Tính đơn điệu của hàm số và các ứng dụng

CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ CHUYÊN Đ 1. Ề TÍNH Đ N ĐI U C A HÀM S VÀ CÁC NG D NGƠ Ệ Ủ Ố Ứ Ụ V N Đ 1: XÉT CHI U BI N THIÊN C A HÀM SẤ Ề Ề Ế Ủ Ố Quy t cắ : 1. Tìm TXĐ c a hàm s .ủ ố 2. Tính đ o hàm f’(x). Tìm các đi m ạ ể xi mà t i đó đ o hàm b ng 0 ho c không xácạ ạ ằ ặ đ nh.ị 3. S p x p các đi m ắ ế ể xi theo th t tăng d n và l p BBT.ứ ự ầ ậ 4. Nêu k t lu n v các kho ng đ ng bi n, ngh ch bi n c a hàm s .ế ậ ề ả ồ ế ị ế ủ ố Bài 1. Xét chi u bi n thiên các hàm s sau:ề ế ố 2 3 2 4 2 3x 2 x 2x + 3a) y 2x + 3x + 1 b) y = x 2x 3 c) y d) y x 1 x 1 + − = − + = = + + Bài 2. Xét tính đ n đi u c a các hàm s sau:ơ ệ ủ ố 3 2 2 2 x x xa) y 25 x b) y c) y d) y x 10016 x x 6 = − = = = + − − Bài 3. Ch ng minh r ng:ứ ằ a) Hàm s ố 2y x 1 x= + − đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả 11; 2 � � −� �� � và ngh ch bi n trênị ế kho ng ả 1 ;1 2 � � � �� � . b) Hàm s ố 2y x x 20= − − ngh ch bi n trên kho ng ị ế ả ( ); 4− − và đ ng bi n trênồ ế kho ng ả ( )5;+ . Bài 4. Xét s đ ng bi n, ngh ch bi n c a các hàm s sau:ự ồ ế ị ế ủ ố [ ] 5a) y x sin x, x 0;2 b) y x 2cosx, x ; 6 6 pi pi� � = − pi = +� �� �� � Bài 4. Ch ng minh r ng:ứ ằ a) ( )f x cos2x 2x 3= − + ngh ch bi n trên R.ị ế b) ( ) 2f x x cos x= + đ ng bi n trên R.ồ ế Giải:  a) Ta có: f '(x) 2(sin 2x 1) 0, x R= − + ∀ và f '(x) 0 sin 2x 1 x k , k Z 4 pi = = − = − + pi� � � Hàm s f liên t c trên m i đo n ố ụ ỗ ạ ( )k ; k 1 4 4 pi pi� � − + pi − + + pi� �� � và có đ o hàm f’(x) < 0 v i m iạ ớ ọ ( )x k ; k 1 , k Z 4 4 pi pi� � − + pi − + + pi� �� �� � . Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 1 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Do đó, hàm s ngh ch bi n trên m i đo n ố ị ế ỗ ạ ( )k ; k 1 , k Z 4 4 pi pi� � − + pi − + + pi � �� � . V y hàm ngh ch bi n trên R.ậ ị ế b) Ta có: f’(x) = 1 – sin2x; f '(x) 0 sin 2x 1 x k , k Z 4 pi = = = + pi� � � NX: Hàm s f liên t c trên m i đo n ố ụ ỗ ạ ( )k ; k 1 4 4 pi pi� � + pi + + pi� �� � và có đ o hàm f’(x) > 0 v i m iạ ớ ọ ( )x k ; k 1 , k Z 4 4 pi pi� � + pi + + pi� �� �� � . Do đó hàm s đ ng bi n trên m i đo n ố ồ ế ỗ ạ ( )k ; k 1 , k Z 4 4 pi pi� � + pi + + pi � �� � . V y hàm đ ng bi n trên R.ậ ồ ế V N Đ 2: TÌM THAM S Đ HÀM S Đ N ĐI U TRÊN MI N KẤ Ề Ố Ể Ố Ơ Ệ Ề Ph ng pháp: ươ S d ng các ki n th c sau đây:ử ụ ế ứ 1. Cho hàm s y = f(x) có đ o hàm trên K.ố ạ  N u ế f '(x) 0, x K ∀ thì f(x) đ ng bi nồ ế trên K.  N u ế f '(x) 0, x K ∀ thì f(x) ngh ch bi nị ế trên K. 2. Cho tam th c b c hai f(x) = axứ ậ 2 + bx + c có bi t th c ệ ứ 2b 4ac∆ = − . Ta có:  a 0 f (x) 0, x R 0 > ∀� � � ∆  a 0 f (x) 0, x R 0 < ∀� � � ∆ 3. Xét bài toán: “Tìm m đ hàm s y = f(x,m) đ ng bi n trên K”. Ta th c hi n theo cácể ố ồ ế ự ệ b c sau:ướ  B1. Tính đ o hàm f’(x,m).ạ  B2. Lý lu n: ậ Hàm s đ ng bi n trên Kố ồ ế f '(x,m) 0, x K∀۳ � ( )m g(x), x K m g(x)∀ Σ۳  B3. L p BBT c a hàm s g(x) trên K. T đó suy ra giá tr c n tìm c a tham s m.ậ ủ ố ừ ị ầ ủ ố Bài 1 V i giá tr nào c a a, hàm s ớ ị ủ ố ( )3 21f (x) x 2x 2a 1 x 3a 2 3 = − + + + − + ngh ch bi n trên R ?ị ế Giải:  TXĐ: R Ta có: 2f '(x) x 4x 2a 1= − + + + , 2a 5∆ = + Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 2 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Hàm s ngh ch bi n trên R khi và ch khi ố ị ế ỉ 5f '(x) 0, x R 0 a 2 ∀ ∆ −� �� � . Bài 2 V i giá tr nào c a m, hàm s ớ ị ủ ố ( )3 2f (x) mx 3x m 2 x 3= − + − + ngh ch bi n trên R ?ị ế Giải:  TXĐ: R Ta có: 2f '(x) 3mx 6x m 2= − + − Hàm s ngh ch bi n trên R khi và ch khi ố ị ế ỉ 2f '(x) 3mx 6x m 2 0, x R= − + − ∀ • m = 0, khi đó f’(x) = 16x 2 0 x 3 −− −�۳ : không th a ỏ x R∀ . • m 0 , khi đó m 0 f '(x) 0, x R 9 3m(m 2) 0 < ∀� � � ∆ = − − 2 m 0 m 0 m 1 m 1 v m 33m 6m 9 0 < < −�� � − − + + V y, v i ậ ớ m 1 − thì th a mãn bài toán.ỏ Bài 3 V i giá tr nào c a m, hàm s ớ ị ủ ố ( ) 23x mx 2f x 2x 1 − + − = − ngh ch bi n trên t ng kho ng xác đ nhị ế ừ ả ị c a nó.ủ Giải:  TXĐ: 1D R \ 2 �� = ��� Đ o hàm: ạ ( ) 2 2 6x 6x 4 mf '(x) 2x 1 − + + − = − Hàm s ngh ch bi n trên t ng kho ng xác đ nh khi và ch khi ố ị ế ừ ả ị ỉ 1f '(x) 0, x 2 ∀ 2 1 116x 6x 4 m 0, x ' 9 6(4 m) 0 m 2 2 −+ + − ∀ ∆= + −� � �� �۳ Bài 4 Đ nh m đ hàm s ị ể ố mx 1y x m + = + luôn đ ng bi n trên t ng kho ng xác đ nh c a nó.ồ ế ừ ả ị ủ Giải:  TXĐ: { }D R \ m= − Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 3 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Đ o hàm: ạ ( ) 2 2 m 1y' x m − = + . Hàm s đ ng bi n trên t ng kho ng xác đ nh khiố ồ ế ừ ả ị 2y' 0, x m m 1 0 m 1 v m 1> ∀ − − > � � � Bài 5 Tìm m đ hàm s ể ố ( ) ( )3 21 1y mx m 1 x 3 m 2 x 3 3 = − − + − + đ ng bi n trên ồ ế [ )2;+ . Giải:  Ta có: ( ) ( )2y ' mx 2 m 1 x 3 m 2= − − + − Hàm s đ ng trên ố ồ [ ) ( ) ( )22; y ' 0, x 2 mx 2 m 1 x 3 m 2 0, x 2+ ∀ −−+ − ∀�۳ �� � � ( )2 26 2xm x 2x 3 2x 6 0, x 2 m , x 2x 2x 3 − −+ + − ∀ ∀� � �۳ � − + (vì x2 – 2x + 3 > 0) Bài toán tr thành: ở Tìm m đ hàm s ể ố ( ) 26 2xf x m, x 2x 2x 3 − = ∀ − + Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2x 12x 6f ' x , f ' x 0 2x 12x 6 0 x 3 6 x 2x 3 − + = = − + = =� � � − + BBT: x 2 3 6+ + f’(x) 0 f(x) 2 3 0 Ta c n có: ầ [ )2; 2max f (x) m m 3+ �۳ . Đó là các giá tr c n tìm c a tham s m.ị ầ ủ ố Bài 6 Tìm m đ hàm s ể ố 2mx 6x 2y x 2 + − = + ngh ch bi n trên n a kho ng ị ế ử ả [ )1;+ . Giải:  Ta có: ( ) 2 2 mx 4mx 14y' x 2 + + = + Hàm s ngh ch bi n trên ố ị ế [ ) 21; y ' 0, x 1 mx 4mx 14 0, x 1+ ∀ + + ∀� �� � � ( )2 2 14m x 4x 14, x 1 m , 1x 4x − + −∀ ∀� � � � + Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 4 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Bài toán tr thành: Tìm m đ hàm s ở ể ố ( ) 2 14f x m, x 1x 4x − = ∀ + Ta có: ( ) 22 14(2x 4)f '(x) 0, x 1 x 4x + = ∀ + x 1 + f’(x) f(x) 0 14 5 − Ta c n có: ầ [ )1; 14min f (x) m m 5+ −� . V y ậ 14m 5 − là các giá tr c n tìm c a m.ị ầ ủ Bài t p t gi i:ậ ự ả Bài 1. Tìm các giá tr c a tham s a đ hàm s ị ủ ố ể ố ( ) 3 21f x x ax 4x + 3 3 = + + đ ng bi n trên Rồ ế Bài 2. V i giá tr nào c a m, hàm s ớ ị ủ ố my x 2 x 1 = + + − đ ng bi n trên m i kho ng xác đ nh ?ồ ế ỗ ả ị Bài 3. Đ nh a đ hàm s ị ể ố ( ) ( )2 3 21y a 1 x a 1 x 3x 5 3 = − + + + + luôn đ ng bi n trên R ?ồ ế ĐS: a 1 v a 2 − Bài 4. Cho hàm s ố ( ) 2m 1 x 2x 1y x 1 − + + = + . Xác đ nh m đ hàm s luôn đ ng bi n trên t ngị ể ố ồ ế ừ kho ng xác đ nh c a nó. ả ị ủ ĐS: 1 m 2 Bài 5. Cho hàm s ố ( ) ( )3 2 2y x m 1 x m 2 x m= − + + − + + . Ch ng minh r ng hàm s luônứ ằ ố ngh ch bi n trên R v i m i m.ị ế ớ ọ Bài 6. Tìm m đ hàm s y = 3xể ố 3 – 2x2 + mx – 4 đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả ( )0;+ . ĐS: 4m 9 . Bài 7. Tìm m đ hàm s y = 4mxể ố 3 – 6x2 + (2m – 1)x + 1 tăng trên kho ng (0;2). ả ĐS: 9m 10 . Bài 8. Cho hàm s ố 2x 2mx m 2y x m − + + = − . a) Tìm m đ hàm s đ ng bi n trên t ng kho ng xác đ nh.ể ố ồ ế ừ ả ị b) Tìm m đ hàm s đ ng bi n trên kho ng ể ố ồ ế ả ( )1;+ . V N Đ 3:Ấ Ề S S NG TÍNH Đ N ĐI U C A HÀM S Đ CH NG MINH B T Đ NG TH CỬ Ụ Ơ Ệ Ủ Ố Ể Ứ Ấ Ẳ Ứ Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 5 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Ph ng pháp:ươ S d ng ki n th c sau:ử ụ ế ứ  f(x) đ ng bi n trên đo n ồ ế ạ [ ]a; b thì ( ) ( ) ( ) [ ]f a f x f b , x a; b ∀  f(x) ngh ch bi n trên đo n ị ế ạ [ ]a; b thì ( ) ( ) ( ) [ ]f a f x f b , x a; b ∀ Bài 1 Cho hàm s ố ( )f x 2sin x tan x 3x= + − . a) Ch ng minh r ng hàm s đ ng bi n trên n a kho ng ứ ằ ố ồ ế ử ả 0; 2 pi� � � �. b) Ch ng minh r ng: ứ ằ 2sin x tan x 3x, x 0; 2 pi� � + > ∀ � �� �. Giải:  a) Hàm s đã cho liên t c trên n a kho ng ố ụ ử ả 0; 2 pi� � � � và có ( ) ( )2 2 2 1 cosx 2cosx 11f '(x) 2cosx 3 0, 0; cos x cos x 2 − + pi� � = + − = > ∀ � �� � . Do đó, hàm s f đ ngố ồ bi n trên n a kho ng ế ử ả 0; 2 pi� � � � (đpcm). b) T câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0,ừ x 0; 2sin x tan x 3x, x 0; 2 2 pi pi� � � �∀ + > ∀�� �� � �� � � � (đpcm). Bài 2 a) Ch ng minh r ng hàm s ứ ằ ố ( )f x tan x x= − đ ng bi n trên n a kho ng ồ ế ử ả 0; 2 pi� � � �. b) Ch ng minh r ng ứ ằ 3xtan x x , x 0; 3 2 pi� � > + ∀ � �� �. Giải:  a) Hàm s đã cho liên t c trên n a kho ng ố ụ ử ả 0; 2 pi� � � � và có 2 2 1f '(x) 1 tan x 0, cos x = − = > x 0; 2 pi� �∀ � �� �. Do đó, hàm s f đ ng bi n trên n a kho ng ố ồ ế ử ả 0; 2 pi� � � �. b) T câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0,ừ x 0; tan x x, x 0; 2 2 pi pi� � � �∀ > ∀�� �� � �� � � �. Xét hàm s ố 3xg(x) tan x x 3 = − − trên n a kho ng ử ả 0; 2 pi� � � �. Hàm s này liên t c trên n aố ụ ử Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 6 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ kho ng ả 0; 2 pi� � � � và có đ o hàm ạ 2 2 2 2 1g '(x) 1 x tan x x 0, x 0; cos x 2 pi� � = − − = − > ∀ � �� �, do tan x x, x 0; 2 pi� � > ∀ � �� �. Do đó, hàm s g đ ng bi n trên n a kho ng ố ồ ế ử ả 0; 2 pi� � � � nên g(x) > g(0) = 0 x 0; 2 pi� �∀ � �� � 3xtan x x , x 0; 3 2 pi� � > + ∀� �� �� � (đpcm). Bài 3 Ch ng minh r ng : ứ ằ 2(x 1)ln x x 1 − > + , v i m i x > 1.ớ ọ Giải:  B t đ ng th c đã cho t ng đ ng v i ấ ẳ ứ ươ ươ ớ 2(x 1)ln x 0, x 1 x 1 − − > ∀ > + Xét hàm s ố ( )2(x 1)f (x) ln x , x 0; x 1 − = − +� � + . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x 11 4f '(x) 0, x 0; x x 1 x x 1 − = − = ∀ +� � � + + Suy ra hàm s đ ng bi n trên kho ng ố ồ ế ả ( )0;+ nên cũng đ ng bi n trên kho ng ồ ế ả ( )1;+ . V yậ ta luôn có f(x) > f(1) = 0 v i m i x > 1. Đó cũng là đi u ph i ch ng minh.ớ ọ ề ả ứ Bài t p t gi i:ậ ự ả Bài 1. Ch ng minh các b t đ ng th c sau:ứ ấ ẳ ứ a) sin x x, x 0 và sin x 0, x 0< ∀ < b) 2xcosx 1 , x 0 2 > − ∀ c) 3xsin x x , x 0 6 > − ∀ > và 3xsin x x , x 0 6 < − ∀ < d) sin x tan x 2x, x 0; 2 pi� � + > ∀ � �� � e) 2xsin x , x 0; 2 pi� � > ∀ � � pi � � f) tan x sin x> v i ớ 0 x 2 pi < < Bài 2. Cho hàm s ố ( ) 4f x x tan x, x 0; 4 pi� � = − � �pi � �. a) Xét chi u bi n thiên c a hàm s trên đo n ề ế ủ ố ạ 0; 4 pi� � � �� �. Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 7 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ b) T đó suy ra r ng: ừ ằ tan x x, x 0; 4 4 pi pi� � ∀ � �� �. Bài 3. Ch ng minh r ng: ứ ằ 21 x 11 x 1 x 1 x 2 8 2 + − < + < + v i ớ ( )x 0;+� � V N Đ 4:Ấ Ề S S NG TÍNH Đ N ĐI U C A HÀM S Đ Ử Ụ Ơ Ệ Ủ Ố Ể CH NG MINH PH NG TRÌNH CÓ NGHI M DUY NH TỨ ƯƠ Ệ Ấ Bài 1 Cho hàm s ố ( ) 2f x 2x x 2= − . a) Ch ng minh r ng hàm s đ ng bi n trên n a kho ng ứ ằ ố ồ ế ử ả [ )2;+ . b) Ch ng minh r ng ph ng trình ứ ằ ươ 22x x 2 11− = có m t nghi m duy nh t.ộ ệ ấ Giải:  a) TXĐ: [ )D 2;= + . Đ o hàm: ạ ( ) ( ) 2 x 5x 8xf '(x) 2 2 x 2 0, x 2; 2 x 2 x 2 −� � = − + = > ∀ +� �� � − −� � Do đó hàm s đ ng bi n trên n a kho ng ố ồ ế ử ả [ )2;+ . b) NX: Hàm s liên t c trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18. Vì 0 < 11 < 18 nên ố ụ ( )c 2;3∃ sao cho f(c) = 11. S th c c là m t nghi m c a ph ng trình và vì f đ ng bi n trên ố ự ộ ệ ủ ươ ồ ế [ )2;+ nên c là nghi m duy nh t c a ph ng trình đã cho.ệ ấ ủ ươ Bài 2 Cho hàm s f(x) = sinố 2x + cosx. a) CMR hàm s đ ng bi n trên đo n ố ồ ế ạ 0; 3 pi� � � �� � và ngh ch bi n trên đo n ị ế ạ ; 3 pi� � pi� �� �. b) Ch ng minh r ng v i m i ứ ằ ớ ọ ( )m 1;1−� , ph ng trình sinươ 2x + cosx = m có m tộ nghi m duy nh t thu c đo n ệ ấ ộ ạ [ ]0;pi . Giải:  a) Hàm s đã cho liên t c trên ố ụ [ ]0;pi và có đ o hàm ạ f’(x) = 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1), ( )x 0;pi� vì khi đó sinx > 0 nên 1f '(x) 0 cosx x 2 3 pi = = =� � BBT: x 0 / 3pi pi y’ + 0 − Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 8 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ y 5 / 4 1 −1 V y, hàm s đ ng bi n trên đo n ậ ố ồ ế ạ 0; 3 pi� � � �� � và ngh ch bi n trên đo n ị ế ạ ; 3 pi� � pi� �� �. b) Hàm s liên t c trên đo n ố ụ ạ ; 3 pi� � pi� �� � và ( )5f ,f 1 3 4 pi�� = pi = −���� . Theo đ nh lí v giá tr trungị ề ị gian c a hàm s liên t c thì ủ ố ụ ( ) 5m 1;1 1; 4 � �∀ − −� �� �� �, t n t i s ồ ạ ố c ; 3 pi� � pi�� �� � sao cho f(c) = 0. S c là nghi m c a ph ng trình sinố ệ ủ ươ 2x + cosx = m. Vì hàm f ngh ch bi n trên ị ế ; 3 pi� � pi� �� � nên ph ng trình có nghi m duy nh t.ươ ệ ấ L i vì ạ x 0; 3 pi� �∀ � �� � ta có ( ) 51 f x 4 nên ph ng trình đã nêu không có nghi m v iươ ệ ớ ( )m 1;1−� . V y ph ng trình có duy nh t m t nghi m thu c ậ ươ ấ ộ ệ ộ [ ]0;pi . Bài 3 Gi i ph ng trình: ả ươ 5 3x x 1 3x 4 0+ − − + = (3) Giải:  Đ t ặ 5 3f (x) x x 1 3x 4= + − − + v i ớ 1x 3 Ta có f(x) là hàm liên t c trên n a kho ng ụ ử ả 1; 3 � � − � � và có đ o hàm ạ 4 2 3 1f '(x) 5x 3x 0, x 32 1 3x = + + > ∀ < − . Do đó hàm s đ ng bi n trên n a kho ng ố ồ ế ử ả 1; 3 � � − � �. M t khác f(-1) = 0, nên x = -1 là m tặ ộ nghi m c a (3) và cũng là nghi m duy nh t c a ph ng trình này.ệ ủ ệ ấ ủ ươ Bài 4 Gi i ph ng trình: ả ươ 3 x 22 x 8x 14− = − + − (4) Giải:  Đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình : ề ệ ị ủ ươ x 3 Xét hai hàm s ố 3 xf (x) 2 −= và 2g(x) x 8x 14= − + − xác đ nh và liên t c trên ị ụ ( ];3− , ta có: Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 9 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ 3 x 1f '(x) 2 . ln 2 0 2 3 x − −� � = <� � −� � và g '(x) 2x 8 0= − + > v i m i ớ ọ ( )x ;3−� � Nh v y f(x) là hàm s ngh ch bi n, còn g(x) là hàm s đ ng bi n trên ư ậ ố ị ế ố ồ ế ( ];3− . M t khác ặ f(3) = g(3) = 1 nên x = 3 là nghi m c a (4) và đó là nghi m duy nh t.ệ ủ ệ ấ Bài 5 Gi i ph ng trình: ả ươ [ ]2 34(x 2) log (x 3) log (x 2) 5(x 1)− − + − = + (5) Giải:  Đi u ki n xác đ nh c a ph ng trình: x > 3. Khi đó:ề ệ ị ủ ươ 2 3 5(x 1)(5) log (x 3) log (x 2) 4(x 2) + − + − =� − Xét hai hàm s ố 2 3f (x) log (x 3) log (x 2)= − + − và 5(x 1)g(x) 4(x 2) + = − là hai hàm xác đ nh và liênị t c trên kho ng ụ ả ( )3;+ , ta có: • f(x) là t ng c a hai hàm s đ ng bi n nên là hàm s đ ng bi n.ổ ủ ố ồ ế ố ồ ế • vì ( ) 2 45g '(x) 0 4 x 2 = − < − nên g(x) là hàm ngh ch bi n.ị ế M t khác ta có f(11) = g(11) = 5 nên x = 11 là nghi m c a (5) và cũng là nghi m duy nh t.ặ ệ ủ ệ ấ Bài 5 Gi i ph ng trình: ả ươ ( )x 2 x 23.25 3x 10 .5 3 x 0− −+ − + − = (6) Giải:  Đ t t = 5ặ x-2 (t > 0). Khi đó: x 2 2 x 2 11 5t (6) 3t (3x 10)t 3 x 0 33 t 3 x 5 3 x − − == + − + − =� � � = − = − Ta có: • x 2 5 15 x 2 log 3 3 − = = −� • Xét ph ng trình ươ x 25 3 x− = − , ta d ch ng minh x = 2 là nghi m duy nh t c a nó.ễ ứ ệ ấ ủ V y ph ng trình đã cho có hai nghi m là ậ ươ ệ 5x 2 log 3 và x 2= − = . Bài 5 (Đ thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng kh i D-2006)ề ể ạ ọ ẳ ố Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 10 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Cho h ph ng trình ệ ươ ( ) x ye e ln(1 x) ln(1 y) a 0 y x a − = + − + > − = Ch ng minh h trên có nghi m duy nh t.ứ ệ ệ ấ Giải:  Xét h : ệ x ye e ln(1 x) ln(1 y) (1) y x a (2) − = + − + − = v i đi u ki n xác đ nh ớ ề ệ ị x 1, y 1> − > − T (1) ừ y = x + a, th vào (1) ta đ c: ế ượ x a xe e ln(1 x) ln(1 x a) 0+ − + + − + + = (3) Bài toán tr thành ch ng minh (3) có nghi m duy nh t trên kho ng ở ứ ệ ấ ả ( )1;− + . Đ t ặ x a xf (x) e e ln(1 x) ln(1 x a)+= − + + − + + trên kho ng ả ( )1;− + Ta có f(x) là hàm liên t c trên kho ng ụ ả ( )1;− + và có đ o hàm ạ x a x 1 1f '(x) e e x 1 x a 1 + = − + − + + + Do a > 0 nên v i m i x > -1, ta có: ớ ọ x a xe e 0 1 1 0 x 1 x a 1 + − > − > + + + Nh v y f’(x) > 0 v i m i x > -1 ư ậ ớ ọ f(x) là hàm s đ ng bi n trên kho ng ố ồ ế ả ( )1;− + M t khác, ta có: ặ x a 1 xf (x) e (e 1) ln 1 a x + = − + + + T đó ta tính gi i h n: ừ ớ ạ x a x x x 1 xlim f (x) lim e (e 1) lim ln 1 a x + + + + = − + = + + + và x ( 1)lim f (x)+ − = − V y, ph ng trình (3) có nghi m duy nh t trên kho ng ậ ươ ệ ấ ả ( )1;− + . T đó suy ra đpcm.ừ Bài t p t luy n:ậ ự ệ Gi i các ph ng trình sau:ả ươ a) 2 2x 15 3x 2 x 8+ = − + + ĐS: x = 1 b) ( ) ( ) ( ) ( )x 2 2x 1 3 x 6 4 x 6 2x 1 3 x 2+ − − + = − + − + + ĐS: x = 7 V N Đ 4:Ấ Ề NG D NG CHI U BI N THIÊN C A HÀM S VÀO VI C BI N LU N Ứ Ụ Ề Ế Ủ Ố Ệ Ệ Ậ PH NG TRÌNH, H PH NG TRÌNH VÀ B T PH NG TRÌNHƯƠ Ệ ƯƠ Ấ ƯƠ Chú ý. Cho f(x) là hàm s liên t c trên T, thì:ố ụ a) ( )f x a v i m i ớ ọ ( )x T a max f x�۳ b) ( )f x a v i m i ớ ọ ( )x T a min f x� Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 11 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ c) ( )f x a có nghi m ệ ( )a min f x d) ( )f x a có nghi m ệ ( )a max f x Bài 1 Cho ph ng trình ươ ( )2m x 2x 2 1 x(2 x) 0− + + + − . Tìm m đ ph ng trình có nghi m ể ươ ệ x 0,1 3� �+�� �. Giải:  Xét b t ph ng trìnhấ ươ : ( )2m x 2x 2 1 x(2 x) 0 (1)− + + + − Đ t ặ = − + − = −�2 2 2t x 2x 2 x 2x t 2 Ta xác đ nh đi u ki n c a tị ề ệ ủ : Xét hàm s ố = − +2t x 2x 2 v i xớ 0,1 3� �+�� � Ta có: 2 x 1t ' , t ' 0 x 1 x 2x 2 − = = =� − + x 0 1 1 3+ t’ − 0 + t 2 2 1 V y v i xậ ớ 0,1 3� �+�� � thì 1 t 2 . Khi đó : (1) ⇔ − + 2t 2m t 1 v i ớ t [1;2] Xét hàm s ố −= + 2t 2f(t) t 1 v i ớ t [1;2] . Ta có: f’(t) + + = > ∀ + 2 2 t 2t 2 0, x [1;2] (t 1) . V y hàm s f tăng trên ậ ố [1; 2]. Do đó, yêu c u bài toán tr thành tìm m đ (1) có nghi m tầ ở ể ệ ∈[1,2] � � � � = = t 1;2 2m max f(t) f(2) 3. Đó là giá tr c n tìm c a tham s .ị ầ ủ ố Bài 2 Tìm m đ ph ng trình ể ươ 4 4x 13x m x 1 0− + + − = có đúng m t nghi m.ộ ệ Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 12 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Giải:  Ta có: 4 4x 13x m x 1 0− + + − = 4 4x 13x m 1 x− + = −� ( ) 4 3 24 x 1 x 1 4x 6x 9x 1 mx 13x m 1 x � �� � − − − = −− + = − Yêu c u bài toán tr thành tìm m đ đ ng th ng y = -m c t ph n đ th f(x) = 4xầ ở ể ườ ẳ ắ ầ ồ ị 3–6x2–9x–1 ng v i ứ ớ x 1 t i m t đi m duy nh t.ạ ộ ể ấ Xét hàm s f(x) = 4xố 3 – 6x2 – 9x – 1 trên n a kho ng ử ả ( ];1− Ta có: f'(x) = 12x2 – 12x – 9 = 3(4x2 – 4x – 3) Cho f'(x) = 0 ⇔ 4x2 – 4x – 3 = 0 ⇔ 1 3x x 2 2 = − =� x –∞ 1 2 − 1 f’(x) + 0 − f(x) 3 2 12− − T b ng bi n thiên ta th y: ừ ả ế ấ Yêu c u bài toán x y ra khi ầ ả 3 3m m 2 2 m 12 m 12 � � − = = −� � � � − � � Đó là các giá tr c n tìm c a tham s m.ị ầ ủ ố Bài 3 Tìm m đ h ph ng trình ể ệ ươ ( )2x y m 0 I x xy 1 − − = + = có nghi m duy nh t.ệ ấ Giải:  Ta có: (I) 2x y m 0 2x y m 0 x xy 1 xy 1 x − − = − − =� � � �� � + = = −� � Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 13 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ V i đi u ki n: ớ ề ệ xy 0 x 1 ta có: (I) ( ) ( ) ( ) 2 2 y 2x my 2x m 1 xxy 1 x y x 1 x = − = − −� � = − = (Do x = 0 không là nghi m c a h )ệ ủ ệ ( ) 2 21 x x 2x 12x m m x x − + − − = =� � (∗) Xét hàm s ố 2x 2x 1 1f (x) x 2 x x + − = = + − trên t p ậ ( ] { }D ;1 \ 0= − Ta có hàm s f(x) liên t c trên D và có đ o hàm ố ụ ạ ( ) ( ]21f '(x) 1 0, x ;0 0;1x= + > ∀ −� �� Gi i h nớ ạ : x x 0 x 0lim f (x) ; lim ; lim− + − = − = + = − và f(1) = 2 BBT : x –∞ 0 1 f’(x) + + f(x) + 2 –∞ –∞ T BBT ta th yừ ấ : Yêu c u bài toán x y ra khi m > 2. Đó là các giá tr c n tìm c a tham s .ầ ả ị ầ ủ ố Bài 4 (Đ thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng kh i B – 2004)ề ể ạ ọ ẳ ố Tìm m đ ph ng trình ể ươ 2 23 3log x log x 1 2m 1 0+ + − − = có ít nh t m t nghi m thu cấ ộ ệ ộ 31;3� �� �. Giải:  Đ t ặ 23t log x 1= + . V i xớ 31;3� � � � thì t [1;2] . Khi đó ph ng trình đã cho t ng đ ng v iươ ươ ươ ớ : 2t t 2 2m+ − = Bài toán tr thành tìm m đ ph ng trình ở ể ươ 2t t 2 2m+ − = có nghi m ệ t [1;2] Xét hàm s f(t) = tố 2 + t – 2 v i ớ t [1;2] . Ta có : f’(x) = 2t + 1 > 0, v i m i ớ ọ t [1;2] V y yêu c u bài toán x y ra khiậ ầ ả : x [1;2] x [1;2] min f (x) 2m max f (x) f (1) 2m f (2) 0 2m 4 0 m 2 ����� Bài 5 (Đ thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng kh i B – 2004)ề ể ạ ọ ẳ ố Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 14 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Tìm m đ ph ng trình ể ươ ( )2 2 4 2 2m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x+ − − + = − + + − − có nghi m.ệ Giải:  Đi u ki n xác đ nh c a ph ng trìnhề ệ ị ủ ươ : x [ 1;1]−� Đ t ặ 2 2t 1 x 1 x= + − − . V i ớ x [ 1;1]−� , ta xác đ nh đi u ki n c a t nh sauị ề ệ ủ ư : Xét hàm s ố 2 2t 1 x 1 x= + − − v i ớ x [ 1;1]−� Ta có : ( )2 2 2 2 4 x 1 x 1 xx xt ' 1 x 1 x 1 x − + + = + = + − − , cho t ' 0 x 0= =� x 1− 0 1 t’ − 0 + t 2 2 0 V y v i ậ ớ x [ 1;1]−� thì t 0; 2� � � � T ừ 2 2 4 2t 1 x 1 x 2 1 x 2 t= + − − − = −� . Khi đó, ph ng trình đã cho t ng đ ng v iươ ươ ươ ớ : ( ) 2 2 t t 2m t 2 t t 2 m t 2 − + + + = − + + =� + Bài toán tr thành tìm m đ ph ng trình ở ể ươ 2t t 2 m t 2 − + + = + có nghi m ệ t 0; 2� � � � Xét hàm s ố 2t t 2f (t) t 2 − + + = + v i ớ t 0; 2� � � �. Ta có : ( ) 2 2 t 4tf '(t) 0, t 0; 2 t 2 − − � �= < ∀ � �+ Suy ra : ( )t 0; 2t 0; 2max f (t) f (0) 1, min f (t) f 2 2 1� �� � � �� � = = = = − Bây gi , yêu c u bài toán x y ra khi ờ ầ ả t 0; 2 t 0; 2min f (t) m max f (t) 2 1 m 1� � � � � � � � −� � � � � . Đây là các giá tr c n tìm c a tham s .ị ầ ủ ố Bài 6 (Đ thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng kh i B – 2006)ề ể ạ ọ ẳ ố Tìm m đ ph ng trình ể ươ 2x mx 2 2x 1+ + = + có nghi m th c phân bi t.ệ ự ệ Giải:  Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 15 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Ta có: ( ) ( ) 2 2 1x 2x mx 2 2x 1 1 3x 4x 1 mx 2 − + + = + + − = (*) NX : x = 0 không ph i là nghi m c a (2). Do v y, ta ti p t c bi n đ iả ệ ủ ậ ế ụ ế ổ : ( ) 2 1x 2(*) 3x 4x 1 m 3 x − + − = Bài toán tr thành tìm m đ (3) có nghi m th c phân bi t ở ể ệ ự ệ { }1x ; \ 0 2 � � − +� � � � Xét hàm s ố 23x 4x 1f (x) x + − = v i ớ { }1x ; \ 02 � � − +� � � � . Ta có : { } 2 2 3x 1 1f '(x) 0, x ; \ 0 x 2 + � � = > ∀ − +� � � � BBT : x –∞ 0 1 f’(x) + + f(x) + + 9 2 –∞ T BBT, ta th yừ ấ : Yêu c u bài toán x y ra khi ầ ả 9m 2 . V y v i ậ ớ 9m 2 thì ph ng trình đã cho có nghi m th c phân bi t.ươ ệ ự ệ Bài 7 (Đ thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng kh i A – 2007)ề ể ạ ọ ẳ ố Tìm m đ ph ng trình ể ươ ( )243 x 1 m x 1 2 x 1 1− + + = − có nghi m.ệ Giải:  Đi u ki n xác đ nh c a ph ng trìnhề ệ ị ủ ươ : x 1 Khi đó : ( ) ( ) ( ) 2 44 2 x 1 x 1 x 1 x 11 3 m 2 3 m 2 2 x 1 x 1 x 1x 1 − − − − + = + =� � + + ++ Đ t ặ 4 x 1t x 1 − = + ( t 0 ). Vì 4 4x 1 21 1 x 1 x 1 − = − < + + nên t < 1. V y v i ậ ớ x 1 thì 0 t 1 < . Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 16 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Khi đó, (2) 2 23t m 2t 3t 2t m+ = − + =� � (3) Bây gi bài toán tr thành tìm m đ (3) có nghi m ờ ở ể ệ [ )t 0;1 Xét hàm s f(t) = ố 23t 2t− + trên n a kho ng ử ả [ )0;1 . Ta có : f’(t) = -6t + 2, cho f’(t) = 0 16t 2 0 t 3 − + = =� � t 0 1 1 f’(t) + 0 − f(t) 1 3 0 1− T BBT, ta th y yêu c u bài toán x y ra khi ừ ấ ầ ả 11 m 3 − < . Bài 8 (Đ thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng kh i B – 2007)ề ể ạ ọ ẳ ố Ch ng minh r ng v i m i m > 0, ph ng trình ứ ằ ớ ọ ươ 2x 2x 8 m(x 2)+ − = − luôn có hai nghi mệ th c.ự Giải:  Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 17 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Bài 9 (Đ thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng kh i D – 2007)ề ể ạ ọ ẳ ố Giải:  Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 18 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Bài 10 (Đ thi tuy n sinh Đ i h c, Cao đ ng kh i A – 2008)ề ể ạ ọ ẳ ố Giải:  Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 19 CHUYÊN Đ TOÁN THPT Vũ Tr ng S nỀ ườ ơ Bài t p t gi iậ ự ả Bài 1. Tìm m đ b t ph ng trình ể ấ ươ ( ) ( ) 2x 4 6 x x 2x m+ − − + đúng v i m i ớ ọ x [ 4;6]−� . ĐS : m 6 Bài 2. Tìm m đ b t ph ng trình ể ấ ươ x 1 4 x m+ − − có nghi m.ệ ĐS : m 5 Bài 3. Tìm m đ ph ng trình ể ươ 22 x 2 x 4 x m− + + − − = có nghi m.ệ ĐS : 2 2 2 m 2− Bài 4. Tìm m đ h ph ng trình ể ệ ươ x y 1 x x y y 1 3m + = + = − có nghi m.ệ ĐS: 10 m 4 Tr ng THPT Long H i Ph c T nh ườ ả ướ ỉ . Trang 20