Tiểu chuẩn đan rối HyunChul Nha - Jaewan Kim và áp dụng cho trạng thái đan rối Hai Mode

TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM VÀ ÁP DỤNG CHO TRẠNG THÁI ĐAN RỐI HAI MODE NGUYỄN THANH CƯ Trường THPT Gia Hội, Huế TRƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi dùng tiêu chuẩn phát hiện đan rối Hyunchul Nha - Jaewan Kim để nghiên cứu tính chất đan rối của trạng thái hai mode. Kết quả cho thấy tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha - Jaewan Kim bao hàm hai tiêu chuẩn được đưa ra trước đó là G.S. Agarwal - Asoka Biswas và Mark Hillery - M. Suhail Zubairy. Sử dụng tiêu chuẩn này chúng tôi đã tìm được đan rối của một số trạng thái hai mode. 1 GIỚI THIỆU Đan rối là một tính chất quan trọng trong lý thuyết thông tin lượng tử, đó là nguồn có giá trị, là chìa khoá cho sự phát triển nhanh chóng của tiến trình xử lý thông tin lượng tử, đã có rất nhiều các tiêu chuẩn đan rối được đưa ra, điển hình là tiêu chuẩn G.S. Agarwal - Asoka Biswas [2], tiêu chuẩn Mark Hillery - M. Suhail Zubairy [3], tiêu chuẩn E. Shchukin and W. Vogel [6]... Nhưng chưa có tiêu chuẩn nào là tổng quát. Tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha - Jaewan Kim [4] được đưa ra góp phần vào hệ thống các tiêu chuẩn phát hiện đan rối của trạng thái hai mode và cơ sở để tìm ra tiêu chuẩn đan rối tổng quát sau này. 2 TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM Xét các toán tử mômen động lượng trong nhóm SU(2) là Jx, Jy, Jz tuân theo hệ thức giao hoán [Ji, Jj ] = iεijkJk [4]. Các toán tử này được mô tả bởi toán tử Hamiltonian của hệ hai mức a và b là: Jx = 1 2 (a+b+ ab+), Jy = 1 2i (a+b− ab+), Jz = 12(a +a− b+b). (1) Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 01(17)/2011: tr. 29-35 30 NGUYỄN THANH CƯ - TRƯƠNG MINH ĐỨC Xét phương sai (∆Jx)2ρ = 〈J2x〉ρ − 〈Jx〉2ρ = 1 4 〈a+2b2 + a2b+2 + a+abb+ + aa+b+b〉ρ − 14〈a +b+ ab+〉2ρ. (2) Tương tự (∆Jy)2ρ = − [ 1 4 〈a+2b2 + a2b+2 − a+abb+ − aa+b+b〉ρ − 14〈a +b− ab+〉2ρ ] . (3) Xét các toán tử mômen động lượng trong nhóm SU(1,1) [4] làKx,Ky,Kz tuân theo hệ thức giao hoán [Ki,Kj ] = iεijkKk. Các toán tử này được mô tả bởi toán tử Hamiltonian của hệ hai mức a và b là: Kx = 1 2 (a+b+ + ab),Ky = 1 2i (a+b+ − ab),Kz = 12(a +a− b+b+ 1) (4) Do [Kx,Ky] = iKz, nên theo hệ thức bất định Schro¨dinger-Robertson được đưa ra năm 1930 [5], [7] ta có: 〈(∆Kx)2〉〈(∆Ky)2〉 ≥ 14 |Kz| 2 + 〈∆Kx∆Ky〉2S > 0. (5) Nếu một trạng thái hai mode là chia tách được thì bất đẳng thức (5) vẫn giữ nguyên ý nghĩa vật lý khi chuyển vị từng phần [4] cho các mode của toán tử, ví dụ như chuyển vị cho mode b: 〈a+manb+pbq〉ρPT = 〈a+manb+qbp〉ρ Do vậy, bất đẳng thức (5) thoả mãn sự chuyển vị từng phần đối toán tử mật độ ρPT 〈(∆Kx)2〉ρPT 〈(∆Ky)2〉ρPT ≥ 1 4 |Kz|2ρPT + 〈∆Kx∆Ky〉2ρPT ,S > 0, (6) trong đó (∆Kx)2ρPT ≡ 〈K2x〉ρPT − 〈Kx〉2ρPT = 1 4 〈a+2b2 + a2b+2 + a+abb+ + aa+b+b〉ρ − 14〈a +b+ ab+〉2ρ + 1 4 , (7) kết hợp với phương trình (2), ta tìm được (∆Kx)2ρPT ≡ (∆Jx)2ρ + 1 4 . (8) Tương tự (∆Ky)2ρPT ≡ (∆Jy)2ρ + 1 4 . (9) 〈∆Kx∆Ky〉ρPT ,S = 〈∆Jx∆Jy〉ρ,S . (10) TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM VÀ ÁP DỤNG... 31 Thay phương trình (8), (9) và (10) vào (6) ta tìm được điều kiện tách mức cho các trạng thái đan rối hai mode[ 1 + 4(∆Jy)2 ] [ 1 + 4(∆Jx)2 ] ≥ (1 + 〈N+〉)2 + 16〈∆Jx∆Jy〉2S , (11) trong đó 〈∆Jx∆Jy〉 =12〈JxJy + JyJx〉+ 〈Jx〉〈Jy〉 = 1 2i 〈a+a+bb− aab+b+〉+ 1 4i 〈a+b+ ab+〉〈a+b− ab+〉. (12) Nếu một trạng thái hai mode nào đó vi phạm bất đẳng thức (11) thì ta có thể kết luận trạng thái đó đan rối, nghĩa là chúng phải thoả mãn:[ 1 + 4(∆Jy)2 ] [ 1 + 4(∆Jx)2 ] < (1 + 〈N+〉)2 + 16〈∆Jx∆Jy〉2S , (13) hay[ 1− 〈a+2b2 + a2b+2 − a+abb+ − aa+b+b〉+ 〈a+b− ab+〉2]×[ 1 + 〈a+2b2 + a2b+2 + a+abb+ + aa+b+b〉 − 〈a+b+ ab+〉2] < (1 + 〈a+a+ b+b〉)2 + 16 ( 1 2i 〈a+a+bb− aab+b+〉+ 1 4i 〈a+b+ ab+〉〈a+b− ab+〉 )2 . (14) Đây chính là tiêu chuẩn đan rối Hyunchul Nha và Jaewan Kim đã đưa ra 2006. Do 16〈∆Jx∆Jy〉2S ≥ 0, nên từ (11) ta suy ra được[ 1 + 4(∆Jy)2 ] [ 1 + 4(∆Jx)2 ] ≥ (1 + 〈N+〉)2. (15) Vì vậy, một trạng thái hai mode đan rối là khi chúng vi phạm bất đẳng thức (11) hay thoả mãn bất đẳng thức [ 1 + 4(∆Jy)2 ] [ 1 + 4(∆Jx)2 ] < (1 + 〈N+〉)2 hoặc[〈a+ab+b〉+ 〈aa+bb+〉+ 〈a+2b2〉+ 〈a2b+2〉 − 〈a+b+ ab+〉2]×[〈a+ab+b〉+ 〈aa+bb+〉 − 〈a+2b2〉 − 〈a2b+2〉+ 〈a+b− ab+〉2] < ∣∣〈a+a+ bb+〉∣∣2 . (16) Đây chính là tiêu chuẩn dò tìm đan rối do G.S. Agarwal - Asoka Biswas [2] đưa ra năm 2005. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai đại lượng dương [ 1 + 4(∆Jx)2 ] và [ 1 + 4(∆Jy)2 ] , ta được [ 1 + 4(∆Jy)2 ] + [ 1 + 4(∆Jx)2 ] ≥ 2√[1 + 4(∆Jy)2] [1 + 4(∆Jx)2] ≥ 2 √ (1 + 〈N+〉)2 =⇒ (∆Jy)2 + (∆Jx)2 ≥ 12 |〈N+〉|, (17) 32 NGUYỄN THANH CƯ - TRƯƠNG MINH ĐỨC Từ đẳng thức (17), Mark Hillery và M. Suhail Zubairy sử dụng thêm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để đưa ra tiêu chuẩn phát hiện đan rối [1], [3] gồm một lớp các bất đẳng thức | 〈ab+〉 | > 〈a+ab+b〉1/2 = 〈NaNb〉1/2 , | 〈ab〉 |2 > 〈a+a〉 〈b+b〉 = 〈Na〉 〈Nb〉 , (18) hoặc | 〈a+b〉 | > 〈a+ab+b〉1/2 = 〈NaNb〉1/2 , | 〈a+b+〉 |2 > 〈a+a〉 〈b+b〉 = 〈Na〉 〈Nb〉 . (19) Đây chính là tiêu chuẩn dò tìm đan rối do Mark Hillery - M. Suhail Zubairy đưa ra năm 2006. 3 ÁP DỤNG TIÊU CHUẨN HYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM VÀO VIỆC DÒ TÌM ĐAN RỐI CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE. Cũng như hai tiêu chuẩn G.S. Agarwal - Asoka Biswas và Mark Hillery - M. Suhail Zubairy. Tiêu chuẩn Hyunchul Nha - Jaewan Kim có thể dò tìm được sự đan rối của các trạng thái hai mode mà hai tiêu chuẩn trước đó tìm được như: trạng thái hỗn hợp, trạng thái chân không bị nén hai mode, trạng thái kết hợp thêm hai photon hai mode, trạng thái kết hợp hai mode chồng chập đối xứng... Ngoài ra, tiêu chuẩn Hyunchul Nha - Jaewan Kim có thể phát hiện thêm sự đan rối của của các trạng thái khác mà hai tiêu chuẩn G.S. Agarwal - Asoka Biswas và Mark Hillery - M. Suhail Zubairy không phát hiện được. ¦ Xét trạng thái hỗn hợp có dạng ρ = s |Ψ01〉 〈Ψ01|+ 1− s4 P01, (20) trong đó 0 ≤ s ≤ 1, P01 là toán tử chiếu trong không gian được khai triển bởi các vectơ {|0〉a |0〉b , |0〉a |1〉b , |1〉a |0〉b , |1〉a |1〉b}, (21) |Ψ01〉 là trạng thái Bell có dạng |Ψ01〉 = |0〉a |1〉b + |1〉a |0〉b√ 2 . (22) Phương trình (30) có thể được viết lại như sau ρ = s |Ψ01〉 〈Ψ01|+ 1− s4 {|0〉a |0〉b b 〈0|a 〈0|+ |0〉a |1〉b b 〈1|b 〈0| + |1〉a |0〉b b 〈0|a 〈1|+ |1〉a |1〉b b 〈1|a 〈1|}. (23) Ta có các trị trung bình: 〈 a+b 〉 = s 2 , 〈ab+〉 = s2 , 〈 a+2b2 〉 = 0, (24) TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM VÀ ÁP DỤNG... 33 〈 a2b+2 〉 = 0, 〈a+a〉 = 12 , 〈 b+b 〉 = 1 2 , 〈 bb+ 〉 = 3 2 , (25) 〈NaNb〉 = 〈 a+ab+b 〉 = 1− s 4 , 〈 aa+bb+ 〉 = 9− s 4 . (26) Theo đẳng thức (7), ta có:[ 1− s 4 + 9− s 4 + 0 + 0− (s 2 + s 2 )2 ] [ 1− s 4 + 9− s 4 − 0− 0 + 0 ] < 4, (27) biến đổi đại số ta được 2s3 − 9s2 − 10s+ 9 < 0. (28) Giải bất phương trình (28) kết hợp với điều kiện đầu (0 ≤ s ≤ 1) ta tìm được nghiệm của s. Vậy trạng thái đan rối khi giá trị s thoả mãn 0, 61027 < s ≤ 1 (29) Đối với trạng thái này, nếu chúng ta dùng tiêu chuẩn G.S. Agarwal - Asoka Biswas và Mark Hillery - M.Suhail Zubairy thì cũng phát hiện được sự đan rối và khoảng để đan rối cũng gần đúng với khoảng phát hiện rối do tiêu chuẩn Hyunchul Nha - Jaewan Kim tìm ra. ¦ Xét trạng thái hai photon hai mode có dạng: |Ψ〉ab = cosθ|2〉a|0〉b + isinθ|0〉a|2〉b (30) trong đó i2 = −1, cosθ và sinθ là các hằng số. Ta tính các trị trung bình:〈 a+a 〉 = 2cos2θ, 〈 b+b 〉 = 2sin2θ, 〈 a+b 〉 = 0,〈 ab+ 〉 = 0, 〈ab〉 = 0, 〈a+b+〉 = 0,〈 a+ab+b 〉 = 0, 〈 a+abb+ 〉 = 〈 a+ab+b 〉 + 〈 a+a 〉 = 2cos2θ,〈 aa+bb+ 〉 = 〈 a+ab+b 〉 + 〈 a+a 〉 + 〈 b+b 〉 + 1 = 3,〈 a+a+bb 〉 = 2isinθcosθ = isin2θ,〈 aab+b+ 〉 = −2isinθcosθ = −isin2θ. (31) Thay tất cả các kết quả ở (31) vào điều kiện đan rối của Hyunchul Nha - Jaewan Kim (14), ta có:[ 1− (isin2θ − isin2θ − 2cos2θ − 2sin2θ)+ (0− 0)2]×[ 1 + ( isin2θ − isin2θ + 2cos2θ + 2sin2θ)+ (0 + 0)2] < (1 + 2cos2θ + 2sin2θ) + [ 1 2i (isin2θ + isin2θ)− 1 4i (0 + 0)(0− 0) ]2 (32) 34 NGUYỄN THANH CƯ - TRƯƠNG MINH ĐỨC suy ra 9 < 9 + sin22θ. (33) Bất đẳng thức (33) luôn luôn được thoả mãn với mọi θ 6= kpi, k ∈ Z. Vì vậy trạng thái hai photon hai mode đan rối khi θ 6= kpi, k ∈ Z. Nếu chúng ta dùng tiêu chuẩn đan rối của G.S. Agarwal - Asoka Biswas (16) và tiêu chuẩn gồm một lớp các bất đẳng thức của Mark Hillery - M.Suhail Zubairy ở (18), (19) thì không phát hiện được sự đan rối của trạng thái hai photon hai mode. 4 KẾT LUẬN Trong bài báo này, chúng tôi đã cung cấp tiêu chuẩn đan rối cho hệ hai mode của Hyunchul Nha - Jaewan Kim dưới dạng bất đẳng thức (16). Tiêu chuẩn này là tương đối rõ ràng, đầy đủ và chỉ ra được các tiêu chuẩn đan rối của G.S. Agarwal - Asoka Biswas và Mark Hillery - M.Suhail Zubairy là trường hợp riêng của tiêu chuẩn Hyunchul Nha - Jaewan Kim. Mặt khác, những kết quả mà chúng tôi thu được hoàn toàn phù hợp với những kết quả đã công bố trước đó. Không những thế, bất đẳng thức mà chúng tôi đưa ra để phát hiện sự đan rối của trạng thái hai mode là mạnh hơn các bất đẳng thức do G.S. Agarwal - Asoka Biswas và Mark Hillery - M.Suhail Zubairy đưa ra trước đó. Vì vậy, để dò tìm sự đan rối của các trạng thái hai mode ta chỉ cần sử dụng tiêu chuẩn của Hyunchul Nha - Jaewan Kim là đủ. Tuy nhiên, đây vẫn chưa phải là tiêu chuẩn tổng quát trong việc dò tìm đan rối. Nhưng nó góp phần vào việc tìm ra các tiêu chuẩn dò tìm đan rối mạnh hơn không chỉ dừng lại ở hai mode mà có thể tiến xa hơn là ba mode, bốn mode hay nhiều hơn nữa. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Hoàng Phương Hà (2006). Tiêu chuẩn mới về đan rối cho hệ hai mode. Luận văn thạc sĩ, Chuyên ngành vật lý lý thuyết, Trường ĐHSP Huế, ĐH Huế. [2] G. S. Agarwal and Asoka Biswas (2005). Inseparability inequalities for higher order moments. New Journal of Physics. 7, 211. [3] Mark Hillery and M. Suhail Zubairy (2006). Entanglement Conditions for Two-Mode States. The American Physical Society, 96, 050503. [4] Hyunchul Nha and Jaewan Kim (2006). Entanglement criteria via the uncertainty relations in SU(2) and SU(1,1) algebras: Detection of non-Gaussian entangled states. The American Physical Society, 74, 012317. TIÊU CHUẨN ĐAN RỐI HYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM VÀ ÁP DỤNG... 35 [5] E. Schro¨dinger, Sitzunsber, Press. Akad. Wiss (1930). Math. KI. Phys., 19, 296. [6] E. Shchukin and W. Vogel (2005). The American Physical Society, 95, 230502. [7] Dong Yan, Zhongsheng Pu, Lijun Song, Xiaoguang Wang (2007). Entanglement con- dition for mixed SU(2) and SU(1,1) systems, Int. J. Theor Phys. 47, 14321440. Title: ENTANGLEMENT CRITERIA HYUNCHUL NHA - JAEWAN KIM AND THE APPLICATION TWO MODE ENTANGLED STATES Abstract: In this paper, we used Hyunchul Nha and Jaewan Kim entanglement criterion to study entanglement property of two mode states. The obtained results show that, this criterion includes two criteria given by G.S. Agarwal-Biswas criterion and Hillery-Zubairy. Using this criterion, we found the entanglement criterion of several two-mode states. ThS. NGUYỄN THANH CƯ Trường THPT Gia Hội, thành phố Huế TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế