Sử dụng kỹ năng nhân lượng liên hợp để giải phương trình vô tỷ

LÊ QUANG THIÊN TRƯỜNG TRUNG HỌC CỞ TRẦN NHÂN SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A.Lý do chọn đề tài: Phương trình vô tỉ là một nội dung khó đối học sinh lớp 9 .Đứng trước một bài toán phương trình vô tỉ thường thì các em sẽ có nhiều phương pháp giải khác nhau khi biến đổi tương đương, dùng ẩn phụ, đánh giá, đưa về phương trình trị tuyệt đối . Song có một cách khác dùng giải quyết bài toán dạng này rất hữu dụng và phù hợp tư duy các em học sinh lớp 9 đó là nhân lượng liên hợp B. Cơ sở lý luận: Ta biết x=x0  nghiệm của phương trình. f(x)=0 Như vậy phương trình : Công cụ giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng liên hợp trên nhờ các hằng đẳng thức sau: ; C.Bài tập: Dạng 1:Nhẩm nghiệm, lượng liên hợp có chứa một hằng số Thí dụ 1: giải phương trình: Ta tìm rồi thế vào biểu thức 3x+1 và 6-x chứa trong căn nếu giá trị các biểu thức trên có dạng bình phương của một số hửu tỉ thỏa mãn phương trình trên thì giá trị của x vừa tìm là nghiệm phương trình.Dễ thấy x=5 là nghiêm phương trình (*) vì vậy ta đưa phương trình (*) về dạng (x-5)f(x)=0 ,nhưng định lý Bezou chỉ đúng với f(x) là đa thức. Nhưng vế trái phương trình là biểu thức vô tỷ. Vậy cần cần xuất hiện nhân tử chung x-5 từ vế trái phương trình bằng lượng liên hợp. Muốn vậy ta cần tìm hai số a;b dương sao cho hệ phương trình sau có nghiêm x=5 Vậy: Với nên (**) vô nghiệm Nên (*) có nghiệm duy nhất là x=5 Thí dụ. 2: Giải Phương trình: (*)ĐK:x>0 Phân tích với x=3 là ngiệm phương trình mà giá trị của là 2. Do đó Đặt t= nên = t2 +2t +4 =(t+1)2+3 Do đó x >3 suy ra > 2 còn 2x-5>1 Với 0<x<3 thì ngược lại . Nên (**) có nghiệm x=3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=3 Dạng 2:Nhẩm nghiệm, lượng liên hợp có chứa một biểu thức chứa biến Thí dụ: 3 Giải phương trình: (*) Nhập vào casio và solve ta thấy nghiệm : ; nhập (solve) lần hai ta thấy nghiệm: Từ đó ta gọi ax+b là hạng tử cần đem liên hợp với căn thức. giả sử là nghiệm phương trình ta giải hệ sau: Suy ra hạng tử cần liên hợp với là Thí dụ. 4 giải phương trình: (*) Phân tích cách giải Dùng máy tính bấm cho nghiệm của phương trình là một số thập phân Dùng máy tính lưu lại nghiệm, cho là nghiệm của phương trình . Cho ta hướng giải như sau. Với x=-2 không là nghiêm của (*) nên Giả sử biểu thức thêm vào hai vế phương trình là ax+b sau khi biến đổi để xuất hiện biểu thức m(x2-2x-7), Ta có: , Như vậy m() ( m hằng số dương ) là hiệu của tử biếu thức ; hoặc biểu thức m() có các hệ số tỉ lệ với biểu thức . Từ đó ax+b=3 Lời giải: Với x=-2 không phải nghiệm phương trình nên(*) được viết dưới dạng: Tuy nhiên nếu không dùng máy tính, ta cũng có thể tìm được biểu thức thêm vào lượng liên hợp, bằng cách như sau: Gọi biểu thức thêm vào lượng liên hợp là ax+b, ta có Và hai biểu thức trên tử của hai vế phương trình có các hệ số tương ứng tỉ lệ nên: Tính nhẩm cho được Tiến hành cách giải như trên Ngoài ra ta còn có cách khác tìm được tìm biểu thức thêm vào hai vế phương trình cho hằng số dương b ta có : Bậy giờ ta xác định sao cho Từ đó suy ra cách giãi như đã trình bày Đối với những bài toán ta nhẩm nghiệm dễ dàng ta cũng thực hiện như sau, chẳng hạn Thí dụ. 5 Giải phương trình: ta thấy ngay nghiêm của nó là 5 và -5 vì vai trò của x như nhau. Vậy phương trình có chứa nhân tử x2-25 và hạng tử thêm vào lượng liên hợp là 6. Nên Ngoài ra có những bài toán có nghiêm kép nhưng khi nhẩm nghiệm ta chỉ thấy một còn nghiệm còn lại chứa trong phương trình thư hai. Chẳng hạn Thí dụ. 6 Giải phương trình: (*) Ta nhẩm được nghiệm là 1, tiến hành giải như sau Nhận thấy phương trình trong ngoặc có nghiệm là 1. Nên phương trình đã cho có chứa nghiệm kép .Do đó phương trình đã cho có chứa thừa số : .Vậy ta tiến hành cách giải như sau: Vậy : Thí dụ: 7 Giải phương trình.: (*) Nhẩm ngiệm có 2 nghiêm x=0;x=5 Từ đó suy ra cách giải sau: Vậy phương trình có hai nghiệm: x=0;x=5 Dạng: 3 Đưa về hệ tạm Nếu phương trình có dạng: Chú ý : lương liên hợp của và là phương trình hệ quả Thí dụ 8. giải phương trình: Nhận xét: -() =2(x+4) phương trình này có nghiệm với nhưng x=-4 không phải là nghiêm cửa phương trình vậy : .Do đó ta xét x>-4 Giải: ĐK: Thử lại: Thí dụ: 9 giải hệ phương trình. ĐK: Từ hệ phương trình ta có: Lấy (3) +(4) theo vế ta có: = x=y Thay x=y vào (1). Ta có Vậy phương trình đã cho (x;y)=(3:3)( sau khi thử lại) Thí dụ. 10 Giải phương trình: Nhận xét:.Theo phương pháp hệ tạm ta có: Với x-4=0 với Ta có: Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình Vậy phương trình có hai nghiệm:x=4;x=5