f x y y    0 0 1 ( , ) x f x y x x    . Tương tự, khi 0y  thì tồn tại VCB 2  sao cho 0 0 0 0 0 0 2 ( , ) ( , ) ( , ) y f x y y f x y f x y y y      . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Suy ra, khi 0x  và 0y  thì tồn tại hai VCB 1  , 2  sao cho 0 0 0 0 0 0 ( , ) [ ( , ) ( , )]f x y f x x y y f x y y      0 0 0 0 [ ( , ) ( , )]f x y y f x y   0 0 0 0 1 2 ( , ) ( , ) x y f x y x f x y y x y          ( ) . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Nếu khi 0x  và 0y  mà 0 0 ( , )f x y có thể viết được dưới dạng ( ) thì ta nói hàm số ( , )f x y khả vi tại điểm 0 0 0 ( , )M x y . Đại lượng 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y f x y x f x y y    , ký hiệu 0 0 ( , )df x y , được gọi là vi phân của hàm số ( , )f x y tại điểm 0 0 0 ( , )M x y . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Nhận xét Xét hàm ( , )f x y x , ta có: ( , ) ( ) . ( ) . x y df x y x x x y dx x       . Tương tự, dy y . Vậy, tổng quát ta có ( , ) ( , ) ( , ) x y df x y f x y dx f x y dy   1/25/2013 16 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân O x y z • M • x • M0 • y z Bài 2. Đạo hàm – Vi phân • Vi phân của hàm nhiều hơn hai biến số có định nghĩa tương tự, chẳng hạn ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z df x y z f x y z dx f x y z dy f x y z dz     Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 8. Tính (1, )dz  của hàm số 2 2cos( )y xz e x y . Giải. 2 2 2( , ) 2 [cos( ) sin( )]y xxz x y xe x y y x y     1(1, ) 2xz e    , 2 2 2 2( , ) [cos( ) sin( )]y x y z x y e x y x x y   1(1, ) y z e   . Vậy 1(2 )dz e dx dy  . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 9. Cho hàm số 2 5 3 3( , , ) x yf x y z x y z e   . Tính (2, 1, 1)df   . Giải. 5 3 3 2 4 3 3 2 5 2 ( , , ) 2 ( , , ) 5 3 ( , , ) 3 x y x x y y z f x y z xy z e f x y z x y z e f x y z x y z            5 5 (2, 1, 1) 4 (2, 1, 1) 20 3 (2, 1, 1) 12 x y z f e f e f                . Vậy 5 5(2, 1, 1) (4 ) (3 20) 12df e dx e dy dz       . 1/25/2013 17 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân a) Vi phân cấp 2 2.2.2. VI PHÂN CẤP CAO Vi phân của hàm ( , )df x y được gọi là vi phân cấp 2 của hàm số ( , )f x y . Ký hiệu và công thức: 2 2 2 2 2( ) 2 xyx yd f d df f dx f dxdy f dy       Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Chú ý Nếu ,x y là các biến không độc lập (biến trung gian) ( , )x x   , ( , )y y   thì công thức trên không còn đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp ,x y độc lập. Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 10. Cho hàm số 2 3 2 3 5( , ) 3f x y x y xy x y   . Tính vi phân cấp hai 2 (2, 1)d f  . Giải. Ta có 3 2 2 5 2 2 3 4 ( , ) 2 9 ( , ) 3 2 15 x y f x y xy y x y f x y x y xy x y          2 2 3 5 2 2 4 2 3 3 ( , ) 2 18 ( , ) 6 +2 45 ( , ) 6 +2 60 x xy y f x y y xy f x y xy y x y f x y x y x x y           Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 10. Cho hàm số 2 3 2 3 5( , ) 3f x y x y xy x y   . Tính vi phân cấp hai 2 (2, 1)d f  . 2 2 (2, 1) 34 (2, 1) 170 (2, 1) 460. x xy y f f f           Vậy 2 2 2(2, 1) 34 340 460d f dx dxdy dy    . 1/25/2013 18 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm 2sin( )z xy . Giải. Ta có 2 2 2 ( , ) cos( ) ( , ) 2 cos( ) x y z x y y xy z x y xy xy      2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 ( , ) sin( ) ( , ) 2 cos( ) 2 sin( ) ( , ) 2 cos( ) 4 sin( ) x xy y z x y y xy z x y y xy xy xy z x y x xy x y xy           2 ( , ) ...d z x y  Bài 2. Đạo hàm – Vi phân b) Vi phân cấp n ( ) 0 ( ) 0 k n k k n k n k x n k x nn k n k n y k n nk k n y k d f C f dy C x f dy d dx          trong đó: 0 ( ) ( ) n n n n x y x f f , 0 ( ) ( ) n n n n x y y f f , 0n ndx dy dx , 0 n ndx dy dy . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Đặc biệt 3 2 2 3 3 3 2 2 33 3 x x y xy y d f f dx f dx dy f dxdy f dy       Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 12. Tính vi phân cấp 3 của hàm 3 2( , )f x y x y . Giải. Ta có: 2 3 2 2 2 23 6 6 x x x f x y f xy f y       , 2 2 2 2 23 6 12 x x x y f x y f xy f xy       , 2 2 2 2 23 6 6 x xy xy f x y f x y f x       , 3 0yf  . Vậy 3 2 3 2 2 26 36 18d f y dx xydx dy x dxdy   . 1/25/2013 19 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 13. Tính vi phân 3d z của hàm  2 cos3xz e y . Giải. Ta có: 3 2 2 3 3 3 2 2 33 3 x x y xy y d z z dx z dx dy z dxdy z dy       2 3 2 28 cos3 36 sin3x xe ydx e ydx dy  2 2 2 354 cos 3 27 sin 3x xe ydxdy e ydy  . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 14. Tính vi phân 10d f của hàm 3 2( , ) yf x y x e . Đáp số. 10 10 3 2 10 9 2 2 92 3.10.2y yd f x e dy x e dxdy  8 2 2 8 7 2 3 76.45.2 6.240.2y yxe dx dy e dx dy  . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp 2.3.1. Hàm hợp với một biến độc lập Cho ( , )f x y là hàm khả vi đối với ,x y và ,x y là những hàm khả vi đối với biến độc lập t . Khi đó, hàm hợp của biến t là ( ) ( ( ), ( ))t f x t y t  khả vi và ( ) ( ) ( , ). ( ) ( , ). ( )x y d t t f x y x t f x y y t dt          Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Đặc biệt, nếu ( ) ( , ( ))x f x y x  thì ( ) ( ) ( , ) ( , ). ( )x y d x x f x y f x y y x dx         1/25/2013 20 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 15. Tính  ( )t , biết ( ) ( ( ), ( ))t f x t y t  trong đó  2( , )f x y x y và   23 , sinx t t y t . Giải. 2 2 2( ) ( ) .(3 ) ( ) .(sin )x yt x y t t x y t        22 (6 1) cosxy t x t       2 2 22(3 )sin .(6 1) (3 ) cost t t t t t t . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Ta có thể tính trực tiếp như sau:   2 2( ) (3 ) sint t t t       2 2 2( ) 2(3 )(6 1)sin (3 ) cost t t t t t t t . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 16. Tính ( )x , biết ( ) ( , ( ))x f x y x  trong đó 2 2( , ) ln( )f x y x y  và 2siny x . Giải 2 2 2 2 2( ) [ln( )] [ln( )] .(sin )x yx x y x y x        3 2 2 2 2 2 4 2 2 sin2 2 4 cos sin sin x y x x x x x y x y x x        . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Ta có thể tính trực tiếp như sau: 3 2 4 2 4 2 4 cos sin ( ) [ln( sin )] sin x x x x x x x x       . 1/25/2013 21 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.3.2. Đạo hàm riêng của hàm hợp với hai biến độc lập Cho ( , )f x y là hàm khả vi đối với ,x y và ,x y là những hàm khả vi đối với hai biến độc lập , . Khi đó, hàm ( , ) ( ( , ), ( , ))f x y        khả vi và ( , ) ( , ). ( , ) ( , ). ( , ) ( , ) ( , ). ( , ) ( , ). ( , ) x y x y f x y x f x y y f x y x f x y y                                 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Tương tự, ( , ) ( ( , ), ( , ), ( , ))U r s f x r s y r s z r s thì . . . . . . U f x f y f z x y z U f x f r r r r s s y f z x y zs s                                   Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 17. Cho ( , ) ( ( , ), ( , ))f x y        trong đó  2( , )f x y x y , 2 3,x e y    . Tính ( , )   . Giải. 2 2 2 3( , ) ( ) .( ) ( ) .( )x yx y e x y                2 32 .2 .xy e x    4 3 25 e    . Cách khác. 2 2 3 5 3 2( , ) ( )e e          4 3 2( , ) 5 e        . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Bài tập. Tính U r   , U s   với sin y U z x  trong đó 23 2x r s  , 34 2y s  , 2 22 3z r s  . 1/25/2013 22 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.4.1. Đạo hàm của hàm số ẩn một biến 2.4. Đạo hàm của hàm số ẩn Hàm ( )y x xác định trên y D   thỏa phương trình ( , ( )) 0, y F x y x x D D    ( ) được gọi là hàm số ẩn một biến xác định bởi ( ) . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Giả sử các hàm số ở trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế của ( ) theo biến x ta được . ( ) 0 x y F F y x    . Giả sử 0 y F   , vậy ta có: ( ) x y F y x F      Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 18. Tính hệ số góc tiếp tuyến tại điểm ( ; 3)M a ( 5)a  nằm trên đường conic có phương trình 2 2( ) : 8 15 24 16 30 1 0C x y xy x y      . Giải. ( ) 7 (7; 3)M C a M    . 2 28 15 24 16 30 1F x y xy x y      16 24 16 30 24 30 x y F x y F y x           16 24 16 1 ( ) (7) 30 24 30 2 x y y x y y x         . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Cách khác Đạo hàm theo biến x , ta được: 16 30 24( ) 16 30 0x yy y xy y        . Thay 7x  và 3y  ta có kết quả. 1/25/2013 23 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.4.2. Đạo hàm của hàm số ẩn hai biến Hàm ( , )z x y xác định trên 2 z D   thỏa phg trình ( , , ( , )) 0, ( , ) z F x y z x y x y D D    ( ) được gọi là hàm số ẩn hai biến xác định bởi ( ) . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Giả sử các hàm số ở trên đều khả vi, đạo hàm riêng 2 vế của ( ) lần lượt theo x và y ta được: . 0, . 0 x z x y z y F F z F F z         . Giả sử 0 z F   , vậy ta có: , y x z x y z FF z z F F        Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 19. Cho hàm ẩn ( , )z x y thỏa phương trình cos( )xyz x y z   . Tính , x y z z  . Giải. Ta có ( , , ) cos( )F x y z xyz x y z    sin( ) sin( ) sin( ). x y z F yz x y z F xz x y z F xy x y z                 Vậy sin( ) sin( )x yz x y z z xy x y z         , sin( ) sin( )y xz x y z z xy x y z         . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 20. Cho hàm ẩn ( , )z x y thỏa phg trình mặt cầu 2 2 2 2 4 6 2 0x y z x y z       . Tính y z . Giải. Ta có 2 2 2 2 4 6 2F x y z x y z       2 4 2 2 6 3 y y z F y y z F z z             . 1/25/2013 24 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 21. Tìm hệ số góc tiếp tuyến tại điểm (3;4;5)M nằm trên mặt nón 2 2z x y  , biết tiếp tuyến nằm trong mặt phẳng 4y  . Giải. Ta có 2 2 ( , ) x x z x y x y    . Vậy hệ số góc là 3 (3, 4) 5x z   . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.5.1. Hàm vector 2.5. Đạo hàm theo hướng – Vector gradient • Ánh xạ : nr T      1 2 ( ) ( ( ), ( ),..., ( )) n t r t x t x t x t   được gọi là một hàm vector. Bài 2. Đạo hàm – Vi phân • Giới hạn          0 0 lim ( ) lim ( ) 0 t t t t r t v r t v • Đạo hàm 1 2( ) ( ( ), ( ),..., ( ))nr t x t x t x t     Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 0( )r t  • O M0 • M • 0( )r t t  Tốc đồ 0( )r t  1/25/2013 25 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân a) Định nghĩa 2.5.2. Đạo hàm theo hướng • M0 v  ( , , )f x y z xác định M • r     00 0 ( ) ( ) ( ) limv r f M f M f M r Bài 2. Đạo hàm – Vi phân b) Cosin chỉ phương Gọi   , , lần lượt là góc tạo bởi ( , , )x y zv v v v  khác 0  với   , ,i j k . Khi đó   cos , cos , cos được gọi là các cosin chỉ phương của  v và:        cos , cos , cos | | | | | | yx z vv v v v v Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 0 0 0 0 0 0 0( ) ( ( ), ( ), ( ) ( )cos ( ) )cos ( )cos , , | | | | | | yx x z v y z x y z vv v f M f M f M f M v v v f M f M f M                       Vậy ta có: Bài 2. Đạo hàm – Vi phân 2.5.3. Vector gradient  0 0 0 0( ) ( ), ( ), ( )x y zf M f M f M f M    0 0( ) ( ). | |v v f M f M v      Vậy ta có: 1/25/2013 26 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Ý nghĩa ( ) : ( , ) 0C f x y  • M ( )n f M  Bài 2. Đạo hàm – Vi phân ( ) : ( , , ) 0S f x y z  • M ( )n f M  Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 22. Cho hàm   2 2 2( , , )f x y z x y z và vector     (1; 2; 2)v . Tính  ( ), ( )vf M f M tại (0; 4; 3)M . Giải. Ta có: 4 3 ( ) 0, ( ) , ( ) 5 5x y z f M f M f M     . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân Mặt khác 1 2 2 (1; 2; 2) ; ; | | 5 5 5 v v v                . Vậy         4 3 ( ) 0; ; 5 5 f M và 2 ( ) ( ). | | 15v v f M f M v       . 1/25/2013 27 Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 23. Trong mặt phẳng, cho đường cong 2 2( ) : 3 2 1 0C x y xy y     . Viết pttt  với ( )C tại (1; 1)M  . Giải. Ta có 2 2( , ) 3 2 1f x y x y xy y     ( ) 5 x f M  , ( ) 1 (5; 1) y f M n     . Vậy : 5 4 0x y    . Bài 2. Đạo hàm – Vi phân VD 24. Trong không gian, cho mặt parabolic eliptic 2 2( ) : 2 4 x S z y   . Viết pt tiếp diện ( )P với ( )S tại (2; 3; 8)M  . Giải. Ta có 2 2( , , ) 4 4 8f x y z x y z    ( ) 4 x f M  , ( ) 24 y f M   , ( ) 4 z f M   ( ) (1; 6; 1) P n     . Vậy ( ) : 6 12 0P x y z    . . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số 3.1. Định nghĩa Chương 1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 3.2. Cực trị tự do 3.3. Cực trị có điều kiện 3.4. Cực trị toàn cục (max – min) 3.1. Định nghĩa Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Xem bài giảng! 1/25/2013 28 Cực trị tự do O x y z S ( , )z f x y Điểm cực đại • • • • • • 1M 2M 1P 2P CTz z CÑ Điểm cực tiểu O x y z S ( , )z f x y • • Điểm cực đại • • Điểm cực tiểu ( ) 1M 2M 1P 2P • • CTz z CÑ Cực trị có điều kiện Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số 3.2.1. Định lý a) Điều kiện cần 3.2. CỰC TRỊ TỰ DO Nếu hàm số ( , )z f x y đạt cực trị tại 0 0 0( , )M x y và tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì 0 0 0 0( , ) ( , ) 0x yf x y f x y   Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Điểm 0 0 0( , )M x y thỏa   0 0 0 0( , ) ( , ) 0x yf x y f x y được gọi là điểm dừng, 0M có thể không là điểm cực trị. 1/25/2013 29 Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số b) Điều kiện đủ Giả sử hàm ( , )z f x y có điểm dừng là 0M và có đạo hàm riêng cấp hai tại lân cận của điểm 0M . Đặt     2 20 0 0( ), ( ), ( )xyx yA f M B f M C f M và 2AC B  . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số • Nếu 0 0A      thì ( , )f x y đạt cực tiểu tại 0M . • Nếu 0 0A      thì ( , )f x y đạt cực đại tại 0M . • Nếu 0 thì ( , )f x y không đạt cực trị tại 0M . • Nếu 0 thì ta không thể kết luận. Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số 3.2.2. Phương pháp tìm cực trị tự do • Bước 1. Giải hệ tìm điểm dừng 0 0 0( , )M x y : 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 x y f x y f x y      • Bước 2. Tính 2 0 0 0 0( , ), ( , )xyxA f x y B f x y    , 2 0 2 0( , )yC f x y AC B     . • Bước 3. Dựa vào điều kiện đủ để kết luận. Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 2. Tìm điểm dừng của hàm   (1 )z xy x y . Giải. Ta có: 2 2 0 2 0 0 2 0 x y z y xy y z x xy x                        2 2 2 ( ) ( ) 0 2 0 x y x y x xy x 1/25/2013 30 Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số          2 ( )( 1) 0 2 0 x y x y x xy x . Vậy hàm số có 4 điểm dừng:      1 2 3 4 1 1 (0; 0), (0; 1), (1; 0), ; 3 3 M M M M . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 3. Tìm cực trị của hàm số     2 2 4 2 8z x y x y . Giải. 2 4 0 2 2 0 x y z x z y           ( 2; 1)M là điểm dừng. 2 2 ( 2; 1) 2 4 0 ( 2; 1) 0 0 ( 2; 1) 2 x xy y A z B z A C z                   . Vậy ( 2; 1)M là điểm cực tiểu và  3CTz . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 4. Tìm cực trị của hàm số    3 3 3 2z x y xy . Giải. Ta có: 2 2 3 3 0 3 3 0 x y z x y z y x           1 2(0; 0), (1; 1)M M là hai điểm dừng. Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số • Tại 1M :    0, 3 0A C B  1M không là điểm cực trị. • Tại 2M :     6 0, 3 0A C B Vậy 2(1; 1)M là điểm cực tiểu và 3CTz . 1/25/2013 31 Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 5. Tìm cực trị của hàm số     2 3 2 23 3 3 2z x y y x y . Giải. Ta có 2 2 6 6 0 3 3 6 0 x y z xy x z x y y           Suy ra hàm số có 4 điểm dừng: 1 2 3 4(0; 0), (0; 2), (1; 1), ( 1; 1)M M M M  . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Do 2 26 6, 6 , 6 6xyx yz y z x z y        nên • Hai điểm 3 4,M M không là điểm cực trị. • Điểm 1M là điểm cực đại và  2Cz Đ . • Điểm 2M là điểm cực tiểu và 2CTz . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 6. Cho hàm số      50 20 ( 0, 0)z xy x y x y . Khẳng định đúng là: A. z đạt cực tiểu tại (2; 5)M và 39CTz  . B. z đạt cực tiểu tại (5; 2)M và 30CTz  . C. z đạt cực đại tại (2; 5)M và 39z CÑ . D. z đạt cực đại tại (5; 2)M và 30z CÑ . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Giải. Ta có 2 2 50 0 20 0 x y z y x z x y              2 2 50 20 x y xy 2 5 5 2 (5; 2) 2 20 x x y M y xy            . Vi phân cấp hai: 2 23 3 100 40 , 1,xyx yz z zx y          2 3 0AC B B . 1/25/2013 32 Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số 3.3. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN (cực trị vướng) Cho hàm số ( , )f x y xác định trên lân cận của điểm 0 0 0( , )M x y thuộc đường cong ( ) : ( , ) 0x y   . Nếu tại điểm 0M , hàm ( , )f x y đạt cực trị thì ta nói 0M là điểm cực trị có điều kiện của ( , )f x y với điều kiện ( , ) 0x y  . O x y z S ( , )z f x y • • Điểm cực đại • • Điểm cực tiểu ( ) 1M 2M 1P 2P • • CTz z CÑ Cực trị có điều kiện Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số 3.3.1. Phương pháp khử Từ ( , ) 0x y  , ta rút x hoặc y thế vào hàm ( , )f x y . Sau đó, ta tìm cực trị của hàm một biến. Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm số  2z x y thỏa điều kiện   3 0x y . Giải.         3 23 0 3 3x y y x z x x . Ta có       23 6 0 2, 0z x x x x . •    2 1x y z đạt cực đại tại 1( 2; 1)M . •    0 3x y z đạt cực tiểu tại 2(0; 3)M . 1/25/2013 33 Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số 3.3.2. Phương pháp nhân tử Lagrange • Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange) ( , , ) ( , ) ( , )L x y f x y x y   Số thực  được gọi là nhân tử Lagrange. Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số • Bước 2. Giải hệ 0 0 0 x y L L L        Suy ra điểm dừng 0 0 0( , )M x y ứng với 0 . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số • Bước 3. Ứng với 0 , ta tính 2 2 2 2 2 0( ) 2 xyx yd L M L dx L dxdy L dy      Vi phân ,dx dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc 0 2 0 2 0( ) ( ) ( ) 0 (1) ( ) ( ) 0 (2) x yd M M dx dx dy M dy         Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số • Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có:  Nếu 2 0( ) 0d L M  thì ( , )f x y đạt cực tiểu tại 0M .  Nếu 2 0( ) 0d L M  thì ( , )f x y đạt cực đại tại 0M .  Nếu 2 0( ) 0d L M  thì chưa đủ cơ sở để kết luận. 1/25/2013 34 Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số ( , ) 2f x y x y  với điều kiện  2 2 5x y . Giải. Lập hàm Lagrange: 2 2 2 25 ( , ) 5x y x y x y       2 2( , , ) 2 ( 5)L x y x y x y       . Tìm điểm dừng:                           2 2 0 2 2 0 0 1 2 0 0 5 0 x y L x L y L x y Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số                        1 1 2 2 2 2 1 1 (2; 1), 1 2 12 ( 2; 1), 1 1 25 4 x M y M . Vi phân cấp hai 2 2 2( , ) 2 ( )d L x y dx dy   . • 2 2 21( ) ( ) 0d L M dx dy   1M là điểm cực đại. • 2 2 22( ) 0d L M dx dy   2M là điểm cực tiểu. Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 9. Tìm giá trị cực trị của hàm số  2 2z x y thỏa điều kiện   2 2 3 4x y x y . Giải. Ta có 2 2( , ) 3 4x y x y x y           2 2 2 2( 3 4 )L x y x y x y . Điểm dừng: 2 2 2 (2 3) 0 2 (2 4) 0 3 4 0 x y L x x L y y L x y x y                    Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số 1 1 2 2 (0; 0), 0 (3; 4), 2 M M        . Vi phân 2 2 2( , ) (2 2 )( )d L x y dx dy    , ta có: •  2 1 1( ) 0d L M M là điểm cực tiểu và  0CTz . •  2 2 2( ) 0d L M M là điểm cực đại và  25zCÑ . 1/25/2013 35 Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Chú ý. Nếu ta thay 2 2 3 4x y x y   vào hàm z thì 3 4z x y  và 2 23 4 ( 3 4 )L x y x y x y      . Khi đó kết quả không sai nhưng  thay đổi. Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 10. Tìm điểm cực trị của z xy thỏa điều kiện   2 2 1 8 2 x y . Giải. Ta có            2 2 ( , , ) 1 8 2 x y L x y xy . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Tìm điểm dừng: 2 2 0 4 0 1 0 8 2 x y x L y L x y x y L                 2 2 4 1 0 8 2 y x x y x y                                    2 1 1 2 2 3 32 2 4 4 (2; 1), 2 4 ( 2; 1), 2 ( 2; 1), 2 4 8 (2; 1), 2 M M x y M x y M . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Vi phân cấp hai 2 2 2( , ) 2 4 d L x y dx dxdy dy     . • Tại 1M :    2 2 2 1 1 ( ) 2 2 2 d L M dx dxdy dy (*). Mặt khác,   ( , ) 4 x d x y dx ydy      1( ) 0 2 0d M dx dy .    2 21 1(*) ( ) 8 0d L M dy M là ĐCĐ. • Tại các điểm 2 3 4, ,M M M ta làm tương tự. 1/25/2013 36 Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Cách khác (chỉ dùng trong trắc nghiệm)   2 2 21 1 ( ) 2 2 2 d L M dx dxdy dy     2 1 1 2 0 2 dx dy M là ĐCĐ. Chú ý Khi ta thay ( , ) 0x y  bởi một phương trình tương đương thì nhân tử  sẽ thay đổi nhưng không làm thay đổi kết quả của bài toán. Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 11. Tìm cực trị của hàm số  ( , ) 10 40f x y x y thỏa điều kiện  20xy và , 0x y . Giải. Ta có:  20xy      400 ( , ) 400xy x y xy     10 40 ( 400)L x y xy . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Điểm dừng:                               10 0 40 40 0 10 400 0 1 x y L y x L x y L xy . Vi phân cấp 2:      2 20; 1; 0xyx yL L L 2 (40; 10) 2d L dxdy  . Điều kiện:   ( , )d x y ydx xdy (40; 10) 0d     4 0dx dy Vậy (40; 10)M là điểm cực tiểu của ( , )f x y . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số 3.4. Max – Min của hàm hai biến trên miền đóng, bị chặn Cho miền  2D đóng có biên : ( , ) 0D x y   và ( , )f x y là hàm liên tục trên D , khả vi trong D mở (có thể không khả vi tại hữu hạn điểm). 1/25/2013 37 Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số • Bước 1. Tìm các điểm 1,..., mM M trên D mà tại đó hàm f không khả vi. • Bước 2. Tìm các điểm dừng 1,..., nN N trong D (dùng cực trị tự do). • Bước 3. Tìm các điểm dừng 1,..., pP P trên D thỏa điều kiện ( , ) 0x y  (dùng cực trị có điều kiện). • Bước 4. Giá trị max ( , ), min ( , ) D D f x y f x y tương ứng là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong tất cả các giá trị: 1( ),..., ( )mf M f M , 1( ),..., ( )nf N f N , 1( ),..., ( )pf P f P . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số  2 2( , )f x y x y trong miền   2 2 3 : 4 D x x y . Giải • Xét hàm ( , )f x y trong miền mở   2 2 3 : 4 D x x y . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Ta có       0 (0; 0) 0 x y f N f là điểm dừng thuộc D . • Xét hàm ( , )f x y trên    2 2 3 : 4 D x x y . Ta có 2 2 2 2(4 4 4 3)L x y x x y      . 2 2 2 (2 1) 0 0 2 2 0 4 4 4 3 x y x x L L L y y x x y                  . Suy ra 2 điểm dừng thuộc D là:      1 3 ; 0 2 P ,      2 1 ; 0 2 P . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số Do   1 2 9 1 ( ) 0, ( ) , ( ) 4 4 f N f P f P nên:  (0; 0)N là điểm cực tiểu và  2 2min( ) 0 D x y ;       1 3 ; 0 2 P là điểm cực đại và  2 2 9 max( ) 4D x y . 1/25/2013 38 Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 13. Cho hàm     2 2( , )f x y x y xy x y . Tìm max – min của ( , )f x y trong miền    : 0, 0, 3D x y x y . Giải. Miền D là OAB với  ( 3; 0), (0; 3)A B . O x y 3 A B3 D Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số • Tại các đỉnh OAB hàm số không khả vi, ta có:   ( ) 0, ( ) ( ) 6f O f A f B . • Trong miền D , ta có:            2 1 0 0 2 1 0x y x y f f y x   ( 1; 1)N là điểm dừng và ( ) 1f N . • Trên cạnh    : 3 0, 0OA x y , ta có:      2 1 ( ,0) 0 2x f x x x f x       1 1 ; 0 2 P là điểm dừng và 1 1 ( ) 4 f P . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số • Trên cạnh    : 0, 3 0OB x y , ta có:      2 1 (0, ) 0 2y f y y y f y       2 1 0; 2 P là điểm dừng và 2 1 ( ) 4 f P . • Trên cạnh     : 3, 3 0AB y x x , ta có:       2 3 ( , ) 3 9 6 0 2x f x y x x f x        3 3 3 ; 2 2 P là điểm dừng và 3 3 ( ) 4 f P . Vậy max 6 D f tại ,A B và min 1 D f tại N . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số VD 14. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số    sin sin sin( )z x y x y trong miền      : 0 , 0 2 2 D x y . Giải. Miền D là hình vuông OABC , trong đó:                             ; 0 , ; , 0; 2 2 2 2 A B C . • Tại các đỉnh OABC hàm số không khả vi, ta có:    ( ) 0, ( ) ( ) ( ) 2z O z A z B z C . 1/25/2013 39 Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số • Trong miền D , ta có:            cos cos( ) 0 0 cos cos( ) 0x y x x y z z y x y        ; 3 3 N là điểm dừng và  3 3 ( ) 2 z N . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số • Trên 2 cạnh ,OA OC (bỏ các điểm , ,O A C ) thì hàm số không có điểm dừng. • Trên cạnh     : , 0 2 2 AB x y , ta có: 1 sin cosz y y         1 ; 2 4 P là điểm dừng và  1( ) 1 2z P . Bài 3. Cực trị của hàm hai biến số • Trên cạnh     : , 0 2 2 BC y x , ta có: 1 sin cosz x x         2 ; 4 2 P là điểm dừng và  2( ) 1 2z P . Vậy  3 3 max 2D z tại N và min 0 D z tại O . ..