Tiêu chuẩn mới về đan rối dưới dạng bất đẳng thức cho hệ hai Mode

TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI DƯỚI DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỆ HAI MODE HOÀNG PHƯƠNG HÀ Học viên Cao học, Trường ĐHSP - Đại học Huế TRƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi dựa trên việc tính toán các bất định của các toán tử sinh, hủy mode của trường điện từ để đưa ra một tiêu chuẩn mới dưới dạng các bất đẳng thức mà một hệ hai mode thỏa mãn một trong các bất đẳng thức đó sẽ bị rối. Sau đó chúng tôi áp dụng tiêu chuẩn vừa tìm được để dò tìm đan rối cho một số trạng thái phi cổ điển hai mode. 1 GIỚI THIỆU Khoa học thông tin lượng tử là một ngành đang phát triển rất nhanh chóng trong nhiều ngành của cơ học lượng tử và lý thuyết thông tin. Rối là một nguồn tài nguyên giá trị, là chìa khóa cho sự phát triển nhanh chóng của tiến trình xử lý thông tin lượng tử. Do vậy, việc phát hiện ra rối là một trong những vấn đề cơ bản trong lý thuyết thông tin lượng tử. Từ quan điểm lý thuyết, người ta có thể trả lời cho câu hỏi liệu một trạng thái có bị rối hay không, nhưng cho đến nay chưa có giải pháp chung nào cho vấn đề này. Những phương pháp như điều kiện chuyển vị từng phần dương của Peres-Horodecki [1], [2], những bằng chứng về rối [3], hệ thống các điều kiện rối đã tồn tại, nhưng chúng không dễ dàng được áp dụng cho mọi trường hợp. Đặc biệt đối với những hệ có bậc tự do liên tục như là tọa độ hay xung lượng của hạt hay các thành phần vuông góc của các mode thì số các tiêu chuẩn tồn tại cho việc phát hiện rối còn rất giới hạn. Trong nhiều trường hợp, các tiêu chuẩn này có dạng các bất đẳng thức [4], [5]. Nói chung, chúng chỉ cung cấp các điều kiện đủ cho việc phát hiện rối. Tuy vậy, thực tế thì hầu hết các bất đẳng thức đó lại hạn chế đối với trạng thái phi-Gaussian. Hillery và Zubairy đã cung cấp một lớp các bất đẳng thức cho việc phát hiện rối cho hệ hai mode dựa trên việc tính toán các bất định của các toán tử sinh hủy mode của trường điện từ, tiêu chuẩn này có thể áp dụng cho trạng thái phi-Gaussian [6]. Cũng bằng cách này, chúng tôi tính toán và đưa ra một lớp các bất đẳng thức khác cho việc phát hiện rối trong hệ hai mode. Trên cơ sở tiêu chuẩn mới được đưa ra, chúng tôi thực hiện việc kiểm tra xem một trạng thái hai mode phi cổ điển nào đó có bị rối hay không. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 03(11)/2009: tr. 21-29 22 HOÀNG PHƯƠNG HÀ - TRƯƠNG MINH ĐỨC 2 TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI DƯỚI DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CHO HỆ HAI MODE Xét hai mode của trường điện từ, trong đó a và a+ tương ứng là các toán tử hủy và sinh của mode thứ nhất, b và b+ tương ứng là các toán tử hủy và sinh của mode thứ hai. Ta định nghĩa các toán tử trong biễu diễn của đại số Lie SU(2) dưới dạng như sau L1 = ab+ + a+b, L2 = i(ab+ − a+b), L3 = a+a+ b+b. (1) Bằng việc tính toán các bất định(∆L1)2 và (∆L2)2 của các biến quan sát được L1 và L2, sau đó cộng chúng lại ta được (∆L1)2 + (∆L2)2 = 2 〈 ab+a+b 〉 + 2 〈 a+bab+ 〉− 4 〈ab+〉 〈a+b〉 = 2 〈(Na + 1)Nb〉+ 2 〈Na(Nb + 1)〉 − 4| 〈 a+b 〉 |2, (2) trong đó Na = a+a , Nb = b+b. Giả sử rằng các trạng thái mà ta đang xét là tích của một trạng thái trong mode a và một trạng thái khác trong mode b. Thế thì từ phương trình (2) ta có (∆L1)2 + (∆L2)2 = 2[〈(Na + 1)〉 〈Nb〉+ 〈Na〉 〈(Nb + 1)〉 − 2| 〈 a+ 〉 〈b〉 |2]. (3) Chú ý rằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho ta | 〈a+〉 |2 ≤ 〈Na〉 , | 〈b+〉 |2 ≤ 〈Nb〉 , (4) từ đó ta suy ra đối với một trạng thái tích thì (∆L1)2 + (∆L2)2 ≥ 2(〈Na〉+ 〈Nb〉). (5) Bất đẳng thức này có thể được mở rộng cho bất kỳ một trạng thái nào trên cơ sở sử dụng kết quả của Hofmann và Takeuchi [7]. Đối với ma trận mật độ ρ = ∑ m pmρm và biến quan sát được S, ta có (∆S)2 ≥ ∑ m pm(∆Sm)2, (6) trong đó ρ là ma trận mật độ của trạng thái tổng, ρm là ma trận mật độ tương ứng với một trạng thái tích và pm là xác suất tìm thấy ρm với điều kiện là ∑ m pm = 1, (∆Sm) 2 là độ bất định của S được tính trong từng trạng thái ρm. Nếu trạng thái tổng ρ chia tách được thì các trạng thái thành phần ρm có thể được phân tích thành tích các trạng thái mà bất đẳng thức (5) vẫn đúng đối với các trạng thái này. Vậy thì bất đẳng thức (6) chứng tỏ rằng bất đẳng thức (5) vẫn đúng cho trạng thái tổng. Do vậy, bất đẳng thức (5) có giá trị cho bất kỳ một trạng thái chia tách được nào. TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI DƯỚI DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CHO... 23 Xét hệ thức bất định mà hai toán tử L1 và L2 tuân theo, ∆L1∆L2 ≥ |〈(Na −Nb)〉| . (7) Điều này chứng tỏ rằng: (∆L1)2 + (∆L2)2 ≥ 2 |〈(Na −Nb)〉| . (8) Kết quả này đúng cho bất kỳ một trạng thái nào. So sánh kết quả này với bất đẳng thức (5) mà đúng cho các trạng thái chia tách được, ta thấy vế phải của bất đẳng thức (8) luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng vế phải của bất đẳng thức (5). Kết quả là có những trạng thái vi phạm bất đẳng thức (5) nhưng lại thỏa mãn bất đẳng thức ( 8), chẳng hạn như trạng thái Bell. Từ điều kiện (5) ta suy ra | 〈a+b〉 |2 ≤ 〈NaNb〉 . (9) Như vậy một trạng thái bị rối nếu | 〈a+b〉 |2 > 〈NaNb〉 . (10) Chú ý rằng bất đẳng thức Schwarz cho ta | 〈a+b〉 |2 ≤ 〈Na(Nb + 1)〉 , (11) vì vậy có những trạng thái thỏa mãn bất đẳng thức (10). Từ điều kiện này ta có thể đề xuất một lớp các điều kiện tương tự cho việc tách rối, trong đó thay vì xét toán tử a+b, ta xét toán tử (a+m)bn. Đối với một trạng thái tích thuần ta có | 〈a+m(bn)〉 |2 = | 〈a+m〉 |2| 〈bn〉 |2 ≤ 〈(a+)mam〉 〈(b+)mbm〉 , (12) hay là, do đối với một trạng thái tích thì〈 (a+m)am 〉 〈 (b+)mbm 〉 = 〈 (a+)mam(b+)mbm 〉 , (13) nên bất đẳng thức sau cũng đúng | 〈a+m(bn)〉 |2 ≤ 〈(a+)mam(b+)mbm〉 . (14) Đây là mối quan hệ sẽ dẫn tới sự phát sinh điều kiện rối trong phương trình (10). Trước tiên, ta cần chỉ ra rằng nó đúng cho tất cả các trạng thái chia tách được chứ không phải chỉ có các trạng thái tích. Xét ma trận mật độ của một trạng thái tổng quát chia tách được ρ = ∑ k pkρk, định nghĩa A = a m và B = bn, ta có | 〈A+B〉 | = |Tr(∑ k pkρkA +B)| ≤ ∑ k pk|Tr(ρkA+B)| ≤ ∑ k pk( 〈 A+AB+B 〉 k )1/2, (15) 24 HOÀNG PHƯƠNG HÀ - TRƯƠNG MINH ĐỨC trong đó 〈A+AB+B〉k = Tr(ρk 〈A+AB+B〉). Sử dụng bất đẳng thức Schwarz và một số phép khai triển toán học ta thu được | 〈A+B〉 | ≤ (∑ k ρk )1/2(∑ k pk 〈 A+AB+B 〉 k )1/2 ≤ (〈A+AB+B〉)1/2, (16) điều này cho thấy bất đẳng thức (14) đúng, do đó nó đúng cho tất cả các trạng thái chia tách được. Vì vậy ta có thể kết luận một trạng thái bị rối nếu | 〈a+m(bn)〉 |2 > 〈(a+)mam(b+)mbm〉 (17) Bây giờ ta sử dụng các biến quan sát được là các toán tử trong biểu diễn đại số Lie SU(1,1) K1 = ab+ a+b+,K2 = i(a+b+ − ab),K3 = a+a− b+b. (18) Với cách làm tương tự như trên ta tìm được kết quả không hữu ích cho việc xác định xem một trạng thái có bị rối hay không. Do vậy, chúng ta sử dụng ý tưởng khác, đó là ý tưởng về các trạng thái riêng của các toán tử K1 và K2 bị rối. Các trạng thái mà độ bất định của một trong hai biến trên nhỏ thì sẽ gần với độ bất định của các trạng thái riêng này và cũng sẽ bị rối. Vì vậy đối với một trạng thái chia tách được, độ bất định của một trong các biến phải lớn hơn một vài giá trị biên nào đó. Điều ta phải làm là chỉ ra trong trường hợp của K1 và K2 , biên dưới là 1. Để cho tổng quát, ta định nghĩa biến K(φ) = eiφa+b+ + e−iφab. (19) Chú ý rằng K(0) = K1, K(pi/2) = K2. Thế thì độ bất định của biến K(φ) được tính bằng [∆K(φ)]2 = e2iφ 〈 (a+b+ − 〈a+b+〉)2〉+ e−2iφ 〈(ab− 〈ab〉)2〉 + 〈 (a+b+ − 〈a+b+〉)(ab− 〈ab〉)〉 + 〈 (ab− 〈ab〉)(a+b+ − 〈a+b+〉)〉 . (20) Áp dụng đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu được∣∣〈(a+b+ − 〈a+b+〉)2〉∣∣ ≤ [〈(ab− 〈ab〉)(a+b+ − 〈a+b+〉)〉 × 〈(a+b+ − 〈a+b+〉)(ab− 〈ab〉)〉]1/2. (21) Điều này dẫn đến [∆K(φ)]2 ≥ [(〈(Na + 1)(Nb + 1)〉 − | 〈 a+b+ 〉 |2)1/2 − (〈NaNb〉 − | 〈a+b+〉 |2)1/2]2. (22) Bất đẳng thức này đúng cho tất cả các trạng thái, nhưng nếu trạng thái đó là trạng thái tích thì bất đẳng thức (22) trở thành [∆K(φ)]2 ≥ [(〈(Na + 1)(Nb + 1)〉−| 〈 a+ 〉 | 〈b+〉 |2)1/2−(〈NaNb〉−| 〈a+〉 〈b+〉 |2)1/2]2. (23) TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI DƯỚI DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CHO... 25 Khảo sát các đại lượng trong vế phải của phương trình (23). Đặt x = 〈Na〉, y = 〈Nb〉, z = | 〈a+〉 〈b+〉 |2, ta tìm cực trị của hàm [∆K(φ)]2 ≡ F (x, y) = √ (x+ 1)(y + 1)− z −√xy − z, (24) trong miền xy ≥ z ≥ 0. Trên đường cong xy = z, ta có F (x, z/x) = (x+ z/x+ 1)1/2 ≥ 1. (25) Đầu tiên ta lưu ý rằng F (x, y) = (x+1)(y+1)−z∫ xy−z du 1 2 √ u ≥ x+ y + 1 2 √ (x+ 1)(y + 1)− z . (26) Tiếp theo, ta chứng minh được rằng F (x, y) ≥ x+ y + 1 2 √ (x+ 1)(y + 1)− z ≥ x+ y + 1 2 √ (x+ 1)(y + 1) ≥ 1− 1 2 √ (x+ 1)(y + 1) . (27) Vì vậy, ta có thể kết luận rằng khi x, y →∞, ta có F (x, y) ≥ 1 hay [∆K(φ)]2 ≥ 1 đối với một trạng thái tích, và những vấn đề thảo luận trong [7] (xem phương trình (4)) cho thấy rằng nó đúng đối với bất kỳ một trạng thái chia tách được nào. Hệ quả là, nếu một trạng thái mà [∆K(φ)]2 < 1 thì ta có thể kết luận rằng nó bị rối. Chẳng hạn trạng thái sau có [∆K1]2 < 1, |ψ〉 = 1√ η ∞∑ n=0 (−1)n x n √ 2n+ 1 |2n〉a |2n〉b. (28) Tương tự như những gì đã thực hiện đối với các biến SU(2), ta cũng có thể tìm được các hệ thức bất định khác mà các trạng thái chia tách được phải tuân theo. Đối với các trạng thái tích ta có | 〈a+b+〉 | = | 〈a+〉 〈b+〉 | ≤ [〈Na〉 〈Nb〉]1/2, (29) và điều ta phải làm là chỉ ra rằng các trạng thái chia tách được tuân theo bất đẳng thức này. Thực vậy, với các số nguyên dương bất kỳ m và n, một trạng thái chia tách được phải thỏa mãn điều kiện | 〈a+mb+n〉 | ≤ [〈(a+)mam〉 〈(b+)nbn〉]1/2 . (30) Rõ ràng, phương trình (29) là trường hợp đặc biệt của phương trình (30). Trước tiên, xét ma trận mật độ của một trạng thái tổng quát chia tách được ρ = ∑ k pkρk, 26 HOÀNG PHƯƠNG HÀ - TRƯƠNG MINH ĐỨC đặt A = am và B = bn, ta có | 〈A+B+〉 |2 ≤∑ k,l pkρk|Tr(ρkA+B+)||Tr(ρlBA)| ≤ ∑ k,l pkρk (〈 A+A 〉 k 〈 B+B 〉 k 〈 A+A 〉 l 〈 B+B 〉 l )1/2 . (31) Trong phương trình (31) ta đặt xk = 〈 A+A 〉 k = Tr(ρkA+A), yk = 〈 B+B 〉 k = Tr(ρkB+B), thì bất đẳng thức (31) có thể được viết lại như sau | 〈A+B+〉 |2 ≤∑ k p2kxkyk + 2 ∑ k>l pkpl(xkykxlyl)1/2. (32) Tiếp theo ta xét 〈 A+A 〉 〈 B+B 〉 = ∑ k p2kxkyk + ∑ k>l pkpl(xkyl + xlyk). (33) Vì xkyl + xlyk ≥ 2(xkykxlyl)1/2 nên〈 A+A 〉 〈 B+B 〉 ≥∑ k p2kxkyk + 2 ∑ k>l pkpl(xkykxlyl)1/2. (34) Ta thấy phương trình (32) đúng cho tất cả các trạng thái chia tách được, và nếu một trạng thái vi phạm bất đẳng thức này thì nó sẽ bị rối. Quay trở lại trường hợp m = n = 1, ta cũng có đối với trạng thái tổng quát | 〈a+b+〉 | ≤ [〈Na〉 〈Nb + 1〉]1/2, điều này cho thấy rằng có những trạng thái vi phạm phương trình (31). Như vậy, ta có một tiêu chuẩn cho việc dò tìm đan rối dưới dạng bất đẳng thức trong các trạng thái hai mode như sau | 〈(a+m)bn〉 |2 > 〈(a+)mam(b+)mbm〉 , (35) | 〈a+mb+n〉 | > [〈(a+)mam〉 〈(b+)nbn〉]1/2 , (36) và một trạng thái hai mode sẽ bị rối khi nó thỏa mãn một trong các điều kiện đó. 3 ÁP DỤNG TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI CHO HỆ HAI MODE ĐỂ DÒ TÌM RỐI CHO MỘT SỐ TRẠNG THÁI PHI CỔ ĐIỂN Thực tế đã chứng tỏ rằng có những trạng thái hai mode bị rối, như là trạng thái chân không bị nén hai mode [6], trạng thái kết hợp hai mode chồng chập đối xứng [8], trạng TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI DƯỚI DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CHO... 27 thái kết hợp cặp [9],... Nếu áp dụng tiêu chuẩn mới này mà thấy rằng các trạng thái trên đều rối thì tiêu chuẩn này hoàn toàn chính xác. Trạng thái chân không bị nén hai mode có dạng như sau |Ψ〉 = (1− x2)1/2 ∞∑ n=0 xn|n〉a|n〉b, trong đó 0 ≤ x ≤ 1. Đối với trạng thái này tính toán ta thu được 〈 a+a 〉 = 〈Na〉 = x 2 1− x2 , 〈 b+b 〉 = 〈Nb〉 = x 2 1− x2 , | 〈 a+b+ 〉 | = x 1− x2 . Từ đây ta thấy (〈Na〉 〈Nb〉)1/2 = x 2 1− x2 < x 1− x2 = | 〈 a+b+ 〉 |. Từ đây có thể kết luận rằng trạng thái chân không bị nén hai mode bị rối. Trạng thái kết hợp cặp được viết dưới dạng Schmitd |ξ, q〉 = ∞∑ n=0 ξn n! |n, n〉 . Đối với trạng thái này, tính toán ta được | 〈ab〉 | = |ξ|, [〈Na〉 〈Nb〉]1/2 = |ξ|I1(2|ξ|) I0(2|ξ|) , trong đó Ii là hàm Bessel. Vì I1(2|ξ|) < I0(2|ξ|) đối với tất cả ξ, nên | 〈ab〉 | = |ξ| > [〈Na〉 〈Nb〉]1/2. Từ đây có thể kết luận rằng trạng thái kết hợp cặp bị rối. Trạng thái kết hợp hai mode chồng chập đối xứng có dạng như sau |Ψ〉 ab = 1√ 2(1 + |〈α|β〉|2)1/2 (|α〉a|β〉b + |β〉a|α〉b) . Đối với trạng thái này, tính toán ta được 〈NaNb〉 − | 〈 ab+ 〉 |2 = −4x|αβ|(|α| − |β|)2 − (|α|2 − |β|2)2x2]. Vế phải của biểu thức trên là có giá trị âm. Vì vậy có thể suy ra trạng thái này bị rối. 28 HOÀNG PHƯƠNG HÀ - TRƯƠNG MINH ĐỨC 4 KẾT LUẬN Như vậy chúng tôi đã đưa ra một tiêu chuẩn mới dưới dạng các bất đẳng thức mà sự thỏa mãn một trong các bất đẳng thức đó cho thấy sự xuất hiện của rối trong các hệ hai mode. Chúng tôi đã áp dụng tiêu chuẩn này để dò tìm đan rối cho các trạng thái hai mode phi cổ điển như trạng thái chân không bị nén hai mode, trạng thái kết hợp cặp và trạng thái hai mode chồng chập đối xứng, kết quả cho thấy các trạng thái này đều bị rối. Kết quả này phù hợp với các kết quả đã được công bố trước đó [6], [8], [9],... Tiêu chuẩn này có thể được mở rộng cho hệ lớn hơn hai mode và áp dụng nó cho việc tìm kiếm các trạng thái phi cổ điển bị rối có số mode tương ứng. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A. Peres (1996) ,Separability Criterion for Density Matrices, phys. Rev. Lett 77, 1413. [2] M. Horodecki, P. Horodecki, R. Horodecki (1996), Separability of mixed states: neces- sary and sufficient conditions, Phys. Lett. A 223, 1. [3] R. Hyllus et al. (2005), See, for example, Phys. Rev. A72, 012321. [4] R. Simon (2000) Peres-Horodecki Separability Criterion for Continuos Variable Sys- tems, Phys. Rev. Lett 84, 2726. [5] M. G. Raymer et al. (2003), Separability criterion for separate quantum systems , Phys. Rev. A67, 052104. [6] Mark Hillery and M. Suhail Zubairy (2006), Entanglement Conditions for Two-Mode states, Phys. Rev. Lett 96, 050503. [7] H. F. Hofmann and S. Takeuchi (2003), Violation of local uncertainty relations as a signature of entanglement, Phys. Rev. A 68, 032103. [8] Mark Hillery and M. Suhail Zubairy (2006), Entanglement Conditions for Two-Mode states: Applications, Phys. Rev. A74, 032333. [9] T. M. Duc, J. Noh, K. Kim (2008), Entanglement criteria in inequality for pair and trio coherent states, Advances in Natural Sciences, Vol. 9, No. 2. [10] E. Shchikin and W. Vogel (2005), Inseparability Criteria for Continuos Bipartite Quantum States, Phys. Rev. Lett 95, 230502. TIÊU CHUẨN MỚI VỀ ĐAN RỐI DƯỚI DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CHO... 29 Title: THE NEWENTANGLEMENT CRITERION FORMS INEQUALITIES FOR TWO- MODE STATES Abstract: In this paper, by calculating uncertainties of the mode annihilation and creation operators of electromagnetic field, we give a new criterion in a class of inequalities form whose satisfaction shows the presence of entanglement in two-mode systems. After that, we apply this new criterion to detecting whether a non-classical state is entangled or not. TS.TRƯƠNG MINH ĐỨC GV Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế. HOÀNG PHƯƠNG HÀ Học viên Cao học chuyên ngành Vật lý lý thuyết và Vật lý toán, Khóa 16 (2007-2009) Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế.