Tính một số tổng đặc biệt - Nguyễn Minh Đức

Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh) Tính Một Số Tổng Đặc Biệt Kỳ Anh-24/08/2014 ****0**** Gần đây,có một số bạn (THCS) hỏi tôi tài liệu về mảng dẫy số.Cũng vì mảng kiến thức này tôi chỉ được quan tâm lúc năm còn lớp 8.Cũng để trả lời cậu hỏi trên của một số bạn,đồng thời ôn lại kiến thức nên tôi xin mạo muội viết lên bài viết nhỏ này!Có gì sai sót mong mọi người thông cảm và cho ý kiến qua các địa chỉ sau: My Facebook: www.facebook.com/gaulovemi1604 Gmail: duchuyen1604@gmail.com Sau đây sẽ là những dãy số hay những dạng tổng đặc biệt mà tôi đã sưu tầm hay nhận được từ một số bạn yêu cầu!Trong bài viết này tôi chỉ nêu qua ý kiến về cách chứng minh tổng đó!Cách chứng minh chỉ áp dụng các kiến thức sơ cấp để các bạn học cấp THCS có thể sử dụng! Start! Bài 1:Với n N .Hãy tính các tổng sau đây: 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 ) 1 2 3 ... ) 1 2 3 ... ) 1 2 3 ... a S n b S n c S n                Giải: )a Ta có: 1 1 1 1 2 3 .... ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) .... 3 2 1 2 1 (2 1) (3 2) .... ( 2 3) ( 1 2) ( 1) S n n n S n n n S n n n n n n                                     12 ( 1) ( 1) ... ( 1)S n n n        ( có n hạng tử 1n ) 1 1 2 ( 1) ( 1) 2 S n n n n S       )b Áp dụng hàng đẳng thức: 3 3 2( 1) 3 3 1x x x x     Cho x nhận lần lượt các giá trị nguyên dương từ 1 đến n ta có: 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 1 3.1 3.1 1 3 2 3.2 3.2 1 ................................... ( 1) 3. 3. 1n n n n              Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta suy ra được: 3 2 1 3 2 1 3 2 2 ( 1) 1 3 3 3 ( 1) ( 1) 3 ( 1) 3 ( 1) ( 1) 3. 2 ( 1)(2 1) 6 n S S n S n n S n n S n n n n n S                       Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh) 3) HD: Cách làm tương tự như câu b. Áp dụng hằng dẳng thức: 4 4 3 2( 1) 4 6 4 1x x x x x      Cho 1,2,3,...,x n ,suy ra: 4 3 2 1 2 2 3 1 ( 1) 1 4 6 4 ( 1) 2 n S S S n n n S S               Bài 2:Với n N .Hãy tính các tổng sau đây: 2 3 4 ) 1.2 2.3 3.4 ... ( 1) ) 1.2.3 2.3.4 ... ( 1)( 2) ) 1.2.3.4 2.3.4.5 ... ( 1)(n 2)(n 3) d) T 1.2.3... .... ( 1)...(n k 1)k a T n n b T n n n c T n n k n n                          Giải: )a Ta có: 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3.1.2 3.2.3 3.3.4 .. 3 ( 1) 3 1.2.3 2.3.4 ... ( 1) ( 1) 3 1.2.3 2.3.4 ... ( 1) ( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2) 3 ( 1)( 2) ( 1)( 2) 3 T n n T T n n n T T n n n n n n n n n T T T n n n n n n T                                       )b Ta có: 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4 4.1.2.3 4.2.3.4 ... 4 ( 1)( 2) 4 1.2.3.4 2.3.4.5 ... ( 1) ( 1)( 2) 4 1.2.3.4 2.3.4.5 ... ( 1) ( 1)( 2) ( 1)(n 2)( 3) ( 1)(n 2)( 3) 4 ( 1)(n 2)( 3) ( 1)( 2) T n n n T T n n n n T T n n n n n n n n n n T T T n n n n n n T                                            ( 3) 4 n  )c HD: Đặt 5 1.2.3.4.5 2.3.4.5.6 ... ( 1)( 2)( 3)( 4)T n n n n n        .Rồi thiết lập tương tự như câu a,b.Suy ra được:           5 4 5 4 5 1 2 3 4 1 2 3 4 5 T T T n n n n n n n n n n T              )d HD: Cũng đặt 1kT  .Rồi suy ra được:           1 1( 1)T 1 2 ... 1 2 ... 1 k k k k T k T n n n n k n n n n k T k               Bài 3:Với 1x  .Tính các tổng sau đây : 2 3 1 2 1 2 ) 1 ... ) 1 2 3 ... n n a A x x x x b A x x nx             Giải: )a Ta có: Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)   2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 (1 ... ) 1 (1 ... ) 1 1 1 n n n n n n A x x x x A x x x x x x A x A x x A x                           )b Nhân 2A với x ta có : 2 3 2A . 2 3 ... nx x x x nx     Suy ra : 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 . 1 ... .(1 ) 1 ... ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 (1 )( 1) (1 ) ( 1) 1 (1 ) n n n n n n n n n n n A A x x x x nx A x x x x x x n x x n xA x x x x n A x nx n x A x                                          Nhận xét : Nếu đề không cho 1x  thì ta xét 1x  trước.Rồi mới thực hiện như trên ! Bài 4 :Với ; 2n N n  Tính tổng sau đây : 2 2 21.2 2.3 ... ( 1)M n n     Giải : )a Ta có : 2 3 2( 1) ( ; 2)k k k k k N k     Cho 2,3,4,...,nk  ta có : 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 1.2 2 2 2.3 3 3 3.4 4 4 ..................... (n 1) n n n          Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta suy ra : 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 (2 3 3 ... ) (2 2 4 ... ) (1 2 3 3 ... ) (1 2 2 4 ... ) M n n M n n                        Nhận xét : Đến đây áp dụng theo các công thức tính tổng ta đã chứng minh ở Bài 1.Ta có được : 2 2( 1) ( 1)(2n 1) ( 1)(3 2) 2 6 12 n n n n n n n M             Bài 5 :Với n N .Tính tổng sau đây : 2 2 21 2 ... 1.3 3.5 (2 1)(2 1) n I n n       Giải : Ta có phân tích sau : Với k N thì : Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh) 2 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 4 8 2 1 2 1 k k k k k            Cho k lần lượt nhận các giá trị nguyên dương từ 1,2,3,4,,n.Ta có : 2 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 4 8 2 1 1 1 ( 1) 1 4 8 2 1 2(2 1) n k k n k k n n n n I n n                        Bài 6 :Với n N .Tính các tổng sau : ) 1.2 2.5 3.8 ... (3 1) ) 1.4 2.7 3.10 ... (3 1) a H n n b G n n             Giải : a) Ta có phân tích sau : 2(3 1) 3k k k k   Cho 1,2,3,...,k n ta có : 2 2 2 2 1.2 3.1 1 2.5 3.2 2 3.8 3.3 3 ..................... (3 1) 3.n n n n          Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta suy ra : 2 2 2 23(1 2 3 ... ) (1 2 3 ... )H n n          Nhận xét : Đến đây áp dụng theo các công thức tính tổng ta đã chứng minh ở Bài 1.Ta có được : 2( 1)(2 1) ( 1)3. ( 1) 6 2 n n n n n H n n        b ) Làm tương tự như câu a) ta suy ra : 2 2 2 2 2 3(1 2 3 ... ) (1 2 3 ... ) ( 1)(2 1) ( 1) 3. 6 2 ( 1) G n n n n n n n n n                  Bài 7 :Tính các tổng sau : 2 1 2 3 ) 1 10 10 ... 10 ) 1 11 111 ... 11...11 ) 2 22 222 ... 22...22 d) 3 33 333 ... 33...33 n n chu so n chu so n chu so a I b L c M N                     Giải : a ) Áp dụng câu a Bài 3 : ta suy ra được: 110 1 9 n I    b ) Ta có: Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh) 2 2 1 1 10 1 10 1 10 1 ... 9 9 9 1 10 10 ... 10 ( 1) 9 10 1 ( 1) 9 9 10 9( 1) 1 81 n n n n L n n n                         c ) Dễ thấy: 12[10 9( 1) 1] 2 81 n n M L       d ) Dễ thấy: 110 9( 1) 1 3 27 n n N L       Bài Tập: Bài 1:Tính các tổng sau: 2 2 2 2 3 3 3 3 ) 1 3 5 ... (2 3) (2 1) ) 1 3 5 ... (2 1) ) 1 3 5 ... (2 1) a A n n b B n c C n                     HD: a) Dùng tính chất giao hoán và kết hợp. Đáp án: 2A n b) Dùng hằng đẳng thức: 2 2(2 1) 4 4 1k k k    . Đáp án: (2 1)(2 1) 3 n n n B    c) Dùng hằng đẳng thức: 3 3 2(2 1) 8 12 6 1k k k k     . Đáp án: 2 2(2 1)C n n  Bài 2: Tính các tổng sau đây: 1 1 1 ) ... 1.2 2.3 ( 1) 1 1 1 ) ... 1.3 3.5 (2 1)(2n 1) 1 1 1 ) ... 1.5 5.9 (4 3)(4 1) a M n n b N n c P n n                  HD: a) Ta có phân tích sau: 1 1 1 ( 1) 1k k k k     . Đáp án : 1 n M n   b) Ta có phân tích sau : 1 1 1 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1k k k k          . Đáp án : 2 1 n N n   c) Ta có phân tích sau : 1 1 1 1 (4 3)(4 1) 4 4 3 4 1k k k k          . Đáp án : 4 1 n P n   Duc_Huyen1604 Tình yêu trong quá khứ !Yêu để rồi chôn giấu !