Tài liệu Để đạt được điểm 7 môn Toán trong kì thi THPT quốc gia 2015

, , 31 . . 3 S ABC S ABC SBCA SBC A SBC SBC V V d S d S    Mà: 21 1. . . 2.2 2 2 2 SBCS SM BC a a a   Do: 2 2 2 22 2SM SA AM a SM a     Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 117 Bài tập: Bài toán liên quan khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: 1. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=SB=SC=a. Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ S đến mp(ABC) 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD 3 2 a  hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD). 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, 30oABC  , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). 4. Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A‟ lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AB, góc giữa A‟C và mặt đáy bằng 60o . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ và khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC‟A‟). 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). 6. Cho lăng trụ ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD 3a . Hình chiếu vuông góc của điểm A‟ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD‟A‟) và (ABCD) bằng 60o . Tính thể tích khối lăng trụ đã chó và khoảng cách từ điểm B‟ đến mặt phẳng (A‟BD) theo a. 7. Cho lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA‟ 2a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B‟C. 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, 120oBAD  , M là trung điểm cạnh BC và 45oSMA  . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). 9. Cho hình hộp đứng ABCD.A‟B‟C‟D‟ có đáy là hình vuông, tam giác A‟AD vuông cân, A‟C a . Tính thể tích khối tứ diện ABB‟C‟ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD‟) theo a. 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a ; mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết SB 2 3a và 30oSBC  . Tính thể tích khối chớp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 118 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A‟B‟C‟ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA‟=2a, A‟C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A‟C‟, I là giao điểm của AM và A‟C. Tính theo a thể tích khối tứ diện I.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC). 12. Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có đáy là tam giác vuông tại A, AC=a, 60oACB  . Đường thẳng B‟C tạo với mặt phẳng (ACC‟A‟) một góc 30o . Tính thể tích lăng trụ theo a và khoảng cách giữa điểm C‟ và mặt phẳng (AB‟C). Các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích : 13. Cho tình chóp S.ABC có AB, AC, SA đôi một vuông góc. M, N lần lượt là trung điểm SB và SC. Tính: a. Thể tích hình chóp S.AMN biết AB=AC=SA=a b. Mp(AMN) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 14. Cho hình chóp S.ABC có điểm M là trung điểm SA. Mặt phẳng qua M và song song mp(ABC) cắt SB tại N, SC tại P. Tính: a. Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.ABC b. Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.AMN 15. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SC tại C‟, cắt SB tại B‟ chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa 2 phần đó. 16. Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) qua SG và song song với AB chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 17. Cho tứ diện đều ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là điểm trên cạnh SA sao cho SN=3NA. Mp(NGB) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích của hai phần đó. 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, có SA=SB=SC và đôi một vuông góc. a. Mặt phẳng qua trung điểm M của BC và vuông góc AC chia hình chóp thành hai phần. Tính thể tích hai phần đó. b. Điểm N trên cạnh BD và BD=3BN, mặt phẳng qua N và vuông góc CD chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 19. Cho hình chóp S.ABC có điểm M trên SA sao cho AM=2SM, N trên SB sao cho BN=2SN. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chí khối chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 119 20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành, M là trung điểm SB. Mặt phẳng qua AM là song song với BC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó. 21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là điểm trên cạnh SB. Mặt phẳng qua AM và song song BD chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó trong các TH sau: a. SM=2MB b. M là trung điểm SB 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có AD//BC, mặt phẳng qua AD song song BC cắt SB tại M, cắt SC tại N chia hình chóp thành hai phần bằng nhau . Tính tỉ số SM SB 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt phẳng (P) qua AB cắt SC, SD tại M và N chia hình chóp thành hai phần bằng nhau. Tính tỉ số SM SC 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. B‟, D‟ lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AB‟D‟) cắt SC tại C‟. Tính tỉ số thể tích của S.AB‟C‟D‟ và S.ABCD 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SA=a . Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SB tại B‟, SC tại C‟, SD tại D‟. Tính tỉ số thể tích giữa hai hình chóp S.AB‟C‟D‟ và S.ABCD. 26. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AD, SC . Chứng minh mp(MNP) chia hình chóp thành hai phần bằng nhau. 27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều a, SA vuông góc đáy và SA=2a. M là trung điểm SB. Mặt phẳng qua AM song song BC cắt SC tại N. Tính thể tích hình chóp S.AMN và khoảng cách từ A đến mp(SBC) 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SB tạo với đáy một góc 45o . Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SB tại B‟, SC tại C‟, SD tại D‟. Tính thể tích hình chóp S.AB‟C‟D‟và: a. Khoảng cách từ S đến mp(AB‟C‟D‟) b. Khoảng cách từ B‟ đến mp(SAC) 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật SA vuông góc đáy SA=AB=a, AC=2a. Điểm M là trung điểm SA và N trên SB thõa mãn SN=2NB, mặt phẳng (P) qua MN và song song AD cắt SC tại P, SD tại Q. a. Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được chia bởi mp(P). Từ đó suy ra thể tích S.NMPQ Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 120 b. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNPQ) 30. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Điểm C‟ là trung điểm SC, mặt phẳng qua AM và song song BD cắt SB tại B‟, SD tại D‟. Tính thể tích khối đa diện B‟C‟D‟.ABCD và khoảng cách từ giao điểm O của AC và BD đến mp(AB‟C‟D‟) Các bài toán về khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau: 31. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. 32. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o . Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH 3a . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. 34. Cho lăng trụ ABC.A‟B‟C‟ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a , AC 3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A‟ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A‟.ABC và tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA‟ và B‟C‟. 35. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 121 F. SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN. I. Phƣơng pháp:  Bước 1: Ráp trục tọa độ vào bài toán hình không gian.  Bước 2: Suy ra tọa độ của các đỉnh, các điểm trên hệ trục vừa ghép.  Bước 3: Tùy vào yêu cầu của bài toán ta viết thêm phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng.  Bước 4: Sử dụng các tính chất về Oxyz để làm.  Chú ý:  Bài toán ghép trục Oxyz yêu cầu tính toán dựa trên tính chất của véctơ, đường và mặt trong không gian nên phải có kiến thức cơ bản về Oxyz ở phần trên.  Phương pháp ghép trục Oxyz sẽ làm cho bài toán hình không gian trở nên dễ giải quyết hơn ở một khía cạnh nào đó.  Ta thường ghép trục để tính khoảng cách và góc trong bài toán hình không gian. II. Các bài toán ghép trục thƣờng gặp và cách suy ra tọa độ của các đỉnh. Các bài toán thƣờng gặp Cách ghép trục  S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, hình vuông  SA vuông góc đáy. Khi đó: (0;0;0)A   ;0;0B AB  ;0;C AB AD  0;0;D AD  0; ;0S SA A B D C S x z y Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 122  S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, hình vuông.  Các cạnh bên bằng nhau (SO vuông góc đáy). Khi đó: (0;0;0)A   ;0;0B AB  ;0;C AB AD  0;0;D AD ; ; 2 2 AB AD S SO        O A B D C S x z y  S.ABCD có đáy là hình thoi, hình vuông.  Có SO vuông góc đáy. Khi đó: (0;0;0)O  ( ;0;0)A AO   0;0;B OB   ;0;0C OC  0;0;D OD  0; ;0S SO O A B D C S z y x Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 123  S.ABCD có đáy là hình bình hành, hình thoi.  SA vuông góc đáy: Khi đó : (0;0;0)A   ;0;0B AB  ;0;C AB AH DH   ;0;D AH DH  0; ;0S SA  Đáy là hình bình hành.  Có SO vuông góc đáy. Khi đó: (0;0;0)A   ;0;0B AB  ;0;C AB AH DH   ;0;D AH DH ; ; 2 2 AB AH DH S SO         A B D C S x z y H O A B D C S x z y H Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 124  S.ABC có đáy là tam giác vuông, tam giác đều.  SA vuông góc đáy Khi đó: (0;0;0)A   ;0;0B AB  ;0;C AH CH  0; ;0S SA A B C S x z y H  S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a.  Các cạnh bên bằng nhau. Khi đó: (0;0;0)A   a;0;0B    3 ;0; ; ; 2 2 a a C AH CH o            3 ; ; ; ; 2 6 a a S AH SO OH SO          O A B C S x z y H Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 125 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh, SA vuông góc đáy và 15SA a . Điểm M là trung điểm CD, góc giữa SM và mặt phẳng đáy bằng 30 o , N là trung điểm SB. Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ N đến mặt phẳng (SAM). Giải: A B D C S ( x y z M N Ta có:    0,a 15,0 , ,0,2AS AM a a        2 2, 2 15 ,0, 15 2,0, 1SAM AS AM a a n         Suy ra phương trình mặt phẳng (SAM):           : 2 0 0 0 0 0 : 2 0 SAM x y z SAM x z         Khoảng cách từ N đến mp(SAM)    2 2 2 0 2 52 1 N SAM a a d     Do SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu của S lên mp(ABCD) Suy ra góc giữa SM và mp(ABCD) là góc giữa SM và AM 30 oSMA  Suy ra: 1 .tan30 15 5 3 oAM SA a a   Gọi cạnh hình vuông là x Ta có : 5 , 2 2 x x AD x DM AM    2 2 5 5 2 2 4ABCD x a x a S x a        Vậy thể tích : 3 . 1 4 15 . 3 3 S ABCD ABCD a V SAS  (dvtt) Ghép hệ trục tọa độ như hình, với : A trùng với gốc tọa độ O AB trùng với trục Ox AS trùng với trục Oy AD trùng với trục Oz Suy ra:           0,0,0 , 2 ,0,0 , 0,0,2 2 ,0,2 , 0, 15,0 A B a C a D a a S a      Tọa độ M, N là trung điểm CD và SB nên:   15 ,0,2 , , ,0 2 a M a a N a          Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 126 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC tam giác vuông tại B góc 30oACB  , AC=2a. Hình chiếu của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của cạnh AC, 2SH a . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). -Đề minh họa của Bộ Giáo Dục Và Đào Tạo 2015- Giải: (A C B S y x z HK Ta có:  3,0, , , 2,0 2 2 a a AB AS a a         2 2 23 3 , , , 22 2 a a a AB AS                6, 3, 2SABn   Suy ra phương trình mp(SAB)           : 6 0 3 0 2 0 0 : 6 3 2 0 SAB x y z SAB x y z            Khoảng cách dừ C đến mp(SAB):          , 2 2 2 6.2a 3.0 2.0 2 6 11 6 3 2 C SAB a d         Ta có: .sin30 cos30 3 o o AB AC a BC AC a     21 3 . 2 2 ABC a S AB BC   Vậy thể tích 3 . 1 6 . 3 6 S ABC ABC a V SH S  Ghép hệ trục như hình: A trùng với gốc tọa độ O AC trùng với trục Ox Ay trùng với trục Oy Az trùng với trục Oz Suy ra:      0,0,0 , 2 ,0,0 , , 2,0A C a S a a  Hạ BK vuông góc AC, ta có: . 3 . . 2 AB BC a BK AC AB BC BK AC     2 2 2 2 4 2 a a AK AB BK AK     Suy ra tọa độ 3 ,0, 2 2 a a B         Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 127 Những bài toán hình không gian sẽ ở mức Trung Bình nên ta có thể làm bằng nhiều cách khác nhau. Chọn cách nào các em thấy phù hợp và dễ hiểu nhất. Tự ghép trục cho các bài toán khoảng cách ở phần trên để rèn luyện. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 128 TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT A. Bài toán đếm tổng quát I. Các định nghĩa: 1. Quy tắc cộng: Khi giải quyết một sự việc được chia thành nhiều trường hợp thì ta sử dụng quy tắc cộng: Trường hợp 1: có a cách Trường hợp 2: có b cách .. Trường hợp n: có z cách Vậy ta có a+b+...+z cách thực hiện 2. Quy tắc nhân: Khi giải quyết một sự việc nhưng phải trải qua nhiều giai đoạn mới hoàn thành thì ta sử dụng quy tắc nhân: Giai đoạn 1: có a cách Giai đoạn 2: có b cách ... Giai đoạn n: có z cách Vậy ta có a.bz cách thực hiện 3. Hoán vị : Cho tập hợp A có n phần tử. một hoán vị của n phần tử của A là một bộ sắp thứ tự n phần tử này, mỗi phần tử có mặt đúng một lần. Số các hoán vị của n phần tử : ! 1.2.3...nP n n  4. Chỉnh hợp : Cho tập hợp A có n phần tử và một số nguyên dương k, 1 k n  Chỉnh hợp n chập k phần tử của tập A là một bộ sắp thứ tự k phần tử từ n phần tử của A Số chỉnh hợp n chập k : ! ( )! k n n A n k   5. Tổ hợp : Cho tập hợp A có n phần tử và một số nguyên dương k, 1 k n  Tổ hợp n chập k phần tử của tập A là số tập con của A có k phần tử. Số tổ hợp n chập k : ! k!( )! k n n C n k   Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 129 6. Phân biệt :  Dùng qui tắc cộng khi làm một việc mà có nhiều trường hợp xảy ra quanh việc đó.  Dùng qui tắc nhân khi làm một việc mà phải trải qua đầy đủ các bước mới hoàn thành công việc đó.  Dùng hoán vị khi ta sắp xếp n vật vào n vị trí cố định.  Dùng chỉnh hợp khi chọn ra k vật trong n vật cho trước mà có xét thứ tự, có nghĩa là k vật lấy ra nếu một lần thay đổi vị trí sẽ cho ta một kết quả thì ta dùng chỉnh hợp.  Dùng tổ hợp khi chọn ra k vật trong n vật cho trước mà không xét thứ tự, có nghĩa là k vật lấy ra dù có thay đổi vị trí như thế nào cũng chỉ là 1 kết quả mà thôi. II. Các bài toán thƣờng gặp : 1. Bài toán 1 : Xếp vị trí  Xếp thành dãy : Xếp n đối tượng vào một dãy liên tiếp thì ta có !n cách xếp.  Xếp vòng tròn : Xếp n đối tượng vào một bàn tròn thì ta sẽ cố định một đối tượng trước rồi sau đó xếp ( 1)n đối tượng còn lại.  Xếp thành dãy sao cho có 1 nhóm k đối tƣợng ngồi gần nhau :  Ta xem k đối tượng là một đối tượng lớn, khi đó ta xếp  1n k  đối tượng vào các vị trí.  Và phải xếp vị trí của k đối tượng trong đối tượng lớn.  Xếp xen kẽ : Xếp m đối tƣợng A và n đối tƣợng B vào một hàng sao cho các đối tƣợng xen kẽ với nhau.(các đối tƣợng nhỏ trong A và B là khác nhau)  Nếu m n thì ta có 2. !. !n n cách  Nếu m n thì ta coi như đã xếp n đối tượng B rồi và xếp m đối tượng A vào các vị trí giữa 2 đối tượng của B. Ví dụ 1 : Trường học tổ chức thi thử, trường có 2 tầng mỗi tầng 10 phòng và có 10 giáo viên nam, 10 giáo viên nữ. Hỏi trường có bao nhiêu cách chia giáo viên coi thi (mỗi giáo viên coi một phòng thi) a) Chia tùy ý. b) Chia sao cho tầng một là giáo viên nữ, tầng 2 là giáo viên nam. c) Mỗi tầng đều có 5 giáo viên nam và 5 giáo viên nữ. Giải : Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 130 a) Có 20 giáo viên được chia vào 20 phòng thi một cách tùy ý thì số cách chia chính là số hoán vị của 20. Ta có : 20! cách chia. b) Chia 20 giáo viên vào 20 phòng sao cho 10 giáo viên nữ ở tầng 1 và 10 giáo viên nam ở tầng 2 : Giai đoạn 1 : Chia sao cho tầng 1 gồm 10 giáo viên nữ thì ta có : 10! cách chia Giai đoạn 2: Chia sao cho tầng 2 gồm 10 giáo viên nam thì ta có : 10! cách chia Để chia hết 20 người thì ta phải trải qua 2 giai đoạn nên theo quy tắc nhân ta có: 10!.10! cách chia c) Chia 20 giáo viên sao cho mỗi tầng bao gồm 5 giáo viên nam và 5 giáo viên nữ : Giai đoạn 1 : Chọn 5 giáo viên nam cho tầng 1 : chọn 5 trong 10 người có 5 10C cách Chọn 5 giáo viên nữ cho tầng 1 : chọn 5 trong 10 người có 5 10C cách Sau khi chọn xong 10 người cho tầng 1 ta chia 10 người vào 10 phòng có 10 ! cách chia Suy ra có 5 2 10 10. .10!C C cách chia giáo viên cho tầng 1. Giai đoạn 2: còn lại 10 giáo viên gồm 5 nam 5 nữ nên ta chỉ việc chia 10 người vào 10 phòng của tầng 2, ta có: 10! Cách chia. Vậy theo quy tắc nhân ta có 5 2 10 10. .10!.10!C C cách chia 20 giáo viên sao cho mỗi tầng gồm 5 giáo viên nam và 5 giáo viên nữ. Ví dụ 2: Bạn Cương và gấu cùng với một nhóm 8 người bạn nữa cùng đi ăn ở một nhà hàng. Mười người được xếp vào ngồi một bàn tròn 10 chổ ngồi. Hỏi coc bao nhiêu cách chia chổ ngồi sao cho: a) Ngồi tùy ý. b) Cương và gấu ngồi gần nhau. c) Cương và gấu không ngồi gần nhau. Giải: a) Xếp 10 người vào ngồi một bàn tròn đầu tiên ta cố định vị trí của một người trước, sau đó ta xếp 9 người còn lại vào 9 vị trí. Ta có: 9! cách xếp b) Để Cương và gấu ngồi gần nhau ta xem Cương và gấu là một đối tượng lớn cần xếp. Riêng Cương và gấu ta có 2! cách xếp Ta xem như đang xếp 9 người vào một bàn tròn, cố định một người ta có: 8! cách xếp. Theo quy tắc nhân ta có: 2! 8! cách xếp để Cương và gấu ngồi gần nhau. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 131 c) Để Cương và gấu không ngồi cạnh nhau ta sử dụng phần bù. Lấy số cách xếp tùy ý trừ đi số cách xếp sao cho Cương và gấu ngồi cạnh nhau, ta có : 9! 2!8! cách xếp. Ví dụ 3 : Anh Dương có 10 quyển sách gồm 5 quyển sách Toán khác nhau và 5 quyển sách Văn khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách để anh Dương xếp thành một chồng 10 quyển sách sao cho : a) Sách Toán và sách Văn nằm xen kẽ nhau. b) 5 quyển sách Toán luôn nằm gần nhau. c) Không có 2 quyển sách Toán nào nằm gần nhau. Giải : a) Để sách Toán và sách Văn nằm xen kẽ nhau thì ta có 2 trường hợp : TH1 : T-V-T-V-T-V-T-V-T-V Với trường hợp này ta thấy sách toán nằm ở 5 vị trí cố định là 1-3-5-7-9 nên có : 5! cách Sách Văn nằm ở 5 vị trí cố định là 2-4-6-8-10 nên có 5! Cách Theo quy tắc nhân cho trường hợp này ta có 5!5! cách xếp. TH2 : V-T-V-T-V-T-V-T-V-T Với trường hợp này ta xếp tương tự với TH1 nên có 5!5! cách xếp Do chia ra 2 TH khác nhau nên theo quy tắc cộng ta có 5!5! 5!5! 2.5!5!  cách xếp. b) Để 5 quyển sách toán luôn nằm gần nhau ta xem 5 quyển sách Toán là 1 đối tượng lớn, số cách xếp cho 5 quyển Toán là : 5! cách. Sau đó ta xếp 1 đối tượng sách Toán với 5 quyển cách Văn thì ta coi như xếp 6 quyển sách nên có : 6! Cách. Theo quy tắc nhân ta có 5!6! cách xếp. c) Để không có 2 cuốn sách toán nào nằm gần nhau thì giữa hai cuốn sách Toán phải là sách Văn. Đầu tiên ta xếp 5 cuốn sách Văn tùy ý, ta có : 5! cách xếp Khi đó sách Toán sẽ nằm ở các khoảng trống - giữa các sách Văn hoặc hai vị trí ngoài cùng : -V-V-V-V-V- Ta thấy có 6 vị trí - mà sách Toán có thể xếp vào. Ta có 5 quyển Toán và 6 vị trí có thể xếp nên ta có 5 6A cách xếp. Vậy theo quy tắc nhân ta có 5 65!A cách xếp. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 132 Bài tập vận dụng : 1) Xếp một nhóm có 10 nam và 10 nữ vào một dãy bàn có 20 chổ ngồi . Hỏi có bao nhiêu cách xếp để : a) Ngồi tùy ý. Đ/s : 20 ! b) Nam nữ ngồi xen kẽ. Đ/s : 2.10!10! c) 10 nam luôn ngồi gần nhau. Đ/s : 10!11! 2) Một gia đình 8 người bao gồm: ông, bà, cha, mẹ, anh trai, chị gái và em út đi ăn tại một nhà hàng. Họ được xếp ngồi vào một bàn tròn, Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí: a) Các thành viên gia đình ngồi tùy ý. Đ/s : 7 ! b) Em út luôn ngồi gần mẹ. Đ/s : 2 !6 ! c) Em út luôn ngồi gần bà và mẹ. Đ/s : 2 !5 ! 3) Một lớp học có 12 nam và 6 nữ chụp hình lưu niệm cuối năm cùng cô giáo. Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí để chụp hình sao cho mỗi một nữ đứng giữa hai nam. Đ/s : 7 1112!A 4) Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 nam và 10 nữ vào một bàn tròn sao cho nam nữ ngồi xen kẽ. Đ/s : 9!10! 5) Một bữa tiệc gồm 10 nam 10 nữ được xếp vào ngồi hai bàn tròn mỗi bàn 10 chổ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp vị trí để nam nữ ngồi xen kẽ. Đ/s :   25 5 10 10 4!5!C C 6) Một nhóm học sinh chuyên toán bao gồm 4 học sinh lớp 12 và 4 học sinh lớp 11. Hỏi có bào nhiêu cách xếp 8 học sinh này vào hai dãy ghế đối diện (mỗi dãy 4 ghế) sao cho hai học sinh ngồi cạnh nhau không cùng lớp và hai học sinh đối diện nhau khác lớp. Đ/s : 2.4!4! 7) Xếp 12 học sinh bao gồm 6 nam và 6 nữ vào một dãy bàn dài 12 chổ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp : a) Nam nữ ngồi xen kẽ. Đ/s : 12! b) Luôn có đúng năm bạn nữ ngồi cạnh nhau. Đ/s : 5 2 6 76!A A c) Luôn có ít nhất năm bạn nữ ngồi cạnh nhau. Đ/s :  5 2 16 7 76! A A A Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 133 8) Có 5 cuốn sách Toán giống nhau, 4 cuốn sách Lý như nhau, 3 cuốn sách Hóa như nhau. Có bao nhiêu cách xếp 12 cuốn sách lên một dãy trên kệ sách: a) Xếp tùy ý. b) Sách Toán và sách Lý xen kẽ nhau. c) Với trường hợp các quyển sách là khác nhau hỏi có bao nhiêu cách xếp để sách Toán và Lý xen kẽ? Đ/s : a) 27720 b) 4 c) 4.3!4!5! 9) Một buổi tiệc sinh nhật được tổ chức tại một nhà hàng gồm 25 người tham dự trong đó có 15 nam và 10 nữ có cả chủ bữa tiệc. Họ được sắp xếp vào một bàn hình chữ nhật dài có 26 chổ ngồi ( bao gồm cả hai đầu, mỗi đầu một chổ ngồi). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để chỉ riêng chủ buổi tiệc được ngồi ở hai đầu bàn và: a) Bên cạnh anh ta luôn là nữ. b) Bên cạnh anh ta là nữ và một nữ bao giờ cũng ngồi giữa hai nam. Đ/s : a) 2 102. .22!A b)   2 6 6 3 5 7 4 10 14 7 10 14 616. 6!6!8!A 50. 7!C C C C A 10) Một lớp học gồm 41 thành viên tham gia học quân sự ở sân trường, gồm 24 nam và 17 nữ. Khi đại đội trưởng ra hiệu thì 41 thành viên sẽ xếp ngẫu nhiên thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp : a) Bạn nữ luôn đứng đầu và cuối hàng. b) Không có hai bạn nữ nào đứng cạnh nhau. c) 17 bạn nữ luôn đứng cạnh nhau. Đ/s : a) 2 17.39!A b) 17 2524!A c) 1 2517!24!A Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 134 2. Bài toán 2 : Tìm số.  Số chẵn : Số có số hạng cuối cùng là số chẵn : 0, 2, 4, 6, 8.  Số chia hết cho 3: Số có tổng các số hạng chia hết cho 3.  Số chia hết cho 5: Số có số hạng cuối cùng là 0, 5.  Số chia hết cho 4: Số có hai số hạng cuối cùng là 00 hoặc chia hết cho 4.  Số chia hết cho 6: Số chẵn và chia hết cho 3.  Số chia hết cho 8: Số có ba số hạng cuối cùng là 000 hoặc chia hết cho 8.  Số chia hết cho 9: Số có tổng chia hết cho 9.  Phƣơng pháp:  Gọi số cần tìm có dạng 1 2.... ia a a : Liệt kê các kết quả rồi dùng qui tắc cộng.  Nếu số cần tìm có các số hạng khác nhau và khác 0 thì ta dùng chỉnh hợp.  Nếu số cần tìm chưa khác 0 thì ta phải chia TH để xét 1a .  Bài toán tìm số cũng tƣơng đối giống bài toán xếp vị trí nếu ta coi một số hạng là một đối tƣợng. Ví dụ 1: Có bao nhiêu số tự nhiên: a) Có 3 chữ số? b) Có 3 chữ số khác nhau đôi một? c) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 2 d) Có 3 chữ số và chia hết cho 5 Giải: a) Gọi số cần tìm có dạng 1 2 3a a a với  0,1,2,...,9ia  Chọn số cho 1a : Có 9 cách chọn ( do số hạng đầu phải khác 0) Chọn số cho 2a : Có 10 cách chọn Chọn số cho 3a : Có 10 cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 9.10.10 900 số tự nhiên thỏa mãn. b) Gọi số cần tìm có dạng 1 2 3a a a với  0,1,2,...,9ia  Chọn số cho 1a : Có 9 cách chọn (do số hạng đầu phải khác 0) Chọn số cho 2a : Có 9 cách chọn (do phải khác số hạng đầu) Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 135 Chọn số cho 3a : Có 8 cách chọn (do phải khác hai số đã chọn) Theo quy tắc nhân ta có 9.9.8 648 số tự nhiên thỏa mãn. c) Gọi số cần tìm có dạng 1 2 3a a a với  0,1,2,...,9ia  Số chia hết cho 2 thì là số chẵn nên 3a sẽ là một trong các số : 0, 2, 4, 6, 8 Do 1a phải khác 0 nên ta chia ra hai trường hợp TH1 : Chọn 3 0a  khi đó : Chọn số cho 1a : Có 9 cách chọn Chọn số cho 2a : Có 8 cách chọn (do phải khác số hạng đầu và 0) Theo quy tắc nhân ta có 1.9.8 72 số tự nhiên thỏa mãn. TH2: Chọn 3a là các số 2,4,6,8 : có 4 cách chọn Chọn số cho 1a : Có 8 cách chọn (do phải khác 3a và khác 0) Chọn số cho 2a : Có 8 cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 4.8.8 256 số tự nhiên thỏa mãn. Vậy ta sẽ có 72 256 328  số tự nhiên thỏa mãn. d) Số chia hết cho 5 sẽ có số hàng đơn vị là 0 hoặc 5 Gọi số cần tìm có dạng 1 2 3a a a với  0,1,2,...,9ia  Do 1a phải khác 0 nên ta chia ra hai trường hợp TH1 : Chọn 3 0a  khi đó : Chọn số cho 1a : Có 9 cách chọn Chọn số cho 2a : Có 8 cách chọn (do phải khác số hạng đầu và 0) Theo quy tắc nhân ta có 9.8 72 số tự nhiên thỏa mãn. TH2: Chọn 3 5a  Chọn số cho 1a : Có 8 cách chọn (do phải khác 3a và khác 0) Chọn số cho 2a : Có 8 cách chọn Theo quy tắc nhân ta có 8.8 64 số tự nhiên thỏa mãn. Vậy ta sẽ có 72 64 136  số tự nhiên thỏa mãn. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 136 Ví dụ 2: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 3. Giải: Số chia hết cho 3 là số có tổng chia hết cho 3. Nên ta sẽ chọn ra các bộ số có 3 số khác nhau từ các số  1,2,3,4,5 mà có tổng chia hết cho 3. Bao gồm các bộ: (1,2,3) (2,3,4) (3,4,5) Một lần hoán vị các bộ số sẽ cho ta một số cần tìm. Mỗi bộ số sẽ cho ta 3! số. Vậy ta có 3.3! số tự nhiên thỏa mãn. Ví dụ 3: Từ các số 0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có: a) Có 7 chữ số khác nhau đôi một. b) Có 8 chữ số khác nhau và khác 0 trong đó số 1 và số 3 xuất hiện đúng 2 lần. c) Có 8 chữ số khác nhau trong đó số 0 xuất hiện đúng 3 lần. Giải: a) Cách 1: Gọi số cần tìm có dạng 1 2 3 4 5 6 7a a a a a a a với  0,1,2,...,6ia  Các em tự chọn tiếp kết quả là 6.6.5.4.3.2.1 4320 số tự nhiên thỏa mãn. Cách 2: Ta thấy từ 0-6 có 7 số mà ta lập một số có 7 chữ số nên số các số cần tìm là số các hoán vị của 7, ta có 7! số tự nhiên. Nhưng do trong các số có số 0 nên sẽ xuất hiện các số có dạng 2 3 4 5 6 70a a a a a a không thỏa mãn nên ta chỉ cần tìm số các số này và trừ ra là được. Ta có số các số có dạng 2 3 4 5 6 70a a a a a a được lập từ 0-6 sẽ có : 6! số. Vậy theo phần bù thì số các số thỏa mãn là 7! 6! 4320  số tự nhiên. b) Số có 8 chữ số khác nhau và khác 0 trong đó số 1 và số 3 xuất hiện đúng 2 lần có nghĩa là số có 2 số 1, 2 số 3 và các số 2,4,5,6 xuất hiện 1 lần. Gọi số cần tìm có dạng 1 2 3 4 5 6 7 8a a a a a a a a Do số 1 và số 3 xuất hiện 2 lần và không xét đến thứ tự nên ta coi như xếp các số đó vào 8 vị trí cho trước : Chọn 2 vị trí cho số 1 : 2 8C cách Chọn 2 vị trí cho số 3 : 2 6C cách Các vị trí còn lại do mỗi số xuất hiện một lần nên ta chỉ cần xếp tùy ý nên có 4! cách Vậy ta có 2 2 8 6 4!C C số tự nhiên thỏa mãn. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 137 Bài tập vận dụng: 1) Có bao nhiêu số tự nhiên: a) Là số chẵn có 5 chữ số. b) Là số lẻ có 5 chữ số. c) Là số lẻ có 5 chữ số đôi một khác nhau. d) Là số có 5 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5. 2) Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên từ cac số trên: a) Có 7 chữ số và là số chẵn. b) Có 7 chữ số và là số lẻ. c) Có 7 chữ số và chia hết cho 5. d) Có 3 chữ số và chia hết cho 3. 3) Cho các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên lập từ các số trên và: a) Là số chẵn có 5 chữ số khác nhau. b) Là số chẵn có 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu bởi 12. c) Là một số có 5 chữ số khác nhau và luôn luôn chứa số 5. d) Là một số có 5 chữ số sao cho số 5 xuất hiện đúng 2 lần và các số còn lại khác nhau. 4) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên: a) Có 6 chữ số phân biệt mà 2 chữ số 1 và 6 đứng liền nhau. b) Có 6 chứ số phân biệt mà 2 chữ số 1 và 6 không đứng liền nhau. c) Có 8 chữ số trong đó số 1 và số 6 xuất hiện 2 lần và các số còn lại xuất hiện đúng 1 lần. 5) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau mà có mặt số 0 và số 9. 6) Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số khác có mặt tối đa một lần. 7) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau đôi một và chia hết cho 9. 8) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau và lớn hơn 500000. 9) Từ các chữ số 1 đến 9 lập các số tự nhiên có 9 chữ số. Có bao nhiêu số tự nhiên: a) Có chữ số 9 đứng giữa. b) Có chữ số 9 đứng giữa và đôi một khác nhau. c) Có chữ số chẵn và chữ số lẽ xen kẽ nhau. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 138 10 ) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên: a) Có 3 chữ số khác nhau và bé hơn 345. b) Có 3 chữ số và bé hơn 345. 11 ) Tìm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó: a) Chữ số đứng sau bé hơn chữ số đứng liền trước. b) Chữ số đứng trước bé hơn chữ số đứng liền sau. 12 ) Phương trình 2014x y z   có bao nhiêu bộ nghiệm (x ;y ;z) nguyên dương ? 13 ) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số : a) Các chữ số khác nhau đôi một. b) Các chữ số khác nhau đôi một luôn có chữ số 1 và 6. c) Các chữ số khác nhau đôi một luôn có chữ số 1 và 6, hai số 1, 6 phải đứng cạnh nhau. 14 ) Từ các số 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau đôi một, tính tổng của tất cả các số đó. 15 ) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau đôi một, tính tổng của tất cả các số đó. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 139 3. Bài toán: Rút ra-Phân chia.  Chia một nhóm n đối tƣợng thành k nhóm nhỏ.  Do kết quả là một nhóm đối tượng nên sẽ không có thứ tự: ta dùng tổ hợp.  Chia làm nhiều giai đoạn phân chia: mỗi giai đoạn chọn đối tượng cho 1 nhóm.  Rút ra từ n đối tƣợng k đối tƣợng có tính chất khác nhau:  Tùy vào yêu cầu của đề mà ta phải sử dụng chỉnh hợp hay tổ hợp.  Nếu trong n đối tượng có nhiều nhóm đối tượng (a ,b ,c ) khác loại thì khi chọn đối tượng cho mỗi nhóm đối tượng đó ta dùng qui tắc nhân.  Nhừng bài toán có dạng: Số đối tượng cần chọn thuộc không quá i nhóm, thuộc nhóm a không quá m đối tượng ta có thể dùng phần bù để làm. Ví dụ 1: Một tổ 12 thành viên gồm 8 nam và 4 nữ. Có bao nhiêu cách chia 12 thành viên thành 4 nhóm nhỏ: a) Mỗi nhóm 3 người. b) Mỗi nhóm 3 người và có 2 nam và 1 nữ. Giải: a) Chia 12 thành viên thành 4 nhóm do cách chọn là không phân biệt thứ tự: Chọn thành viên cho nhóm 1 có: 3 12C cách Chọn thành viên cho nhóm 2 có: 3 9C cách Chọn thành viên cho nhóm 3 có: 3 6C cách Nhóm cuối là các thành viên còn lại. Vậy theo quy tắc nhân ta có 3 3 3 12 9 6C C C cách chia. b) Chọn thành viên cho nhóm 1 có: 2 8C cách chọn 2 bạn nam và 1 4C cách chọn 1 bạn nữ nên ta có 2 1 8 4C C cách chọn thành viên cho nhóm 1. Chọn thành viên cho nhóm 2 có: 2 6C cách chọn 2 bạn nam và 1 3C cách chọn 1 bạn nữ nên ta có 2 1 6 3C C cách chọn thành viên cho nhóm 2. Chọn thành viên cho nhóm 3 có: 2 4C cách chọn 2 bạn nam và 1 2C cách chọn 1 bạn nữ nên ta có 2 1 4 2C C cách chọn thành viên cho nhóm 3. Nhóm cuối gồm các thành viên còn lại. Vậy ta sẽ có 2 1 2 1 2 1 8 4 6 3 4 2. .C C C C C C cách chia. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 140 Ví dụ 2: Anh Dương có 5 tờ 50000đ, 6 tờ 20000đ và 4 tờ 10000đ các tờ tiền cùng mệnh giá là khác nhau. Đang là dịp Tết nên anh Dương quyết định lì xì cho 6 em học sinh mỗi học sinh một tờ. Hỏi có bao nhiêu cách lì xì để sau khi lì xì xong anh Dương còn lại đầy đủ cả 3 mệnh giá. Giải: Để sau khi lì xì xong anh Dương còn lại đầy đủ cả 3 mệnh giá thì mỗi mệnh giá tiền còn lại ít nhất 1 tờ. Do anh Dương chỉ lì xì cho 6 học sinh nên sẽ không có trường hợp cả 2 mệnh giá đều được lì xì hết. Ta sẽ dùng phần bù như sau: Chọn cách để anh Dương lì xì hết một mệnh giá bất kì rồi lấy phần bù sẽ là số cách lì xì mà còn lại đầy đủ cả 3 mệnh giá. TH1: Lì xì hết tờ 50000đ: Chọn 5 tờ 50000đ: có 1 cách Chọn 1 mệnh giá còn lại có: 1 10C cách Lì xì cho 6 em học sinh có: 6! cách Suy ra có 1 106!C cách TH2: Lì xì hết tờ 20000đ: Chọn 6 tờ 20000đ: có 1 cách Lì xì cho 6 em học sinh có: 6! cách Suy ra có 6! cách TH3: Lì xì hết tờ 10000đ: Chọn 4 tờ 10000đ có: 1 cách Chọn 2 mệnh giá còn lại có: 2 11C cách Lì xì cho 6 em học sinh có: 6! cách Suy ra có 2 116!C cách Suy ra có 1 2 10 116! 6! 6! 66.6!C C   cách lì xì để hết một mệnh giá bất kì. Số cách lì xì tùy ý là 6 15A cách Vậy số cách để anh Dương lì xì mà còn lại đầy đủ cả 3 mệnh giá là: 6 15 66.6!A  cách. Cách 2: Các em có thể xem như bài toán đếm và đếm, nhưng sẽ xảy ra rất nhiều trường hợp và rất dài. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 141 Bài tập vận dụng: 1) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. hỏi có bao nhiêu cách phân công đội về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ. Đáp số: 4 1 4 1 12 3 8 2C C C C 2) Các thành viên trong đoàn trường gồm 12 thành viên, trong đó gồm 5 thành viên lớp A, 4 thành viên lớp B, 3 thành viên lớp C. Cần chọn 4 thành viên đi làm nhiệm vụ, Có bao nhiêu cách chọn để: a) Bốn thành viên phải có đủ học sinh của 3 lớp. b) Bốn thành viên này thuộc không quá 2 lớp. Đáp số: a) 2 1 1 1 2 1 1 1 2 5 4 3 5 4 3 5 4 3C C C C C C C C C  b) 225 3) Một hộp đựng 18 viên bi khác nhau, trong đó có 8 viên bi đỏ, 6 viên bi trắng và 4 viên bi vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra từ hộp 4 viên bi sao cho: a) Bốn viên bi có đủ cả 3 màu. b) Luôn có bi màu trắng. c) Bốn bi lấy ra không có đủ cả 3 màu. Đáp số: a) 1440 b) 1320 c) 1620 4) Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dể. Hỏi thầy giáo có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra từ 30 câu hỏi biết đề kiểm tra có 5 câu hỏi khác nhau , sao cho mỗi đề phải có đủ 3 loại câu và số câu hỏi dể không ít hơn 2. Đáp số: 56875 5) Có 5 nhà Toán học nam, 3 nhà Toán học nữ và 4 nhà Vật lí nam. Có bao nhiêu cách lập đoàn công tác 3 người mà có nam có nữ và có Toán và Lí. Đáp số: 90 6) Một thầy giáo có 12 cuốn sách khác nhau gồm 5 sách Văn, 4 sách Toán và 3 sách Lí. Thầy lấy 6 cuốn sách tặng cho 6 học sinh. Có bao nhiêu cách tặng mà sau khi tặng xong thì mỗi loại sách còn ít nhất 1 cuốn. Đáp số: 579600 7) Có 9 đội bóng tham gia một giải đấu trong đó có 3 đội bóng Việt Nam, 9 đội được chia thành ba bảng mỗi bảng 3 đội bóng. Hỏi có bao nhiêu cách chia bảng sao cho ba đội Việt Nam thuộc ba bảng khác nhau. Đáp số: 2 2 6 43!C C Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 142 B. NHỊ THỨC NEWTƠN I. Các đại lƣợng tổ hợp: 1. Lý thuyết:  ! 1.2.3...(n 1).nnP n   Qui ước : 0! 1    ! ! k n n A n k     ! ! ! k n n C k n k   Công thức : k n k n nC C  1 1 1 k k k n n nC C C     . k k n n kA C P 2. Bài tập : 1/Giải các phương trình, bất phương trình sau : a/ 1 2 3 7 2 x x xC C C x   b/  2 272 6 2x x x xP A A P   c/ 2 1 14 14 142 k k kC C C   d/ 1 2 3 26 6 9 14x x xC C C x x    e/ 2 2 3 2 1 6 10 2 x x xA A C x    f/ 3 25 21 0x xA A x   Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 143 II. Nhị thức Newton : 1. Lý thuyết :  Nhị thức Newton :   0 1 1 2 2 2 1 1. . ... . n n n n n n n n n n n n na b C a C a b C a b C ab C b            Có 1n số hạng.  Số hạng tổng quát : . k n k k nC a b   Số hạng thứ k : 1 1 1.k n k knC a b      Số hạng đầu ứng với 0k   Các dạng thƣờng gặp :     0 1 1 2 2 2. . ... 1 n nn n n n n n n n na b C a C a b C a b C b         Số hạng tổng quát :  1 . k k n k k nC a b     0 1 2 2 1 11 ... n n n n n n n n n nx C C x C x C x C x         Số hạng tổng quát : k k nC x Hệ số của kx là : k nC        10 1 2 2 1 11 ... 1 1 n n nn n n n n n n n nx C C x C x C x C x            Số hạng tổng quát :  1 k k k nC x Hệ số của kx là :  1 k k nC 2. Các dạng toán thƣờng gặp : a. Dạng toán : Tìm số hạng thứ k hay hệ số của kx trong khai triển P(x)  Bước 1 : Viết số hạng tổng quát của của khai triển P(x)  Bước 2 : - Nếu đề yêu cầu tìm số hạng thứ k thì ta lấy số hạng tương ứng với (k-1). - Nếu đề yêu cầu tìm hệ số của kx thì ta tìm k tương ứng rồi suy ra hệ số.  Đặc biệt :  Nếu P(x) cho dưới dạng tổng của nhiều khai triển thì hệ số của kx của P(x) là tổng các hệ số của kx trong từng khai triển nhỏ.  Nếu P(x) cho dưới dạng tích của nhiều khai triển (thường là 2) thì ta phải chia nhiều trường hợp để tìm số hạng. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 144 Bài tập vận dụng : 1) Viết ba số hạng đầu tiên trong khai triển :   8 3 2x 2) Tìm hệ số của 3x trong khai triển của biểu thức : a/   9 ( ) 4 3P x x  b/   10 ( ) 3 2Q x x  3) Tìm hệ số của 9x trong khai triển của biểu thức : a/       9 10 11 ( ) 1 1 1A x x x x      b/       10 11 12 ( ) 3 1 2 1 2 1 3B x x x x      c/    9 ( ) 1 1 2C x x x   d/     2 8 ( ) 2 3 1D x x x   4) Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển   30 3x xy 5) Tìm hệ số của 1002x trong khai triển 2 3 1 2001x x       6) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển : a/ 18 3 3 2 x x       b/ 7 3 4 2 ; 0x x x        c/ 2 1 n x x       Biết : 1 2 79n n nn n nC C C     7) Tìm số hạng chứa 8x trong khai triển 18 5 3 1 x x       Biết 1 4 3 7( 3) n n n nC C n      8) Tìm hệ số của 8x trong khai triển thành đa thức của 8 21 (1 )x x    9) Tìm hệ số lớn nhất của khai triển   12 1 2x . 10 ) Tìm số hạng trong khai triển 28 2 yx x       có số mũ x gấp bốn lần số mũ y. 11 ) Biết hệ số của 2nx  trong khai triển 1 4 n x       bằng 31. Tìm n. 12 ) Với n nguyên dương, 3 3na  là hệ số của 3 3nx  trong khai triển thành đa thức của biểu thức :    2 1 2 n n x x  . Tìm n để 3 3 26na n  Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 145 III. Xác suất : 1. Lý thuyết :  Không gian mẫu : Tất cả các khả năng xảy ra của phép thử. Kí hiệu   Biến cố : Một biến cố A liên quan đến phép thử T được mô tả bởi một tập con A nào đó của không gian mẫu. Biến cố A xảy ra khi và chỉ khi kết quả của T thuộc tập A . Mỗi phần tử của A được gọi là một kết quả thuận lợi của A.  Xác suất của một biến cố : Giả sử phép thử T có không gian mẫu là  và các kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố và A là tập hợp mô tả A thì xác suất của A được tính bằng công thức : ( ) A P A    Với A : tất cả các biến cố thuận lợi của A ;  : là độ lớn của không gian mẫu. Tính chất : 0 ( ) 1P A  với mọi biến cố A  Biến cố xung khắc : Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. A B    Biến cố đối : Là biến cố không A hay A không xảy ra. Kí hiệu : A Ta có : (A) 1 P(A)P    Biến cố độc lập : Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra A không ảnh hưởng gì đến xác suất xảy ra của B và ngược lại.  Biến cố hợp : Biến cố hợp của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra A hoặc xảy ra B. Kí hiệu : A B  Biến cố giao : Biến cố giao của hai biến cố A và B là biến cố xảy ra đồng thời A và B. Kí hiệu : AB Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 146  Các qui tắc xác suất :  Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì : ( ) ( ) ( )P A B P A P B   Tổng quát : Nếu n biến cố đôi một xung khắc 1 2, ,..., nA A A 1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( )n nP A A A P A P A P A        Nếu hai biến cố A và B độc lập thì : ( ) ( ). ( )P AB P A P B Tổng quát : Nếu n biến cố đôi một độc lập 1 2, ,..., nA A A 1 2 1 2( ... ) ( ). ( )... ( )n nP A A A P A P A P A 1. Phƣơng Pháp Giải Toán :  Bài toán cơ bản :  Bước 1 : Tính độ lớn không gian mẫu :   Bước 2 : Gọi biến cố cần tìm xác xuất. Tính các kết quả thuận lợi của A : A  Bước 3 : Dùng công thức tính xác suất.  Các bước tìm độ lớn KGM và các kết quả thuận lợi của A ta làm như phần bài toán đếm.  Dùng qui tắc xác suất :  Bước 1 : Tính độ lớn không gian mẫu :   Bước 2 : Gọi các biến cố iA liên quan. Tính ( )iP A , ( )iP A  Bước 3 : Dựa vào câu hỏi của đề gọi biến cố cần tìm. Quy các biến cố cần tìm trở thành biến cố hợp hoặc biến cố giao của các biến cố iA .  Bước 4 : Dùng qui tắc xác suất để tính. Bài toán xác suất thực tế là một bài toán tổ hợp  Xác định đúng không gian mẫu.  Định hình đƣợc đề bài và câu hỏi và tìm các khả năng xảy ra của biến cố.  Xác định đúng chỉnh hợp và tổ hợp để tránh trƣờng hợp sai đáng tiếc.  Xử dụng phần bù đúng sẽ tránh đƣợc các lỗi lặp.  Đề thi sẽ cho ở mức độ Trung Bình-Khá nhƣng phải hiểu đúng mới làm đƣợc. Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 147 Ví dụ 1 : Có 10 học sinh được xếp vào một dãy ghế 10 chổ ngồi trong đó có hai bạn A và B. Tính xác suất để A và B ngồi gần nhau. Giải : Không gian mẫu là số cách xếp 10 người vào 10 vị trí 10!  Goi A là biến cố : „„ Hai bạn A và B ngồi gần nhau ‟‟. Số các kết quả thuận lợi của A : 2!9!A  Xác suất để A và B ngồi gần nhau là   2!9! 1 10! 5 A P A      Ví dụ 2 : Bạn A đưa người yêu về ra mắt gia đình. Cả nhà 8 người cùng nhau đi ăn tại một nhà hàng và được xếp vào ngồi một bàn tròn. Cả nhà ngồi vào bàn một cách ngẫu nhiên tính xác suất để A và người yêu không ngồi gần nhau. Giải : Ta có không gian mẫu là số cách xếp 8 người vào một bàn tròn 7!  Gọi A là biến cố : „„ A và người yêu không ngồi gần nhau‟‟ Suy ra A là biến cố : „„ A và người yêu ngồi gần nhau‟‟ Số các kết quả thuận lợi của A là 2!6!A  Ta có xác suất để A và người yêu ngồi gần nhau   A 2!6! 2 7! 7 P A      Vậy xác suất để A và người yêu không ngồi gần nhau :     2 51 1 7 7 P A P A     Ví dụ 3 : Một bài thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi khác nhau, mỗi câu hỏi có 4 đáp án để học sinh lựa chọn. Một học sinh cá biệt khoanh đáp án một cách ngẫu nhiên, tính xác suất để học sinh này đạt được đúng 5 điểm. ( Mỗi câu đúng được một điểm) Giải : Gọi iA là biến cố : „„ Học sinh khoanh đúng đáp án câu thứ i‟‟ với  1,2...,10i  Suy ra iA là biến cố : „„ Học sinh khoanh sai đáp án câu thứ i‟‟ Ta có :      1 31 4 4 i i iP A P A P A     Gọi B là biến cố : „„ Học sinh đạt được 5 điểm‟‟ Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 148 Để đạt được 5 điểm thì học sinh này phải đánh đúng đáp án đúng 5 câu và sai 5 câu Ta có : 5 10C cách Theo quy tắc xác suất thì :         555 10. . 0.0583992i iP B C P A P A  Bài tập: 1) Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để: a) Tổng số chấm xuất hiện trên mặt hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 7. b) Ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm. c) Có đúng một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm. Đáp số: a) 7/12 b) 11/36 c) 5/18 2) Một bình đựng 8 bi xanh khác nhau, 4 bi đỏ khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 3 bi, tính xác suất để: a) Ba bi được chọn là ba bi xanh. Đáp số : 14/55 b) Ba bi được chọn là ba bi đỏ. Đáp số : 1/55 3) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chon ra 4 viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để trong số bi lấy ra không có đủ cả ba màu. Đáp số : 48/91 4) Một tổ có 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Chi tổ thành 3 nhóm 4 người. Tính xác suất để khi chia ngẫu nhiên được nhóm nào cũng có nữ. Đáp số : 16/55 5) Gieo ba con xúc xắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của ba con xúc xắc bằng 9. Đáp số : 25/216 6) Một bình đựng 6 bi xanh và 5 bi đỏ. Chọn ra 2 bi, tính xác suất để : a) Hai bi chọn ra cùng màu. Đáp số : 5/11 b) Hai bi chọn ra khác màu. Đáp số : 6/11 7) Một chiếc xe máy có hai động cơ, hai động cơ này hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ 1 chạy tốt là 0,8. Xác suất để động cơ 2 chạy tốt là 0,7. Tính xác suất để : a) Cả hai động cơ đều chạy tốt. Đáp số : 14/25 b) Có đúng một động cơ chạy tốt. Đáp số : 19/50 c) Có ít nhất một động cơ chạy tốt. Đáp số : 47/50 8) Hai máy bay ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả với xác suất trúng mục tiêu là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu bị trúng bom. Đáp số : 47/50 Lớp Toán 131/10 Lý Thái Tổ-Đà Nẵng 2015 Ng.Soạn: Nguyễn Đại Dƣơng Sđt: 0932589246 149 10 ) Có 2 hộp bi. Hộp 1 có 7 bi xanh và 3 bi đỏ, hộp 2 có 6 bi xanh và 4 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra 1 bi. Tìm xác suất để được ít nhất một bi đỏ. Đáp số : 29/50 11 ) Xác suất bắn trúng hồm tâm của một cung thủ là 0,2. Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập : a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần. Đáp số : 48/125 b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần. Đáp số : 61/125 12 ) Có 2 hộp bi, mỗi hộp có 2 bi đỏ và 8 bi trắng. Các viên bi chỉ khác nhau về màu. Chia cho 2 người 2 hộp bi và lấy ngẫu nhiên ra 3 viên từ hộp của mình. Tìm xác suất để số bi đỏ lấy ra bằng nhau. Đáp số : 33/75 13 ) Một gia đình 4 người vào một tiệm ăn trên đường Hùng Vương. Thực đơn tiệm có 8 món ăn, mỗi thành viên chọn 1 món ngẫu nhiên. Tính xác suất để bốn người gọi bốn món khác nhau. Đáp số : 105/256 14 ) Một tổ gồm 12 học sinh trong đó có 8 bạn nam và 4 bạn nữ. Tổ chia thành 4 nhóm nhỏ, mỗi nhóm 3 học sinh gồm 2 nam và 1 nữ. A là một bạn nam, B là một bạn nữ trong tổ. Tính xác suất để A và B được chia về cùng một nhóm. Đáp số : 1/16 15 ) An và Linh cùng 6 bạn khác chia làm 2 nhóm mỗi nhóm 4 bạn để chơi rượt bắt. Hỏi xác suất để An và Linh được ở chung một nhóm là bao nhiêu ? Đáp số : 3/14 16 ) Cuộc thi bóng đá VFF được tổ chức có 9 đội bóng tham gia, trong đó có 3 đội bóng Việt Nam và 6 đội bóng từ các nước khác. Các đội bóng tham gia được chia làm 3 bảng mỗi bảng 3 đội. Bang tổ chức cho các đội bốc thăm ngẫu nhiên, tính xác suất để 3 đội bóng Việt Nam nằm ở 3 bảng khác nhau. Đáp số : 9/28 17 ) Trong cuộc thi „„Rung chuông vàng‟‟ thuộc chuỗi hoạt động Sparkling Chu Văn An, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết trong đó có 5 bạn nữ và 15 bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi Bang tổ chức chia các bạn thành 4 nhóm A, B, C, D mỗi nhóm có 5 bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Tính xác suất để 5 bạn nữ thuộc cùng một nhóm. Đáp số : 1/15504 18 ) Hai thí sinh A và B tham gia buổi thí vấn đáp. Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng một câu hỏi ; thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó để xác định câu hỏi thi của mình. Biết bộ 10 câu hỏi dành cho các thí sinh là như nhau, tính xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn là giống nhau. Đáp số : 1/120