Seminar Phương trình vi phân đạo hàm riêng

của ∂B. Khi đó, định lí 7.6 suy ra tồn tại một hàm I ∈ H(B) sao cho 0 ≤ I ≤ 1, lim x→(Ω\K)∩∂B I(x) = 1. 103 Bμi 7. Hμm điều hoμ d−ới vμ bμi toán Dirichlet Ta có I(x0) = σ ((Ω \K) ∩ ∂B) σ(∂B) . Có thể chọn K để I(x0) ≤ . Ta sẽ tìm các hằng số d−ơng α, β, γ sao cho h ≤ −αu + βI + γ trên Ω ∩B. v∗ + αu∗ ≤ βI∗ + γ trên ∂(Ω ∩B). (∗∗) với v ∈ SH(Ω) mà v∗ |∂G≤ g. Thật vậy, nếu v∗+αu∗ ≤ βI∗+γ trên ∂(Ω∩B) thì v∗ ≤ −αu∗+βI∗+γ ≤ −αu+βI + γ trên ∂(Ω ∩ B) theo nguyên lý mô đun cực đại. ta có v ≤ −αu + βI + γ trên Ω ∩ B và do đó h ≤ −αu + βI + γ trên Ω ∩B. Trên phần ∂Ω ∩ B¯, (∗∗) đ−ợc thoả mãn nếu γ = , α = β = 0 do v∗(x) ≤ g(x) = ‖x− x0‖ ≤  trên ∂Ω∩ B¯. Trên K, ta có v∗ ≤ M chọn α = M− −maxK u , γ = , β = 0 suy ra v∗ + αu∗ ≤M + M − −maxK u maxK u = M −M +  = . Trên (Ω \K) ∩ ∂B, lấy β = M − , α = 0, γ = , chú ý ta có I |(Ω\K)∩∂B= 1 suy ra v∗ + αu∗ ≤ βI∗ + γ. Vì vậy, ta có là h ≤ M −  maxK u u + (M − )I + . Do đó h∗(x0) ≤ M −  maxK u u∗(x0) + (M − )I∗(x0) + . ≤ (M − ) + . vì  bé tuỳ ý nên h∗(x0) = 0. Đó là điều phải chứng minh. Định lý 7.17. Ta có i). Nếu n = 2 và các thành phần liên thông của Ω chứa x0 không phải là một điểm thì x0 là một điểm chính quy. ii). Nếu có một nón mở C với đỉnh tại x0 và một lân cận U của x0 sao cho C¯∩U∩Ω¯ = {x0} thì x0 là một điểm chính quy. 104 Bμi 7. Hμm điều hoμ d−ới vμ bμi toán Dirichlet Chứng minh. i). Gọi K là một thành phần liên thông của ∂Ω chứa x0, cố định một điểm z1 ∈ K, z1 = x0. Gọi Ωˆ là một thành phâng liên thông của Cˆ \K chứa Ω, với Cˆ là mặt cầu Riemann, ở đây ta đã đồng nhất Ω, K với ảnh của nó qua phép chiếu nổi. Khi đó, Ωˆ là miền đơn liên vì thế tồn tại một hàm chỉnh hình f trên Ωˆ sao cho ef(z) = z − x0 z − z1 . Đặt u := 1 re f với z gần x0, ta có u(z) = 1 log |z−x 0| |z−z1 | . Do đó, u(z) < 0 và lim z→x0 u(z) = 0. ii). Vì hàm điều hoà d−ới và nón đều bất biến d−ới phép quay và phép tịnh tiến nên ta có thể giả thiết rằng nón C có trục là trục toạ độ x1 và đỉnh x0 là gốc toạ độ. Khi đó, nón có dạng x22 a22 + x23 a23 + ã ã ã+ x 2 n a2n − x 2 1 a21 ≤ 0. hay x22 b22 + x23 b23 + ã ã ã+ x 2 n b2n ≤ x21 với bj = aj a1 , ∀j = 1, ã ã ã n. gọi b2 = max{b22, b23, ã ã ã , b2n, 2} và biểu diễn b2 d−ới dạng b2 = 1−a 2 a2 , giá trị của b có thể lớn tuỳ ý bằng cách thay hằng số 2 bởi một số lớn khác, ta có thể chọn đ−ợc a nhỏ tuỳ ý và hình nón có dạng x22 1−a2 a2 + x23 1−a2 a2 + ã ã ã+ x 2 n 1−a2 a2 ≤ x21. hay a‖x‖ ≤ x1. Từ các lí luận trên ta chỉ cần chỉ ra rằng với a thoả mãn 0 < a < 1 cho tr−ớc miền {x1 < a‖x‖} (đây là phần bù của nón đóng ở trên) là chính qui tại gốc toạ độ. Đặt u(x) := ‖x‖αg ( x1 ‖x‖ ) , trong đó α > 0 chọn sau và g ∈ C2([−1, a]). ta có thể tính toán để chỉ ra rằng u(x) = ‖x‖α−2 [(1− t2)g′′(t)− (n− 1)tg′(t) + α(α + n− 2)g(t)] trong đó t = x1‖x‖ . Ta cần tìm g sao cho (1− t2)g′′(t)− (n− 1)tg′(t) ≥ 0, ∀t : −1 ≤ t ≤ a Khi đó, u(t) ≥ 0, ∀x ∈ {x1 < a‖x‖} với α đủ nhỏ. Vì thế, u(x) là hàm điều hòa d−ới trên miền {x1 < a‖x‖}, u(x) < 0, với x = 0 và lim x→0 u(x) = u(0) = 0. Vậy u(x) là một 105 Bμi 7. Hμm điều hoμ d−ới vμ bμi toán Dirichlet cản yếu địa ph−ơng tại gốc toạ độ nên gốc tọa độ là một điểm chính quy. Bây giờ ta chỉ ra cách xác định g. Đặt g(t) := t2 + bt+ c, vì đạo hàm của g không chứa c nên nếu ta chọn đ−ợc b sao cho (1− t2)g′′(t)− (n − 1)tg′(t) ≥ 0, ∀t : −1 ≤ t ≤ a thì ta chỉ việc chọn c := − max t∈[−1,a] (t2 + bt)− 1 khi đó, g thoả mãn đầy đủ các điều kiện ở trên. Ta có (1− t2)g′′(t)− (n − 1)tg′(t) = (1− t2)(2)− (n− 1)t(2t + b). = −2(n − 1)t2 − b(n− 1)t + 2. mặt khác, theo toán học sơ cấp, ta có −2(n− 1)t2− b(n− 1)t+2 ≥ 0, ∀t : 1 ≤ t ≤ a, khi và chỉ khi { 2n − (n− 1)b− 2 ≤ 0 2na2 + (n − 1)ba− 2 ≤ 0 Giải hệ này, ta đ−ợc 2 ≤ b ≤ 2−2na2 (n−1)a , do ta có thể điều chỉnh hệ số a nhỏ tuỳ ý mà vẫn không làm ảnh h−ởng đến giả thiết của bài toán nên giá trị b hoàn toàn xác định vì điều kiện 2 ≤ 2−2na2 (n−1)a t−ơng đ−ơng với na2 + (n − 1)a − 1 ≤ 0 luôn thỏa mãn với a đủ nhỏ. Do vậy, ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa 7.4. Ta nói Ω là miền chính quy nếu tất cả các điểm biên của nó là điểm chính quy. Định lý 7.18. (Đặc tr−ng của miền chính quy) Với miền Ω bị chặn, các điều kiện sau là t−ơng đ−ơng (i). Ω là miền chính quy. (ii). Với mọi hàm f ∈ C(∂Ω), ta có hf,Ω ∈ H(Ω) ∩ C(Ω¯) và hf,Ω |∂Ω= f . (iii). Tồn tại một hàmđiều hòa d−ới vét cạn, bị chặn trên Ω, tức là một hàm u ∈ SH(Ω) sao cho u < 0 và lim x→∂Ω = 0. Chứng minh. Ta có (i)⇔(ii) và (iii)→ (i). Ta chỉ cần chứng minh rằng (i)→ (iii). Lấy một hình cầu B  Ω và cho f |∂Ω= 0, f |∂B= −1. Khi đó u := { hf,Ω trên Ω \ B¯. −1 trên B¯. Do định lý dán u ∈ SH(Ω) nên u là hàm vét cạn mong muốn. 106 Ph−ơng trình đạo hμm riêng Bài 8 Nửa nhóm và bài toán biên đối với ph−ơng tr ình parabolic 8.1 Giới thiệu Cho Ω là miền tuỳ ý trong Rn với biên trơn ∂Ω Q = Ωì [0, T ], T < +∞, Σ = ∂Ωì [0, T ]. Trong Ω cho toán tử vi phân elliptic Au = − n∑ i,j=1 ∂ ∂xi ( aij ∂u ∂xj ) + cu, (8.1) trong đó aij, c là các hàm thực thuộc C1(Q), aij = aji, thoả mãn điều kiện elliptic, tức là với mọi i, j = 1, 2, . . . , n, c(t, x) ≥ 0, với mọi x ∈ Ω, t ∈ [0, T ], n∑ i,j=1 aijξiξj ≥ γ0‖ξ‖2, ∀ξ ∈ Rn. (8.2) Trong tr−ờng hợp miền Ω là phức, ta có bất đẳng thức t−ơng ứng Re n∑ i,j=1 aijξiξj ≥ γ0‖ξ‖2, ∀ξ ∈ Cn. Ta xét bài toán sau đây ∂u ∂t + Au = f trong Q, (8.3) u = 0 trên Σ, (8.4) u(x, 0) = h0 trong Ω. (8.5) Nội dung của ch−ơng này là chúng ta sẽ chứng minh rằng: Nếu f ∈ L2(0, T,H10 ), h0 ∈ L2(Ω), bài toán (8.3) tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ L2(0, T,H10 ) ∩ C0(0, T, L2(Ω)), 107 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic trong đó (8.3) hiểu theo nghĩa suy rộng còn (8.5) hiểu theo nghĩa trong L2(Ω). Nội dung của ph−ơng pháp nghiên cứu là áp dụng lý thuyết nửa nhóm, đ−a bài toán đang xét về ph−ơng trình toán tử và sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán chính là sự tồn tại nghiệm của ph−ơng trình toán tử t−ơng đ−ơng. 8.2 Một số kí hiệu và kiến thức bổ sung 8.2.1 Nửa nhóm G(s) Giả sử E là không gian Hilbert (nói chung là phức). Gọi B(E) là không gian các toán tử liên tục từ E vào E. Một họ các ánh xạ R+ " s → G(s) ∈ B(E) đ−ợc gọi là một nửa nhóm nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây i). Ta có các đẳng thức G(s)G(t)f = G(s + t)f, với mọi s, t ≥ 0, (8.6) G(0)f = f, với mọi f ∈ E, (8.7) ‖G(s)‖B(E) ≤ const. (8.8) ii). Hàm số s → G(s)f liên tục với mọi f ∈ E. Nửa nhóm G(s) đ−ợc gọi là co (hay chính xác hơn, không giãn) nếu ‖G(s)‖ ≤ 1, ∀s ≥ 0. Kí hiệu D = { f ∈ E sao cho lim s→0+ f −G(s)f s tồn tại } , (8.9) với D trù mật trong E. Xác định toán tử Λ nh− sau: D(Λ) = D; Λf = lim s→0+ f −G(s)f s , ∀f ∈ D(Λ), (8.10) trong đó D(Λ) kí hiệu miền xác định của toán tử Λ. Khi đó, Λ là toán tử đóng. Ta có mệnh đề Mệnh đề 8.1. Giả sử G(s) là nửa nhóm co. Khi đó Re(Λv, v) ≥ 0, ∀v ∈ D(Λ). (8.11) 108 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic Chứng minh. Thật vậy, từ điều kiện (8.6) ta suy ra ‖G(s)v‖ ≤ ‖v‖, ∀v ∈ E Do đó, với mọi v ∈ D(Λ), s > 0, ta có 0 ≥ lim s→0 (G(s)v,G(s)v)− (v, v) s = lim s→0 ( G(s)v, G(s)v − v s ) + lim s→0 ( G(s)v − v s , v ) =(v,−Λv) + (−Λv, v) =− (Λv, v)− (Λv, v) =− 2Re(Λv, v). Vậy ta có Re(Λv, v) ≥ 0, ∀v ∈ D(Λ). Điều phải chứng minh. Chú ý. D(Λ) sẽ trở thành không gian Hilbert nếu trong đó ta xác định chuẩn |||v||| := (‖v‖2 + ‖Λv‖2)1/2 , ∀v ∈ D(Λ). Giả sử G(s) là nửa nhóm, G(s) ∈ B(E). Ta xác định G∗(s) là toán tử liên hợp của G(s) theo nghĩa (G∗(s)f, g) = (f,G(s)g) , ∀f ∈ E ′, ∀g ∈ E. trong đó E ′ là không gian liên hợp của E, kí hiệu (ã, ã) là đối ngẫu của E và E ′, G∗(s) ∈ B(E ′). Nh− vậy, (G∗(s))s≥0 là nửa nhóm (toán tử), và nếu G(s) là nửa nhóm co thì G∗(s) cũng là nửa nhóm co. Đồng thời, ta cũng có kết quả t−ơng tự nh− mệnh đề 8.1 Re(Λ∗v, v) ≥ 0 ∀v ∈ D(Λ∗) ⊂ E ′. 8.3 Không gian L2(a, b, X) Giả sử X là không gian Hilbert. Ta kí hiệu L2(a, b,X) là không gian các hàm f(x, t) đo đ−ợc theo độ đo Lebesgue trong [a, b] với giá trị trong X sao cho⎛⎝ b∫ a ‖f(x, t)‖2Xdt ⎞⎠1/2 = ‖f‖L2(a,b,X) < +∞ 109 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic trong đó ‖.‖X là chuẩn trong không gian Hilbert X. Không gian L2(a, b,X) với chuẩn đ−ợc xác định nh− trên là một không gian Hilbert với tích vô h−ớng (f, g)L2(a,b,X) = ⎛⎝ b∫ a (f(x, t), g(x, t))X dt ⎞⎠ Nh− thông th−ờng, ta gọi D ((a, b)) là không gian các hàm cơ bản trong (a, b) với giá compact. Ký hiệu không gian các hàm suy rộng trong (a, b) với giá trị trong X là D′ ((a, b), X). Nh− vậy D′ ((a, b), X) = L (D(a, b), X) , với ký hiệu L (D(a, b), X) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ D(a, b) vào không gian Hilbert X. Nếu f ∈ D′ ((a, b), X) thì với mọi ϕ ∈ D(a, b), 〈f, ϕ〉 là phần tử của X và ánh xạ ϕ → 〈f, ϕ〉 là ánh xạ liên tục từ D ((a, b)) vào không gian X. Giả sử f ∈ D′ ((a, b), X) thì đạo hàm df dt đ−ợc xác định nh− là một phần tử duy nhất của không gian này định nghĩa bởi công thức〈 df dt , ϕ 〉 = − 〈 f, dϕ dt 〉 và ánh xạ f → df dt là ánh xạ liên tục trong D′ ((a, b), X). Nếu f ∈ L2(a, b,X) thì nhờ đẳng thức 〈 f˜ , ϕ 〉 = b∫ a f(x, t)ϕ(t)dt ∈ X, ∀ϕ ∈ D ((a, b)) xác định một hàm suy rộng f˜ ∈ D′ ((a, b), X). Nh− vậy có một ánh xạ đơn trị f → f˜ từ L2(a, b,X) vào D′ ((a, b), X), do đó có thể đồng nhất f với f˜ và vì vậy ta có L2(a, b,X) ⊂ D′ ((a, b), X) . Ta có kết quả sau đây Mệnh đề 8.2. Giả sử rằng f ∈ L2(a, b,X). Khi đó df dt , d 2f dt2 , . . . xác định những hàm suy rộng trên D′ ((a, b), X) với giá trị trong X. Hơn nữa Hm(a, b,X) = { f : f, f (1) = df dt , . . . , f (m) = dmf dtm ∈ L2(a, b,X) } . Giả sử Ω là miền mở trong Rn với biên trơn ∂Ω. Gọi H10 là bổ sung đủ của C ∞ 0 (Ω) theo chuẩn ‖u‖H10 = ⎛⎝∫ Ω |u|2 + |u|2dx ⎞⎠1/2 , ∀u ∈ C∞0 (Ω) (8.12) 110 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic Nh− vậy u ∈ H10 khi và chỉ khi tồn tại dãy {uk} ⊂ C∞0 (Ω) sao cho lim k→+∞ ‖u− uk‖L2(Ω) = 0 và lim k→+∞ ∥∥∥∥ ∂u∂xi − ∂uk∂xi ∥∥∥∥ L2(Ω) = 0 trong đó ∂u ∂xi phải đ−ợc hiểu theo nghĩa hàm suy rộng. Đồng thời u ∈ H10 là hàm suy rộng sao cho ”u = 0” và ”uxi := ∂u ∂xi = 0” trên ∂Ω theo nghĩa vết. H10 là bổ sung đủ của C ∞ 0 (Ω¯) theo chuẩn (8.12). Do đó có thể xem nếu u ∈ H1(Ω) thì u ∈ L2(Ω) và có các đạo hàm riêng suy rộng ∂u ∂xi ∈ L2(Ω), với mọi i = 1, 2, . . . , n H10 ⊂ H1(Ω) ⊂ L2(Ω) đồng thời các ánh xạ nhúng là liên tục và trù mật. Hơn nữa nếu Ω là miền bị chặn thì các phép nhúng H10 ⊂ L2(Ω) và H1(Ω) ⊂ L2(Ω) là compact. Sau đây ta sẽ kí hiệu V =L2 ( 0, T,H10 ) , H =L2 ( 0, T, L2(Ω) ) , (8.13) V ′ =L2 ( 0, T,H−1(Ω) ) , trong đó H−1(Ω) = (H10 ) ′ là không gian đối ngẫu của H10 (Ω). Nếu u ∈ V ′ = L2 (0, T,H−1(Ω)) , v ∈ V = L2 (0, T,H10 ) thì (u, v) là dạng song tuyến tính xác định trên V . Nếu u, v ∈ H = L2 (0, T, L2(Ω)) là tích vô h−ớng trong H = L2 (0, T, L2(Ω)) tức là (u, v)H = T∫ 0 〈 u(t, x), v(t, x) 〉 L2(Ω) dt = ∫ Ω T∫ 0 〈u(t, x), v(t, x)〉L2(Ω) dtdx trong đó 〈ã, ã〉 kí hiệu là đối ngẫu giữa H10 (Ω) và H−1(Ω) tức là nếu u(x, t) ∈ H−1(Ω), v(x, t) ∈ H10 (Ω) và t ∈ [0, T ] thì 〈 u(t, x), v(t, x) 〉 là dạng song tuyến tính trên H10 (Ω). Nếu u(x, t), v(x, t) ∈ L2(Ω) thì 〈ã, ã〉 là tích vô h−ớng trong L2(Ω).Từ đó suy ra bao hàm thức V ⊂ H ⊂ V ′, và các phép nhúng là liên tục và trù mật. Ta có kết quả sau: Mệnh đề 8.3. Nếu u ∈ L2(0, T,H10 (Ω)), u′ ∈ L2(0, T,H−1(Ω)) thì (i) u ∈ C0([0, T ], L2(Ω)), (ii) ánh xạ t → ‖u(t)‖2L2(Ω) là liên tục tuyệt đối, (iii) D d dt ‖u(t)‖2L2(Ω) = 2 〈u′(t), u(t)〉 , 0 ≤ t ≤ T h.k.n, (iv) max 0≤t≤T ‖u(t)‖L2(Ω) ≤ C (‖u‖V + ‖u′‖V ′) . 111 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic 8.4 Định lý tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên đối với ph−ơng tr ình parabolic trừu t−ợng 8.4.1 Đặt bài toán Nhắc lại, giả sử Ω là một miền tuỳ ý trong Rn với biên trơn ∂Ω Q =Ωì [0, T ], T ≤ ∞, Σ =∂Ωì [0, T ] là biên của Q. trong Q xét toán tử vi phân elliptic tự liên hợp với hệ số thực Au = − n∑ i,j=1 ∂ ∂xi ( aij ∂u ∂xj ) + cu trong đó aij ∈ C1(Q¯), c(t, x) ∈ C1(Q¯), aij = aji, (với mọi i, j = 1, 2, . . . , n), c(t, x) ≥ 0, với mọi x ∈ Ω, t ∈ [0, T ] và n∑ i,j=1 aijξiξj ≥ γ0‖ξ‖2, ∀ξ ∈ Rn. T−ơng ứng, Re n∑ i,j=1 aijξiξj ≥ γ0‖ξ‖2, ∀ξ ∈ Cn. Với f ∈ L2(0, T, L2(Ω)), h0 ∈ L2(Ω) ta xét bài toán sau đây ∂u ∂t + Au = f trong Q u = 0 trên Σ u(x, 0) = h0 trong Ω nh− đã nói trong phần giới thiệu. Ta có Định nghĩa 8.1. Hàm u0 ∈ L2 (0, T,H10 (Ω)) đ−ợc gọi là nghiệm suy rộng của bài toán (8.3)-(8.4)-(8.5) nếu T∫ 0 〈 du0 dt + Au, v 〉 dt = T∫ 0 〈f, v〉dt ∀v ∈ L2 (0, T, C∞0 (Ω)) , 〈u0(0, ã), ϕ〉L2(Ω) = 〈h0, ϕ〉L2(Ω) ∀ϕ ∈ L2 (0, T, C∞0 (Ω)) , trong đó 〈ã, ã〉 là đối ngẫu giữa H10 (Ω) và H−1(Ω). Nếu u, v ∈ L2 (0, T, L2(Ω)) thì 〈ã, ã〉 là tích vô h−ớng trong không gian Hilbert L2(Ω). 112 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic Ký hiệu a(t, u, v) là dạng song tuyến tính a(t, u, v) = ∫ Ω ( n∑ i,j=1 aij ∂u ∂xi ∂v¯ ∂xj + cuv¯ ) dt (8.14) trong đó u, v ∈ H10 (Ω) Khi đó i). Với mọi u, v ∈ H10 (Ω) hàm t → a(t, u, v) là đo đ−ợc và |a(t, u, v)| ≤ c‖u‖.‖v‖, c− hằng số, ∀t ∈ [0, T ]. (8.15) ii). Hơn nữa từ giả thiết về tính elliptic từ (8.2) ta có Rea(t, u, v) ≥ α‖u‖2, α > 0, ∀u ∈ H10 (Ω) (điều kiện coercitive). (8.16) Ngoài ra, với mỗi t cố định, u ∈ H10 (Ω) dạng tuyến tính v → a(t, u, v) liên tục trong H10 (Ω) nên tồn tại ánh xạ A(t) : H10 (Ω) −→ H−1(Ω) = ( H10 (Ω) )′ , u −→ A(t)u ∈ H−1 sao cho a(t, u, v) = 〈A(t)u, v〉 , ∀v ∈ H10 (Ω), (8.17) Nh− vậy A(t) là toán tử liên kết với dạng song tuyến tính a(t, u, v), t ∈ [0, T ]. Với mỗi u(t, x), v(t, x) ∈ V = L2 (0, T,H10(Ω)), đặt A(u, v) = T∫ 0 a(t, u, v)dt (8.18) Khi đó, A(u, v) là dạng song tuyến tính xác định trên V . Từ (8.15) suy ra |A(u, v)| ≤ T∫ 0 |a(t, u, v)|dt ≤ c ⎛⎝ T∫ 0 ‖u‖2dt ⎞⎠1/2⎛⎝ T∫ 0 ‖v‖2dt ⎞⎠1/2 , vậy |A(u, v)| ≤ c‖u‖V ‖v‖V , ∀u, v ∈ V. (8.19) 113 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic Từ (8.19), với mỗi u ∈ V , A(u, v) là dạng tuyến tính liên tục trên V nên tồn tại toán tử tuyến tính liên tục A : V −→ V ′, sao cho A(u, v) = (Au, v). (8.20) Mặt khác từ (8.17) ta lại có A(u, v) = T∫ 0 a(t, u, v)dt = T∫ 0 dt, ∀v ∈ V. Từ đó suy ra A là toán tử từ V vào V ′ đ−ợc xác định bởi công thức (Au, v) = T∫ 0 〈A(t)u, v〉dt, ∀u, v ∈ V (8.21) là toán tử liên kết với dạng song tuyến tính A(u, v) trên V . Hơn nữa từ −ớc l−ợng (8.16) ta có ReA(v, v) = T∫ 0 Rea(t, v, v)dt ≥ α T∫ 0 ‖v‖2dt = α‖v‖2V . Vậy ReA(v, v) ≥ α‖v‖2V v ∈ V = L2 ( 0, T,H10 ) . (8.22) 8.4.2 Toán tử Λ Ta xác định nửa nhóm toán tử G(s) trong V nh− sau. Với f(t, x) ∈ V = L2(0, T,H10 ), đặt G(s) ∗ f(t, ã) = { 0 nếu 0 < t < s f(t− s, ã) nếu s < t < T h.k.n. Từ đó ‖G(s)f‖2V = T∫ 0 ‖f(t− s, .)‖2dt = T−s∫ 0 ‖f(τ, .)‖2dτ ≤ T∫ 0 ‖f(τ, .)‖2dτ ≤ ‖f‖2V 114 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic Do đó G(s) là nửa nhóm co trong V . Với u(t, x) ∈ V ta xác định toán tử sinh Λ : V → V Λu = lim s→0+ u(t, x)−G(s)u(t, x) s = lim s→0+ u(t, x)− u(t− s, x) s = du dt = u′ trong đó u′ = du dt là đạo hàm theo t của u(t, x) với giá trị trong H10 (Ω). Nh− vậy với u ∈ D(Λ) tồn tại u′ ∈ L2 (0, T,H10 (Ω)). Do đó u(t, .) liên tục hầu khắp nơi trong [0, T ]. Giả sử u ∈ D(Λ), vì G(s)u(0, x) = 0 nên ta có du dt ∣∣∣∣ t=0 = lim s→0+ u(0, x)−G(s)u(0, x) s = lim s→0+ u(0, ã) s tồn tại Từ đó suy ra u(0, x) = 0. Vậy nên Λu = du dt = u′ D(Λ) = { u ∈ V, du dt ∈ V, u(0, .) = 0 } (8.23) D(Λ) trù mật trong V . Từ mệnh đề (8.1) ta có Re(Λv, v)V ≥ 0, ∀v ∈ D(Λ) (8.24) trong đó (., .) đ−ợc hiểu là tích vô h−ớng trong V . Nửa nhóm G(s) đ−ợc xác định t−ơng tự trong H và V ′. Khi đó toán tử sinh Λ trong H và trong V ′ đ−ợc xác định nh− sau Λu = du dt = u′ D(Λ, H) = ( u ∈ H, du dt = u′ ∈ H, u(0) = 0 ) D(Λ, V ) = ( u ∈ V, du dt = u′ ∈ V ′, u(0) = 0 ) (8.25) Đồng thời ta có D(Λ, V ) ⊂ V ∩D(Λ, V ′) ⊂ V (8.26) vì D(Λ, V ) trù mật trong V nên V ∩D(Λ, V ′) cũng trù mật trong V . Ngoài ra, ta cũng nhận đ−ợc −ớc l−ợng t−ơng tự nh− (8.24) Re(Λu, u) ≥ 0, ∀u ∈ D(Λ, H) ta có thể chứng minh mệnh đề sau đây 115 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic Mệnh đề 8.4. Re(Λv, v) ≥ 0 ∀v ∈ V ∩D(Λ, V ′). (8.27) trong đó (Λv, v) là tích đối ngẫu Λv ∈ V ′ và v ∈ V . Tr−ớc khi chứng minh mệnh đề ta nhắc lại một vài tính chất của tích chập sẽ dùng trong chứng minh. Lấy hàm ϕ(t) ∈ C∞0 (Rt), suppϕ ⊂ [−1, 1], ϕ(t) ≥ 0 và ∞∫ −∞ ϕ(t)dt = 1. Kí hiệu ϕ (t) = 1 ϕ(t/), 0 <  << 1, ta có tính chất sau đây : ϕ (t) ∈ C∞0 (R) và suppϕ ⊂ [, ] ∞∫ −∞ 1  ϕ ( t  ) dt = ∞∫ −∞ ϕ (t)dt = 1 Kết quả sau đây vẫn đúng Với mọi f ∈ Lp(R), họ các hàm f (t) = (f ∗ ϕ )(t) = ∞∫ −∞ f(t− s)ϕ (s)ds thuộc Lp ∩ C∞, và khi → 0, ta có f (t) = (f ∗ ϕ )(t) → f trong Lp(R) Họ hàm {ϕ (t)} đ−ợc gọi là ”họ làm đều”trong D(R). Thay R bằng Rn ta cũng có kết quả t−ơng tự. Bây giờ ta chứng minh mệnh đề. Chứng minh. Giả sử ϕ(t) là hàm liên tục với giá compắc trong miền t ≥ 0. Ta kí hiệu G(ϕ) là toán tử trong V ′ ( t−ơng ứng trong V và trong H) xác định theo công thức sau đây G(ϕ)f = ∞∫ 0 G(s)f.ϕ(s)ds = ∞∫ 0 f(t− s).ϕ(s)ds = (f ∗ ϕ)(t), ∀f ∈ V ′ Từ đó theo tính chất của tích chập, nếu ϕ(t) là hàm khả vi thì ΛG(ϕ)f = d dt (f ∗ ϕ)(t) = f ∗ ϕ′. Điều đó có nghĩa là G(ϕ)f ∈ D(Λ) và hơn nữa ΛG(ϕ)f = f ∗ ϕ′ = G(ϕ′)f 116 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic Bằng cách tịnh tiến gốc toạ độ, ta giả sử ϕ (t) là họ làm đều trong D(R) với giá trong miền t ≥ 0. Khi đó với mọi v(t, x) ∈ L2 (0, T,H10(Ω)). Ta có G(ϕ )v(t, ã) = ∞∫ 0 G(s)v(t, ã).ϕ (s)ds = v(t, ã) ∗ ϕ Do đó lim →0 G(ϕ )v(t, ã) = v(t, ã) trong L2 (0, T,H10 (Ω)) , và lim →0 ΛG(ϕ )v(t, ã) = Λv Vì vậy với mọi v ∈ V ∩D(Λ, V ′), ta có lim →0 (ΛG(ϕ )v,G(ϕ )v) = (Λv, v) Mặt khác, vì v ∈ V ∩D(Λ, V ′) thì G(ϕ )v ∈ D(Λ, V ) ⊂ D(Λ, H), do đó (ΛG(ϕ )v,G(ϕ )v)H ≥ 0 Cuối cùng, ta nhận đ−ợc điều cần chứng minh (Λv, v) = lim →0 (ΛG(ϕ )v,G(ϕ )v)H ≥ 0 8.4.3 Nửa nhóm liên hợp G∗(s) Ta xác định G∗(s), s ≥ 0 là nửa nhóm liên hợp với nửa nhóm G(s) là toán tử liên tục từ V ′ vào V ′ theo công thức (G∗(s)f, g) = (f,G(s)g) ∀g ∈ V, ∀f ∈ V ′ Ta chú ý rằng Với 0 < t < s thì G(s)g(t, ã) = 0 Với s < t < T thì G(s)g(t, ã) = g(t− s, ã), nên ta có với s < t < T thì (G∗(s)f(t), g(t)) = (f(t), g(t− s)) = (f(t + s), g(t)) . Từ đó suy ra G∗(s)f(t) = f(s + t) với 0 < t < T − s, G∗(s)f(t) = 0 với T − s < t < T. 117 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic Tính toán t−ơng tự nh− đối với nhóm G(s), gọi Λ∗ là toán tử sinh của nửa nhóm G∗(s), với mọi f ∈ D(Λ∗, V ′) ta nhận đ−ợc Λ∗f = lim s→0+ f(t)−G∗(s)f(t) s = lim s→0+ f(t)− f(t + s) s = −df dt , 0 < t < T −df dt ∣∣∣ t=T = lim s→0+ f(T )−G(s)f(T ) s = lim s→0+ f(T )− f(T + s) s = lim s→0+ f(T) s Từđó suy ra f(T ) = 0, kéo theo Λ∗f = −df dt = −t′ và D(Λ∗, V ′) = { f ∈ V ′; df dt ∈ V ′, f(T ) = 0, T < +∞ } , hoặc D(Λ∗, V ′) = { f ∈ V ′; df dt ∈ V ′, nếu T = +∞ } . Chứng minh t−ơng tự nh− mệnh đề (8.4) ta có Re(v,Λ∗v) ≥ 0, ∀v ∈ V ∩D(Λ∗, V ′) (8.28) trong đó (v,Λ∗v) là tích đối ngẫu của v ∈ V và Λ∗v ∈ V ′. 8.4.4 Định lý đẳng cấu Định lý 8.5. Giả sử A là toán tử từ V vào V ′ đ−ợc xác định bởi (8.20)-(8.21), Λ là toán tử sinh của nửa nhóm G(s). Khi đó toán tử Λ + A là dẳng cấu từ V ∩D(Λ, V ′) lên V ′ Chứng minh. i). (Tính duy nhất) Từ (8.27) và (8.22) ta có với mọi v ∈ V ∩D(Λ, V ′) Re(Λv + Av, v) = Re(Λv, v) + Re(Av, v) = Re(Λv, v) + ReA(v, v) ≥ α.‖v‖2V Do đó nếu Λv + Av = 0 thì ta suy ra v = 0. ii). Với u ∈ V, v ∈ V ∩D(Λ∗, V ′) ta đặt E(u, v) = (u,Λ∗v) + (Au, v). 118 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic Khi đó E(u, v) là dạng song tuyến tính xác định trên V ∩D(Λ∗, V ′). Hơn nữa từ (8.28) và (8.22) ta có E(v, v) = Re(v,Λ∗v) + Re(Av, v) ≥ α‖v‖2V , ∀v ∈ V ∩D(Λ∗, V ′). Giả sử f ∈ V ′ = L2 (0, T,H−1(Ω)). Vậy (f, v) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên V , |(f, v)| ≤ ‖f‖V ′.‖v‖V , ∀v ∈ V. Do đó tồn tại phần tử u0 ∈ V sao cho E(u0, v) = (f, v), ∀v ∈ V ∩D(Λ∗, V ′) (8.29) hay là (u0,Λ∗v) = (f − Au0) ∀v ∈ V ∩D(Λ∗, V ′). Từ đó |(u0,Λ∗v)| ≤ ‖f − Au0‖V ′.‖v‖V . Điều đó chứng tỏ rằng |(u0,Λ∗v) là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên V ∩ D(Λ∗, V ′) với tô pô cảm sinh bởi tô pô trên V . Ta chú ý rằng D (0, T,H10 (Ω)) là không gian các hàm ϕ(t, x) khả vi vô hạn trong (0, T ) có giá compắc với giá trị trong H10 (Ω) , trù mật trong V = L 2 (0, T,H10 (Ω)). Do đó với u0 ∈ V tồn tại dãy hàm {ϕk(t, x)} ∈ D (0, T,H10 (Ω)), sao cho ϕk → u0 trong V = L2 ( 0, T,H10 (Ω) ) , tức là lim k→ +∞ T∫ 0 ‖ϕk(t, ã)− u0(t, ã)‖2H10(Ω)dt = 0. Từ đó suy ra ϕk → u0, dϕk dt → du0 dt trong L2 ( 0, T,H10 (Ω) ) . Do đó (u0,Λv) = ( u0,−dv dt ) = lim k→+∞ ( ϕk,−dv dt ) = lim k→+∞ (ϕk dt , v ) = ( du0 dt , v ) . (8.30) Mặt khác, chú ý rằng với u, v ∈ V , d dt 〈u, v〉 = 〈 du dt , v 〉 + 〈 u, dv dt 〉 , 119 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic cho nên T∫ 0 d dt 〈u, v〉 dt = T∫ 0 〈 du dt , v 〉 dt + T∫ 0 〈 u, dv dt 〉 dt, hay 〈u(T ), v(T )〉− 〈u(0), v(0)〉 = ( du dt , v ) + ( u, dv dt ) . Vì v(t, x) ∈ D(Λ∗, V ) nên v(T, x) = 0 do đó từ (8.30) ta nhận đ−ợc đẳng thức 〈u0(0), v(0)〉 = ( u0, dv dt ) + ( du0 dt , v ) , ∀v ∈ V ∩D(Λ∗, V ′). Từ đó suy ra u0(0) = 0, tức là u0 ∈ D(Λ, V ). Do đó (u0,Λ ∗v) = ( u0,−dv dt ) = ( du0 dt , v ) = (Λu0, v). (8.31) Từ (8.29)-(8.31) ta nhận đ−ợc (Λu0, v) = (f − Au0, v), ∀v ∈ V ∩D(Λ∗, V ′), hay là (Λu0 + Au0, v) = (f, v), ∀v ∈ V ∩D(Λ∗, V ′). Vì V ∩D(Λ∗, V ′) trù mật trong V nên từ đẳng thức cuối cùng ta suy ra Λu0 + Au0 = f, hay là du0 dt + Au0 = f. Vậy, với mọi f ∈ V ′ = L2 (0, T,H−1(Ω)), tồn tại duy nhất u0 ∈ V ∩D(Λ, V ) là nghiệm của ph−ơng trình Λu0 + Au0 = f, nói cách khác Λ + A là đẳng cấu từ V ∩ D(Λ, V ′) lên V ′. Định lý đ−ợc chứng minh. 120 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic 8.4.5 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên đối với ph−ơng tr ình Parabolic áp dụng định lý 8.5 cho bài toán biên đối với ph−ơng trình parabolic ta nhận đ−ợc kết quả sau đây. Định lý 8.6. Giả sử f ∈ V ′ = L2 (0, T,H−1(Ω)) ,Λ là toán tử xác định bởi (8.25). Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ V = L2 (0, T,H10 (Ω)) của bài toán u′ + A(t)u = f, (8.32) u(0, ã) = 0. (8.33) Chứng minh. Tr−ớc hết ta chú ý rằng từ ph−ơng trình (8.32) ta có u′ = f − A(t)u ∈ L2 (0, T,H−1(Ω)) nên u(t, x) ∈ C0 (0, T, L2(Ω)) do đó toán tử lấy giá trị biên u(0, x) có nghĩa. Ph−ơng trình (8.32) có thể viết d−ới dạng Λu + Au = f. (8.34) Theo định lý 8.5 với f ∈ L2 (0, T,H−1(Ω)), tồn tại duy nhất nghiệm u0 ∈ V ∩D(Λ, V ′) của ph−ơng trình (8.34). Hơn nữa, vì u0 ∈ V ∩ D(Λ, V ′) nên u0(0, ã) = 0. Do đó u0 là nghiệm của bài toán (8.32)-(8.33). Ngoài ra nếu u ∈ V là nghiệm của bài toán (8.32)-(8.33) thì vì u′ = f − A(t)u ∈ V ′ và u(0, ã) = 0 nên u ∈ D(Λ, V ′). Điều đó có nghĩa là bài toán (8.32)-(8.33) và ph−ơng trình (8.34) là t−ơng đ−ơng. Định lý chứng minh xong. Theo định lý về vết áp dụng cho hàm h ∈ L2(Ω), tồn tại hàm ω ∈ V = L2 (0, T,H10 ) sao cho ω′ = dω dt ∈ V ′ và ω(0, ã) = h. Đặt f˜ = f − A(t)ω − ω′ ∈ V ′. Theo định lý 8.6, tồn tại duy nhất nghiệm v0 ∈ V của bài toán v′ + A(t)v = f˜ , (8.35) v(0, ã) = 0. (8.36) Đặt u = v + ω. Khi đó u′ + Au = v′ + ω′ + Av + Aω = f˜ + ω′ + Aω = f, (8.37) u(0, ã) = v(0, ã) + ω(0, ã) = h. (8.38) Ta có định lý sau Định lý 8.7. Giả sử f ∈ L2 (0, T,H−1(Ω)) , h ∈ L2(Ω). Khi đó bài toán u′ + A(t)u = f (8.39) u(0, ã) = h (8.40) tồn tại duy nhất nghiệm u0 ∈ L2 (0, T,H10(Ω)). 121 Bμi 8. Nửa nhóm vμ bμi toán biên đối với ph−ơng trình parabolic Chú ý rằng hàm u0(t, x) ∈ L2 (0, T,H10 (Ω)) là nghiệm của bài toán (8.39)-(8.40) khi và chỉ khi T∫ 0 〈 du0 dt + A(t)u0, v 〉 dt = T∫ 0 〈f, v〉dt, (8.41) 〈u0(0, ã), v0(0, ã)〉L2(Ω) = 〈h, v0(0, ã)〉L2(Ω) , (8.42) với mọi v(t, x) ∈ L2 (0, T,H10 (Ω)), trong đó 〈ã, ã〉 là tích đối ngẫu giữa H10 và H−1(Ω) = (H10 (Ω)) ′. Vì vậy từ định lý 8.7 ta suy ra định lý về sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán biên đối với ph−ơng trình parabolic. Định lý 8.8. Giả sử f ∈ L2 (0, T, L2(Ω)) , h ∈ L2(Ω). Khi đó bài toán ∂u ∂t + n∑ i,j=1 ∂ ∂xi ( aij ∂u ∂xj ) + Cu = −Au + Cu = f trong Q, (8.43) u = 0 trên biên Σ = ∂Ωì [0, T ], (8.44) u(0, ã) = h, (8.45) có duy nhất nghiệm suy rộng u0 ∈ L2 (0, T,H10 (Ω)) theo nghĩa T∫ 0 〈 du0 dt + A(t)u0, v 〉 dt = T∫ 0 dt, ∀v ∈ L2 (0, T, C∞0 (Ω)) 〈u0(0, ã), v(0, ã)〉 = 〈h, v(0, ã)〉 , ∀v ∈ L2 (0, T, C∞0 (Ω)) , trong đó 〈ã, ã〉 là tích vô h−ớng trong L2(Ω). 122 Ph−ơng trình đạo hμm riêng Bài 9 Ph−ơng pháp điểm bất động và áp dụng vào bài toán biên của ph−ơng tr ình đạo hàm r iêng phi tuyến 9.1 Giới thiệu một số định lý điểm bất động cơ bản Các định lý điểm bất động là các câu trả lời cho một bài toán tổng quát sau đây: Cho C là một tập con của một không gian X, T là một ánh xạ từ C vào X. Phải đặt những điều kiện nào trên C , X và T để có thể khẳng định sự tồn tại của một điểm x0 trong C mà Tx0 = x0?. Điểm x0 nh− vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ T . Trong rất nhiều tr−ờng hợp quan trọng, việc giải một ph−ơng trình đ−ợc quy về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X, y là một phần tử cố định của X thì nghiệm của ph−ơng trình Sx = y chính là điểm bất động của ánh xạ T xác định bởi Tx = Sx+x−y, ∀x ∈ X. Sau ta sẽ giới thiệu một số định lý điểm bất động cơ bản nhất. 9.1.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer Định lý 9.1 (Brouwer , 1911). Giả sử C là một tập con lồi, compact, khác rỗng trong Rn và T : C −→ C là một ánh xạ liên tục. Khi đó T có điểm bất động. Chứng minh định lý này có thể xem trong [3, 4, 6, 7]. 9.1.2 Nguyên lý ánh xạ co Banach Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản nhất và đ−ợc sử dụng rộng rãi nhất là nguyên lý ánh xạ co Banach. Tr−ớc khi phát biểu nguyên lý nổi tiếng này, chúng ta sẽ định nghĩa ánh xạ co. Định nghĩa 9.1. Một ánh xạ T từ không gian metric (X, d) vào không gian metric 123 Bμi 9. Ph−ơng pháp điểm bất động vμ áp dụng vμo bμi toán biên... (Y, ρ) đ−ợc gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho ρ(Tx, T y) ≤ kd(x, y) ∀x, y ∈ X. Nh− vậy ánh xạ co là tr−ờng hợp riêng của ánh xạ Lipschitz và hiển nhiên là liên tục. Nguyên lý ánh xạ co [Banach, 1922] Cho (X, d) là một không gian metric đầy đủ và T là một ánh xạ co trong X. Khi đó tồn tại x∗ ∈ X mà Tx∗ = x∗. Ngoài ra, ∀xo ∈ X ta có T nxo → x∗ khi n→∞. Chứng minh của định lý này có trong hầu hết các sách về giải tích hàm hoặc có thể xem trong [4, 6, 7]. 9.1.3 Định lý điểm bất động Schauder a. Toán tử compact Định nghĩa 9.2. Giả sử X và Y là các không gian Banach, và T : X → Y . T đ−ợc gọi là compact nếu và chỉ nếu: 1. T là ánh xạ liên tục. 2. T biến các tập bị chặn thành các tập compact t−ơng đối. Ví dụ: 1. Xét X, Y = Rn và T : X → Y là ánh xạ liên tục. Khi đó T là toán tử compact. 2. Toán tử compact trong không gian Banach vô hạn chiều. Đặt (Tx)(t) := ∫ b a K(t, s, x(s))ds, S(x)(t) := ∫ t a K(t, s, x(s))ds ∀t ∈ [a, b]. Giả sử ta có hàm liên tục K : [a, b]ì [a, b]ì [−R,R] → K, trong đó −∞ < a < b <∞, 0 < R <∞, và K = R,C. Đặt M := {x ∈ C([a, b],K) : ||x|| ≤ R} trong đó ||x|| := maxa≤x≤b|x(s)| và C([a, b],K) là không gian các hàm liên tục x : [a, b] → K. Khi đó các toán tử S và T ánh xạ từ M vào C([a, b],K) là các toán tử compact. Việc chứng minh xem nh− bài tập bằng cách sử dụng định lý Arzelà-Ascoli hoặc xem chứng minh trong [4]. 124 Bμi 9. Ph−ơng pháp điểm bất động vμ áp dụng vμo bμi toán biên... Định lý 9.2. (Định lý xấp xỉ các toán tử compact) Giả sử X, Y là các không gian Banach, M là một tập con bị chặn của X. T : X → Y là ánh xạ đã cho. Khi đó T là compact khi và chỉ khi các điều kiện sau thoả mãn: Với mỗi n ∈ N tồn tại một toán tử compact Pn : M → Y sao cho: sup x∈M ||T (x)− Pn(x)|| ≤ 1/n và dim(spanPn(M)) <∞. (9.1) Tr−ớc khi chứng minh ta nhớ lại tính chất sau của các tập compact t−ơng đối trong không gian Banach. Giả sử M ⊂ X, X là một không gian Banach. Tập các điểm x1, x2, ..., xn ∈ M đ−ợc gọi là một −l−ới cho tập M, nếu với mọi x ∈M, tìm đ−ợc xi sao cho ||x− xi|| < . Dễ thấy tập các điểm {xi : i = 1, ..., n} là một −l−ới cho tập M khi và chỉ khi min i ||(x− xi|| <  với mỗi x ∈M. Tính chất quan trọng M là tập compact t−ơng đối nếu và chỉ nếu với mỗi  > 0 tồn tại một −l−ới cho tập M. Chứng minh. (⇒): Giả sử T là compact. Khi đó T (M) là tập compact t−ơng đối. Vậy với mỗi n tồn tại các phần tử yi ∈ T (M), i = 1, ..., N sao cho: min i ||Tx− yi|| < 1/n, ∀x ∈M (9.2) Ta xây dựng toán tử sau (gọi là toán tử Schauder): Pn(x) := ∑N i=1 ai(x)yi∑N i=1 ai(x) , (9.3) trong đó ai(x) := max(n−1 − ||Tx− yi||, 0). Ta sẽ chỉ ra toán tử này thoả mãn các kết luận của định lý. Thật vậy: Do (1.2) các hàm liên tục ai không đồng thời triệt tiêu với mỗi x ∈ M , và ta có: ||Pnx− Tx|| = || ∑ i ai(x)(yi − Tx)∑ i ai(x) || ≤ ∑ i ai(x)n −1∑ i ai(x) ≤ n−1 ∀x ∈M. Từ tính bị chặn của T (M) suy ra Pn(M) cũng bị chặn. Vì tập Pn(M) nằm trong một không gian hữu hạn chiều nên Pn(M) là tập compact t−ơng đối. Vậy toán tử Pn là compact. (⇐): Giả sử (1.1) đúng. 125 Bμi 9. Ph−ơng pháp điểm bất động vμ áp dụng vμo bμi toán biên... Nhận xét: Toán tử T là giới hạn đều của các toán tử liên tục Pn, do đó nó cũng liên tục hoặc từ (1.1) ta có: ||Tx− Ty|| ≤ ||Tx− Pnx||+ ||Pnx− Pny||+ ||Pny − Ty|| ≤ 1/n + ||Pnx− Pny||+ 1/n < 3 với n đủ lớn và ||x− y|| < δ(). Hơn nữa, T (M) là compact t−ơng đối, vì từ (1.1) ta suy ra rằng với mỗi n ∈ N, tập compact t−ơng đối Pn(M) có một 1/n−l−ới hữu hạn và vì vậy tập T (M) có một 2/n−l−ới hữu hạn. Định lý đ−ợc chứng minh. b. Định lý điểm bất động Schauder: Định lý 9.3 (Schauder , 1930). . Giả sử M là tập con lồi, compact, khác rỗng của một không gian Banach X. Giả sử T : M → M là ánh xạ liên tục. Khi đó T có điểm bất động. Chứng minh. Đặt Mn := conv({y1, ..., yN}), trong đó yi và Pn đ−ợc chọn nh− trong (1.2), (1.3). Do M là tập lồi nên Mn ⊆ conv(T (M)) ⊆M. Do đó, Pn : Mn → Mn là ánh xạ liên tục. Hơn nữa, Mn là tập lồi, compact, và Mn ⊆ RN . Chú ý rằng ta đã đồng nhất span{y1, ..., yN} với một không gian con của RN . Theo định lý điểm bất động Brouwer, tồn tại một điểm bất động xn = Pn(xn), với xn ∈Mn ⊆M. Vì M là compact nên tồn tại một dãy con hội tụ, vẫn kí hiệu là (xn) (nếu không gây nhầm lẫn) sao cho xn → x khi n→∞. Điểm x chính là điểm bất động của ánh xạ T vì ||xn − Tx|| ≤ ||Pnxn − Txn||+ ||Txn− Tx|| ≤ 1/n + ||Txn− Tx|| Cho n→∞ ta đ−ợc x = Tx. Định lý đ−ợc chứng minh. Hệ quả 9.4. Giả sử M là tập con lồi, đóng, bị chặn, khác rỗng của một không gian Banach X. Giả sử T : M →M là toán tử compact. Khi đó T có điểm bất động. 126 Bμi 9. Ph−ơng pháp điểm bất động vμ áp dụng vμo bμi toán biên... Chứng minh. Đặt A := conv(T (M)). Khi đó A ⊆ M và tập A là tập lồi, compact. Hơn nữa, T (A) ⊆ A. Do đó hạn chế T : A→ A có điểm bất động (do định lý 0.3) và vì vậy T có điểm bất động. Hệ quả đ−ợc chứng minh. Chú ý: Ng−ời ta có thể chứng minh trực tiếp hệ qủa này bằng cách sử dụng định lý xấp xỉ các toán tử compact. Thật vậy, lấy u0 ∈ M . Nếu cần, thay u bởi u− u0, ta có thể giả sử 0 ∈M. Từ định lý xấp xỉ các toán tử compact ta suy ra với mỗi n = 1, 2, ..., tồn tại một không gian con hữu hạn chiều Xn của X và một toán tử liên tục Pn : M → Xn sao cho ||Tu− Pnu|| ≤ 1 n với mọi u ∈M. Đặt Mn := Xn ∩M. Khi đó Mn là tập con lồi, đóng, bị chặn của Xn với 0 ∈Mn và Pn(M) ⊆ conv(T (M)) ⊆ M , vì M là tập lồi. Theo định lý Brouwer, toán tử Pn : Mn → Mn có điểm bất động un, nghĩa là Pnun = un, un ∈Mn, với mỗi n = 1, 2, ... Từ bất đẳng thức trên ta có ||Tun− un|| ≤ 1 n với mỗi n = 1, 2, ... Vì Mn ⊆ M với mỗi n, dãy (un) bị chặn. Từ tính compact của T ta suy ra tồn tại một dãy con, vẫn kí hiệu là (un), sao cho Tun → v khi n → ∞. Từ bất đẳng thức thứ hai ta có ||v − un|| ≤ ||v − Tun||+ ||Tun− un|| → 0 khi n→∞ Do đó, un → v khi n→∞. Vì Tun ∈M với mỗi n và tập M đóng nên v ∈M. Cuối cùng, vì toán tử T : M → M liên tục nên Tv = v, v ∈M. 9.1.4 Định lý điểm bất động Leray-Schauder -Schaefer Định lý 9.5. (1934) Giả sử rằng 1. Toán tử T : X → X là compact, X là không gian Banach. 2. Tập hợp {x ∈ X : ∃ t ∈ (0, 1) với x = tTx} ⊂ B(0, r). 127 Bμi 9. Ph−ơng pháp điểm bất động vμ áp dụng vμo bμi toán biên... Khi đó ph−ơng trình x = Tx giải đ−ợc. Chứng minh. Đặt M := {x ∈ X : ||x|| ≤ 2r}. Ta xây dựng toán tử S(x) := ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ T (x) nếu ||Tx|| ≤ 2r, 2rT (x) ||T (x)|| nếu ||T (x)|| > 2r. Hiển nhiên, ||Sx|| ≤ 2r với mọi x ∈ X, nghĩa là, S(M) ⊂ M. Ta sẽ chỉ ra S : M →M là toán tử compact trên M := {x : ||x|| ≤ 2r}. . Tính liên tục của S là hiển nhiên. Điều này suy ra từ tính liên tục của T : X → X và từ Tx = 2rTx ||Tx|| nếu ||T (x)|| = 2r, bằng cách dùng định nghĩa liên tục theo (, δ). . Ta còn phải chỉ ra tính compact của S. Giả sử {xn} là một dãy trong M. Xét hai khả năng: (a) Tồn tại dãy con {yn} của {xn} : ||T (yn)|| ≤ 2r ∀ n, (b) Tồn tại dãy con {zn} của {xn} : ||T (yn)|| > 2r ∀ n. Tr−ờng hợp (a), do tính compact của T ta suy ra tồn tại dãy con {zn} của {yn} : S(zn) = T (zn) → y khi n→∞. Tr−ờng hợp (b), ta có thể chọn (zn) sao cho 1 ||T (zn)|| → α và T (zn) → y, với α, y thích hợp. Do đó S(zn) → 2rαy khi n→∞. Vậy S là toán tử compact. Theo định lý Schauder, ∃ x ∈M : Sx = x. - Nếu ||T (x)|| ≤ 2r thì Tx = Sx = x. - Nếu ||T (x)|| > 2r thì x = Sx = 2rTx ||Tx|| = tTx, trong đó t = 2r ||Tx||, t ∈ (0, 1). Điều đó dẫn đến ||x|| = 2r, trong khi theo giả thiết ||x|| ≤ r. Ta đi đến mâu thuẫn. Vậy định lý đ−ợc chứng minh. 9.1.5 Định lý điểm bất động Tikhonov Định lý 9.6 (Tikhonov, 1935). Giả sử C là một tập con lồi, compact, khác rỗng của một không gian lồi địa ph−ơng tách X, T : C → C là ánh xạ liên tục. Khi đó T có điểm bất động. Chứng minh định lý này có thể xem trong [3, 4, 6]. 128 Bμi 9. Ph−ơng pháp điểm bất động vμ áp dụng vμo bμi toán biên... 9.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dir ichlet đối với một lớp ph−ơng tr ình elliptic cấp 2 phi tuyến. Giả sử Ω là một tập con mở, bị chặn trong không gian Rn với biên ∂Ω trơn. Xét bài toán Dirichlet: { −u + b(Du) = f trong Ω, u = 0 trên Ω (9.4) trong đó f(x) ∈ L2(Ω), b : Rn → R là hàm liên tục Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ, nghĩa là b(s) thỏa mãn điều kiện: |b(s)− b(s˜)| ≤ k|s− s˜| với hằng số k đủ bé. Định lý 9.7. Giả sử f(x) ∈ L2(Ω), b(s) là hàm liên tục Lipschitz với hằng số k đủ bé. Khi đó bài toán (2.4) tồn tại duy nhất nghiệm suy rộng u ∈ H10 (Ω). Chứng minh. Xét bài toán biên{ −u + b(Du) = f trong Ω, u = 0 trên Ω trong đó f(x) ∈ L2(Ω). Ta nói rằng hàm u ∈ H10 (Ω) là một nghiệm yếu hay nghiệm suy rộng của bài toán nếu (Du,Dϕ) = (f, ϕ)− (b(Du), ϕ) với mỗi ϕ ∈ C∞0 (Ω). 1. Chọn γ < 0 sao cho |γ| < k, γ < λ1, λ1 là giá trị riêng chính của toán tử −Δ. Ta viết bài toán (2.4) d−ới dạng{ −u− γu = f − γu− b(Du) trong Ω, u = 0 trên Ω Với u ∈ H10 (Ω) cố định, ta xét bài toán{ −ω − γω = f − γu− b(Du) trong Ω, ω = 0 trên Ω (9.5) Chú ý rằng với u ∈ H10 (Ω) thì b(Du) ∈ L2(Ω) nên bài toán (2.5) tồn tại duy nhất nghiệm (theo lý thuyết ph−ơng trình đạo hàm riêng tuyến tính) ω ∈ D(−Δ) ⊂ H10 (Ω) xác định định bởi công thức ω = (−Δ− γ)−1[f − γu− b(Du)] ∈ D(−Δ). 129 Bμi 9. Ph−ơng pháp điểm bất động vμ áp dụng vμo bμi toán biên... Nh− vậy, với mỗi u ∈ H10 (Ω) cố định, tồn tại duy nhất nghiệm ω = (−Δ− γ)−1[f − γu− b(Du)] ∈ D(−Δ) của bài toán (2.5) Điều đó có nghĩa là tồn tại một ánh xạ A : H10 (Ω) → D(−Δ) ⊂ H10 (Ω) ⊂ L2(Ω) sao cho với mỗi u ∈ H10 (Ω) Au = ω = (−Δ− γ)−1[f − γu− b(Du)] ∈ D(−Δ) ⊂ L2(Ω). 2. Tiếp theo ta sẽ chứng minh rằng với mỗi hằng số k đủ bé A là toán tử co trong H10 (Ω). D−ới đây ta sẽ kí hiệu ||.|| là chuẩn trong không L2(Ω). Lý thuyết ph−ơng trình đạo hàm riêng tuyến tính chỉ ra nghiệm u ∈ H10 (Ω) của bài toán (2.5) sẽ thuộc H2(Ω) và ta có −ớc l−ợng ||ω||H2(Ω) ≤ C||f − γu− b(Du)||. Từ đó ||Au||H2(Ω) ≤ C||f − γu− b(Du)||. Vì H2(Ω) nhúng compact trong H1(Ω) nên ||Au||H10(Ω) ≤ C||f − γu− b(Du)||. Giả sử u, u˜ ∈ H10 (Ω) và ω = Au, ω˜ = Au˜. Ta có ||Au− Au˜||H10(Ω) ≤ C|| − γu + γu˜− b(Du) + b(Du˜)|| = C|| − γ(u− u˜)− [b(Du)− b(Du˜)]|| ≤ C|γ|||u− u˜||+ ||b(Du)− b(Du˜)|| Do b(s) là hàm liên tục Lipschitz và sử dụng bất đẳng thức Poincare ta có ||b(Du)− b(Du˜)|| ≤ k||u− u˜||H10 (Ω) Từ đó ta có ||Au−Au˜||H10(Ω) ≤ Ck||u− u˜||H10 (Ω) (9.6) Từ (2.6) ta thấy nếu Ck < 1 thì A là ánh xạ co trong H10 (Ω). 3. Giả sử Ck < 1, khi đó A là ánh xạ co trong H10 (Ω). Lấy u0 ∈ H10 (Ω) và đặt uk+1 := Auk, k = 0, 1, ... 130 Bμi 9. Ph−ơng pháp điểm bất động vμ áp dụng vμo bμi toán biên... Từ quá trình chứng minh định lý điểm bất động Banach ta suy ra {uk} là dãy hội tụ trong H10 (Ω), do đó tồn tại u ∈ H10(Ω) sao cho lim k→∞ ||uk − u||1 = 0 hay lim k→∞ uk = u trong H 1 0 (Ω). 4. Ta sẽ chứng minh u là nghiệm suy rộng của bài toán (2.4). Vì uk → u trong H10 (Ω) nên w-limk→∞ uk = u trong H10 (Ω), nghĩa là lim k→∞ (uk, ϕ)1 = (u, ϕ)1 với mỗi ϕ ∈ C∞0 (Ω). Do H10 (Ω) nhúng compact trong L 2(Ω) nên w-limk→∞ uk = u trong L2(Ω), tức là lim k→∞ (uk, ϕ) = (u, ϕ) với mỗi ϕ ∈ C∞0 (Ω). Mặt khác do b là hàm liên tục Lipschitz và dùng bất đẳng thức Poincare ta có |b(Duk)− b(Du)| ≤ k|Duk −Du| Suy ra ||b(Duk)− b(Du)|| ≤ k||Duk −Du||L2(Ω) ≤ k||uk − u||H10(Ω). Vì uk → u trong H10 (Ω) nên b(Duk) → b(Du) trong L2(Ω) do đó b(Duk) hội tụ yếu đến b(Du) trong L2(Ω), tức là (b(Duk), ϕ)→ (b(Du), ϕ) ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω). Do đó (uk, ϕ)1 = (Duk, Dϕ) = (uk,−Δϕ) = ((−Δ− γ)−1[f − γuk−1 − b(Duk−1)],−Δϕ) = ((−Δ− γ)−1[f − γuk−1 − b(Duk−1)], (−Δ− γ)ϕ) + γ(uk−1, ϕ) Cho k →∞ ta có (u, ϕ)1 = (−γu, ϕ) + (f − b(Du), ϕ) + γ(u, ϕ) = (f − b(Du), ϕ) ∀ϕ ∈ H10 (Ω). Vậy u là nghiệm suy rộng của bài toán (2.4). Tính duy nhất suy từ điều kiện Lipschitz. 9.3 ứng dụng định lý Leray- Schaefer để giải bài toán giá tr ị biên đối với ph−ơng tr ình ĐHR tựa tuyến tính. Giả sử Ω là tập mở, bị chặn trong Rn, với biên trơn ∂Ω. Xét bài toán biên Dirichlet{ −Δu + b(Du) + μu = 0 trong Ω u = 0 trên ∂ Ω (9.7) 131 Bμi 9. Ph−ơng pháp điểm bất động vμ áp dụng vμo bμi toán biên... Ta giả thiết b : Rn → R là hàm liên tục Lipschitz. Do đó ta có |b(x)| ≤ C(|x|+ 1), với hằng số C nào đó và ∀x ∈ Rn. Định lý 9.8. Nếu μ > 0 là đủ lớn, thì tồn tại một hàm u ∈ H2(Ω) ∩H10 (Ω) thoả mãn bài toán biên (3.7). Chứng minh. Xét bài toán biên{ −Δu + b(Du) + μu = 0 trong Ω u = 0 trên ∂Ω Ta nói rằng u ∈ H10 (Ω) là một nghiệm suy rộng của bài toán (Du,Dϕ) = −μ(u, ϕ)− (b(Du), ϕ) với mỗi ϕ ∈ C∞0 (Ω). 1. Ta viết bài toán d−ới dạng{ −Δu + μu = −b(Du) trong Ω u = 0 trên ∂Ω Với u ∈ H10 (Ω) cố định, ta xét bài toán{ −Δω + μω = −b(D(u)) trong Ω ω = 0 trên ∂Ω (9.8) Đặt f := −b(Du), với u ∈ H10 (Ω) thì f ∈ L2(Ω). Theo lý thuyết ph−ơng trình đạo hàm riêng tuyến tính tồn tại ω ∈ H10 (Ω) là nghiệm duy nhất của bài toán (3.8). Ng−ời ta cũng chỉ ra rằng ω ∈ H2(Ω) với đánh giá ||ω||H2(Ω) ≤ C||f ||L2(Ω) (9.9) Điều đó có nghĩa là tồn tại một ánh xạ A : H10 (Ω) → H10 (Ω) sao cho với mọi u ∈ H10 (Ω), Au = ω ∈ H10 (Ω). Ta có ||Au||H2(Ω) ≤ C||f ||L2(Ω) = C||b(Du)||L2(Ω) ≤ C(||u||H10(Ω) + 1) (9.10) (Do tính Lipschitz của b và bất đẳng thức Poincare) 2. Bây giờ ta khẳng định A : H10 (Ω) → H10 (Ω) là compact. Thật vậy, nếu uk → u trong H10 (Ω) thì theo đánh giá (3.10) ta có sup||ωk||H2(Ω) ≤ ∞, với ωk = A[uk], k = 1, 2, ... 132 Bμi 9. Ph−ơng pháp điểm bất động vμ áp dụng vμo bμi toán biên... Do đó tồn tại một dãy con {ωkj}j=∞j=1 và một hàm ω ∈ H10 (Ω) sao cho ωkj → ω trong H10 (Ω). Từ đó ∫ Ω (DωkjDϕ + μωkjϕ)dx = − ∫ Ω b(Dukj )ϕdx, ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) Chuyển qua giới hạn ta có∫ Ω (DωDϕ + μωϕ)dx = − ∫ Ω b(Du)ϕdx, ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) Vậy ω = Au. Từ đánh giá (3.9) và sử dụng tính Lipschitz của hàm b ta suy ra Auk → Au trong H10 (Ω). Do đó A liên tục. Bây giờ ta chỉ ra A là toán tử compact. Thật vậy, nếu {uk}∞k=1 là dãy bị chặn trong H10 (Ω) thì từ đánh giá (3.10) ta khẳng định rằng {Auk} là dãy bị chặn trong H2(Ω), cho nên có ngay một dãy con hội tụ mạnh trong H10 (Ω) (chú ý rằng ở đây ta đã dùng định lý Mazur: Giả sử C là một tập con lồi của một không gian Banach X. Khi đó bao đóng mạnh của C trùng với bao đóng yếu nó). 3. Sau cùng ta chỉ ra rằng nếu μ đủ lớn thì tập {u ∈ H10 (Ω)| u = λAu với một số λ nào đó thuộc (0, 1)} bị chặn trong H10 (Ω). Thật vậy, giả thiết rằng u ∈ H10 (Ω) và u = λAu với λ nào đó, 0 < λ < 1. Khi đó u λ = Au, hay nói cách khác u ∈ H2(Ω) ∩H10 (Ω) và −Δu + μu = −λb(Du) trong Ω (do u λ là nghiệm) Nhân đồng nhất thức này với u và lấy tích phân trên Ω, ta có∫ Ω |Du|2 + μ|u|2dx = − ∫ Ω λb(Du)udx ≤ ∫ Ω C(|Du|+ 1)|u|dx ≤ 1 2 ∫ Ω |Du|2dx + C ∫ Ω |u|2 + 1dx (Dùng bất đẳng thức Cauchy) Hằng số C không phụ thuộc vào λ. Từ đó∫ Ω |Du|2 + (2μ − C)|u|2dx ≤ C Vậy ∫ Ω |Du|2 + |u|2dx ≤ C ′, với μ > 0 đủ lớn, 2μ− C > 0 133 Bμi 9. Ph−ơng pháp điểm bất động vμ áp dụng vμo bμi toán biên... nghĩa là ||u||H10(Ω) ≤ C Theo định lý Leray-Schauder-Schaefer ta suy ra A có điểm bất động u ∈ H2(Ω)∩H10 (Ω), và u thỏa mãn bài toán (3.7). Thật vậy, lấy u0 ∈ H10 (Ω), tồn tại u1 là nghiệm của{ −Δu1 + μu1 = −b(D(u0)) trong Ω u1 = 0 trên ∂Ω ......... un là nghiệm của bài toán{ −Δun + μun = −b(D(un−1)) trong Ω un = 0 trên ∂Ω Ta có (Dun+1, Dϕ) = −μ(un+1, ϕ)− (b(Dun), ϕ) với mỗi ϕ ∈ C∞0 (Ω). Cho n→∞ ta có (Du,Dϕ) = −μ(u, ϕ)− (b(Du), ϕ) với mỗi ϕ ∈ C∞0 (Ω). Vậy u là nghiệm suy rộng của bài toán (3.7). 134 Ph−ơng trình đạo hμm riêng Bài 10 Dạng song tuyến tính và mở rộng Fr iedr ichs 10.1 Dạng song tuyến tính và dạng toàn ph−ơng của toán tử Cho X là một không gian Hilbert phức, D ⊂ X là không gian vectơ con. ta xét dạng song tuyến tính A : (u, v) ∈ D ìD → Q(u, v) ∈ C, (10.1) và đặt Q(u) = Q(u, u), là một dạng toàn ph−ơng. Không gian con D đ−ợc gọi là miền xác định của A và ký hiệu là D(Q). Nhắc lại rằng nếu cho dạng toàn ph−ơng Q(u) thì ta có thể xác định dạng song tuyến tính Q(u, v) Q(u, v) = 1 4 [Q(u + v)−Q(u− v) + iQ(u + iv)− iQ(u− iv)] , (u, v) ∈ D. (10.2) Tuy nhiên nếu X là không gian Hilbert thực thì dạng toàn ph−ơng Q(u) không xác định dạng song tuyến tính. Nh− là toán tử không bị chặn, ta nói Q1 ⊂ Q2 (tức là Q2 là mở rộng của Q1) nếu: D(Q1) ⊂ D(Q2), Q1(u) = Q2(u), ∀u ∈ D(Q1). (10.3) Mục đích của chúng ta ở đây là nghiên cứu mối liên hệ giữa dạng toàn ph−ơng và toán tử. Giả sử H là toán tử xác định trong X, D(H) là miền xác định của nó. Ta ký hiệu là (H,D(H)). Dạng toàn ph−ơng Q liên kết với H đ−ợc xác định: D(Q) = D(H), Q(u, v) = (Hu, v), ∀u, v ∈ D(Q), Q(u) = Q(u, u). Vấn đề ng−ợc lại đ−ợc đặt ra một cách tự nhiên: Với dạng toàn ph−ơng cho tr−ớc Q, ta cần xác định toán tử (H,D(H)) liên kết với nó. Định nghĩa 10.1. Dạng song tuyến tính Q(u, v) đ−ợc gọi là đối xứng nếu Q(u, v) = Q(v, u), u, v ∈ D(Q). (10.4) Dạng toàn ph−ơng Q đối xứng đ−ợc gọi là bị chặn d−ới nếu Q(u) ≥ c‖u‖2, u ∈ D(Q). (10.5) 135 Bμi 10. Dạng song tuyến tính vμ mở rộng Friedrich Bằng cách thay Q(u) bởi Q(u)− c‖u‖2, ta có thể đ−a dạng đối xứng bị chặn d−ới về dạng xác định d−ơng. Định nghĩa 10.2. • Giả sử (Q,D(Q)) là dạng toàn ph−ơng. Dãy un ∈ D(Q) đ−ợc gọi là Q-hội tụ đến u ∈ X nếu un −→ u, Q(un − um) → 0, n,m→ +∞, ký hiệu là un Q−→ u. • Dạng toàn ph−ơng đ−ợc gọi là đóng nếu un Q−→ u =⇒ u ∈ D(Q) và Q(un − u)→ 0. • Dạng toàn ph−ơng Q đ−ợc gọi là đóng đ−ợc nếu nó có một dạng toàn ph−ơng mở rộng Q0 của nó là đóng. • Dạng toàn ph−ơng mở rộng đóng bé nhất của Q đ−ợc ký hiệu là Q và đ−ợc gọi là bao đóng của Q. Nếu (Q,D(Q)) là dạng toàn ph−ơng d−ơng, tức là Q(u) ≥ 0, Q(u) = 0 ⇐⇒ u = 0. Ta ký hiệu HQ là không gian tiền Hilbert D(Q) trong đó đ−ợc trang bị tích vô h−ớng (u, v)Q = Q(u, v) + (u, v). (10.6) Bổ đề 10.1. Dạng toàn ph−ơng (Q,D(Q)) là đóng khi và chỉ khi không gian HQ là đủ. (Khi đó HQ là không gian Hilbert.) Định nghĩa 10.3. Cho (Q,D(Q)) là một dạng toàn ph−ơng. Khong gian con D′ ⊂ D(Q) đ−ợc gọi là tâm của Q nếu D′ trù mật trong HQ. Một cách t−ơng đ−ơng, không gian con D′ là tâm của Q nếu dạng toàn ph−ơng Q′ hạn chế của Q trên D′ có bao đóng là Q. Mệnh đề 10.2. Dạng toàn ph−ơng (Q,D(Q)) là đóng đ−ợc nếu và chỉ nếu: un Q−→ 0 ⇒ Q(un) → 0. (10.7) Nếu điều kiện này đ−ợc thoả mãn thì bao đóng Q đ−ợc xác định nh− sau: D(Q) là tậo hợp tất cả u ∈ X sao cho ∃{un} ⊂ D(Q), un Q−→ u và ta có: Q(u) = lim n→+∞ Q(un), un Q−→ u. (10.8) 136 Bμi 10. Dạng song tuyến tính vμ mở rộng Friedrich Chứng minh. Giả thiết Q là đóng đ−ợc và Q là mở rộng đóng của nó. Nếu un Q−→ 0 thì khi đó ta có un Q−→ 0. Vì Q đóng nên Q(un − 0) = Q(un) = Q(un) → 0. Ng−ợc lại, giả thiết rằng từ un Q−→ 0 ta suy ra Q(un) → 0. Ta cần chứng minh rằng giới hạn lim n→∞ Q(un), un Q−→ u (10.9) tồn tại không phụ thuộc vào việc chọn dãy {un} ⊂ D(Q). Thật vậy, ta có |Q(un)−Q(um)| ≤ |Q(un − um, un)|+ |Q(um, un − um)| ≤ Q(un − um)1/2 ( Q(un) 1/2 + Q(um) 1/2 ) . Điều đó chứng tỏ rằng khi n,m→∞, Q(un) → 0, Q(um) → 0 nên Q(un)−Q(um) → 0. Điều này có nghĩa là dãy {Q(un)} là dãy Cauchy, vì vậy nó hội tụ. Giả sử {un} và {vn} là hai dãy trong D(Q) hội tụ đến u, tức là un Q−→ u, vn Q−→ v. Khi đó un− vn Q−→ 0, do đó Q(un− vn) −→ 0. Từ đó suy ra Q(un)−Q(vn) → 0. Điều đó có nghĩa là giới hạn lim n→∞ Q(un) không phụ thuộc vào việc chọn dãy {un} sao cho un Q−→ u. Mặt khác ta có Q(un − u)→ 0 nếu un Q−→ u. (10.10) Thật vậy, ta có lim n→∞ Q(un − u) = lim n→∞ lim m→∞ Q(un − um) = 0 (10.11) vì un Q−→ u. Vậy ta chỉ còn phải chứng minh rằng Q xác định nh− trên là bao đóng của Q. Tr−ớc hết ta chứng minh rằng Q là đóng, tức là HQ là không gian đủ. Từ (10.10) ta suy ra rằng HQ là trù mật trong HQ vì với u ∈ HQ, tồn tại dãy {un} ⊂ D(Q) sao cho Q(un − u) hội tụ về không khi n → ∞. Tuy nhiên điều này xảy ra khi un Q−→ u, tức là Q(un − u)→ 0, tức là mọi dãy Cauchy trong HQ đều có giới hạn trong HQ. Giả sử dãy {un} là Cauchy trong HQ và {vn} là dãy trong HQ sao cho ‖un−vn‖Q ≤ 1/n. Khi đó dãy {vn} là Cauchy trong HQ, và do đó dãy {vn} hội tụ đến u trong HQ. Từ đó suy ra un → u. Điều này chứng tỏ rằng HQ là đủ. Bây giờ ta chứng minh rằng Q chính là bao đóng của Q. Giả sử Q1 là một mở rộng đóng của Q và un Q−→ u. Khi đó u ∈ D(Q) và un Q1−→ u, do đó u ∈ D(Q1) và u ∈ D(Q).. Mặt khác vì Q1 là đóng nên Q1(un− u) → 0. Nhờ bất đẳng thức tam giác ta suy ra Q1(un)→ Q1(u). Thật vậy, ta có |Q1(un)−Q1(u)| ≤ Q1(un − u)1/2 [ Q1(un) 1/2 + Q1(u) 1/2 ]→ 0, (10.12) suy ra Q1(un) → Q1(u). Từ đó suy ra u ∈ D(Q) kéo theo u ∈ D(Q1), tức là D(Q) ⊂ D(Q1). Vậy Q ⊂ Q1. Ta có điều phải chứng minh. 137 Bμi 10. Dạng song tuyến tính vμ mở rộng Friedrich 10.2 Toán tử liên kết với dạng toàn ph−ơng. Mở rộng Fr iedr ichs Nội dung chính của phần này là định lý sau đây. Định lý 10.3. Cho (Q,D(Q)) là dạng toàn ph−ơng bị chặn d−ới với miền xác định trù mật và đóng. Khi đó tồn tại duy nhất một toán tử tự liên hợp (H,D(H)) sao cho D(H) ⊂ D(Q), Q(u, v) = (Hu, v) với mọi u ∈ D(H), v ∈ D(Q). Hơn nữa D(H) là tâm của Q. Toán tử (H,D(H)) đ−ợc gọi là toán tử liên kết với dạng (Q,D(Q)). Chứng minh. Xét Q1 = Q + c ã 1, với c > 1. Q1 là dạng song tuyến tính liên tục trên HQ, coercitive. Giả sử A là toán tử HQ → H ′Q là toán tử liên kết của Q1 đ−ợc xác định bởi định lý Lax-Milgram: (Au, v) = Q1(u, v), u, v ∈ HQ. (chú ý rằng ta có A−1 là toán tử liên tục từ H ′Q → HQ, HQ ⊂ X ⊂ H ′Q.) Ta xây dựng toán tử H nh− sau Hu = Au− Cu, ∀u ∈ D(H), (10.13) trong đó D(H) = A−1X = {u ∈ D(Q) : Au ∈ X} ⊂ D(Q) = HQ. (u ∈ D(H) : |Q1(u, v)| ≤ c‖v‖X, ∀v ∈ HQ.) Ta chứng minh rằng A−1 là toán tử tự liên hợp trên X. Thật vậy, với u, v ∈ X, (A−1u, v) = (A−1u,AA−1v) = Q1(A−1u,A−1v) = Q(A−1u,A−1v) + c(A−1u,A−1v) = (u,A−1v), (do vai trò của (A−1u và A−1v) là nh− nhau). Từ đó suy ra toán tử H là tự liên hợp, vì với mọi u, v ∈ D(H) ⊂ D(Q), Au,Av ∈ X, (Au, v) = (Au,A−1Av) = (A−1Au,Av) = (u,Av). Vậy (Hu, v) = (Au− cu, v) = (Au, v)− c(u, v) = (u,Av)− c(u, v) = (u,Av− cv) = (u,Hv). Điều này chứng tỏ rằng H là toán tử tự liên hợp trong D(H). Bây giờ ta đi chứng minh rằng D(H) trù mật trong HQ, từ đó suy ra rằng D(H) trù mật trong X. Thật 138 Bμi 10. Dạng song tuyến tính vμ mở rộng Friedrich vậy, giả sử u ∈ HQ trực giao theo tích (ã, ã)Q với D(H) = A−1(X). Ta có, với v ∈ X, A−1v ∈ D(H). Vậy, 0 = (A−1v, u)Q = Q1(A−1v, u) = Q(A−1v, u) + c(A−1v, u) = (AA−1v, u) = (v, u), ∀v ∈ X. Từ đó suy ra u ≡ 0, vậy ta có khẳng định rằng ∀u⊥D(H) ⇒ u ≡ 0. Vậy D(H) trù mật trong HQ. Định lý 10.3 luôn đ−ợc áp dụng để xây d−ng một mở rộng tự liên hợp của toán tử đối xứng bị chặn d−ới, đ−ợc gọi là mở rộng Friedrichs. Định lý 10.4. Giả sử (S,D(S)) là toán tử đối xứng bị chặn d−ới, (Su, u) ≥ c‖u‖2, ∀u ∈ D(S). Q là dạng toàn ph−ơng xác định bởi D(Q) = D(S), Q(u, v) = (Su, v), u, v ∈ D(Q). Khi đó Q có thể mở rộng thành dạng đóng Q. Toán tử tự liên hợp (H,D(H)) liên kết với dạng toàn ph−ơng Q đ−ợc gọi là mở rộng Friedrichs của S. Chứng minh. Để chứng minh Q là dạng đóng ta cần chứng minh rằng nếu un Q−→ 0 (tức là un → 0 và Q(un − um) → 0) thì Q(un) → 0. Thật vậy, ta có |Q(un)| ≤ |Q(un −m, un)|+ |Q(un, um)| ≤ |Q(un − um)|1/2|Q(un)|1/2 + |Q(un, um)|. Vì un Q−→ 0 nên Q(un−um) → 0 khi m,n→∞. Do đó số hạng thứ nhất trong vế phải dần đến 0. Ngoài ra Q(un, um) = (Sun, um) → 0 khi um → 0. Vậy nếu cho m,n→∞ thì Q(un) → 0. Từ đó suy ra dạng Q tồn tại bao đóng Q. Theo định lý 10.3, tồn tại duy nhất toán tử tự liên hợp (H,D(H)) sao cho D(H) ⊂ D(Q), Q(u, v) = (Hu, v), ∀u ∈ D(H), ∀v ∈ D(Q), D(H) trù mật trong HQ, tức là D(H) là tâm của Q. Vậy D(H) trù mật trong D(S) = D(Q) ⊂ D(Q) ⊂ HQ, (Hu, u) = (Su, u) ∀u ∈ D(H). Ta gọi H là mở rộng Friedrichs của S.