Sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp tổng quát cho hai họ ánh xạ - Không giãn trong không gian Hilbert

An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58 47 SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY LẶP HỖN HỢP TỔNG QUÁT CHO HAI HỌ ÁNH XẠ  -KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Nguyễn Trung Hiếu1, Huỳnh Diễm Ngọc1 1Trường Đại học Đồng Tháp Thông tin chung: Ngày nhận bài: 25/10/2017 Ngày nhận kết quả bình duyệt: 05/12/2017 Ngày chấp nhận đăng: 12/2017 Title: Convergence of generalized hybrid interation for two families of  -nonexpansive mappings in Hilbert spaces Keywords: maize green forage, planting space, gray soil Từ khóa: ánh xạ  -không giãn, dãy lặp hỗn hợp, không gian Hilbert ABSTRACT In this paper, we extend some results in Dong, He & Cho (2015) for two families of  - nonexpansive mappings in Hilbert spaces. Then, a generalized hybrid iteration for two families of  - nonexpansive mappings is introduced and some convergence results of the iteration in Hilbert spaces are established. In addition, an example is provided to illustrate the convergence result of the hybrid iteration for two  - nonexpansive mappings in Hilbert spaces. TÓM TẮT Trong bài báo này, chúng tôi mở rộng những kết quả của Dong, He và Cho (2015) cho hai họ ánh xạ  - không giãn trong không gian Hilbert. Từ đó, chúng tôi giới thiệu một dạng dãy lặp hỗn hợp tổng quát cho hai họ ánh xạ  - không giãn và thiết lập một số kết quả về sự hội tụ của dạng dãy lặp này trong không gian Hilbert. Đồng thời, chúng tôi đưa ra ví dụ minh họa sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp cho hai ánh xạ  - không giãn trong không gian Hilbert. 1. GIỚI THIỆU Trong lý thuyết điểm bất động, vấn đề xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Kỹ thuật cơ bản trong xấp xỉ điểm bất động của ánh xạ không giãn là xây dựng dãy lặp và thiết lập sự hội tụ của dãy lặp đó. Một số dạng dãy lặp cơ bản đã được giới thiệu như dãy lặp Halpern, dãy lặp Mann, dãy lặp Krasnoselskij, dãy lặp Ishikawa,.... và nhiều kết quả về sự hội tụ (mạnh) cũng như sự hội tụ yếu của những dãy lặp này cho ánh xạ không giãn cũng đã được thiết lập. Năm 2003, Nakajo và Takahashi đã giới thiệu phương pháp hình chiếu (phương pháp CQ) để xây dựng một dãy lặp hỗn hợp kiểu Mann và thiết lập được sự hội tụ (mạnh) của dãy lặp này cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Năm 2008, Takahashi, Takeuchi và Kubota đã giới thiệu một phương pháp khác để xây dựng dãy lặp hỗn hợp kiểu Mann bằng cách bớt đi tập n Q trong dãy lặp của Nakajo và Takahashi (2003). Bằng những kỹ thuật này, nhiều dạng dãy lặp hỗn hợp khác được xây dựng và nhiều kết quả về sự hội tụ (mạnh) của những dãy lặp hỗn hợp này cho ánh xạ không giãn được thiết lập. Năm 2015, Dong, He và Cho đã sử dụng phương pháp CQ để giới thiệu một dãy lặp hỗn hợp mới mà dãy này là tổng quát của nhiều dãy lặp đã có và thiết lập sự hội tụ (mạnh) của dãy lặp này cho hai ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert. Gần đây, một số tác giả nghiên cứu mở rộng ánh xạ không giãn và nhiều lớp ánh xạ phi tuyến tổng An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58 48 quát đã được giới thiệu. Năm 2008, Kohsaka và Takahashi đã giới thiệu một lớp ánh xạ tổng quát của ánh xạ không giãn và được gọi là ánh xạ nonspreading. Năm 2010, Takahashi đã giới thiệu một mở rộng khác của ánh xạ không giãn và được gọi là ánh xạ hybrid. Năm 2011, Aoyama và Kohsaka đã giới thiệu một mở rộng của ánh xạ nonspreading và ánh xạ hybrid, được gọi là ánh xạ  - không giãn. Đồng thời, một số kết quả bước đầu sự hội tụ cho ánh xạ  - không giãn cũng được các tác giả thiết lập. Kể từ đó, việc nghiên cứu sự hội tụ cho ánh xạ  - không giãn bằng những dãy lặp khác nhau được một số tác giả quan tâm (Kong, Liu & Wu, 2015; Mongkolkeha, Cho & Kumam, 2014). Tuy nhiên, nhiều dạng dãy lặp được xây dựng bằng phương pháp CQ, trong đó có kiểu dãy lặp được giới thiệu bởi Dong và cs. (2015) chưa được nghiên cứu trên lớp ánh xạ  - không giãn. Trong bài báo này, bằng cách bớt đi tập n Q trong dãy lặp của Dong và cs. (2015), chúng tôi giới thiệu một dãy lặp hỗn hợp tổng quát để xấp xỉ điểm bất động chung cho hai họ ánh xạ  - không giãn trong không gian Hilbert. Các kết quả này là sự mở rộng của các kết quả chính của Dong và cs. (2015). Đồng thời, chúng tôi đưa ra ví dụ minh họa sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp cho hai ánh xạ  - không giãn trong không gian Hilbert. Trước hết, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả được sử dụng trong bài báo. Định nghĩa 1.1 (Aoyama & Kohsaka, 2011, p.1). Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con khác rỗng trong H và :T C C là ánh xạ. Khi đó, T được gọi là ánh xạ không giãn nếu || || || ||Tx Ty x y   với mọi , .x y C Định nghĩa 1.2 (Aoyama & Kohsaka, 2011, Definition 2.2). Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con khác rỗng trong ,H số thực 1  và :T C C là ánh xạ. Khi đó, T được gọi là ánh xạ  - không giãn nếu 2 2 2 2|| || || || || || (1 2 ) || ||Tx Ty Tx y Ty x x y          với mọi , .x y C Định nghĩa 1.3 (Zhang, Su & Cheng, 2014, Definition 2.1). Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con khác rỗng trong H và :nT C C là các ánh xạ thỏa mãn 1 ( ) . n n F F T      Khi đó, họ { } n T được gọi là đóng đều nếu với { } n x là dãy trong C sao cho lim nn x x   và lim || ||=0 n n nn x T x   thì .x F Lưu ý rằng mỗi ánh xạ không giãn là một ánh xạ 0 - không giãn. Ví dụ sau chứng tỏ rằng tồn tại ánh xạ là  - không giãn nhưng không là ánh xạ không giãn. Ví dụ 1.4. Cho  là không gian định chuẩn với chuẩn giá trị tuyệt đối, [0; 4]C  là tập con của  và ánh xạ :T C C được xác định bởi      0 neáu 4 neáu 4 x Tx x với [1;2].  Khi đó, T là ánh xạ 1 4 - không giãn nhưng T không là ánh xạ không giãn. Thật vậy, với ,x y C ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1. 4x  và 4.y  Ta có An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58 49 2|| || 0,Tx Ty  2 2|| || ( 4) ,Tx y    2 2|| || ( 4) ,Ty x    2|| || 0.x y  Khi đó, 2 2 2 21 1 1|| || || || || || [1 2( )] || || . 4 4 4 Tx Ty Tx y Ty x x y        Trường hợp 2. 4x  và 4.y  Ta có 2|| || 0,Tx Ty  2 2|| || | | ,Tx y y  2 2|| || | | ,Ty x x  2 2|| || | | .x y x y   Khi đó, 2 2 2 21 1 1|| || || || || || [1 2( )] || || . 4 4 4 Tx Ty Tx y Ty x x y        Trường hợp 3. 4x  và 4.y  Ta có 2 2|| || ,Tx Ty   2 2|| || | | ,Tx y y   2|| || 16,Ty x  2 2|| || | 4 | .x y y   Khi đó, 2 2 2 2 1 1 1 || || || || || || [1 2( )] || || . 4 4 4 Tx Ty Tx y Ty x x y        Trường hợp 4. 4x  và 4.y  Ta có 2 2|| || ,Tx Ty   2|| || 16,Tx y  2 2|| || | | ,Ty x x   2 2|| || | 4 | .x y x   Khi đó, 2 2 2 2 1 1 1 || || || || || || [1 2( )] || || . 4 4 4 Tx Ty Tx y Ty x x y        Do đó, T là ánh xạ 1 4 - không giãn. Mặt khác, với 4x  và 3.5,y  ta có || || 0.5 || || .Tx Ty x y     Do đó, T không là ánh xạ không giãn. Kí hiệu ( ) { : }F T x C Tx x   là tập hợp điểm bất động của ánh xạ : .T C C Khi T là ánh xạ  - không giãn, tập hợp ( )F T có tính chất sau: Bổ đề 1.5 (Mongkolkeha, Cho & Kumam, 2014, Lemma 3.1). Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong H và :T C C là ánh xạ  - không giãn, { } n x là dãy trong C sao cho { } n x hội tụ yếu đến x và lim || || 0. n nn x Tx    Khi đó, ( ).x F T Bổ đề 1.6 (Mongkolkeha & cs., 2014, Lemma 3.2). Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong H và :T C C là ánh xạ  - không giãn sao cho ( ) .F T   Khi đó, ( )F T là tập lồi và đóng. Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một số đẳng thức và phép chiếu trong không gian Hilbert thực. Bổ đề 1.7 (Matinez-Yanes & Xu, 2006, Lemma 1.1). Cho H là không gian Hilbert thực. Khi đó, với mọi ,u v H và [0,1],  ta có (1) 2 2 2 2 2|| || || || || || 2 , || || || || 2 , .u v u v u v u v u v v        (2) 2 2 2 2|| (1 ) || || || (1 )|| || (1 )|| || .u v u v u v             An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58 50 Bổ đề 1.8 (Matinez-Yanes & Xu, 2006, p. 2403). Cho H là không gian Hilbert thực và C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong .H Khi đó, với mỗi ,x H tồn tại duy nhất phần tử CP x C sao cho || || inf{|| || : }. C x P x x y y C    Ta gọi ánh xạ C P là phép chiếu từ H lên .C Bổ đề 1.9 (Matinez-Yanes & Xu, 2006, Lemma 1.4). Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong .H Khi đó, C z P x nếu và chỉ nếu , 0x z z y   với mọi .y C 2. NỘI DUNG Trước hết, bằng cách thay hai ánh xạ không giãn ,T S bởi hai họ ánh xạ  - không giãn { }, n T { } n S và bớt tập n Q trong dãy lặp của (Dong & cs., 2015, Theorem 4.1), chúng tôi giới thiệu một dãy lặp hỗn hợp tổng quát cho hai họ ánh xạ  - không giãn. Để ý rằng dãy giải lặp này cải tiến so với dãy lặp của Dong và cs. (2015) về mặt tính toán vì có ít điều kiện ràng buộc hơn. Định lý sau thiết lập sự hội tụ của dãy lặp được giới thiệu cho hai họ ánh xạ  - không giãn trong không gian Hilbert. Định lý 2.1. Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và , : n n T S C C là các ánh xạ  - không giãn sao cho 1 ( ( ) ( )) . n n n F F T F S       Lấy 0 ,x H 1 ,C C 1 1 0C x P x và xét dãy { } n x trong C xác định bởi 1 2 2 2 1 1 0 (1 ) [ (1 ) ] (1 ) { : || || (1 ) || || || || } , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C y x T x z y x S y C z C z z y z x z x P x                               với { }, { } n n   và { } [0,1], n   , 1 n n     với (0,1]  và (0,1).  Khi đó, { } n x hội tụ đến 0 . F P x Chứng minh. Ta chứng minh theo 6 bước sau. Bước 1. Chứng minh n C là tập lồi và đóng với mọi *.n   Trước hết, bằng cách sử dụng Bổ đề 1.7 (1), ta được 2 2 2 1 ={ : || || (1 ) || || || || } n n n n n C z C z z y z x z          2 2 2 2 2 2 { : (|| || || || 2 , ) (1 )(|| || || || 2 , || || || || 2 , } n n n n n n n z C z z z z y z y z x z x z              2 2 2{ : || || (1 ) || || || || 2 (1 ) , 0}. n n n n n n n z C z y x z y x z             Tiếp theo, ta chứng minh n C là tập lồi với mọi n   bằng phép chứng minh quy nạp. Với 1,n  ta có 1 C C là tập lồi. Giả sử rằng n C là tập lồi với mọi .n   Ta chứng minh 1n C  là An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58 51 tập lồi. Lấy 1 , . n u v C   Ta chứng minh 1 (1 ) n tu t v C     với [0,1].  Thật vậy, do 1 , n u v C   nên , n u v C và 2 2 2|| || (1 ) || || || || 2 (1 ) , 0, n n n n n n z y x z y x u           2 2 2|| || (1 ) || || || || 2 (1 ) , 0. n n n n n n z y x z y x v           Do n C là tập lồi và , n u v C nên (1 ) . n tu t v C   Mặt khác, ta cũng có 2 2 2( || || (1 ) || || || || 2 (1 ) , ) 0, n n n n n n t z y x z y x u           2 2 2(1 )( || || (1 ) || || || || 2 (1 ) , ) 0. n n n n n n t z y x z y x v            (2.1) Khi đó, cộng hai vế của hai bất đẳng thức trong (2.1), ta được 2 2 2|| || (1 ) || || || || 2 (1 ) , (1 ) 0. n n n n n n z y x z y x tu t v             Điều này có nghĩa là 1 (1 ) n u v C      hay 1n C  là tập lồi. Do đó, n C là tập lồi với mọi .n   Bây giờ, ta chứng minh n C là tập đóng với mọi n   bằng phép chứng minh quy nạp. Với 1,n  ta có 1 C C là tập đóng. Giả sử rằng n C là tập đóng với *.n   Ta chứng minh 1n C  cũng là tập đóng. Lấy ( ) 1 { }k n k u  là dãy trong 1n C  và ( ) 1 { }k n k u  hội tụ đến (0) 1n u  . Ta chứng minh (0) 1 1 . n n u C    Do ( ) 1 1 k n n u C    nên ( ) 1 k n n u C   và 2 2 2 ( ) 1 || || (1 ) || || || || 2 (1 ) , 0.k n n n n n n n z y x z y x u             (2.2) Do n C là tập đóng và ( ) 1 { }k n k u  hội tụ đến (0) 1n u  nên (0) 1 . n n u C   Mặt khác, khi k   trong (2.2), ta có 2 2 2 (0) 1 || || (1 ) || || || || 2 (1 ) , 0. n n n n n n n z y x z y x u             Do đó, (0) 1 1 . n n u C    Vậy n C là tập đóng với mọi .n   Bước 2. Chứng minh n F C với mọi *.n   Với 1,n  ta có 1 1 ( ) .F F T C C   Giả sử rằng n F C với *.n   Ta chứng minh 1 . n F C   Thật vậy, với ,p F ta có n p C và || || || || (1 ) || || . n n n n n n y p x p T x p       (2.3) Mặt khác, với mỗi *n   và n T là ánh xạ  - không giãn nên An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58 52 2 2|| || || || n n n n n T x p T x T p   2 2 2|| || || || (1 2 ) || || n n n n n T x p T p x x p         2 2|| || (1 ) || || . n n n T x p x p      Do đó 2 2|| || || || n n n T x p x p   hay || || || || . n n n T x p x p   Kết hợp với (2.3), ta được || || || || (1 ) || || = || || . n n n n n n y p x p x p x p        (2.4) Ta lại có || || [ || || (1 ) || || ] (1 ) || || n n n n n n n n n z p y p x p S y p            [ || || (1 ) || || ] (1 ) || || n n n n n n n n x p x p S y p           || || (1 ) || || . n n n n n x p S y p      (2.5) Do n S là ánh xạ  - không giãn nên 2 2|| || || || n n n n n S y p S y S p   2 2 2|| || || || (1 2 ) || || n n n n n S y p S p y y p         2 2|| || (1 ) || || . n n n S y p y p      Do đó 2 2|| || || || n n n S y p y p   hay || || || || . n n n S y p y p   Kết hợp (2.4) và (2.5), ta nhận được || || || || (1 ) || || n n n n n z p x p y p       || || (1 ) || || n n n n x p x p      || || . n x p  (2.6) Kết hợp (2.4) và (2.6) ta được 2 2 2|| || (1 ) || || || || . n n n z p y p x p       Suy ra 1 . n p C   Vậy n F C với mọi *.n   Bước 3. Chứng minh { } n x hội tụ. Theo Bổ đề 1.6 và giả thiết 1 ( ( ) ( )) , n n n F F T F S       ta có F là tập con lồi, đóng và khác rỗng của .C Áp dụng Bổ đề 1.8, tồn tại duy nhất phần tử q F sao cho 0 . F q P x Với mọi ,n   do 1 1 0 n n C x P x    nên 1 0 0 || || || || n x x z x     với mọi 1 . n z C   (2.7) Khi đó, do 1n q F C    nên từ (2.7) ta có 1 0 0 || || || || n x x q x     hay 0 {|| ||} n x x bị chặn. Vì 0 n n C x P x nên An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58 53 0 0 || || || || n x x z x   với mọi 1 . n z C   (2.8) Do 1n n C C   nên 1 1 0 1 . n n C n n x P x C C       Do đó, ta được 0 1 0 || || || || n n x x x x     hay 0 {|| ||} n x x là dãy đơn điệu tăng. Kết hợp điều này với 0 {|| ||} n x x là dãy bị chặn, ta suy ra tồn tại giới hạn của 0 {|| ||}. n x x Đặt 0 lim || || . nn x x     (2.9) Với mọi m n ta có . m n C C Vì 1 1 0 n n C x P x    nên theo Bổ đề 1.9, ta có 1 1 0 , 0 n n z x x x      với 1 . n z C   Do 1 1 0 1 1 m m C m n x P x C C        nên ta có 1 1 1 0 , 0. m n n x x x x       Khi đó, theo Bổ đề 1.7 (2), ta có 2 2 1 1 1 0 1 0 || || || ( )|| m n m n x x x x x x          2 2 1 0 1 0 1 1 1 0 || || || || 2 , m n m n n x x x x x x x x             2 2 1 0 1 0 || || || || . m n x x x x       (2.10) Từ (2.9) và (2.10) ta có 1 1, lim || || 0. m nm n x x     (2.11) Do đó, { } n x là dãy Cauchy trong .C Mặt khác, do C là tập đóng trong không gian Hilbert thực H nên C có tính đầy đủ. Khi đó, tồn tại p C sao cho lim . nn x p   (2.12) Bước 4. Chứng minh lim || || 0, n nn z y    lim || || 0 n nn z x    và lim || ||=0. n nn y x   Vì 1 1 0 n n C x P x    nên 1 1 . n n x C    Do đó 2 2 2 1 1 1 || || (1 ) || || || || . n n n n n n z x y x x x           Kết hợp điều này với (2.11) và (0,1),  ta có 1 lim || ||=0 n nn z x   và 1 lim || ||=0. n nn y x   (2.13) Ta lại có 1 1 || || || || || || . n n n n n n z y z x x y        Do đó, từ (2.13), ta được lim || || 0. n nn z y    (2.14) Mặt khác 1 1 || || || || || || . n n n n n n z x z x x x        Kết hợp (2.11) và (2.13), ta được An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58 54 lim || || 0. n nn z x    (2.15) Ta cũng có 1 1 || || || || || || . n n n n n n y x y x x x        Kết hợp (2.11) và (2.13), ta được lim || || 0. n nn y x    (2.16) Bước 5. Chứng minh .p F Ta có (1 ) (1 )( ) n n n n n n n n n n n y x T x T x x x         và (0,1].  Điều này dẫn đến (1 )( ) . n n n n n n T x x y x    Suy ra 1 1 || || || || || || . 1n n n n n n n n T x x y x y x         Áp dụng (2.16), ta được lim || || 0. n n nn T x x    Kết hợp điều này với (2.12) và giả thiết { } n T là họ các ánh xạ đóng đều, ta suy ra 1 ( ). n n p F T    Tiếp theo, ta cũng có [ (1 ) ] (1 ) n n n n n n n n n z y x S y        [ (1 ) + ]+ (1 ) n n n n n n n n n n n n n n n y z x z z z S y             [ ( ) (1 )( )]+ (1 ) . n n n n n n n n n n n n y z x z z S y           Điều này dẫn đến (1 )( ) [ ( ) (1 )( )]. n n n n n n n n n n n S y z y z x z          Suy ra || || || ( ) (1 )( ) || 1 n n n n n n n n n n n S y z y z x z            1 ( || || (1 ) || ||) 1 n n n n n n n y z x z         1 ( || || (1 ) || ||). n n n n n n y z x z        Kết hợp với (2.14) và (2.15), ta được lim || || 0. n n nn S y z    Mặt khác || || || || || || . n n n n n n n n S y y S y z z y     Do đó lim || || 0. n n nn S y y    (2.17) Ta lại có || || || || || || . n n n n y p y x x p     Áp dụng (2.12) và (2.16), ta được lim || || 0 nn y p    hay lim . nn y p   Kết hợp điều này với (2.17) và giả thiết { } n S là họ các ánh xạ đóng đều, ta suy ra 1 ( ). n n p F S    Vậy 1 ( ( ) ( )). n n n p F F T F S      Bước 6. Chứng minh 0 . F p P x An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58 55 Do 1 1 0 n n C x P x    nên theo Bổ đề 1.9, ta có 1 1 0 , 0 n n z x x x      với mọi 1.nz C  Với mọi 1 , n y F C    ta có 1 1 0 , 0. n n y x x x      Cho n   ta được 0 , 0.y p p x   Do đó, áp dụng Bổ đề 1.9, ta có 0F p P x . Suy ra { } n x hội tụ đến 0 . F p P x Tiếp theo, bằng cách chọn , n S S n T T với mọi *n   và sử dụng Bổ đề 1.5, từ Định lý 2.1 ta nhận được hệ quả sau là sự mở rộng của (Dong & cs., 2015, Theorem 4.1) từ ánh xạ không giãn sang ánh xạ  - không giãn. Hệ quả 2.2. Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và , :T S C C là các ánh xạ  - không giãn sao cho ( ) ( ) .F F T F S    Lấy 0 ,x H 1 ,C C 1 1 0C x P x và xét dãy { } n x trong C xác định bởi 1 2 2 2 1 1 0 (1 ) [ (1 ) ] (1 ) { : || || (1 ) || || || || } , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C y x Tx z y x Sy C z C z z y z x z x P x                               với { }, { } n n   và { } [0,1], n   , 1 n n     với (0,1]  và (0,1).  Khi đó, { } n x hội tụ đến 0 . F P x Vì mỗi ánh xạ không giãn là một ánh xạ 0 - không giãn nên từ Định lý 2.1, ta nhận được kết quả sau. Hệ quả 2.3. Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của H và , : n n T S C C là các ánh xạ không giãn sao cho 1 ( ( ) ( )) . n n n F F T F S       Lấy 0 ,x H 1 ,C C 1 1 0C x P x và xét dãy { } n x trong C xác định bởi 1 2 2 2 1 1 0 (1 ) [ (1 ) ] (1 ) { : || || (1 ) || || || || } , n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n C y x T x z y x S y C z C z z y z x z x P x                               với { }, { } n n   và { } [0,1], n   , 1 n n     với (0,1]  và (0,1).  Khi đó, { } n x hội tụ đến 0 . F P x Nhận xét 2.4. Bằng cách chọn , n S S n T T với mọi *n   , Hệ quả 2.3 ta nhận được (Dong & cs., 2015, Theorem 4.1). Tiếp theo, chúng tôi xây dựng một ví dụ minh họa cho sự hội tụ của dãy lặp trong Hệ quả 2.2. Ví dụ 2.5. Cho ,H   0 [0;4], .C x H  Xét dãy { } n x trong C xác định bởi An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58 56 1 1 0 { :| | n n x u C u x      nhỏ nhất}, trong đó        neáu 4 2 1 6 2 neáu 4, 2 1 n n n n n x x n y n x n                   (1 ) neáu 4 3 1 3 1 (1 ) 4 2 1 neáu 4, 3 1 3 1 n n n n n n n n n n ne n y e x y n n z n e ne n x y n n 1 ,C C 2 2 2 1 { : | | (1 ) | | | | } n n n n n C z C z z y z x z           với *n   và (0,1).  Khi đó, lim 0. nn x   Thật vậy, xét hai ánh xạ , :T S C C được xác định như sau:     0 neáu 4 2 neáu 4, x Tx x     0 neáu 4 1 neáu 4 x Sx x và , 2 1n n n    3 1n n n    và .n n e  Khi đó, theo ví dụ 1.4, ta có ,T S là hai ánh xạ  - không giãn. Do đó, dãy { } n x thỏa mãn các giả thiết của Hệ quả 2.2 và ( ) ( ) {0}.F F T F S   Vì vậy, theo Hệ quả 2.2, ta có 0 lim 0. n Fn x P x    Mặt khác, theo ví dụ 1.4, ta có ,T S không là ánh xạ không giãn. Vì vậy, kết quả của (Dong & cs., 2015, Theorem 4.1) không áp dụng được cho dãy { }. n x Cuối cùng, chúng tôi minh họa sự hội tụ của dãy lặp { } n x bằng kết quả số như sau: Lấy 0 0.5,x  0.5,  1 [0;4],C C  ta được 1 0.5.x  Khi đó, bằng tính toán trực tiếp ta được , 2 1n n n y x n   (1 ) , 3 1 3 1 n n n n n ne n z y e x n n       2 2 2 1 [0;(2 ) : (4 2 2 )], n n n n n n n C x y z x y z       2 2 2 1 (2 ) : (4 2 2 ) n n n n n n n x x y z x y z       với .n   Bằng cách sử dụng phần mềm Scilab - 6.0.0 để lập trình tính toán với 50,n  ta nhận được kết quả số theo bảng số liệu sau: n nx ny nz 1nC  1 0.5000000 0.2475248 0.1655629 [0; 0.3504104] 2 0.3504104 0.1734705 0.1160299 [0; 0.2455750] 3 0.2455750 0.1215718 0.0813162 [0; 0.1721041] 4 0.1721041 0.0852000 0.0569881 [0; 0.1206141] 5 0.1206141 0.0597100 0.0399384 [0; 0.0845289] 10 0.0203908 0.0100944 0.0067519 [0; 0.0142903] 11 0.0142903 0.0070744 0.0047319 [0; 0.0100149] 12 0.0100149 0.0049579 0.0033162 [0; 0.0070187] An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58 57 13 0.0070187 0.0034746 0.0023241 [0; 0.0049188] 14 0.0049188 0.0024351 0.0016288 [0; 0.0034472] 20 0.0005828 0.0002885 0.000193 [0; 0.0004084] 21 0.0004084 0.0002022 0.0001352 [0; 0.0002862] 22 0.0002862 0.0001417 0.0000948 [0; 0.0002006] 30 0.0000167 0.0000082 0.0000055 [0; 0.0000117] 31 0.0000117 0.0000058 0.0000039 [0; 0.0000082] 32 0.0000082 0.0000040 0.0000027 [0; 0.0000057] 40 0.0000005 0.0000002 0.0000002 [0; 0.0000003] 41 0.0000003 0.0000002 0.0000001 [0; 0.0000002] 42 0.0000002 0.0000001 7.742D-08 [0; 0.0000002] 49 1.941D-08 9.611D-09 6.428D-09 [0; 1.361D-08] 50 1.361D-08 6.735D-09 4.505D-09 [0; 9.535D-09] 3. KẾT LUẬN Bài báo đã đề xuất được một dãy lặp hỗn hợp tổng quát và đề xuất một số kết quả về sự hội tụ của dãy lặp này cho hai họ ánh xạ  - không giãn trong không gian Hilbert. Một ví dụ được đưa ra để minh họa sự hội tụ của dãy lặp hỗn hợp cho hai ánh xạ  - không giãn trong không gian Hilbert và cũng chứng tỏ được rằng kết quả hội tụ đối với ánh xạ không giãn không áp dụng được trong ví dụ này. Do đó, các kết quả của chúng tôi là cải tiến so với kết quả trong (Dong & cs., 2015, Theorem 4.1) và là một mở rộng từ hai ánh xạ không giãn sang hai họ ánh xạ tổng quát hơn là hai họ ánh xạ  - không giãn. TÀI LIỆU THAM KHẢO Aoyama, K., & Kohsaka, F. (2011). Fixed point theorem for  -nonexpansive mappings in Banach spaces. Nonlinear Anal., 74, 4387 - 4391. Dong, Q., He, S., & Cho, Y. J. (2015). A new hybrid algorithm and its numerical realization for two nonexpansive mappings. Fixed Point Theory Appl., 2015:150, 1 - 12. Kohsaka, F., & Takahashi, W. (2008). Existence and approximation of fixed points of firmly nonexpansive-type mappings in Banach spaces. SIAM J. Optim., 19, 824 - 835. Kong, D., Liu, L., & Wu, Y. (2015). Best proximity point theorems for  -nonexpansive mappings in Banach spaces. Fixed Point Theory Appl., 2015:159, 1 - 10. Matinez-Yanes, C., & Xu, H. K. (2006). Strong convergence of the CQ method for fixed point processes. Nonlinear Anal., 64, 2400 - 2411. Mongkolkeha, C., Cho, Y. J., & Kumam, P. (2014). Weak convergence theorems of iterative sequences in Hilbert spaces. J. Nonlinear Convex Anal., 15(6), 1303 - 1317. An Giang University Journal of Science – 2017, Vol. 18 (6), 47 – 58 58 Nakajo, K., & Takahashi, W. (2013). Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups. J. Math. Anal. Appl., 279, 372 - 379. Takahashi, W. (2010). Fixed point theorems for new nonlinear mappings in a Hilbert space. J. Nonlinear Convex Anal., 11(1), 79 - 88. Takahashi, W., Takeuchi, Y., & Kubota, R. (2008). Strong convergence theorems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces. J. Math. Anal. Appl., 341, 276 - 286. Zhang, J., Su, Y., & Cheng, Q. (2014). Uniformly closed replaced AKTT or *AKTT condition to get strong convergence theorems for a countable family of relatively quasi- nonexpansive mappings and systems of equilibrium problems. Fixed Point Theory Appl., 2014:103, 1 - 17.