Sử dụng số phức giải câu 8 trong đề thi trung học phổ thông quốc gia môn toán năm 2015 theo 5 cách

Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 1 SỬ DỤNG SỐ PHỨC GIẢI CÂU 8 TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM 2015 THEO 5 CÁCH Trần Lê Nam Trường Đại học Đồng Tháp Thông tin chung: Ngày nhận bài: 15/03/2016 Ngày nhận kết quả bình duyệt: 22/04/2016 Ngày chấp nhận đăng: 12/2016 Title: A use of complex numbers to solve the eighth problem by five methods in the 2015 National High School Mathematics Examination in Vietnam Keywords: Complex number, plane geometry, complex geometry Từ khóa: Số phức, hình học phẳng, hình học phức ABSTRACT Complex numbers are efective tools in solving plane geometry problems. In this paper, we present some basic definitions and properties of plane geometry via complex numbers. Then, the paper proposes five methods to solve the plane analytic geometry problem in the 2015 National High School Mathematics Examination in Vietnam through complex numbers. TÓM TẮT Số phức là một công cụ tốt để giải các bài toán hình học phẳng. Trong bài báo, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ bản của hình học phẳng theo ngôn ngữ của số phức. Từ đó, bài viết đưa ra 5 phương pháp để giải câu hỏi về hình học giải tích trên mặt phẳng trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán năm học 2015 theo ngôn ngữ số phức. 1. MỞ ĐẦU Căn bậc 2 của số âm xuất hiện trong việc tính toán thể tích kim tự tháp của nhà toán học Hy Lạp, Alexandria ở thế kỷ thứ I sau công nguyên. Tuy nhiên, đến thế kỷ thứ XVI, khái niệm số phức mới chính thức xuất hiện trong công trình của G. Cardano về việc tìm nghiệm đại số của phương trình lập phương (Katz, 2004). Sau đó, số phức được sử dụng rất hiệu quả trong Vật lý và Toán học. Nó là một công cụ tuyệt vời trong việc giải một số dạng toán về đại số, giải tích, hình học và tổ hợp (Nguyễn Hữu Điển, 2000; Li, 2004; Nguyễn Văn Mậu, 2009; Đoàn Quỳnh, 1997; Võ Thanh Vân, 2009). Trong những năm gần đây, việc sử dụng số phức để giải các bài toán hình học trong đề thi IMO tỏ ra khá hữu hiệu (Li, 2004). Khai thác thế mạnh đó, chúng tôi nghĩ đến việc ứng dụng số phức trong giải các bài toán hình học giải tích phẳng. Ngoài các kết quả về véc-tơ và tích vô hướng, số phức còn có thêm phần tử ảo .i Do đó, nếu chúng ta tận dụng sức mạnh của nó thì việc giải các bài toán hình học giải tích được ngắn gọn, tự nhiên và đẹp. Câu hình học giải tích phẳng trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán năm 2015 là một câu hỏi hay và khó (Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, 2015). Theo thống kê của chúng tôi thì hơn 85% thí sinh ở cụm thi Đại học Đồng Tháp là không làm được câu này. Bài viết sẽ giới thiệu sự thể hiện của một số khái niệm trong hình học giải tích phẳng theo ngôn ngữ số phức. Từ đó, chúng tôi đưa ra 5 cách giải bài toán theo ngôn ngữ này. 2. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chúng ta đã biết rằng nhờ song ánh  2: , ,f a b a bi   nên mỗi điểm Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 2  ,M a b trên mặt phẳng Oxy được đồng nhất với một số phức . M z a bi  Theo cách đồng nhất đó thì véc-tơ OM  có tọa độ là M z (Hình 1). Nói cách khác, véc-tơ  ,a a b  cũng được đồng nhất với số phức . a z a bi  Khi đó, các phép cộng, trừ hai véc-tơ, nhân một số thực với một véc-tơ bằng các phép toán đó trên các số phức tương ứng. Phép nhân vô hướng 2 véc-tơ được tính theo công thức:    1. Re . . . . 2a a ab b b a b z z z z z z        Đặc biệt, độ dài của a  được tính theo công thức . . a a a z z    Hình 1. Một điểm và một véc-tơ trên mặt phẳng được đồng nhất với một số phức Tiếp theo, chúng ta thể hiện các khái niệm tâm tỉ cự của 2 điểm, phương trình chính tắc của đường tròn, đường thẳng theo ngôn ngữ của số phức. Trong mục này, chúng ta cho ,A B là 2 điểm phân biệt trên mặt phẳng. 2.1 Tâm tỉ cự của 2 điểm Điểm M là tâm tỉ cự của 2 điểm ,A B ứng với cặp hệ số , , 0,a b a b   nghĩa là 0,aMA bMB     khi và chỉ khi: .A B M az bz z a b    Đặc biệt, M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi . 2 A B M z z z   2.2 Phương trình chính tắc của đường tròn Do khoảng cách giữa 2 điểm A và ,B ký hiệu  d , ,A B bằng AB  nên chúng ta được     d , .B A B AA B z z z z   Từ đó, chúng ta suy ra được đường tròn tâm ,A bán kính 0R  có phương trình dạng:    2.A Az z z z R   2.3 Phương trình của đường thẳng Giả sử  d là đường thẳng qua điểm A nhận 0a   làm véc-tơ chỉ phương. Điểm M nằm trên đường thẳng  d khi và chỉ khi , .AM ta t     Điều này tương đương với đẳng thức: hay .M A M A M A a a a z z z z z z t z z z             Do đó, đường thẳng  d có phương trình dạng: Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 3   : .A A a a z z z z d z z      Lý luận tương tự, chúng ta được đường thẳng  'd qua điểm A nhận 0n   làm véc-tơ pháp tuyến có phương trình dạng  ' : .A A n n z z z z d z z      3. SỬ DỤNG SỐ PHỨC GIẢI CÂU 8 TRONG ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA MÔN TOÁN NĂM HỌC 2014 - 2015 Trong mục này, chúng tôi sử dụng các kết quả được trình bày trong mục 2 để đưa ra 5 cách giải cho câu 8 trong đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán năm học 2014 – 2015. Đề bài. Trong mặt phẳng ,Oxy cho tam giác ABC vuông tại .A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh ;BC D là điểm đối xứng của B qua ;H K là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng Giả sử  5, 5 ,H    9, 3K  và trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng   : 10 0.d x y   Hãy tìm tọa độ điểm .A Chuyển giả thiết bài toán sang mặt phẳng phức Do đường thẳng  d đi qua hai điểm  1 10, 0 10z     và  2 0,10 10z i  nên  d có phương trình dạng:   10 10: 10 10 10 10 z z d i i      hay   : 10 10 .d z i z i   Từ đó, chúng ta có bài toán: Trên mặt phẳng phức cho tam giác ABC vuông tại .A Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh ;BC D là điểm đối xứng của B qua ;H K là hình chiếu .AD vuông góc của C trên đường thẳng .AD Giả sử hai điểm H và K lần lượt có tọa độ 5 5 , 9 3 H K z i z i     và trung điểm cạnh AC thuộc đường thẳng   : 10 10 .d z iz i   Hãy tìm tọa độ điểm .A Thông thường, tọa độ điểm A là nghiệm của hệ gồm 2 phương trình của 2 đường thẳng đi qua .A Lần lượt tìm 2 đường tròn, 1 đường tròn và 1 đường thẳng, 2 đường thẳng đi qua điểm ,A chúng ta được 3 cách giải sau. Cách 1. (Hình 2) Gọi M là trung điểm cạnh .AC Do hai tam giác AHC và AKC lần lượt vuông tại H và K nên 4 điểm , , ,A H K C cùng nằm trên đường tròn tâm M đường kính .AC Do đó, M nằm trên đường trung trực đoạn thẳng .HK Trung điểm đoạn thẳng HK có tọa độ 2 4 .i Chúng ta suy ra được, đường trung trực đoạn thẳng HK có phương trình      ' : 7 7 20.d i z i z    Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 4 Hình 2. Điểm A nằm trên 2 đường tròn C(M , MA) và C(H , HK). Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình:     10 10 , 7 7 20. z i z i i z i z            Do đó 10 M z i và tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình:     , : 10 10 250C M MH z i z i   hay  . 10 150.z z i z z   (1) Mặt khác, do AH BD và hai điểm ,B D đối xứng nhau qua H nên chúng ta được   .HKA BAH HAK  Chúng ta suy ra được tam giác AHK cân tại H hay điểm A nằm trên đường tròn  , .C H HK Do đó, tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình:   5 5 5 5 200z i z i     hay    5 5 150.zz z z i z z     (2) Từ (1) và (2), chúng ta được tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:           10 150, 5 5 a 150. b z z z z i z z z z z z i          (3) Chúng ta suy ra được    3z z i z z   hay Re 3Im .z z Do đó, 3 , .z a ai a    Thay 3z a ai  vào phương trình (3a), chúng ta được: 210 20 150.a a  Phương trình trên có nghiệm 5a  và 3.a  Từ đó, chúng ta được 15 5 .A i  Vậy, điểm A có tọa độ bằng  15,5 . Cách 2. (Hình 3) Theo Cách 1, điểm A nằm trên đường tròn  , .C M MK Mặt khác, do   AH HK nên đường thẳng  MH vuông góc với đường thẳng  .AK Do đó, tọa độ của A là nghiệm của hệ: Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 5         , : 10 10 250, 9 3 9 3 : . 1 3 1 3 C M MA z i z i z i z i AK i i             Hình 3. Điểm A nằm trên đường tròn C(M , MA) và đường thẳng (KD) Hệ phương trình trên tương đương với hệ phương trình           10 150, a 1 3 1 3 0. b z z z z i i z i          (4) Từ phương trình (4b), chúng ta được Re 3Im .z z Do đó, 3 , .z a ai a    Thay 3z a ai  vào phương trình (4a), chúng ta được 210 20 150.a a  Khi đó 5a  hoặc 3.a  Vậy, 15 5A i  hay  15,5 .A   Cách 3. (Hình 4) Theo Cách 2, điểm A nằm trên đường thẳng qua điểm K và vuông góc với  .MH Mặt khác, gọi F là điểm đối xứng của K qua điểm .M Khi đó, tứ giác AKCF là một hình chữ nhật và điểm F có tọa độ 9 23 . F z i  Chúng ta suy ra được đường thẳng  AF song song với đường thẳng  MH (cùng vuông góc với AK ). Do đó, tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:     9 3 9 3 : , 1 3 1 3 9 23 9 23 : . 1 3 1 3 z i z i AK i i z i z i AF i i                  Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 6 Hình 4. Điểm A nằm trên hai đường thẳng (KD) và (AF) Hệ phương trình trên tương đương với hệ phương trình:         1 3 1 3 0, 1 3 1 3 100 . i z i i z i i            Chúng ta suy ra được: 50 15 5 . 1 3 i z i i     Vậy, điểm A có tọa độ là  15,5 . Lý luận như đáp án của Bộ Giáo dục và Đào tạo, chúng ta được 2 điểm A và K đối xứng nhau qua đường thẳng  .MH Cách 4 thể hiện các phép tính theo ngôn ngữ số phức. Cách 4. (Hình 5) Do hai tam giác AHK và AMK cân tại H và M nên điểm A đối xứng với điểm K qua đường thẳng  .HM Đường thẳng  HM có phương trình:      : 1 3 1 3 20 .HM i z i z i    Đường thẳng  t qua K và vuông góc  MH có phương trình:      : 1 3 1 3 0.t i z i z    Chúng ta suy ra được, tọa độ giao điểm I của  HM và  t bằng 3 .Iz i  Do đó, 2 15 5 A I K z z z i    hay  15,5 .A  Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 7 Hình 5. Hai điểm A và K đối xứng nhau qua đường thẳng (MH) Cách 5. (Hình 6) Đổi mục tiêu  1 2; ,O e e   sang mục tiêu  1 2; , .M e e   Khi đó, 0, M z  5 15 H z i  và 9 13 , . K C A z i z z    Do điểm A nằm trên đường tròn bán kính R MH nên 2. . A A z z R Tiếp tuyến  AB của đường tròn  ,C M R có phương trình:   2: . . 2 .AB Az Az R  (5) Mặt khác, hai tam giác ABH và CAH đồng dạng nên chúng ta được . BH AH AH CH  Chúng ta suy ra được: 2 2 2 2 2 1 . 4(2 ) HB AH HK HC HC MH HK     Do đó, 5 5 . 4 4 H C H A B z z z z z     (6) Từ (5) và (6), chúng ta được:     25 5 8 .A H A A H Az z z z z z R    hay 25 6 5 0. H A H A z z R z z   Journal of Science – 2016, Vol. 12 (4), 1 – 8 Part D: Natural Sciences, Technology and Environment 8 Hình 6. Điểm A nằm trên tiếp tuyến (AB) của đường tròn C(M , MH). Do 2 A A z z R nên phương trình trên tương đương với: 2 2 25 6 5 0. H A A H z z R z z R   Chúng ta suy ra được,           2 2 3 4 3 4 15 5 , 55 3 4 3 4 9 13 . 55 H A H H A H i R i z z i z i R i z z i K z                     trïng víi  Trong hệ tọa độ ban đầu điểm A có tọa độ 15 5i  hay  15,5 .A  TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ Giáo dục và Đào tạo. (2015). Đề thi Trung học Phổ thông Quốc gia môn Toán. Đoàn Quỳnh. (1997). Số phức với hình học phẳng. Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục. Katz, J. V. (2004). A history of mathematics: Brief version. Boston: Pearson Addison- Wesley. Li, Y. K. (2004). Geometry via complex numbers. Mathematical Excalibur. 9(1), 1-4. Nguyễn Hữu Điển. (2000). Phương pháp số phức và hình học phẳng. Hà Nội: Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội. Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên)., Trần Nam Dũng., Đinh Công Hướng., Nguyễn Đăng Phất., Tạ Duy Phượng. & Nguyễn Thủy Thanh. (2009). Biến phức định lý và áp dụng. Hà Nội: Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội. Võ Thanh Vân (Chủ biên) & Lê Hiểu Dương & Nguyễn Ngọc Giang. (2009). Chuyên đề ứng dụng số phức trong giải toán Trung học phổ thông. Hà Nội: Nhà xuất bản Đại học Sư phạm.