Tính toán năng lượng tự do của hệ Spin trong màng mỏng sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm

TÍNH TOÁN NĂNG LƯỢNG TỰ DO CỦA HỆ SPIN TRONG MÀNG MỎNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM PHẠM HƯƠNG THẢO Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Một biểu diễn tích phân phiếm hàm và mô hình Heisenberg cho hệ spin định xứ đã được áp dụng để tính toán năng lượng tự do của hệ spin trong màng mỏng. Các tính toán giải tích đã dẫn đến việc biểu diễn năng lượng tự do của hệ như một tích phân phiếm hàm. Sử dụng biểu thức năng lượng tự do này để tìm sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa của hệ khi có trường ngoài, kết quả tìm được khá phù hợp với kết quả của hệ 2 chiều tìm được bằng phương pháp hàm Green. 1 GIỚI THIỆU Lĩnh vực từ học đã nhận được một sự thúc đẩy to lớn do sự xuất hiện các vật liệu mới và các công cụ với những thao tác tinh vi. Mô hình Heisenberg, mô tả một tập hợp các mômen từ định xứ được ghép cặp bởi tương tác trao đổi, là một trong những mô hình thích đáng nhất trong hoàn cảnh này. Tích phân phiếm hàm lần đầu tiên được áp dụng trong cơ học lượng tử bởi R. Feynman và bây giờ là một trong những phương pháp toán học hữu hiệu nhất trong vật lý lượng tử đương thời. Phạm vi ứng dụng rộng rãi của các tích phân phiếm hàm [1] đã khuyến khích sự phát triển của chúng. Các phương pháp tích phân phiếm hàm được sử dụng rộng rãi trong vật lý lý thuyết hiện đại [6]-[8]. Cụ thể các phương pháp này được sử dụng để đạt được các tiến trình quan trọng về các hiện tượng tới hạn bởi phương pháp nhóm tái chuẩn hóa [7]. Phương pháp này đơn giản hơn so với phương pháp toán tử. Trong các vấn đề của lý thuyết tổng quát của sự chuyển pha, ứng dụng phương pháp tích phân phiếm hàm giúp xây dựng bức tranh lượng tử của các hiện tượng và phát triển các phương pháp tính toán gần đúng, trong một vài vấn đề, nó cho phép chúng ta chứng minh các kết quả nhận được bởi các phương pháp khác, làm sáng tỏ các khả năng ứng dụng của chúng. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(17)/2011: tr. 36-42 TÍNH TOÁN NĂNG LƯỢNG TỰ DO CỦA HỆ SPIN TRONG MÀNG MỎNG... 37 Trong bài báo này, tác giả đã biểu diễn năng lượng tự do của hệ spin trong màng mỏng như một tích phân phiếm hàm và sau đó tính toán năng lượng tự do của hệ trong phép gần đúng Gaussian. 2 MÔ HÌNH TÍNH TOÁN VÀ KẾT QUẢ Xét một màng mỏng gồm n lớp spin và giả sử rằng có N spin trên mỗi lớp. Vị trí của mỗi spin trong mạng được xác định bởi các chỉ số ν, j, với ν = 1, ..., n là chỉ số lớp. Gọi ~Rj, một vectơ hai chiều, là vectơ biểu thị vị trí của spin thứ j trong lớp ν. Mô hình Heisenberg cho hệ spin của màng mỏng có dạng: H = H0 +Hint = −µ ∑ ν,j hSzνj − 1 2 ∑ νj,ν′j′ Jνν′( ~Rj − ~Rj′)SανjSαν′j′ , (1) với H0 là Hamiltonian của hệ spin không tương tác trong một từ trường đều được định hướng dọc theo trục z với cường độ h, Hint là Hamiltonian tương tác trao đổi Heisenberg, Jνν′( ~Rj− ~Rj′) là tương tác trao đổi giữa spin Sανj và spin Sαν′j′ ; α = x, y, z và µ là mômen từ của một nút mạng. Sử dụng phép biến đổi Fourier cho các toán tử spin, ta được: H = −µ ∑ ν,j hSzνj − 1 2 ∑ ν,ν′,~k Jνν′(~k)S α ν~k Sα ν′−~k , (2) với Sα ν~k = N−1/2 N∑ j=1 Sανj; Jνν′( ~k) = N∑ j=1 Jνν′( ~Rj − ~Rj′)exp [ i~k( ~Rj − ~Rj′) ] . (3) Toán tử thống kê của hệ trong biểu diễn tương tác: exp(−βH) = exp(−βH0)TˆΠαexp  ∫ β 0 1 2 ∑ ~k,ν,ν′ Jνν′(~k)S α ν~k (τ)Sα ν′,−~k(τ)dτ  . (4) Sử dụng phép biến đổi tích phân [4] exp { 1 2 ∑ i,j xiAijxj } = ( Πi ∫ ∞ −∞ dyi√ 2pi ) exp { −1 2 ∑ i y2i + ∑ i,j xiA 1/2 ij yj } , (5) 38 PHẠM HƯƠNG THẢO biến đổi biểu thức dưới dấu T tích trong phương trình (4), ta nhận được exp(−βH) = exp(−βH0) ∫ (dϕ) exp ( −1 2 ∑ α,ν,q ϕαν (q)ϕ α ν (−q) ) × Tˆ exp  ∑ ν,ν′,α,~q √ βJ 1/2 ν,ν′( ~k)Sαν′(~q)  , (6) với (dϕ) là phép đo của tích phân phiếm hàm được định nghĩa bởi [4], và ~q = (~k, ω), ∑ ~q ... = ∑ ~k ∑ ω ... . Sử sụng biểu thức (6), chúng ta biểu diễn năng lượng tự do của hệ như một tích phân phiếm hàm: F = −β−1ln(Spe−βH) = F0 − 1 β ln ∫ (dϕ) exp −1 2 ∑ α,ν,~q ϕαν (~q)ϕ α ν (−~q)− Fint[ϕ]  , (7) với F0 = − 1 β ln ( Spe−βH0 ) = −nN β ln sh (βµh(S + 1/2)) sh (βµh/2) (8) là năng lượng tự do của hệ không tương tác và β−1 = kBT . Và −Fint[ϕ] = − ∑ m≥1 F [m] 1 [ϕ] = (m!) −1∑ ~q1,l1 ... ∑ ~qm,lm 〈Tρl1~q1 ...ρlm~qm〉ir0 ϕl1~q1 ...ϕlm~qm , (9) với 〈Tρl1~q1 ...ρlm~qm〉ir0 là các giá trị trung bình rút gọn. Ta đặt F [ϕ] = 1 2 ∑ α,ν,~q ϕαν (~q)ϕ α ν (−~q) + Fint[ϕ] = FG(ϕ) + ∆F [ϕ] , (10) ở đây FG[ϕ] = 1 2 ∑ α,ν,~q ϕαν (~q)ϕ α ν (−~q) − 1 2 β ∑ ν,ν′,~k 6=0 Jν,ν′(~k)ϕ z ν( ~k, 0)ϕzν(−~k, 0)b′(y) − 1 2 β ∑ ν,ν′,~q 6=0 K−ω(y)b(y)Jν,ν′(~k)ϕ−ν (~q)ϕ + ν (−~q) ,(11) và ∆F [ϕ] = ∑ m≥3 F [m] 1 [ϕ] , (12) TÍNH TOÁN NĂNG LƯỢNG TỰ DO CỦA HỆ SPIN TRONG MÀNG MỎNG... 39 với Kω(y) = 1 y−iω ; y = βµh; b(y) và b ′(y) là hàm Brillouin và đạo hàm bậc 1 của nó [8]. Năng lượng tự do trong (7) có thể được biểu diễn theo các thăng giáng Gaussian: F = F0 + FG +∆F , (13) với gần đúng bậc không F0 và năng lượng tự do FG trong phép gần đúng Gaussian FG = −β−1ln ∫ (dϕ) exp (−FG[ϕ]) = 1 β ∑ ~k,ν′ lndet ( I − βb′(y)Jν,ν′(~k) ) + 1 β ∑ ~q,ν′ lndet ( I − βK−ω(y)b(y)Jν,ν′(~k) ) .(14) Các hiệu chỉnh ∆F có thể được biểu diễn dưới dạng các khai triển theo các thăng giáng Gaussian rút gọn: ∆F = ∑ n≥1 (n!)−1 〈(Fm1 [ϕ])n〉cG , (15) ở đây chỉ số G để chỉ giá trị trung bình rút gọn theo phân bố Gaussian 〈(...)〉G = ∫ (dϕ)e−FG[ϕ](...)/ ∫ (dϕ)e−FG[ϕ] . (16) Sử dụng biểu thức năng lượng tự do (13)-(15) để tính toán độ từ hóa của hệ spin trong màng mỏng 4 lớp, n = 4, để đơn giản ta xét trong gần đúng thấp nhất ∆F = 0. Ta có, độ từ hóa của hệ được tính theo công thức: M = −∂F ∂h =M0 +M1 +M2 (17) vớiM0 = µnN(((S+1/2)exp(y(S+1/2))−(−S−1/2)exp(−y(S+1/2)))/(exp(y/2)− exp(−y/2))− (exp(y(S+1/2))− exp(−y(S+1/2)))/(exp(y/2)− exp(−y/2))2(1/2× exp(y/2) + 1/2 × exp(−y/2)))/(exp(y(S + 1/2)) − exp(−y(S + 1/2)))(exp(y/2) − exp(−y/2)); M1 = 1 4 βµb′(y)b(y)(4Js + 6Jp) = 1 4 βµb′(y)b(y)Jp(4e+ 6) = 1 4 βµb′(y)b(y) T bc kB 2S(S + 1) (4e+ 1) , (18) ở đây T bc tương ứng là nhiệt độ Curie của bán dẫn khối, e = Js Jp là tỉ số của các tích phân trao đổi giữa các spin lân cận gần nhất trong cùng một mặt phẳng và trong hai mặt phẳng gần nhất; M2 = − 1 β × ∂ ( det(I − βb′(y)J(~k)) ) ∂h × 1 det(I − βb′(y)J(~k)) , (19) 40 PHẠM HƯƠNG THẢO với det(I − βb′(y)J(~k)) = (β2b′2(y)Js2 + 1− 3βb′(y)Js + βb′(y)Jp + β2b′2(y)JsJp − β2b′2(y)Jp2)× (β2b′2(y)Js2 − 1− βb′(y)Js + 3βb′(y)Jp − β2b′2(y)JsJp − β2b′2(y)Jp2) , (20) Để tính toán số, ta thiết lập các thông số S = 1/2, µ = 0, 927.10−27, kB = 1, 38.10−23, n = 4, N = 1023, e = Js/Jp = 0.4, T bc = 1043. Hinh 1 biểu diễn sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa của màng mỏng từ trong từ trường h, là kết quả của bài báo. Hình 2 biểu diễn sự phụ thuộc vào nhiệt độ của độ từ hóa trong hệ 1 chiều và 2 chiều dùng phương pháp hàm Green [3]. So sánh hình vẽ 1 và 2, ta thấy rằng, kết quả của tác giả khá phù hợp với kết quả sử dụng phương pháp hàm Green. Có một số sai lệch là do trong quá trình tính toán tác giả đã sử dụng một số phép gần đúng và tính toán cho trường hợp cụ thể đó là TÍNH TOÁN NĂNG LƯỢNG TỰ DO CỦA HỆ SPIN TRONG MÀNG MỎNG... 41 màng mỏng từ có chiều dày bằng 4 lớp nguyên tử. Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ từ hóa được chỉ ra khi có trường ngoài h = 8T . Thấy rằng, khi nhiệt độ tăng thì độ từ hóa giảm tương ứng. 3 KẾT LUẬN Biểu diễn nhận được của năng lượng tự do cho mô hình Heisenberg lượng tử như một tích phân phiếm hàm (13)-(15) thuận lợi cho việc tính toán các tính chất vật lý của hệ spin theo mô hình Heisenberg như là nhiệt độ Curie, momen từ, độ từ hóa, sóng spin trên màng mỏng... Thêm vào đó, biểu diễn này có thể được áp dụng để đưa ra hàm Green và cực của hàm Green ngang xác định phổ sóng spin. Hàm Green trong các gần đúng bậc cao hơn, xác định các hiệu chỉnh của phổ và sự tắt dần của phổ, có thể được tính toán như trong trường hợp của năng lượng tự do sử dụng (15)-(16). Tác giả sẽ cố gắng để đưa ra các kết quả của các tính toán này trong một bài báo khác. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A.D. Egorov, P.I. Sobolevsky and L.A. Yanovich (1993), Functional Integrals: Approx- imate Evaluation and Applications (Kluwer Academic Publishers, Dordrecht). [2] Ahmed S. Hassan and A. M. El-Badry (2009), Thermodynamic properties of quasi- equilibrium magnons in crystalline bulk materials and thin films, Turk J Phys 33, 129 - 138. [3] Ai-Yuan Hu, Yuan Chen, Li-Jun Peng (2007), The anisotropic Heisenberg ferromagnet in a magnetic field, Journal of Magnetism and Magnetic Material 313, 366 - 372. [4] I. A. Varkarchuk and Yu. K. Rudavskii (1981), Teor. Mat. Fiz. 49 235 (in Russia) [5] M. H. Zaidi (1983), Functional method, Fortschr. Phys. 31, 408 - 411. [6] N. N. Bogolyubov and D. V. Shirkov (1959), Introduction to the Theory of Quantized Fields, Interscience. [7] S.-K. Ma (1976), Modern Theory of Critical Phenomena, Benjamin. [8] Yu. A. Izuymov, F. A. Kassanogly, and Yu. N. Skriabin (1974)Field methods in the theory of Ferromagnets (Mir: Moscow). 42 PHẠM HƯƠNG THẢO Title:METHODOF FUNCTIONAL INTEGRATION FOR CALCULATING THE FREE ENERGY OF THE SPIN SYSTEM IN THIN FILMS Abstract: A functional integral representation and Heisenberg model for a localised spin system were proposed for the free energy of the spin system in thin films. The result of the calculations was to represent the free energy of the system as a functional integral. Using this result to find the temperature dependence of the magnetization of the system in the external magnetic field, this result is compared with the result of the two-dimension system using the Green function method. ThS. PHẠM HƯƠNG THẢO Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Email: hthao82@gmail.com