Tài liệu môn học Toán kỹ thuật

Toán kỹ thuật I. Giải tích Fourier II. Phép biến đổi Laplace III.Hàm phức và ứng dụng Hàm phức và ứng dụng 1. Hàm giải tích 2. Tích phân phức 3. Chuỗi hàm phức 4. Lý thuyết thặng dư 5. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư 6. Phép biến đổi bảo giác 1. Hàm giải tích a. Hàm biến phức b. Giới hạn và liên tục c. Đạo hàm d. Điều kiện Cauchy – Riémann e. Các tính chất của hàm giải tích f. Cám hàm phức sơ cấp 1. Hàm giải tích a. Hàm biến phức Định nghĩa: Ví dụ: w = f(z) với z = x + jy w = u(x,y) + jv(x, y) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( , ) ; ( , ) w f z u x y jv x y z x y f z j x jy x y x y x y u x y v x y x y x y                 1. Hàm giải tích b. Giới hạn và liên tục Định nghĩa: Giới hạn: Liên tục: Hàm f(z) gọi là liên tục tại z0 nếu:   0 0 0 0 lim ( ) 0, ( ) : ( ) , 0 ( ) z z f z w f z w z z z                  0 0lim ( ) ( ) z z f z f z   1. Hàm giải tích c. Đạo hàm Định nghĩa: Với điều kiện nào thì hàm biến phức f(z) có đạo hàm? 0 ( ) ( ) ' '( ) lim z dw f z z f z w f z dz z         1. Hàm giải tích d. Điều kiện Cauchy – Riémann w = f(z) = u(x,y) + jv(x,y) Điều kiện Cauchy – Riémann: - f(z) có đạo hàm tại z = z0  f(z) thỏa điều kiện Cauchy – Riémann tại z0. - f(z) có đạo hàm tại z = z0 và tại mọi điểm trong lân cận của z0: f(z) giải tích tại z0. z0 là một điểm thường của f(z). - f(z) giải tích trong D  f(z) giải tích tại mọi điểm trong D. u v x y u v y x             1. Hàm giải tích d. Điều kiện Cauchy – Riémann Đạo hàm của hàm giải tích: Ví dụ: Khảo sát điều kiện Cauchy – Riémann cho các hàm số sau: Giải: a, c: xem sách.   2 . ( ) . ( ) .Re . ( ) . ( ) z a f z z b f z z z c f z z d f z e     '( ) u v v u f z j j x x y y             1. Hàm giải tích d. Điều kiện Cauchy – Riémann f(z) chỉ tồn tại đạo hàm tại z = 0.  ( ) cos . ( ) cos sin sin cos ; cos ; sin ; sin '( ) (cos sin ) x x jy x x x x x x x z u e y d f z e e y j y v e y u v e y e y x y u v e y e y y x u v f z j e y j y e x x                                                          2 2. ( ) ( ) ( , ) ; ( , ) 2 ; ; 0; b f z x jy x x jxy u x y x v x y xy u v u v x x y x y y x                    1. Hàm giải tích d. Điều kiện Cauchy – Riémann Ví dụ: cho u(x,y) = x2 – y2 + 2x; tìm hàm v(x,y) sao cho f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích. Giải: Điều kiện Cauchy – Riemann: Có thể chọn C bất kỳ, giả sử C = 0: f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( ) v u x v xy y F x y x u v dF y y F x C y x dx                         1. Hàm giải tích e. Các tính chất của hàm giải tích: Khái niệm Hàm điều hòa: Φ(x,y) được gọi là hàm điều hòa nếu thỏa phương trình Laplace: Tính chất 1: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích thì u, v là hai hàm điều hòa. Trong trường hợp này u, v được gọi là hai hàm điều hòa liên hợp. Ví dụ: xét hàm: f(z) = x2 – y2 + 2x + j(2xy + 2y) = z2 + 2z 2 2 2 2 0 x y         1. Hàm giải tích e. Các tính chất của hàm giải tích: Tính chất 2: Nếu f(z) = u + jv là hàm giải tích trong miền D thì các đường cong u(x,y) = c1 là những quỹ đạo trực giao với các đường cong v(x,y) = c2. Tính chất 3: Nếu f(z) = u(x,y) + jv(x,y) là hàm giải tích, thay ta sẽ thu được hàm theo biến z. ; 2 2 z z z z x y i     1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp i. Hàm mũ ez: Các tính chất: cos sinz x xe e y je y  0 2 1 0; 1/ ; 1 2 ; / z w z w z z z jt jt z z n j z z z e e e e e z e e e e t e z n j n e e de dz e                            1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp i. Hàm mũ ez: Ví dụ: Giải phương trình ez = 1 + 2j Giải: 2 cos sin 1 2 cos 1 5 sin 2 tan 2 1 ln 5 1 ln 5 arctan(2)2 2 arctan(2) z x x x x x e e y je y j e y e e y y x z j y                      1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp ii. Hàm lượng giác cosz, sinz: cos ; sin 2 2      jz jz jz jze e e e z z j 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cos sin 1 cos cosh ; sin sinh cos cos( ) cos cosh sin sinh sin sin( ) sin cosh cos sinh cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin (cos ) / sin ; (sin                           z z jy y jy j y z x jy x y j x y z x jy x y j x y z z z z z z z z z z z z d z dz z d ) / cos sin 0 ; cos 0 (2 1) / 2; sin( 2 ) sin ; cos( 2 ) cos ;                     z dz z z z n z z n n z n z z n z n 1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp iii. Hàm hyperbol: Các tính chất: cosh ; sinh 2 2 sinh cosh tanh ; coth cosh sinh        z z z ze e e e z z z z z z z z cosh cos ; sinh sin cosh cosh cos sinh sin sinh sinh cos cosh sin          jy y jy j y z x y j x y z x y j x y 1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp iv. Hàm logarithm lnz : Nhánh chính: Lnz = lnr + iθ (n = 0) Các tính chất: ln ln ln ( 2 ) ln ln | | arg( )                     w j w z e z z r j n z z j zz re 1 2 1 2 1 1 2 2 ln( ) ln ln ln ln ln ln lnm z z z z z z z z z m z         1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp iv. Hàm logarithm lnz : Ví dụ:    2 4 2 1 ln(1 ) ln 2 ln 2 2 4 ln( 3) ln 3 ln 3 (2 1) j n j n j e j n e j n                                     1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp v. Hàm lũy thừa zs: Nhánh chính: Ví dụ: 2 22 ln 1 2 . 2 2 2 ln (4 1)2 (1 ) ln 2 2 ln 2 2ln 2 2 41 (1 )ln(1 ) 44 2 4 (1 ) 2 cos ln 2 2 sin ln 2 2 4 4 j n j e j j n j j j n j j n j nn j j j n j e e e e j e e e e e n j n                                                                                    2 42 cos ln 2 sin ln 2 4 4 n e j                              ln ; 1 s s z s s z e s z z     Ln ; | | 0; args s zz e z z      1. Hàm giải tích f. Các hàm phức sơ cấp vi. Hàm lượng giác ngược và hypebolic ngược:         2 2 2 2 arcsin ln 1 arccos ln 1 1 arctan ln 2 arcsinh ln 1 arccosh ln 1 1 1 arctanh ln 2 1 z j z z z j z z j z z j j z z z z z z z z z z                     1. Hàm giải tích g. Các ví dụ 1. Kiểm tra xem các hàm sau có phải là hàm giải tích? 2. Tìm a, b để hàm sau là hàm giải tích, tính dw/dz Viết lại hàm w và dw/dz theo biến z? 3. Cho u = 2x(1 – y), tìm hàm v(x,y) để f(z) = u + jv là hàm giải tích? . .sin 4 .cos 2 za ze b z c z 2 2 2 22 ( 2 )     w x ay xy j bx y xy