Tài lệu môn Đại số C

Đại số C Số tiết: 30 tiết 1 Nội dung • Chương 1: Ma trận và hệ phươngtrình ñại số tuyến tính. • Chương 2: Định thức và hệ phươngtrình ñại số tuyến tính. • Chương 3: Không gian vector. • Chương 4: Trị riêng. Vector riêng.Chéo hóa ma trận 2 Hình thức tính ñiểm • Thi giữa học kỳ chiếm 30%. • Thi cuối học kỳ chiếm 70%. • Điểm thưởng tích cực trong giờ bàitập: +5%. • Chú ý: Điểm giữa kì và cuối kỳ chỉñạt tối ña khi làm tốt nhóm bài tập. 3 Chia nhóm giải bài tập • Mỗi nhóm từ 10-15 sinh viên. • Các nhóm giải tất cả các bài tập từC1 – C4 trong giáo trình: Ngô ThànhPhong, Đại số tuyến tính và quy hoạch tuyến tính, ĐHQG TP HCM,2003. • Thời gian nộp: hai tuần sau khi kếtthúc một chương. 4 Chia nhóm giải bài tập • Hình thức viết báo cáo và nộp bài: –Nhóm trưởng chia bài tập của từngchương cho từng thành viên. –Yêu cầu tất cả tv phải tham gia. –Viết báo cáo: • Viết tay, không ñánh máy. • Thành viên nào làm phần nào phải tự viết tay phần mình làm. • Báo cáo viết trên giấy A4, không viết bằng bút chì. 5 Chia nhóm giải bài tập • Công việc của nhóm trưởng: –Lập danh sách tv nhóm. –Phổ biến hình thức viết báo cáo, hạnnộp, cách trình bày và cách tính ñiểm. –Phân công công việc. –Tập hợp các báo cáo của thành viên. –Trình bày trang bìa báo cáo. –Theo dõi và ñánh giá công việc của từngthành viên. 6 Chia nhóm giải bài tập • Công việc của thành viên nhóm: –Hoàn thành công việc nhóm trưởnggiao. –Viết báo cáo (viết bằng tay, không ñánhmáy) rõ ràng, sạch sẽ, không gạch xóalung tung. –Dòng ñầu tiên trên trang ñầu, viết rõ họvà tên, MSSV, và danh sách các bài tậpñược giao. 7 Chia nhóm giải bài tập • Tính ñiểm: –Điểm cho nhóm hoàn thành tốt côngviệc: mỗi tv ñược +10%/tổng ñiểmñược chia như sau: • +10%/tổng ñiểm thi giữa kì. • +10%/tổng ñiểm thi cuối kì. –Thành viên không hoàn thành công việcsẽ bị trừ ñiểm, tối ña 10% như cách tínhở trên. –Nhóm có trên 30% tv không hoàn thànhtốt công việc, cả nhóm sẽ bị trừ ñiểm. 8 Chia nhóm giải bài tập • Hình thức áp dụng cho K2010: –Bắt buộc. –Sv không tham gia chỉ ñạt tối ña 90% tổng ñiểm của môn học. • Hình thức áp dụng cho K2009 trở về trước: –Tự nguyện. 9 Tài liệu tham khảo • Ngô Thành Phong, Đại số tuyến tính và quy hoạch tuyến tính, ĐHQG TP HCM, 2003 • Bùi Xuân Hải, Đại số tuyến tính, ĐHQG TP HCM, 2001 • Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 4th Indian edition, Brooks/Cole INDIA, 2005. • Trang web môn học: – • Địa chỉ email: – bxthang071@yahoo.com.vn – thangkhtn071@gmail.com 10 CHƯƠNG 1 MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ----- 11
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT §1. MA TRẬN (Matrix) 1.1. Định nghĩa a) Ma trận A cấp m n× trên ℝ là 1 hệ thống gồm m n× số ( ) 1, ; 1,ija i m j n∈ = =ℝ và được sắp thành bảng: 11 12 1... ... na a a a a a    • ija là các phần tử của A ở dòng thứ i và cột thứ j. • Cặp số (m, n) là kích thước của A. 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... n m m mn A a a a  =     (gồm m dòng và n cột). 12
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Khi 1m = : A = (a11 a12 a1n) là ma trận dòng; 1n = : 11 1 ... m a A a    =     là ma trận cột; 1m n= = : 11( )A a= là ma trận gồm 1 phần tử. • Tập hợp các ma trận A là , ( ) m n M ℝ , để cho gọn ta viết là ( )ij m nA a ×= . b) Hai ma trận A và B bằng nhau, ký hiệu A = B khi và chỉ khi chúng cùng kích thước và , ,ij ija b i j= ∀ . 13
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 1. 1 1 0 1 2 2 3 x y z t u −    =       0; 1; 2; 2; 3x y z u t⇔ = = − = = = . c) Ma trận (0 )ij m nO ×= có tất cả các phần tử đều bằng 0 là ma trận không. 11 1412 13a a a a  d) Khi m n= : A là ma trận vuông cấp n. Ký hiệu ( )ij nA a= . Đường chéo chứa a11, a22, , ann là đường chéo chính của A, đường chéo còn lại là đường chéo phụ. 22 2321 24 31 34 4 32 4 33 4431 2 4 a a a a a a a aa a a a      14
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Các ma trận vuông đặc biệt: • Ma trận vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0 là ma trận đường chéo (diagonal matrix). Ký hiệu: dig(a11, a22, , ann). • Ma trận chéo cấp n gồm tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 là ma trận đơn vị cấp n (Identity matrix). Ký hiệu In. VD 2. 3 0 0 0 4 0 0 0 6 A    = −    , 1 0 0 0 5 0 0 0 0 B −   =     là MT chéo. 2 1 0 0 1 I   =   , 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I    =     là MT đơn vị. 15
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Ma trận tam giác trên (dưới) cấp n là ma trận có các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng 0. VD 3. 1 0 2 0 1 1A −   = −  là ma trận tam giác trên; 0 0 0   3 0 0 4 1 0 1 5 2 B    =    −  là ma trận tam giác dưới. 16
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Ma trận đối xứng cấp n là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau (aij = aji). • Ma trận phản đối xứng cấp n là ma trận có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính đối nhau và tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 0. 3 4 1   − VD 4. 0 0 1 21 4A =    − là ma trận đối xứng; 0 0 0 0 0 1 1 4 4B    =     − − là ma trận phản đối xứng. 17
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 1.2. Các phép toán trên ma trận a) Phép cộng và trừ Cho ( )ij m nA a ×= , ( )ij m nB b ×= ta có: ( ) .ij ij m nA B a b ×± = ± VD 5. 1 0 2 2 0 2 1 0 4−      + =     ; 2 3 4 5 3 1 7 0 3− − −      1 0 2 2 0 2 3 0 0 2 3 4 5 3 1 3 6 5 − −      − =      − − − −      . Nhận xét • Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp. 18
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT b) Nhân vô hướng Cho ( )ij m nA a ×= , λ ∈ℝ ta có: ( ) .ij m nA aλ λ ×= VD 6. 1 1 0 3 3 0 3 2 0 4 6 0 12 − −    − =    − −   ; 2 6 4 1 3 2 2   =   . 4 0 8 2 0 4− −    Nhận xét • Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép cộng ma trận. • Ma trận –A là ma trận đối của A. 19
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT c) Nhân hai ma trận Cho ( )ij m nA a ×= , ( )jk n pB b ×= ta có: ( ) 1 ( ) 1, ; 1,, n ik m p ik ij jk j AB c c a b i m k p× = = = = =∑ . ( ) 1−   1 0 0 0  VD 7. Tính a) 1 2 3 2 5    −  ; b) 4 0 3 2  −  ; c) 2 0 1 1 1 1 1 1 2 2 0 3 1 3 2   −   −   −   − −  . 20 • 3) Nhân hai ma trận:
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT m l mn ln× × ×A B = C n ij ik kjc a b=∑ 1k= Ví dụ: 1 3 1 2 2 4 2 3 5 7      −        −     21 11 1.1 3.( 2) 5c = + − =− 5 7 6 8 9 11  −    = −    −  3 2 2 2 4 3 5 1 3 1 7 2×      −    =          − C 3 2 1 3 1 2 2 4 2 3 5 7 ×      −    =    −     C
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 21 2.1 4.( 2) 6c = + − =−3 2 12 1 3 2 3 5 4 7 2×      −    =          − C 31 5.1 7.( 2) 9c = + − =−3 2 1 3 2 2 3 1 4 2 5 7 ×      −    =          − C 22 • Tính chất của tích các ma trận: • Định lý 4: , × × ×m n n p p q nA ,B ,C D ( ) ( )1. =AB C A BC ( )2. C A B CA + CB
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT + = ( )2 '. + =A B C AC + BC ( ) ( ) ( )3. λ λ λ= =AB A B A B 4. = =n n nD I ID D vô hướngλ 23 Chứng minh (1) Ký hiệu: Dmxp=AmxnBnxp, Emxq=(AB)C=DmxpCpxq Fnxq=BnxpCpxq, Gmxq=A(BC)=AmxnFnxq Ta cần cm: E=G Tính : Dmxp?
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 11 1 1 1 n k k k d a b = =∑ Các phần tử hàng 1 của D: 1 1 1 , 1... n j k kj k d a b j p = = =∑ Phần tử d11? 24 1 1 1 2 1 1 1 1 n n n k k k k k kp k k k a b a b a b = = =              ∑ ∑ ∑⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ Các phần tử hàng 1 của D: Tính Emxq?: Tính e :   = = ∑ ∑ ∑ p p n e d c a b c
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 11 11 1 1 1 1 1 1 1= = =    l l k kl l l l k 11 211 1 1 2 1 1 1 1 1 = = =           =               ∑ ∑ ∑ ⋯ ⋮⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ n n n k k k k k kp k k k p c ca b a b a b c E 25 Tính eij: 1 1 1= = =   = =     ∑ ∑ ∑ p p n ij i j i jl l l lk k kl l e d c a b c 1 1= =   =     ∑ ∑ k k k l l l p n i ja b c   =∑ ∑ pn
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 1 1= =    k kl l l j k ia b c 1 1= =   = =   ∑ ∑ p k k k n i l i l jl ja b c g Vậy E=G (đpcm) 26 Chú ý: 1) , ∈MnA B Tồn tại AB và BA, trong trường hợp tổng quát AB khác BA (phép nhân 2 ma trận không có tính giao hoán). Ngược lại, nếu AB=BA thì ta nói A và B giao hoán với nhau
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Ví dụ: 1 2 1 2 , 2 3 2 3    −    = =    − −    A B 5 4 , 8 5 5 8    =  − −      AB 2) , × ×m n n pA B Giả sử: A khác không và B khác không, thì có thể AB=0. Ví dụ: 1 0 0 0 0 , 0 0 1 1 1        = =         A B 0 0 0 0 0 0    =     AB 4 5 =  − −  BA Do đó khẳng định “AB=0 thì A=0 hay B=0” là sai. 27 Định lý 5: Cho Amxn, Bnxp thì ( ) = T T TAB B A
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Chứng minh: =C AB 1= =∑ n ij ik kj k c a b ( ) ( ) 1= = =∑ n T ji ij ik kj k c c a b 1 1 1= = = = = =∑ ∑ ∑ n n n T T ji jk ki kj ik ik kj k k k d b a b a a b × × = = T T T T ij ijp n n m b aD B A Vậy: = T ji jic d hay =TC D 28 Giải a) ( ) 1 1 2 3 2 (1.( 1) 2.2 3.( 5)) ( 12) 5 −   = − + + − = −   −  ; b) 1 0 0 0 0 0    =    ;
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 4 0 3 2 0 0−     c) 1 1 1 4 4 2 0 1 1 1 2 1 3 2 2 9 8 5 0 3 7   − −   − = −        − − − − . 29 VD 8. Tính a) 1 0 1 1 2 1 2 2 0 0 3 1 3 0 3 2 1 0 − − −     − −     − −   ; b) 1 2 1 1 0 1 0 3 1 2 2 0 − − −     − −  .
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 2 1 0 3 0 3  − −   30 b) 1 2 1 1 0 1 2 4 2 0 3 1 2 2 0 3 6 3 − − − − −         − − = − −    . Giải. a) 1 0 1 1 2 1 3 1 1 2 2 0 0 3 1 2 2 0 3 0 3 2 1 0 9 3 3 − − − − −         − − = −         − − − −     ;
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 2 1 0 3 0 3 0 2 2    − − −     VD 9. Tính: 1 1 2 0 1 3 2 1 2 1 2 3 0 1 2 1 1 0 2 1 1 1 4 2 1 3 3 1 0 2 A − − −         = − − − −         − − − −     . 31 Giải. 1 1 2 0 1 3 7 2 3 0 1 2 1 3 1 1 4 2 1 3 2 A − −       = − − −       − − − −    1 1 2 3 24 2 3 0 1 3 − − −         = − − = −    .
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 1 1 4 11 42    − − −     32 • Lỹ thừa ma trận: 0 1 2 1 , , , , − = = = = k k k nA I A A A AA A A A Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta gọi lũy thừa bậc k (k: số nguyên) của A là một ma trận cấp n (ký hiệu Ak) được xác định một cách quy nạp như sau
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Ma trận lũy linh: Định nghĩa: Cho A là ma trận vuông cấp n thỏa điều kiện Ak=0 với một số nguyên k nào đó thì A gọi là một ma trận lũy linh. Ví dụ: 0 1 0 0 0 1 0 0 0      =       A 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0      =       A 3 3=A 0 33 • Tính chất: ( )1) =rn n0 0 Cho A là ma trận vuông cấp n, r và s là hai số nguyên ( )2) =rn nI I +r s r s
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 3) =A A A ( )4) = s rs rA A 34
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 10. Cho 1 1 0 1 A −  =   , tính 2009A . Giải. 2 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1 A − − −     = =        , 3 1 1 1 2 1 3A − − −     = =     0 1 0 1 0 1     * 1 , 0 1 n n A n − ⇒ = ∀ ∈   ℕ (*). Thật vậy, giả sử (*) đúng với n = k: 1 0 1 k kA −  =   . 35
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Khi n = k +1, ta có: 1 1 1 1 1 ( 1) 0 1 0 1 0 1 k k kA + − − − +     = =         (đúng). Vậy 2009 1 2009 0 1 A −  =   .  VD 11. Cho 2 0 1 0 B =   , tính 2009 2( )I B− . Giải. 2 1 0 2 0 1 0 0 1 1 0 1 1 I B −      − = − =      −      2 2 2 1 0 1 0( ) 1 1 1 1 I B I − −  ⇒ − = =   − −   36
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 10042008 2 1004 2 2 2 2( ) ( ) ( )I B I B I I ⇒ − = − = =  . Vậy 20092 2 1 0 1 0( ) 1 1 1 1 I B I − −    − = =    − −   . VD 12. Cho ( )ijA a= là ma trận vuông cấp 100 có các ầ ử ở ứ i ầ ử ủ 2 ph n t dòng th i là (–1) . Tìm ph n t a36 c a A . Giải Phần tử a36 của A2 là tích của dòng thứ 3 và cột thứ 6. Các phần tử trên dòng thứ 3 là: (–1 –1 –1 –1 –1). Các phần tử trên cột thứ 6 là: (–1 1 –1 –1 1). Vậy 36 0a = . 37
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 13. Cho ( )ijA a= là ma trận vuông cấp 40 có các phần tử ( 1)i jija += − . Phần tử a25 của A2 là: A. 25 0a = ; B. 25 40a = − ; C. 25 40a = ; D. 25 1a = − . Giải Phần tử a25 của A2 là tích của dòng thứ 2 và cột thứ 5. Các phần tử trên dòng thứ 2 là: (–1 1 –1 –1 1). Các phần tử trên cột thứ 5 là: (1 –1 1 1 –1). Vậy 25 40a B= − ⇒ . 38
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT – (e1): Hoán vị hai dòng cho nhau i kd dA A↔ ′→ . – (e2): Nhân 1 dòng với số 0λ ≠ , i id dA Aλ→ ′′→ . – (e3): Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần dòng khác i i kd d dA Aλ→ + ′′′→ . Phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận Chú ý 1) Trong thực hành ta thường làm i i kd d dA Bµ λ→ +→ . 2) Sau 1 số hữu hạn các PBĐSC dòng ta được ma trận B tương đương với A, ký hiệu B A∼ . 3) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên cột của ma trận. 39
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 16. Cho hai ma trận 2 1 1 1 2 3 3 1 2 A −   = −   −  và 1 2 3−  0 1 7 / 5 0 0 0 B = −    . Chứng tỏ A B∼ . 40
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Giải 1 2 2 2 1 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 1 0 5 7 3 1 2 0 5 7 d d d d d d d dA ↔ → − → − − −       → − → −       − −    3 3 2 2 2 1 5 1 2 3 0 1 7 / 5 0 0 0 d d d d d A B→ − → −   → − ⇒    ∼ . 41
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Ma trận dạng bậc thang chính tắc: 1. Nếu một hàng có một số khác không thì số khác không bên trái nhất bằng 1, được gọi là phần tử chính. 2. Những hàng gồm toàn những phần tử không nằm ở dưới cùng. 3. Nếu hai hàng kề nhau có phần tử chính thì phần tử chính của hàng trên nằm bên trái phần tử chính hàng dưới. 4. Mỗi cột có phần tử chính thì các phần tử khác đều bằng không. 42 Ma trận dạng bậc thang: 1. Ma trận bậc thang có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0. 2. Trên hai dòng khác không, phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác không đầu tiên của dòng trên.
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Dòng 0 là dòng gồm tất cả các phần tử bằng 0. 43
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 18. 1 0 2 0 0 3 0 0 0 A    =     , 0 1 2 3 0 0 4 5 0 0 0 1 B    =     , In là các ma trận bậc thang; 0 2 7   = 2 3 5   = 0 3 4 0 0 5 C     , 0 0 0 0 1 3 D     không phải là các ma trận bậc thang. Định lý • Mọi ma trận đều có thể đưa về bậc thang bằng hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên dòng. 44 5. Ma trận vuông khả nghịch: Cho A là ma trận vuông cấp n khác không, ta nói A khả nghịch khi tồn tại ma trận B cùng cấp với A sao cho: AB=BA=In. Khi đó ta nói B là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu: B=A-1.
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Định nghĩa: • Nếu A không khả nghịch, ta nói A suy biến. • Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì A cũng là ma trận nghịch đảo của B. VD 20. 2 5 1 3 A  =    và 3 5 1 2 B −  =   −  là nghịch đảo của nhau vì AB = BA = I2. 45
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 1. Nếu A có một dòng bằng 0 (hay một cột bằng 0) thì A suy biến. • Tính chất: 2. Ma trận nghịch đảo của A (nếu có) là duy nhất. 3. Nếu A khả nghịch thì AT,

α≠0)

   ơ ữ  và h n n a: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 11 1 11 , , α α − − − − − − = = = TTA A A A A A 4. Nếu A và B cùng khả nghịch thì AB     và (AB)-1=B-1A-1. 5. Nếu A1, A2,,An cùng khả nghịch thì tích của chúng cũng khả nghịch và (A1A2An)-1=An-1An-1-1A1-1. 46
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp trên dòng: Cho ma trận vuông A cấp n: Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa [A|I] về dạng [A’|B]. Có 2 trường hợp: Bước 1: Lập ma trận có dạng [An|In]. 1. MT A’ có một dòng (hoặc một cột) bằng 0. Ta dừng lại và kết luận A suy biến. 2. MT A’=In. Ta dừng lại và kết luận A khả nghịch, và ma trận nghịch đảo A-1=B. 47
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 21. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận: 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 A −   − =     ; 1 1 1 1 0 1 2 1 0 B −   =     . Giải. ( )4 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 A I  −  −  =     48
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 3 3 4 2 3 2 1 1 2 4 1 0 0 0 1 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 d d d d d d d d d d → − → − → + −  − −  − −  →  −   1 1 1 1 2 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 A− − −   − − ⇒ =  −   . 49
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT ( )3 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 2 1 0 0 0 1 B I  −  =     2 2 1 3 3 12 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 0 0 1 2 2 0 1 d d d d d d → − → −  −  → − −   − −  50
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 3 3 2 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 0 1 1 1 d d d→ − −   → − −   − −  . Vậy B không khả nghịch. 51
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 1.6 Một số ứng dụng của ma trận trong kinh tế VD 22. Một khách hàng mua tại siêu thị X lượng gạo, thịt, rau (đơn vị: kg) cho bởi ma trận (12; 2; 3)A = với giá tương ứng (ngàn đồng / kg) cho bởi (9; 62; 5)B = . Khi đó, ( ) ( )12 2 3 9 62 5 (247)TTAB = = . ậ ố ề ả ả đồV y s ti n khách hàng ph i tr là 247.000 ng. VD 23. Công ty X có 3 cửa hàng I, II, III cùng bán 4 mặt hàng: tivi, tủ lạnh, máy giặt, máy lạnh với giá bán tương ứng (triệu đồng / chiếc) cho bởi ma trận ( )3 5 4,5 6,7A = . 52
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Lượng hàng bán được trong ngày của 3 cửa hàng tương ứng 3 dòng của ma trận 2 1 4 5 0 2 6 1 5 2 0 2 B    =     . Hãy cho biết ý nghĩa các phần tử của tích TBA ? 3  Giải. 2 1 4 5 62,5 5 0 2 6 1 43,7 4,5 5 2 0 2 38,4 6,7 TBA         = =             . Vậy số tiền cửa hàng I, II, III bán được trong ngày lần lượt là: 62,5; 43,7; 38,4 (triệu đồng). 53
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Chỉ số giá Laspeyres và Paasche VD 24. Giả sử bán (ngàn đồng / kg) của gạo, đường và bột mì vào các ngày 1/1 và 1/6 lần lượt cho bởi 2 cột của ma trận 10 11 20 19P    =    . 30 32  Một người A trong hai ngày đó đã mua vào lượng hàng tương ứng cho bởi 2 cột của ma trận 4 3 2 3 3 4 Q    =     . 54
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Khi đó, ta có: 10 11 4 2 3 170 178 20 19 3 3 4 210 218 30 32 TV Q P       = = =          . Từ ma trận V, ta suy ra: + 11 170v = : tiền mua hàng 1/1 theo giá ngày 1/1. + 12 178v = : tiền mua hàng 1/1 theo giá ngày 1/6. + 21 210v = : tiền mua hàng 1/6 theo giá ngày 1/1. + 22 218v = : tiền mua hàng 1/6 theo giá ngày 1/6. 55
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 1) Nếu lấy ngày 1/1 làm cơ sở thì 11v , 12v lần lượt là giá của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ sở tính tại ngày cơ sở và ngày 1/6. Khi đó: 12 11 1,047v v ≈ được gọi là chỉ số Laspeyres. 2) Nếu lấy ngày 1/6 làm cơ sở thì 21v , 22v lần lượt là giá của tổng lượng hàng người A mua tại ngày cơ sở tính tại ngày 1/1 và ngày cơ sở. Khi đó: 22 21 1,038v v ≈ được gọi là chỉ số Paasche. 56
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 5. Hệ phương trình đại số tuyến tính: Một hệ PT ĐSTT trên R là một hệ gồm m phương trình bậc nhất (n ẩn) có dạng tổng quát: • Định nghĩa: 111 1 12 2 1 221 1 22 2 2  + + + =   + + + =    ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ n n n n a xa x a x b a xa x a x b (*) 1 1 2 2    + + + = ⋯m m mn n na x a x a x b trong đó các aij (gọi là các hệ số) và các bi (các hệ số tự do) là các phần tử cho trước, các xj là các ẩn cần tìm. • Ta nói (c1,c2,,cn) là nghiệm của hệ (*) nếu khi thay x1=c1, x2=c2,xn=cn vào (*) thì tất cả các đẳng thức trong (*) đều thỏa. 57 • Nếu các hệ số tự do bi=0 thì hệ trở thành hệ PT ĐSTT thuần nhất.
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Hệ PT ĐSTT thuần nhất có ít nhất một nghiệm là (x1,x2,,xn)=(0,0,,0): gọi là nghiệm tầm thường. • Định lý: Đối với một hệ PT ĐSTT thì chỉ có một trong 3 trường hợp nghiệm: 1. Có nghiệm duy nhất, 2. Có vô số nghiệm, 3. Vô nghiệm. • Hệ quả: Hệ PT ĐSTT thuần nhất chỉ có: 1. Nghiệm tầm thường, 2. Vô số nghiệm. 58 • Hệ (*) được viết lại dưới dạng ma trận như sau:
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT =AX B        =     ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ 11 12 1 21 22 2 n n a a a a a a A Ma trận hệ số.      ⋯ 1 2m m mn a a a        =          ⋮ 1 2 n x x x X         =            ⋮ 1 2 n b b b BMa trận ẩn số. Ma trận hằng số. 59 • Ký hiệu:
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT [ ]          = =          ⋯ ɶ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋯ 111 12 1 21 22 2 2 1 2 | n n m m mn n ba a a a a a b a a a b A A B ɶA Ma trận hệ số mở rộng của hệ (*). 60
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 1. Cho hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 2 3 2 4 4 2 4 3 2 7 5 x x x x x x x x x − + + = + + = − − = . Ta có: 1 1 2 4 2 1 4 0A −   = , 4 3B    = − , 1 2 x x X    = 0 2 7 0    −  5     3 4 x x     Chú ý Ta có thể viết nghiệm dưới dạng (1; –1; –1; 1). và ( )1 1 1 1 Tα = − − là 1 nghiệm của hệ. 61 Hệ 2 PT ĐSTT (có cùng số ẩn) được gọi là tương đương nhau nếu nó có cùng tập nghiệm. • Định nghĩa:
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn sao cho ma trận hệ số mở rộng của hai hệ lần • Định lý: lượt là và . Khi đó nếu thì hai hệ trên tương đương nhau. [ ]=ɶ |A A B [ ]=ɶ |C C D ɶ ɶ∼A C 62
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 1. Hai ma trận tương đương nhau khi và chỉ khi tồn tại một số hữu hạn các phép BĐSC trên dòng biến ma trận này thành ma trận còn lại. • Lưu ý: 2. Từ hệ PT ĐSTT ban đầu ta đưa nó về dạng một hệ PT 3. Đối với hệ PT thuần nhất có cột các hệ số hằng bằng 0, nên khi giải ta không cần lập ma trận hệ số mở rộng mà chỉ cần lấy ma trận hệ số để biến đổi. ĐSTT đơn giản hơn, bằng cách sử dụng các phép BĐSC trên dòng tùy ý đối với ma trận hệ số mở rộng của hệ ban đầu. 63
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Phương pháp Gauss – Jordan giải hệ PT ĐSTT: Gồm 3 bước: Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng: [ ]=ɶ |A A B Bước 2: Sử dụng các phép BĐSC trên dòng rút gọn ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang chính tắc. Bước 3: Biện luận nghiệm. 64
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 2: Giải hệ PT ĐSTT sau:  + + = −   − + =    − − = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 10 18 3 2 3 6 25 x x x x x x x x x Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng:   −    = −     − −    ɶ 4 10 18 1 1 3 2 3 6 1 25 2 A Bước 2: Tiến hành thuật toán Gauss - Jordan:   −    −     − −    2 5 9 1 3 2 6 1 25 1 1 3 → 1 /2d 65   −    − −     − −    2 5 9 3 2 11 12 16 2 1 5 0 0 − − → 2 3 1 1 3d d d d
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT  −    −     −    − 5 9 2/3 11/ 2 12 3 16 2 1 0 10 5 ( )− → 2 / 3d  −    −  11/3 5/3 2/3 1 1 0 0 1 1/3 − 1 2 2d d ( )− 3 / 8d  −    5/311/31 0        −80 0 8 + → 3 2 12d d → −     −    112/0 1 0 0 1 /3 1 3 − − → 1 2 3 3 11 /3 2 /3dd d d       −     −    1 0 0 0 1 0 0 10 1 2 3 Bước 3: Hệ có nghiệm duy nhất  =   = −    = − 1 2 3 2 3 1 x x x 66 • Phương pháp Gauss giải hệ PT ĐSTT: Gồm 3 bước: Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng. Bước 2: Sử dụng các phép BĐSC trên dòng rút gọn ma trận hệ số mở rộng về dạng bậc thang.
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Bước 3: Giải ngược từ dưới lên trên tìm nghiệm hệ PT. 67
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 2: Giải hệ PT ĐSTT sau:  + + = −   − + =    − − = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 5 9 3 2 3 6 25 x x x x x x x x x Bước 1: Thiết lập ma trận hệ số mở rộng:   −    = −     − −    ɶ 2 5 9 1 1 3 2 3 6 1 25 1 A Bước 2: Tiến hành thuật toán Gauss:   −    − −     − −    2 5 9 3 2 11 12 16 2 1 5 0 0 − − → 2 3 1 1 3d d d d 68
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT   −    −     −    − 5 9 2 11 8 1 8 2 0 3 0 0 − → 3 2 4d d Bước 3: Hệ có nghiệm duy nhất  =   = −    = − 1 2 3 2 3 1 x x x 69 Nhận xét: 1. Trong quá trình biến đổi nếu:
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT • Có các dòng bằng 0 thì ta loại các dòng đó đi. • Có 2 dòng tỉ lệ với nhau thì ta loại một trong 2 dòng đó đi. 2. Nếu một dòng có dạng [0 0 0|b] với b khác 0 thì hệ PT vô nghiệm. 70 • Giải hệ PT ĐSTT bằng ma trận nghịch đảo:
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Xét hệ PT ĐSTT gồm n phương trình và n ẩn số có dạng AX=B. • Định lý: Nếu A không suy biến thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất X=A-1B 71 VD 3. Giải hệ phương trình 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z + − = + = + + = − . 2 1 1 1 1 2− − −   
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Giải. 1 10 1 3 3 2 3 2 2 1 1 1 0 1 A A−   = ⇒ = −       −    . 72 Hệ 1 1 1 2 1 3 1 3 2 3 3 6 2 1 0 1 1 1 X A B− − − −        ⇔ = = − =         − − −     . 3x = −
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Vậy hệ có nghiệm 6 1 y z  = = − . 73
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss: 2 1 3 3 2 1 x y z y z x y z + − = + = + + = − . Giải 2 1 1 1 2 1 1 1− −    ( ) 3 3 10 1 3 3 0 1 3 3 2 1 1 1 0 0 2 2 d d dA B → −   = →       − −    . Hệ 2 1 3 3 3 6 2 2 1 x y z x y z y z z + − = = −   ⇔ + = ⇔ =   = − = −  . 74
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 8. Giải hệ phương trình: 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 2 5 2 4 2 12 6 18 5 5 3 18 8 23 6 2 x x x x x x x x x x x x x x x + + − − = − + + − − = − + + − − = − . ( ) 1 6 2 5 2 4− − −  Giải. 2 12 6 18 5 5 3 18 8 23 6 2 A B = − − −   − − −  2 2 1 3 3 1 2 3 1 6 2 5 2 4 0 0 2 8 1 3 0 0 2 8 0 10 d d d d d d → − → − − − −   → − −   −  75
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT 3 3 2 1 6 2 5 2 4 0 0 2 8 1 3 0 0 0 0 1 7 d d d→ − − − −   → − −    . Hệ 1 2 3 4 5 3 4 5 6 2 5 2 4 2 8 3 x x x x x x x x + + − − = − ⇔ − − = 5 7x = 1 2 3 4 5 4 6 3 5 4 ( , ) 7. x x x x x β α β α α β α = − − − = ⇔ = + ∈ = = ℝ 76
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 9. Giải hệ phương trình 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 5 2 5 3 3 4 3 2 1 2 7 = 1 x x x x x x x x x x x − + − = + + − = + − − . Giải. ( ) 2 2 1 3 3 1 5 4 5 2 5 2 5 3 3 0 13 5 2 7d d dd d dA B → − → − − −   → − −   0 39 15 6 11− −  3 3 23 5 2 5 3 3 0 13 5 2 7 0 0 0 100 d d d→ − − −   → − −    . Vậy hệ phương trình vô nghiệm. 77
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT VD 10. Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính: x 4 5 1 2 7 11 2 3 11 6 1 y z x y z x y z + + = − + − = + − = . 15x = = − ệ ố ệA. 4 0 y z  = ; B. H có vô s nghi m; C. 15 79 4 21 x y z α α α = − = − − = ∈ ℝ ; D. 15 79 4 21 x y z α α α = + = − − = ∈ ℝ . 78
Chương 1. Ma trận – Hệ PT ĐSTT Giải. ( ) 2 2 1 3 3 1 2 3 1 4 5 1 0 1 21 4 0 1 21 4 d d d d d dA B → − → − −   → − −   − −  . 15 79 4 5 1 x x y z α= + + + = − Hệ 4 21 21 4 y D y z z α α ⇔ ⇔ = − − ⇒  − − =  = ∈ ℝ . 79
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt 3.5. Một số mô hình tuyến tính trong phân tích Kinh tế 3.5.1. Mô hình cân bằng thị trường a) Thị trường một loại hàng hóa • Gọi , ,D SP Q Q lần lượt là giá thị trường, lượng cầu và lượng cung của mặt hàng cần khảo sát. Khi đó, ượ ụ ộ ố ệl ng SQ và DQ ph thu c vào P . Các m i quan h này được gọi là hàm cung và hàm cầu. • Giả sử ta có các mối quan hệ tuyến tính: DP aQ b= + và SP cQ d= + . Người ta đã chứng minh được rằng: thông thường lượng cầu giảm khi giá tăng và lượng cung tăng khi giá tăng. 80
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt • Thị trường cân bằng khi lượng cung bằng lượng cầu. Giá 0P là giá cân bằng và lượng 0Q là lượng cân bằng. VD 13. Cho biết hàm cung và hàm cầu của 1 loại hàng hóa: 5 30SP Q= + , 4 240DP Q= − + . Hãy tìm giá cân bằng và lượng cân bằng? Giải. Khi thị trường cân bằng, ta có: 0S DQ Q Q= = . 0 0 0 0 0 0 5 30 30 4 240 120 P Q P P Q Q = + =  ⇔  = − + =  . 81
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt VD 14. Cho biết hàm cung và cầu của 1 loại hàng hóa: 1,5 15SP Q= + , 125DP Q= − + . 1) Hãy tìm giá cân bằng và lượng cân bằng? 2) Giả sử nhà nước đánh thuế 5 đơn vị tiền tệ trên 1 đơn vị sản phẩm. Hãy cho biết người mua hay người bán phải trả thuế này? Giải 1) Khi thị trường cân bằng, ta có: 0S DQ Q Q= = . 0 0 0 0 0 0 1,5 15 81 125 44 P Q P P Q Q = + =  ⇔  = − + =  . 2) Khi nhà nước đánh thuế thì hàm cung sẽ bị thay đổi, cụ thể là: 5 1,5 15SP Q− = + . 82
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt 0 0 0 0 0 0 5 1,5 15 83 125 42 P Q P P Q Q − = + =  ⇔  = − + =  . So sánh 2) và 1) ta thấy giá cân bằng tăng lên 2 đơn vị và đó là phần thuế người mua phải trả; phần còn lại người bán phải trả. b) Thị trường nhiều loại hàng hóa liên quan • Trong thị trường nhiều hàng hóa, giá của mặt hàng này có thể ảnh hưởng đến lượng cung – cầu của các mặt hàng khác. Hàm cung – cầu tuyến tính của thị trường n hàng hóa có dạng: 0 1 1 2 2 ...iS i i i in n Q a a P a P a P= + + + + 0 1 1 2 2 ... ; 1,2,...,iD i i i in nQ b b P b P b P i n= + + + + = . 83
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt Trong đó: , i iS D Q Q và iP tương ứng là lượng cung, cầu và giá của hàng hóa i. • Khi thị trường cân bằng thì: ; 1,2,..., i iS D Q Q i n= = 11 1 12 2 1 10 21 1 22 2 2 20 ... ... , n n n n c P c P c P c c P c P c P c c a b + + + = − + + + = − ⇔ = − . 1 1 2 2 0 ............................................ ... ik ik ik n n nn n nc P c P c P c  + + + = − Chú ý • Nếu việc tăng giá mặt hàng 2 khiến người tiêu dùng chuyển sang chọn mặt hàng 1 làm tăng lượng cầu của mặt hàng 1 thì ta nói mặt hàng 1 và 2 có thể thay thế lẫn nhau. 84
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt VD 15. Cho biết hàm cung và cầu của 2 loại hàng hóa: 1 1 45SQ P= − + ; 1 1 2145 2DQ P P= − + ; 240 5SQ P= − + ; 1 230 2DQ P P= + − . • Nếu việc tăng giá mặt hàng 2 làm giảm lượng cầu mặt hàng 2 và cũng làm lượng cầu của mặt hàng 1 giảm theo thì ta nói 2 mặt hàng phụ thuộc lẫn nhau. 2 2 1) Hãy tìm giá và lượng cân bằng của hai mặt hàng? 2) Hãy cho biết hai mặt hàng này có thể thay thế lẫn nhau hay phụ thuộc lẫn nhau? Giải. 1) Khi thị trường cân bằng, ta có: 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 145 2 45 30 2 40 5 S D S D Q Q Q P P P Q Q Q P P P = = − + = − + ⇔  = = + − = − + 85
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt 1 1 2 2 70 25 20 60 P Q P Q = =  ⇔ ⇒  = =  . 2) Từ 1 1 2 145 2DQ P P= − + , ta thấy: 12 D P Q↑⇒ ↑⇒ hai mặt hàng này có thể thay thế nhau. VD 16. Cho biết hàm cung và cầu của 3 loại hàng hóa: 1 1 4SQ P= − + ; 1 1 2 370 2 6DQ P P P= − − − ; 2 2 3SQ P= − + ; 2 1 2 376 3 4DQ P P P= − − − ; 3 3 6 3SQ P= − + ; 3 1 2 370 2 3 2DQ P P P= − − − . 1) Hãy tìm giá và lượng cân bằng của ba mặt hàng? 2) Hãy cho biết ba mặt hàng này có thể thay thế lẫn nhau hay phụ thuộc lẫn nhau? 86
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt Giải. 1) Khi thị trường cân bằng, ta có: 1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 2 1 2 3 1 2 33 3 37 3 2 4 79 2 3 5 76 S D S D S D Q Q Q P P P Q Q Q P P P P P PQ Q Q  = = + + =  = = ⇔ + + =   + + == =  1 115 11P Q= =   2 2 3 3 7 4 5 9 P Q P Q ⇔ = ⇒ =   = =  . 2) Từ các hàm cầu, ta thấy rằng: bất kỳ mặt hàng nào tăng giá sẽ kéo tất cả lượng cầu giảm theo. Do đó, ba mặt hàng này là phụ thuộc lẫn nhau. 87
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt 3.5.2. Mô hình Input – Output Leontief a) Khái niệm chung • Mô hình này còn được gọi là mô hình I/O hay mô hình cân đối liên ngành, đề cập đến việc xác định mức tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế. • Trong mô hình I/O, khái niệm ngành được xét theo nghĩa thuần túy là sản xuất, với các giả thiết sau:
Mỗi ngành sản xuất 1 loại hàng hóa hoặc sản xuất 1 số loại hàng hóa theo tỉ lệ nhất định.
Các yếu tố đầu vào (input – nguyên liệu) của sản xuất trong 1 ngành được sử dụng theo tỉ lệ cố định. 88
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt • Tổng cầu đối với đầu ra (output – sản phẩm) của mỗi ngành bao gồm:
Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng các loại sản phẩm cho quá trình sản xuất.
Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng các loại sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu. ổb) Mô hình I/O t ng quát • Giả sử có m đầu vào được dùng để sản xuất n đầu ra (m > n). Trong m đầu vào có n đầu vào lấy từ n đầu ra của chính n ngành sản xuất và m – n đầu vào lấy từ m – n đầu ra ngành khác. Gọi ija : số đơn vị đầu vào i (i = 1, 2,, m) để sản xuất 1 đơn vị đầu ra j (j = 1, 2,, n), 89
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt iy : tổng đơn vị đầu vào i, jx : tổng đơn vị đầu ra j. ib : giá trị hàng hóa của ngành i cần cho tiêu dùng và xuất khẩu (cầu cuối cùng). Đặt ...a a a  x  y 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a A a a a   =     , 1 2 ... n x X x   =     , 1 2 ... m y Y y   =     . Ta có phương trình ma trận: AX Y= (I). 90
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt • Thông thường, bài toán đặt ra là tìm mức n đầu ra để đáp ứng nhu cầu n đầu vào cho n ngành sản xuất. Ngoài ra, phải còn dư một phần khác cho nhu cầu 1( ... )TnD d d= của ngành kinh tế mở (ngành không sản xuất mà chỉ tiêu thụ sản phẩm của n ngành sản xuất trên). Khi đó, m n= và AX Y AX X D= ⇔ = − ⇔ ( )I A X D− = (II). c) Định lý • Trong (II), nếu tất cả các phần tử của A và D không âm đồng thời tổng các phần tử trên mỗi cột của A nhỏ hơn 1 thì I A− khả nghịch. 91
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt
Ma trận tổng cầu được xác định: 1( )X I A D−= − .
I A− được gọi là ma trận Leontief hay ma trận hệ số công nghệ. Ta có: 1 2( ) ... mI A I A A A−− ≈ + + + + , m đủ lớn. Ý nghĩa 1) Pt(I) dùng để tìm đầu vào Y khi biết đầu ra X. 2) Các số liệu ở cột j trong 1( )I A −− cho biết lượng đơn vị phải sản xuất thêm (đầu ra tăng thêm) của mỗi ngành khi nhu cầu của ngành mở đối với ngành j tăng thêm 1 đơn vị. 3) Pt(II) cho phép ta xác định được tổng cầu đối với hàng hóa của tất cả các ngành sản xuất. Giúp cho việc lập kế hoạch sản xuất đảm bảo cho nền kinh tế vận hành tốt, tránh dư thừa hay thiếu hàng hóa. 92
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt VD 17. Xét nền kinh tế có 2 ngành: ngành 1 sản xuất điện, ngành 2 sản xuất gas. Giả sử 1 đơn vị đầu ra điện cần số đơn vị đầu vào là: 0,3 điện; 0,1 gas; 1,0 nước. 1 đơn vị đầu ra gas cần số đơn vị đầu vào là: 0,2 điện; 0,4 gas; 1,2 nước. ( )1) Gọi 1 2 TX x x= : số đơn vị đầu ra của 2 ngành, ( )1 2 3 TY y y y= : số đơn vị đầu vào của 3 ngành. Hãy tìm một phương trình ma trận giữa X và Y ? Giải Nhu cầu đầu vào lấy từ ngành điện là: 1 2 10,3 0,2x x y+ = . 93
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt Nhu cầu đầu vào lấy từ ngành gas là: 1 2 20,1 0,4x x y+ = . Nhu cầu đầu vào lấy từ ngành nước là: 1 2 31,0 1,2x x y+ = . Vậy, đặt 0,3 0,2 0,1 0,4A AX Y    = ⇒ = . 1,0 1,2     2) Cho biết giá của mỗi đơn vị đầu vào điện, gas và nước lần lượt là 8, 4 và 1. Hãy tìm tổng chi phí để sản xuất 1000 đơn vị đầu ra ngành điện và 900 đơn vị đầu ra ngành gas? 94
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt Giải. Tổng chi phí sản xuất là: ( ) ( ) 0,3 0,2 1000 8 4 1 0,1 0,4 4408 900 1,0 1,2     =      (đơn vị tiền). 3) Cho biết nhu cầu của ngành kinh tế mở là ( )= ượ đơ ị đầ ủ40 80D . Hãy tìm l ng n v u ra c a ngành điện, gas để đủ đáp ứng nhu cầu của hai ngành đó và ngành kinh tế mở? Tìm lượng đơn vị đầu vào của ngành nước? Giải. Ta có: 1 1 1 2 2 2 x y d x y d       = +           95
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt 1 1 1 2 2 2 0,3 0,2 0,1 0,4 x x d x x d        ⇔ = +            . Đặt 0,3 0,2 7 21 0,1 0,4 1 610 A I A −    = ⇒ − =    −    1 6 21−  ⇒ − = ( ) 1 74 I A    . Vậy 1 2 6 2 40 1001 1 7 80 1504 x x        = =            (đơn vị). Lượng đơn vị đầu vào lấy từ ngành nước là: 3 1 21,0 1,2 100 1,2.150 280y x x= + = + = (đơn vị). 96
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt VD 18. Trong mô hình I/O Leontief (3 ngành), cho ma trận hệ số đầu vào 0,3 0,4 0,1 0,2 0,3 0,2 0,2 0,1 0,4 A    =     . 1) Nếu nhu cầu của ngành kinh tế mở đối với ngành 2 tăng thêm 1 đơn vị thì đầu ra của mỗi ngành tăng thêm (sản xuất thêm) bao nhiêu đơn vị? Giải Ta có: 7 4 1 1 2 7 2 10 2 1 6 I A − −   − = − −   − −  97
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt 1 40 25 15 1( ) 16 40 16 20 16 15 41 I A −   ⇒ − =     . Từ cột 2 của 1( )I A −− cho ta biết: Đầu ra ngành 1 tăng thêm 25 20 đơn vị; Đầu ra ngành 2 tăng thêm 40 20 đơn vị; Đầu ra ngành 3 tăng thêm 15 20 đơn vị. 98
Chương 1. Ma trận – Định thức – Hệ pttt 2) Cho biết nhu cầu của ngành mở đối với đối với ngành 1 giảm 1 đơn vị; ngành 2 tăng 2 đơn vị; ngành 3 giảm 1 đơn vị thì mức sản lượng (đầu ra) của 3 ngành tăng hay giảm bao nhiêu? Giải. Từ 3 dòng của 1( )I A −− cho ta biết: Mức thay đổi sản lượng (theo đơn vị) của ngành 1 là: 1 40 2 25 1 15 1− × + × − × 1 20 4 x∆ = = − (giảm); Mức thay đổi sản lượng (theo đơn vị) của ngành 2 là: 2 1 16 2 40 1 16 12 20 5 x − × + × − ×∆ = = (tăng); Mức thay đổi sản lượng (theo đơn vị) của ngành 3 là: 3 1 16 2 15 1 41 27 20 20 x − × + × − ×∆ = = − (giảm). 99 Bài tập mẫu Giải và biện luận hệ phương trình có chứa tham số 100 • Bài 119: Cho hệ phương trình 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 kx x x x kx x x x kx + + = + + = + + = Xác ñịnh hệ số k sao cho: 1. hệ có một nghiệm duy nhất 2. hệ vô nghiệm 3. hệ có vô số nghiệm 101 PP Gauss-Jordan 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k              2 1 d d↔ → 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k              kd d 1 1 1k    2 1 3 1 d d − − → 2 0 1 1 1 0 1 1 0 k k k k k   − − −    − −   ( )22 / 1 1 d k k≠± − → 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 k k k k k          + +    − −  102 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 k k      + +      ( ) 1 2 3 1 k k d d d d − + → ( )( ) 1 1 11 2 0 0 11 k k kk k kk  + +    −− +    ++  2 − 103 ( )( ) 3 1 2 / 1 2 k k k k d  − +    +  → ≠− 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 k k k k      + +        + +   1 3 1 1 k d d− + → 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 2k  −    −    +   0 0 1 2k +       104 • Biện luận: • Nhận xét tổng quan: Hệ có nghiệm duy nhất khi 2 1 1 k k k  ≠ −   ≠ −   ≠ • Nhận xét trong từng trường hợp cụ thể: 2k = − Phương trình trở thành: 3 0 3x = Hệ vô nghiệm. 1k = Phương trình trở thành: 1 2 3 1x x x+ + = Hệ có vô số nghiệm. 105 1k = − Ta có: Hệ có nghiệm duy nhất. 1 1 1 1 0 0 2 2 0 2 2 0  −        −   1. hệ có một nghiệm duy nhất: 2. hệ vô nghiệm 3. hệ có vô số nghiệm • Kết luận: 2 & 1k k≠ − ≠ 2k = − 1k = 106 Phương pháp Gauss 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k              2 1 d d↔ → 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k              2 1 3 1 kd d d d − − → 2 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 k k k k k k       − − −    − −   107 3 2 1 1 k d d k − + → 2 1 1 1 0 1 1 1 k k k k          − − −≠− ( )( ) 11 2 0 0 11 kk k kk    −− +   ++  • Nhận xét: Hệ có nghiệm duy nhất khi hai vế của phương trình cuối ñồng thời khác 0. 108 • Biện luận: • Nhận xét tổng quan: Hệ có nghiệm duy nhất khi 2 1 1 k k k  ≠ −   ≠ −   ≠ • Nhận xét trong từng trường hợp cụ thể: 2k = − Phương trình trở thành: 3 0 3x = Hệ vô nghiệm. 1k = Phương trình trở thành: 1 2 3 1x x x+ + = Hệ có vô số nghiệm. 109 1k = − Ta có: Hệ có nghiệm duy nhất. 1 1 1 1 0 0 2 2 0 2 2 0  −        −   1. hệ có một nghiệm duy nhất: 2. hệ vô nghiệm 3. hệ có vô số nghiệm • Kết luận: 2 & 1k k≠ − ≠ 2k = − 1k = 110