Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ chung cùng với các hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học cho học sinh lớp 9 thông qua bài tập hình học phẳng - Bạch Phương Vinh

Bạch Phương Vinh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 83(07): 133 - 139 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 133 RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHUNG CÙNG VỚI CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ PHỔ BIẾN TRONG TOÁN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 9 THÔNG QUA BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG Bạch Phương Vinh* Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên TÓM TẮT Dạy học giải bài tập hình học phẳng ở lớp 9 nhằm thực hiện một trong những nhiệm vụ của môn học là phát triển trí tuệ cho học sinh; điều này sẽ có ý nghĩa sâu sắc hơn nếu người giáo viên luôn tạo cơ hội cho học sinh thực hiện các hoạt động trí tuệ chung: phân tích, tổng hợp, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa... cùng với các hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học: phân chia trường hợp, lật ngược vấn đề, xét tính giải được...trong quá trình học sinh đi tìm lời giải và suy nghĩ khai thác bài tập hình học. Từ khóa: Hoạt động trí tuệ, tư duy, học sinh, bài tập hình học, lớp 9 Phát triển trí tuệ cho học sinh (HS) là nhiệm vụ của mọi môn học trong trường phổ thông, nhất là đối với môn toán ở trường trung học cơ sở (THCS) càng có nhiều điều kiện thuận lợi để thực hiện nhiệm vụ này. Đối với dạy học giải bài tập hình học phẳng ở lớp 9, để thực hiện nhiệm vụ trên người giáo viên (GV) phải luôn tạo cho HS cơ hội thực hiện các hoạt động trí tuệ (HĐTT) chung: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, trừu tượng hóa, đặc biệt biệt hóa... cùng với các HĐTT phổ biến trong toán học: phân chia trường hợp, lật ngược vấn đề, xét tính giải được...trong quá trình HS đi tìm lời giải của bài toán. Điều này sẽ có ý nghĩa sâu sắc hơn nếu GV luôn tạo cơ hội cho HS thực hiện các HĐTT chung cùng với các HĐTT phổ biến trong toán học không chỉ ở việc HS đi tìm lời giải của bài toán hình học mà ở cả việc HS nghiên cứu khai thác bài toán. Đó cũng chính là mục đích dạy học của môn học nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho HS.* Các dạng toán hình học phẳng lớp 9 rất phong phú và đa dạng. Mỗi dạng toán đều có những phương pháp (PP) giải cơ bản và đặc trưng, tuy nhiên không phải lúc nào tuân theo những phương pháp đó đều giải được bài toán; mà còn đòi hỏi HS phải biết nhìn bài toán một cách tổng hợp để phân tích bài toán quy lạ về quen, biết phân chia trường hợp, so sánh, khái * quát hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa, biết lật ngược vấn đề và xét tính giải được của bài toán để lựa chọn những PP và cách thức phù hợp, hiệu quả nhằm giải quyết bài toán, đưa ra được lời giải, tiến tới có lời giải hay, ngắn gọn, độc đáo... từ đó đề xuất những bài toán tương tự, đặc biệt và cũng có thể là những bài toán “khái quát, tổng quát hơn”, những bài toán mới. Trong quá trình đó HS được rèn luyện các HĐTT chung cùng với các HĐTT phổ biến trong toán học, góp phần phát triển cho HS khả năng quan sát, năng lực phát hiện giải quyết vấn đề và tư duy sáng tạo. Sau đây là bài tập hình học lớp 9, xuất phát từ việc đi tìm lời giải và khai thác bài toán nhằm rèn luyện cho HS một số HĐTT chung cùng với các HĐTT phổ biến trong toán học. Ví dụ 1. “Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Điểm M thuộc cung BC . Chứng minh rằng MA = MB + MC”.  Phân tích bài toán tìm cách giải Muốn chứng minh MA = MB + MC (phân tích tách ra những thuộc tính của bài toán (cái toàn thể)) gợi cho HS liên tưởng đến việc tạo đoạn thẳng AD nằm trên MA sao cho AD = MC (hoặc AD = MB), hình (H 1); khi đó chỉ còn phải chứng minh MB = MD (hoặc MC = MD). Điều này có được từ các cặp tam giác bằng nhau. Bạch Phương Vinh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 83(07): 133 - 139 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 134 Nếu nhìn bài toán theo quan điểm biến hình (từ mối quan hệ giữa hai cách giải bài toán theo PP tổng hợp và PP biến hình), gợi cho HS liên tưởng đến việc dời MC đến MA, ở đây sử dụng phép quay tâm B góc quay 600 chiều quay ngược chiều kim đồng hồ; dựa vào tính chất của phép quay suy ra điều phải chứng minh.  Trình bày lời giải (HĐ tổng hợp - hợp lại các phần của bài toán ) +) Cách 1: Phương pháp tổng hợp Lấy DAM sao cho MC = DA (1), có ABD = CBM (c.g.c) => MB = DB và  0BMD 60 (góc nội tiếp chắn cung AB ) => DBM đều => MB = MD (2). Từ (1) & (2) => MA=MD + DA=MB + MC điều phải chứng minh (đpcm), hình (H 1). +) Cách 2: Phương pháp biến hình Theo giả thiết (gt): (MC, MA) = 600 => Q(B, 60 0 ): MC  MA C  A (vì ABC đều) M  D  MA (chiều quay ngược chiều kim đồng hồ), theo tính chất của phép quay => MC = DA (1) và BM = BD,  0MBD 60 =>  BMD đều => MB = MD (2). Từ (1) & (2) ta có: MA = MD + DA = MB + MC (đpcm).  Khai thác bài toán  Khai thác bài toán theo hướng tìm thêm nhiều cách giải khác nhau. *) HĐ Phân tích bài toán theo PP giải Chứng minh MA = MB + MC theo cách 1, đặt MC trên MA bằng cách lấy DMA sao cho MC = DA và chứng minh MB = MD; mà MA, MB, MC có vai trò như nhau vì chúng đều là dây cung của (O); *) HĐ tương tự và xét tính giải được Cách 1.1: Đặt MC trên MB bằng cách lấy D thuộc tia đối của tia MB sao cho MD = MC. Khi đó, chứng minh MA = MB + MC  MA = DB  MAC = DBC (c.g.c), hình (H1.1); Cách 1.2: hoặc đặt MB trên MC, bằng cách lấy D thuộc tia đối của tia CM sao cho CD = MB. Khi đó, chứng minh MA = MB + MC  MA = MD  AMD đều  MAB = DAC (c.g.c), hình (H 1.2). Cách 3: Chứng minh MA = MB + MC, gợi cho HS liên tưởng đến PP chứng minh đẳng thức hình học nhờ các tỉ số có từ hai tam giác đồng dạng. Xét MBE : MAC và MCE : MAB  MB BE MC EC ; MA AC MA BA    MB MC BE EC MB MC 1 MA MA AC BA MA        MA = MB + MC (đpcm), hình (H 2) (H 1) (H 1.1) (H 1.2) Bạch Phương Vinh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 83(07): 133 - 139 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 135 (H 2) Cách 4: Chứng minh MA = MB + MC, gợi cho HS liên tưởng đến PP chứng minh đẳng thức hình học dựa vào tính chất của đường phân giác trong tam giác. Theo gt ta có   0BMA AMC 60  , nên MA là đường phân giác của góc BMC  MB BE MC.BE MB = MC EC EC   MC.BE MC(BE EC) MB + MC = MC EC EC MC.AB MA (vì MCE MAB) CE         (đpcm), hình (H 2). Cách 5: Chứng minh MA = MB + MC, gợi cho HS liên tưởng đến PP vận dụng định lý Ptôlêmê vào tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O) ta có: AB.MC + AC.MB = BC.AM vì AB, BC, AC là các cạnh của tam giác đều, nên MA = MB + MC (đpcm), hình (H 2). Trong dạy học giải bài tập hình học phẳng nếu người GV luôn tạo cho HS thói quen tìm nhiều lời giải của bài toán, điều đó không chỉ là cơ hội để HS được rèn luyện các HĐTT, mà HS còn được hệ thống hóa các kiến thức kĩ năng đã học, thể hiện ở các dạng tri thức: tri thức nội dung, tri thức chuẩn, tri thức giá trị và đặc biệt là tri thức phương pháp.  Khai thác bài toán theo hướng đề xuất bài toán mới (bài toán tương tự, khái quát hóa, tổng quát hóa,...) *) Rèn luyện HĐ phân tích tổng hợp, tương tự, khái quát hóa... cùng với HĐ lật ngược vấn đề, phân chia trường hợp và xét tính giải được của bài toán... Nhằm trả lời cho câu hỏi: Mcung BC thì MA = MB + MC, ngược lại, nếu có MA = MB + MC thì M có thuộc cung BC không? *) Rèn luyện HĐ phân tích với HĐ phân chia trường hợp và xét tính giải được: Xét các vị trí tương đối của điểm M với ABC và đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác. M BC (từ kết quả của ví dụ 1) đều có tính chất MA = MB + MC; Nếu M ở trong ABC (M ≠ B, M ≠ C) thì MA < MB + MC, hình (H 3); Nếu M ở ngoài ABC (M BC ) thì MA < MB + MC, hình (H 4). Thật vậy, ta có góc hợp bởi đường thẳng MC với AM khác 060 nên trong phép quay Q(B, 060 ), chiều quay ngược chiều kim đồng hồ M MC có ảnh là D AM BMD  là tam giác đều  MB = MD = BD  ABD CBM   (c. g. c)  MC = DA mà MA < MD + DA (do xét MAD). Do đó, MA < MB + MC. Như vậy, chỉ các điểm M BC thỏa mãn MA = MB + MC, nên ta có bài toán đảo của ví dụ 1 như sau: Bài toán 1.1. Cho tam giác đều ABC, nếu MA = MB + MC thì M nằm trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. *) HĐ tổng hợp: Kết hợp ví dụ 1 và bài toán 1.1 đi đến bài toán quỹ tích: Bài toán 1.2. Cho tam giác đều ABC. Chứng minh rằng quỹ tích những điểm M thoả mãn MA = MB + MC là cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. (H 3) : Bạch Phương Vinh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 83(07): 133 - 139 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 136 (H 4) *) Rèn luyện HĐ tổng hợp, khái quát hóa từ kết quả của HĐ phân tích cùng với HĐ phân chia trường hợp: Từ các kết quả của ví dụ 1, bài toán 1.1; 1.2 đi đến bài toán khái quát hóa: Bài toán 1.3. Trong mặt phẳng cho tam giác đều ABC và một điểm M bất kì. Chứng minh rằng MA  MB + MC. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M nằm trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. *) Nhận xét: Từ bất đẳng thức MA  MB + MC gợi cho HS liên tưởng đến bài toán cực trị hình học và đi đến bài toán mới sau: Bài toán 1.4. Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn (O). Hãy xác định vị trí của điểm M trên cung BC sao cho tổng MA + MB + MC có giá trị lớn nhất. Theo kết quả trên MA + MB + MC = 2MA Mcung BC . Tổng MA + MB + MC sẽ lớn nhất khi MA lớn nhất, MA là một dây của (O) nên lớn nhất khi nó là đường kính của (O). Vậy M  I (I = AO  BC ) là điểm chính giữa của cung BC , hình (H 5). *) Quan sát hình vẽ (H 6) và tiếp tục phân tích bài toán: Từ bất đẳng thức MB + MC  MA, ta có độ dài MA luôn thay đổi. Nếu lấy một điểm N ở ngoài (O) và thuộc miền trong góc BAC thì MB + MC + MN  AM + MN  AN. Do đó nếu B, C, N cố định  A cố định  Tổng MB + MC + MN có giá trị nhỏ nhất là AN  A, M, N thẳng hàng hay M = AN BC , ta đi đến bài toán mới: Bài toán 1.5. Xác định điểm Q thuộc miền trong tam giác ABC sao cho tổng QA + QB + QC có giá trị nhỏ nhất. Dựng tam giác đều BCN sao cho A và N nằm về 2 phía của BC. Dựng đường tròn ngoại tiếp BCN  Q = AN BC của đường tròn ngoại tiếp BCN, hình (H 7). *) Nhận xét: Để có giao điểm Q thì ABC phải có các góc không lớn hơn 1200. Trường hợp ABC có góc lớn hơn 1200 thì Q chính là đỉnh của góc lớn nhất. Có thể xác định điểm Q như sau: Q = BP AC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ACP (hoặc Q = CM AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABM), hình (H 8). (H 5) (H 6) (H 7) *) HĐ tổng hợp, từ kết quả của bài toán và các nhận xét trên, đề xuất các bài toán chứng minh sau: Bạch Phương Vinh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 83(07): 133 - 139 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 137 Bài toán 1.6. Cho tam giác ABC dựng các tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng 3 đường tròn ngoại tiếp 3 tam giác đều đó cùng đi qua một điểm. Bài toán 1.7. Cho tam giác ABC dựng các tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng đường thẳng MC, NA, PB đồng quy tại một điểm chính là giao điểm của ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác đều. Bài toán 1.8. Cho tam giác ABC dựng các tam giác đều MAB, NBC, PAC thuộc miền ngoài tam giác ABC. Chứng minh rằng MC = NA = PB và góc tạo bởi hai đoạn thẳng bằng nhau ấy bằng 600. *) Như vậy, quá trình phân tích bài toán tìm lời giải và khai thác ví dụ 1, HS được rèn luyện các HĐTT chung cùng với các HĐTT phổ biến trong toán học: - Thực hiện HĐ lật ngược vấn đề, xét bài toán 1.1 là bài toán đảo của ví dụ 1; - Thực hiện HĐ tổng hợp: kết hợp ví dụ 1 và bài toán 1.1 có bài toán 1.2 là một bài toán quỹ tích; - Thực hiện HĐ phân chia trường hợp, xét tính giải được đối với vị trí tương đối của các hình đã cho kết hợp với HĐ tổng hợp và khái quát hóa từ các kết quả của ví dụ 1; bài toán 1.1; bài toán 1.2 ta có kết quả khái quát hóa là bài toán 1.3; - Thực hiện HĐ tổng hợp từ bất đẳng thức của bài toán 1.3 gợi cho HS liên tưởng và đi đến các bài toán cực trị: bài toán 1.4, bài toán 1.5; - Xét các trường hợp của bài toán cực trị ta phải giải quyết bài toán dựng hình và đề xuất được bài toán chứng minh các đường đồng qui: chứng minh các đường tròn đồng qui - bài toán 1.6; chứng minh các đường thẳng đồng qui - bài toán 1.7; Tổng hợp các kết quả trên đề xuất được bài toán 1.8 rất thú vị, mà tri thức phương pháp hình thành trong bài toán 1.8 được vận dụng để giải một chuỗi các bài toán tương tự và mở rộng của bài toán 1.8. *) Tri thức phương pháp áp dụng để giải bài toán 1.8 (sử dụng PP tổng hợp hoặc PP biến hình): - Chứng minh các cặp tam giác bằng nhau; - Từ hai tam giác bằng nhau suy ra các yếu tố tương ứng bằng nhau; - Vận dụng tính chất: Trong hai tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau từng đôi một thì góc tương ứng thứ ba của chúng cũng bằng nhau, đi đến đpcm. *) Tri thức PP giải bài toán 1.8 có thể sử dụng để giải các bài toán tương tự và mở rộng từ bài toán 1.8 được đề xuất bằng cách thay đổi điều kiện của bài toán. Bài toán 1.9. Cho tứ giác lồi ABCD, dựng các tam giác đều MAB, NCD thuộc miền ngoài của tứ giác và tam giác đều PBC thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh rằng MP = AC, PN = BD và góc tạo bởi hai đoạn thẳng bằng nhau bằng 600. Bài toán 1.10. Cho 3 điểm thẳng hàng A, B, C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng các tam giác đều MAB, NBC. Chứng minh rằng AN = CM và góc tạo bởi hai đoạn thẳng đó bằng 600. (H 8) Bạch Phương Vinh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 83(07): 133 - 139 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 138 (H 9) Bài toán 1.11. Cho 3 điểm thẳng hàng A, B, C theo thứ tự đó. Dựng tam giác đều MAC, NAB thuộc về hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC. Chứng minh rằng MB = NC và góc tạo bởi 2 đoạn thẳng đó bằng 600. *) Mở rộng các bài toán trên thay việc dựng các tam giác đều thành dựng các hình vuông; sử dụng tri thức PP hình thành ở bài 1.8 chứng minh được hai đoạn thẳng bằng nhau và góc tạo bởi giữa chúng bằng 900. Bài toán 1.12. Cho tam giác ABC. Dựng các hình vuông ABDE, ACFG thuộc miền ngoài tam giác ABC. Chứng minh BG = CE và góc tạo bởi hai đoạn thẳng đó bằng 900. Bài toán 1.13. Cho tam giác ABC. Dựng các hình vuông ABDE, ACFG thuộc miền ngoài tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC; O1, O2 lần lượt là tâm của các hình vuông trên. Chứng minh MO1 = MO2 và góc tạo bởi hai đoạn thẳng đó bằng 900. Sử dụng kết quả bài toán 1.12 cho bài toán 1.13. Áp dụng nhanh chóng PP giải bài toán 1.8 cho bài toán 1.14 là sử dụng kết quả của bài 1.13. Bài toán 1.14. Cho tứ giác lồi ABCD. Dựng các hình vuông ABEF, BHCI, CDPQ, DARS thuộc miền ngoài của tứ giác. Gọi O1, O2 , O3, O4 lần lượt là tâm của các hình vuông trên. Chứng minh O1O2 = O3O4 và góc tạo bởi 2 đoạn thẳng đó bằng 900. Bài toán 1.15. Cho 3 điểm thẳng hàng A,B, C theo thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng các hình vuông ABDE, BCFG. Chứng minh rằng AG = CD và góc tạo bởi hai đoạn thẳng đó bằng 900. Bài toán 1.16. Cho 3 điểm thẳng hàng A,B, C theo thứ đó. Dựng các hình vuông ACDE, ABFG thuộc về hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC. Chứng minh rằng BE = CG và góc tạo bởi hai đoạn thẳng đó bằng 900. Xuất phát từ việc đi tìm lời giải và khai thác phát triển bài toán hình học một cách có hệ thống với những HĐ toán học, GV tạo điều kiện cho HS tự nhìn nhận phân tích bài toán tìm cách giải và đề xuất những bài toán mới, bài toán tương tự, bài toán mở rộng... của bài toán ban đầu, từ bài toán 1.1 đến bài toán 1.16. Đó là cả quá trình HS được rèn luyện các HĐTT chung: phân tích, tổng hợp, tương tự, khái quát hóa... cùng với các HĐTT phổ biến trong toán học: lật ngược vấn đề, phân chia trường hợp và xét tính giải được... thông qua giải các dạng toán hình học ở lớp 9, đã góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ và tư duy sáng tạo cho học sinh. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Hoàng Chúng (1997), PPDH Toán học ở trường phổ thông THCS, Nxb Giáo dục. [2]. Phan Đức Chính, Tôn Thân, Nguyễn Huy Đoan, Phạm Gia Đức, Trương Công Thành, Nguyễn Duy Thuận (2008), Toán 9 – Tập 1 và 2, Nxb Giáo dục. [3]. Vũ Hữu Bình (2008), Nâng cao và phát triển toán 9 – tập 2, Nxb GD. [4]. Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân (1999), Khuyến khích một số hoạt động trí tuệ của HS qua môn Toán ở Trường THCS, Nxb Giáo dục. [5]. Tôn Thân, Phạm Gia Đức, Trương Công Thành, Nguyễn Duy Thuận (2008), Bài tập toán 9 – Tập 2, Nxb Giáo dục. [6]. Vũ Dương Thuỵ, Phạm Gia Đức, Hoàng Ngọc Hưng, Đặng Đình Lăng (1998), Thực hành giải Toán, Nxb Giáo dục. Bạch Phương Vinh Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ 83(07): 133 - 139 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 139 SUMMARY PRACTISING SOME OPERATIONS WITH GENERAL INTELLECTUAL ACTIVITIES IN COMMON INTELLECTUAL MATHEMATICAL GRADE 9 STUDENTS THROUGH EXERCISE PLANE GEOMETRY Bach Phuong Vinh College of Education - TNU Teaching award exercises the plane geometry in grade 9 to fulfill one's duties is subject to the intellectual development of students will have a deeper meaning if the teacher is always an opportunity for students to perform general intellectual activities: analysis, synthesis, similar generalizations, especially... of with intellectual activity common in mathematics: division cases, reverse the problem, considering the resolution is... in the process of students finding the solution and thinking exercises exploit geometry. Key words: intellectual activity, thinking, students, homework geometry, grade 9