Sự gia tăng số Phonon âm trong dây lượng tử hình trụ với thế vô hạn dưới tác dụng của trường Laser

SỰ GIA TĂNG SỐ PHONON ÂM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ VỚI THẾ VÔ HẠN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TRƯỜNG LASER LÊ ĐÌNH Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế LÊ QUỐC ANH Trường THPT Quốc Học, Huế Tóm tắt: Sự thay đổi số phonon âm trong dây lượng tử hình trụ (CQW) đặt trong trường laser đối với trường hợp khí điện tử không suy biến được nghiên cứu về mặt lý thuyết dựa trên phương trình động lượng tử cho toán tử số phonon. Bài báo tập trung khảo sát sự gia tăng phonon âm trong dây lượng tử hình trụ và sự biến đổi phổ tần số của nó dưới ảnh hưởng của trường laser. Kết quả cho thấy hướng phân cực của các phonon có ảnh hưởng quan trọng đến hệ số hấp thụ sóng âm và phổ tần số của phonon âm. 1 GIỚI THIỆU Sự sinh và gia tăng số phonon trong bán dẫn khi được đặt trong trường laser là một chủ đề đang được nghiên cứu ráo riết trong bán dẫn khối [1], trong bán dẫn hố lượng tử [2], và trong siêu mạng bán dẫn [3]. Các công trình này đã chứng tỏ rằng tương tác của trường laser với điện tử (sau đây gọi là electron) dẫn đến sự kích thích các dao động bậc cao và do đó sinh ra phonon. Về mặt vật lý, sự sinh và gia tăng phonon trong bán dẫn thấp chiều khi có mặt của trường laser phản ánh tính chất của tương tác điện tử-phonon. Hệ số hấp thụ sóng âm là kết quả của sự tương tác electron và photon (lượng tử sóng điện từ). Tuy nhiên, nếu electron chỉ tương tác với photon thì electron không thể hấp thụ sóng điện từ vì lúc này định luật bảo toàn năng-xung lượng không được thoả mãn. Thật vậy, nếu gọi ~p, ~p, lần lượt là xung lượng của electron trước và sau khi hấp thụ photon (năng lượng ~ω, xung lượng ~~k), theo định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng, ta có: p2 2m∗ + ~ω = p,2 2m∗ , và ~p+ ~~k = ~p ′. Gọi θ là góc giữa hướng ~p và ~k, ta rút ra được: cos θ = c v [1− ~ω 2m∗c2 ] ≈ c v >> 1. Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 03(11)/2009: tr. 15-20 16 LÊ ĐÌNH - LÊ QUỐC ANH Không có giá trị nào của góc θ để thoả mãn định luật bảo toàn năng-xung lượng. Do vậy, electron chỉ có thể hấp thụ sóng điện từ khi tương tác với phonon. Trong quá trình tương tác này, electron huỷ (hấp thụ) hoặc sinh (phát) phonon. Số các phonon của các trạng thái riêng biệt được đặc trưng bởi số sóng q và nhánh các phổ tán sắc ω(~q). Tương tác giữa electron - phonon quang không làm thay đổi lớn tần số của phonon quang và chuẩn xung lượng q (tán xạ đàn hồi) nên tương tác giữa electron - phonon âm được đặc biệt quan tâm [5]. Bài báo được tổ chức như sau: trong phần 2, chúng tôi trình bày sự gia tăng phonon âm trong CQW với thế giam giữ electron được giả sử là vô hạn khi có mặt trường laser. Các tính toán về thay đổi phổ phonon được đưa ra ở phần 3. Cuối cùng, một số kết luận quan trọng được đưa ra ở phần 4. 2 SỰ GIA TĂNG SÓNG ÂM Phương trình tán sắc của phonon âm trong dây lượng tử dưới tác dụng của trường laser tần số Ω, biên độ ~E0 có dạng [4]: ω − ω~q = −1~ ∑ n,l,n′,l′,~k |Cn,l,n′,l′(~q)|2 ∞∑ ν=−∞ J2ν ( λ Ω ) ∑ ~k [fn′,l′(~k)− fn,l(~k − ~q)]× × 1 [εn′,l′(~k)− εn,l(~k − ~q)− ~ω~q − ~νΩ− iδ] , (1) ở đây, ta kí hiệu fn′,l′(~k) là hàm phân bố của electron trong dây lượng tử hình trụ, λ = e~q ~E0 m∗Ω thông số của trường laser. Biểu thức (1) là phương trình tán sắc của phonon âm trong dây lượng tử. Hệ số hấp thụ sóng âm được xác định bởi biểu thức [4, 5]: α(~q) = −Im(ω). (2) Sử dụng công thức biến đổi đối với hàm delta chứa phần ảo: 1 X − iδ = PV 1 X + ipiδ(X), trong đó PV chỉ giá trị chính Cauchy. Hệ số hấp thụ sóng âm (2) được viết lại như sau: α(~q) = −Im(ω) = pi ~ ∑ n,l,n′,l′,~k |Cn,l,n′,l′(~q)|2 × ∞∑ ν=−∞ J2ν ( λ Ω ) ∑ ~k [fn′,l′(~k)− fn,l(~k − ~q)]δ[εn′,l′(~k)− εn,l(~k − ~q)− ~ω~q − ~νΩ] = pi ~ ∑ n,l,n′,l′, |Cn,l,n′,l′(~q)|2 ∞∑ ν=−∞ J2ν ( λ Ω )× F1. SỰ GIA TĂNG SỐ PHONON ÂM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ... 17 Đặt: εa = εn,,l, − εn,l − ~ 2q2 2m∗ − ~ω~q − ~νΩ, ta tính được: α(~q) = pi ~ ∑ n,l,n′,l′, |Cn,l,n′,l′(~q)|2 ∞∑ ν=−∞ J2ν ( λ Ω ) L 2pi m∗ ~2q eβ(εF−εn,,l, )[1− eβ~ω~q+β~νΩ] exp[ βm ∗ 2~2q2 ε2a]. Để thuận tiện cho quá trình tính số và vẽ đồ thị, ta tính toán cho hai vùng năng lượng n = 0; ` = ±1 với thừa số dạng I20,1,0,1(~q) = 576J23 (qR) (qR)6 . Thay |C0,1,0,1′(~q)|2 = |C~q|2I20,1,0,1(~q), với |C~q|2 = ξ2~q 2ρvsV là hệ số tương tác electron-phonon âm và J2ν ( λ Ω) ≈ ( λ2Ω)2 (cường độ trường ngoài nhỏ), ta được: α(~q) = 576J23 (qR) (qR)6 ξ2Lm∗ 4~2ρvsV ( λ 2Ω )2eβ(εF−εn,,l, )[1− eβ~ω~q+β~νΩ] exp[ βm ∗ 2~2q2 ε2a]. (3) Từ kết quả trên, ta thấy 1− eβ~ω~q+β~νΩ < 0. Do vậy nên hệ số hấp thụ sóng âm α(~q) < 0. Điều này cho phép ta rút ra kết luận quan trọng: Dưới tác dụng của trường laser, sóng âm được tăng cường hay nói cách khác có xảy ra sự gia tăng sóng âm dưới tác dụng trường Laser. Hình 1 diễn tả sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ sóng âm vào số sóng phonon và tần số của trường laser. Từ đồ thị ở hình 1 ta thấy rằng hệ số hấp thụ sóng âm có giá trị lớn nhất ứng với một giá trị nhất định của số sóng q hoặc tần số Ω, lúc đó sự gia tăng sóng âm lớn nhất. Ngoài ra, đồ thị ở bên trái còn cho thấy ngoài đỉnh chính còn một số đỉnh phụ về phía số sóng q tăng. Tuy nhiên, ở miền giá trị của q này sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ α vào tần số Ω không được thể hiện rõ. Đồ thị ở bên phải còn cho thấy khi tần số laser có giá trị quá nhỏ hoặc quá lớn, sẽ không có sự gia tăng số phonon âm. W=1.5 1014Hz W=2 1014Hz W=2.5 1014Hz 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 -8 -6 -4 -2 0 So song q ´108Hm-1L H e so ha p th u Α Hd vb kL q=1.2 108m-1 q=1.5 108m-1 q=1.7 108m-1 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -10 -8 -6 -4 -2 0 Tan so W ´1014HHzL H e so ha p th u Α Hd vb kL Hình 1: Sự phụ thuộc hệ số hấp thụ sóng âm vào số sóng q ứng với cac giá trị nhất định của Ω (hình bên trái) và tần số laser Ω ứng với các giá trị nhất định của q (hình bên phải). 18 LÊ ĐÌNH - LÊ QUỐC ANH 3 BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA PHỔ PHONON TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ Bây giờ ta khảo sát phổ tần số phonon âm của dây lượng tử dưới tác dụng của trường laser. Xuất phát từ phương trình tán sắc (1), phổ tần số là phần thực của ω ω(~q) = Reω = ω~q − 1~ ∑ n,l,n′,l′,~k |Cn,l,n′,l′(~q)|2 ∞∑ ν=−∞ J2ν ( λ Ω )× ×Re ∑ ~k [fn′,l′(~k)− fn,l(~k − ~q)] 1 [εn′,l′(~k)− εn,l(~k − ~q)− ~ω~q − ~νΩ− iδ] . (4) Ta tính được: +∞∑ ν=−∞ J2ν ( λ Ω ) 1 [εcn′,l′(~k)− εcn,l(~k − ~q)− ~νΩ− ~ω~q − iδ] = ( λ 2Ω )2 1 N + kq cos θm∗ , (5) trong đó θ = (~k, ~q) và N = ~2A2n′,l′ 2m∗R2 − ~ 2q2 2m∗ − ~ 2A2n,l 2m∗R2 − ~Ω− ~ω~q. Thay biểu thức hệ số tương tác |C~q|2, ω~q = vq và (5) vào (4), ta được: ω(~q) = vq − ∑ n,l,n′,l′ ξ2q 2ρvsV I2n,l,n′,l′ neL 2pi ( λ 2Ω )2 [ e−β~ 2 A2 n′,l′ 2m∗R2 ( 1 N √ 2pim∗ β~2 − q cos θ 2N2β~2 ) − − e−β~2 A2 n′,l′ 2m∗R2 ( 1 N √ 2pim∗ β~2 − q cos θ 2N2β~2 − q 2 cos θ N2 √ pi 2m∗β~2 )] . (6) Hệ số hấp thụ sóng âm (3) và phổ sóng âm (6) cùng chứa λ = e~q ~E0 m∗Ω . Đối với phonon phân cực ngang: ~q⊥~k và ~q⊥ ~E0 (cos θ = 0 và cosα = 0) và phonon phân cực dọc: ~q ‖ ~k và ~q⊥ ~E0 (cos θ = 1 và cosα = 0) : λ = e~q ~E0 m?Ω = 0. (7) Biểu thức giải tích của phổ phonon trong trường hợp này: ω(~q) = vq. Hệ số hấp thụ sóng âm α cũng bằng không. Điều này cho thấy các phonon phân cực như trên hoàn toàn không chịu tác động của trường laser. Trường hợp phonon phân cực ngang, ta có ~q⊥~k đồng thời ~q ‖ ~E0, vì vậy cos θ = 0 và cosα = 1: λ = e~q ~E0 m∗Ω = eqE0 m∗Ω . Thay vào (6) ta được biểu thức giải tích của phổ phonon âm: ω(~q) = vq − ∑ n,l,n′,l′ ξ2q 2ρvsV I2n,l,n′,l′ neL 2pi ( λ 2Ω )2 1 N √ 2pim∗ β~2 ( e−β~ 2 A2 n′,l′ 2m∗R2 − e−β~2 A2n,l 2m∗R2 ) . SỰ GIA TĂNG SỐ PHONON ÂM TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH TRỤ... 19 Ta giới hạn việc tính toán cho hai vùng năng lượng đầu tiên và vẽ được sự phụ thuộc của ω theo số sóng q với các giá trị của tần số trường laser Ω khác nhau như được diễn tả ở hình 2. Dáng điệu của đồ thị cho thấy tần số của các phonon âm thay đổi và không còn phụ thuộc tuyến tính vào số sóng q. Đồ thị ở hình 1 đạt giá trị cực đại tại số sóng q nào đó, đây là giá trị mà các phonon âm hấp thụ được năng lượng lớn nhất. So sánh với hình 2, đường cong biểu diễn phổ tần số phonon âm cũng có cực trị nhờ hấp thụ năng lượng cực đại đó. W=0.8 1014 s-1 W=1.0 1014 s-1 W=1.2 1014 s-1 1 2 3 4 5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 So song q ´108Hm-1L Ta n so Ω ´ 10 13 Hs - 1 L Hình 2: Sự phụ thuộc của ω vào số sóng q ứng với các giá trị tần số trường laser khác nhau 4 KẾT LUẬN Ta đã thu được biểu thức giải tích của phổ phonon trong quá trình tương tác electron - phonon trong dây lượng tử hình trụ. Kết quả này được xét trong trường hợp giới hạn cường độ trường bức xạ laser không quá mạnh, do đó phổ năng lượng của phonon thu được chỉ phụ thuộc bậc hai vào cường độ trường bức xạ (λ2). Sự xuất hiện của tần số trường laser (photon) Ω trong biểu thức của phổ phonon cho thấy quá trình tương tác electron - phonon có sự tham gia của photon. Điều này là cần thiết vì nó đảm bảo cho định luật bảo toàn năng - xung lượng không bị vi phạm. Từ kết quả thu được ta có thể thấy rất rõ ảnh hưởng của sự phân cực lên phổ phonon. Trường hợp phân cực dọc, phổ phonon không phụ thuộc vào trường ngoài, tần số phonon phụ thuộc bậc nhất vào số sóng và có dạng sóng âm đơn giản. Trường hợp phân cực ngang, phổ phonon bị ảnh hưởng của trường ngoài rõ rệt. Tuy nhiên, khi số sóng của phonon vuông góc với vectơ cường độ trường ngoài thì phổ phonon lại có dạng sóng âm đơn giản giống hệt trường hợp phân cực dọc. Trong các trường hợp còn lại, phổ phonon đều có dạng khá phức tạp. 20 LÊ ĐÌNH - LÊ QUỐC ANH TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A. L. Troncini and O. A. C. Nunes, Phys. Rev. B 33, 4125 (1986); O. A. C. Nunes, Phys. Rev. B 29, 5679 (1984); J. W. Sakai and O. A. C. Nunes, Sol. Stat. Comm. 64, 1396 (1987); L. C. Miranda, J. Phys. C 9, 2971 (1976). [2] P. Zhao, Phys. Rev. B 49, 13589 (1994). [3] J. W. Sakai and O. A. C. Nunes, Sol. Stat. Comm. 74, 397 (1990). [4] Nguyễn Quang Báu, Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê tuấn, Lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiều hạt, NXB ĐHQG Hà Nội, 2002. [5] Nguyễn Quang Báu, Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn, Lý thuyêt bán dẫn, NXB ĐHQG Hà Nội, 2002. Title: THE AMPLIFICATIONOF ACOUSTIC PHONONS IN A CYLINDRICAL QUAN- TUM WIRE WITH AN INFINITE POTENTIAL IN THE PRESENCE OF A LASER FIELD Abstract: The change of acoustic phonon population in a cylindrical quantum wire (CQW) with an infinite potential for a non-degenerate electron gas under an external laser field is theoretically studied based on the quantum kinetic equation for the phonon population operator. The paper focuses on influence of external field on the amplification of phonon population and frequency spectrum of acoustic phonons. The obtained results show that there exists an importance effect of the polarization direction of phonons on the considering expressions. TS. LÊ ĐÌNH Giám đốc Trung tâm Khảo thí và ĐBCLGD, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế CN. LÊ QUỐC ANH GV Vật lý, Trường THPT Quốc Học, Huế.