Rèn kĩ năng giải hệ PT và hình phẳng Oxy (Phần 1)

.6;11()3;10( −⇒ CA Vậy A(10; 3), B(0; 8), C(-11; 6) và D(-1; 1). Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( )2 23 2 4 1 3 6 2 10 16 4 0 x x y x y x y x x  + + = + +   − + + − + = Lời giải: ĐK: 3y x≥ ( ) ( )3 2 231 1 1 3 3PT x x x y x y⇔ + + + = + + + Xét hàm số: ( ) ( ) ( )3 2, ' 3 1 0f t t t t R f t t t R= + ∈ = + > ∀ ∈ Do đó hàm số đồng biến trên R. Ta có ( ) ( )2 331 3 3 1f x f x y x x y+ = + ⇒ + + = Thay vào PT(2) ta có: ( ) ( )( ) ( )3 2 2 22 2 10 16 4 0 5 2 2 2 1 2 2 2 6 1 0x x x x x x x x x+ + − + = ⇔ − + + + − + − + = ( ) 2 2 2 2 1 56 1 1 15 0 1 2 3 1 0 1 212 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 x y x x x x x x x x x x x x y = ⇒ = + + + ⇔ − + + = ⇔ = ⇔ − + = ⇔  − + − + − + = ⇒ =  Vậy HPT đã cho có 2 nghiệm như trên. B A D C I Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Ví dụ 11. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ cho hình vuông ABCD có K là điểm đối xứng của D qua C. Điểm ( )3;4E nằm trên cạnh AB, đường thẳng d đi qua E vuông góc với DE cắt đường thẳng BK tại ( )6;3F . Tìm tọa độ đỉnh D của hình vuông ABCD. Lời giải: Tam giác DBK vuông cân tại B do có BD BK= và 1 2 BC DK= .Khi đó tứ giác BEDF nội tiếp đường tròn đường kinh DF nên

045DFE DBE= = ( do cùng chắn cung DE) . Do vậy tam giác DEF vuông cân tại D. phương trình DE là: 3 5 0x y− − = . Gọi ( );3 5D t t − ta có: 2 2DE EF= ( ) ( ) ( )2 2 2 23 3 9 10 1 1 0 t t t t t = ⇔ − + − = ⇔ − = ⇔  = Vậy ( ) ( )0; 5 ; 2;1D D− là các điểm cần tìm. BÀI NÀO CÓ GIẢI SAI, TÍNH NHẦM THÌ MONG CÁC EM HẾT SỨC THÔNG CẢM NHÉ!!!! Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( )3 2 4 2 1 3 2 2 13 1 11 15 x y y y x y y y y x  + + = − + +  + + − + − = − Ví dụ 2: Giải bất phương trình ( ) ( ) ( ) 29 12 5 1 3 2 1 x x x x x x − + ≥ ∈ − +
. Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có ABD là tam giác vuông cân nội tiếp đường tròn ( ) ( )2 22 1 9x y− + − = . Hình chiếu vuông góc của các điểm B, D lên AC lần lượt là 22 14 ; , 5 5 H      13 11 ; . 5 5 K      Xác định tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD biết B, D có tung độ dương và 3 2.AD = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có G là trọng tâm tam giác ABD, đường tròn đi qua các điểm B,C và G cắt cạnh CD tại N . Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết điểm N có hoành độ âm, điểm 3 3; 2 2 M      là trung điểm của AD và phương trình đường thẳng : 3 11 0GN x y+ − = . Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( ) ( ) ( )31 3 2 3 3 1x x x x x− + + − ≤ − . Lời giải. Điều kiện 3 2 x ≥ . Bất phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( )1 1 3 2 3 3 1x x x x x x− − + + − ≤ − ( ) ( ) ( ) ( ) 21 1 1 3 2 3 3 3 5 2x x x x x x x x⇔ − − − − + + − − + ≤ − − ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 21 1 1 3 2 3 1 3 5 2 1 2 2 3 2 2 3 1 1 1 2 3 1 1 32 3 1 0 1 1 1 2 3 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − − − + + − − ≤ − − − − + − ⇔ + ≤ − + − + − +   − +  ⇔ − + − + ≥   − + − +   Ta có 1 3 31 3 2 2 3 1, 21 1 2 3 1 x x x x x x x x x − + + < − + + = + < + ∀ ≥ − + − + ( )2 313 1 0 1 1 2 3 1 xx x x x +  − ⇒ + − + >  − + − +  Do đó ( )1 2 0 2x x⇔ − ≥ ⇔ ≥ . Vậy, bất phương trình có nghiệm 2x ≥ . RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 11) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) 3 3 2 2 2 2 2 4 2 4 8 4 3 2 2 2 − − − − + − = + + = + +    +   y y x xy x x x y x y x y x Lời giải Điều kiện: 3 2 2 4 2 4 0 4 2 0 2 2 0 − − ≥  ≥ ≥  + ≥  + + ≥ xy x y x x y y x ( ) ( )2 2(2) 1 2 2 2 1 0⇔ + − + + + + − + =y y x x y x ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 10 2 2 1 0 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 − − − − ⇔ + = ⇔ − − + =   + + + + + + + + + + + + + +  y x y x y x y y x x y x y y x x y x 2 2 1 0⇔ − − =y x (Do 3 4≥ ≥y x ) Thay vào (2) ta được 2 3 32 2 4 8 4 3− + − =x x x x Áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có: ( ) ( )3 3 2 3 23 2 4 4 2 2 8 4 2 2 4   = + − + + − ≥ − + −   x x x x x x x Dấu bằng xảy ra khi 3 2 4 4 2 2 2  = − ⇔ = = − x x x (thỏa mãn) 5 2 ⇔ =y Vậy hệ có nghiệm duy nhất 52; 2       . Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn ( )C , K là trung điểm của cạnh AB, đường thẳng CK cắt đường chéo BD và đường tròn ( )C lần lượt tại 12; 3 E      và ( )2;2F . Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết D thuộc tia Oy. Lời giải: Gọi I là tâm hình chữ nhật ABCD. Dễ thấy E CK BI= ∩ là trọng tâm tam giác ABC. Gọi ( ) ( )0; 0D t t > ta có: ( )0 3 2 3 13 ;1 2 43 3 I I I I x x tID IE I t y y − = − − +   = − ⇔ ⇒    − = − −        Ta có: ( ) ( ) 2 2 1 0;11 7 9 3 1 4 4 4 4 2 t Dt tIF ID R t loai = ⇒ − −    = = ⇔ + = + ⇔     = −     Khi đó ( ) 3 13;0 ; ; 2 2 B I      , phương trình đường thẳng AF là: 2y = khi đó gọi ( );2A u ta có: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1;2 2; 1 . 0 . 3 1 2 0 2 2;2 u A C AD AB u u u A EF loai = ⇒ ⇒ − = ⇔ − − + − − = ⇔  = ⇒ ∈   Đáp số: ( ) ( ) ( ) ( )1;2 ; 3;0 ; 2; 1 ; 0;1A B C D− là các điểm cần tìm. Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 22 2 3 2 2 2 4 2 1 − + = − + − + = +      − y x x y x y x x y x y x Lời giải Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Điều kiện: 1 2 0 2 0  ≥  + ≥  − ≥   x x y x y 2(1) 2 2 − ⇔ + − − = y x x y x y x 2 02 2 2 2 2 2 − = − − ⇔ = ⇔  + + − + + − = y xy x y x x y x y x x y x y x - Nếu ( ) ( )2 2 2 2 0+ + − = ⇔ + + − =x y x y x x x y x y vô nghiệm do 0>x . - Nếu 2 =y x thay vào (2) ta được 23 2 2 2 2 1− + = + −x x x x x ( ) 22 2 1 2 1 2 1 0⇔ − − + − + + − + =x x x x x x x ( ) ( ) ( )2 222 1 1 1 1 0⇔ − − + − + − =x x x x (3) Ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 0 1 0 0  ≥   ≥ − −  − −  ≥  x x x x với 1 2 ≥x Nên (3) 0 2 1 1 11 1 2 1  =  − =  ⇔ = ⇔ = ⇔ =  =   x x x x y x Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) 1; 1; 2 x y  =     . Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB, N thuộc BC sao cho BN = 2NC, MN: x + y – 1 = 0 và D(0; –1). Viết phương trình đường thẳng CD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C của hình vuông biết yM > 0 và 0Ny < . Lời giải: Đặt 6 2AB a NC a= ⇒ = ta có: 3 5DM a= , 2 10DN a= 5MN a= . Khi đó ta có  2 2 2 1 cos 2. . 5 DM MN DNDMN DM MN + − = = . Khi đó  ( ) 10.sin ; 2 DM DMN d D MN DM= ⇒ = . Gọi ( );1M t t− ta có ( ) ( ) 22 3 3 1 ; 2 2 2102 4 1 1 1 ; 2 2 2 t M l t t t M    = ⇒ −   + − = ⇔    = ⇒     Khi đó: 10 2 2 6 DM a= ⇒ = . Gọi ( ) ( );1 1N u u u− > ta có: 2 5 3 DN = ( )22 4 20 32 29 3 u u u u  = ⇔ + − = ⇔   =  +) Với 4 3 u = ta có: 4 1; 3 3 N  −    , gọi K MN CD= ∩ ta có: 7 32 ; 4 4 MN NK K − = ⇒       Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khi đó 7 4: 7 7 0 : 7 9 0 ; 5 5 CD x y BC x y C  − − = ⇒ + − = ⇒ −    Lại có: 6 3 1 22 ; ; 5 5 5 5 CN NB B A   = ⇒ ⇒ −          Vậy 1 2 6 3 7 4; ; ; ; ; 5 5 5 5 5 5 A B C     − −            và : 7 7 0CD x y− − = Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 6 4 8 5 3 2 1 x y x y x y x y x y  − + = + +  + + = + +  − + . Lời giải. Điều kiện 2 1 0x y− + ≠ . Phương trình thứ nhất tương đương với 2 2 1 1 2 1 2 1 x y x y + = + + + . Xét hàm số ( ) 21 ; 02 1f t t tt= + ≠+ thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 244 2 2 2 22 2 2 4 2 14 4 4 4 11 0, 0 2 1 2 1 2 1 t tt t t tf t t t t t + −+ − + ′ = − = = > ∀ ≠ + + + . Suy ra hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực. Thu được ( ) ( )f x f y x y= ⇔ = . Phương trình thứ hai khi đó trở thành ( ) 2 2 2 26 4 8 5 2 3 6 4 8 5 1 2 3 1 x x x x x x x x + + = + ⇔ + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 1 2 3 2 2 3 0 2 1 5 1 2 3 2 2 3 0 x x x x x x x x x ⇔ + + − + + + + = ⇔ + − + + + + = Với 1x ≠ − , đặt ( )21 ; 2 3 0x u x v v+ = + = > thu được ( )( )2 2 22 5 2 0 2 2 0 2 u v u uv v u v u v v u = − + = ⇔ − − = ⇔  = Xét các trường hợp
2 2 2 1 1 2 2 1 8 12 7 2 11 0 x x u v x x x x x ≥ − ≥ −  = ⇔ ⇔  + + = + − + =  (Hệ vô nghiệm).
( )2 2 2 1 1 4 14 4 142 2 3 4 2 1 2 22 8 1 0 x x v u x y x x x x x ≥ − ≥ − − + − + = ⇔ ⇔ ⇒ = ⇒ =  + = + + + + = . Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất 4 14 4 14; 2 2 x y− + − += = . Ví dụ 11. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có H(4; 0) là trực tâm tam giác BCD, 32; 2 I      là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD, điểm B thuộc đường thẳng 3 4 0x y− = , đường thẳng BC đi qua M(5; 0). Tìm tọa độ các đỉnh hình bình hành đã cho, biết B có hoành độ dương và C có hoành độ nguyên. Lời giải: Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Do H là trực tâm tam giác BCD nên DH BC⊥ ⇒ DH AD⊥ , tương tự ta cũng có AB BH⊥ do đó tứ giác ABHD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH, do đó I là trung điểm của AH vậy ( )0;3A Giải hệ ( ) 3 4 0 4;35 2 x y B IA IB − =  ⇒ = = ( vì 0Bx > ) Phương trình đường thẳng BC qua B và M là: : 3 15 0BC x y+ − = . Khi đó gọi ( ) ( )3; 3 15 ; 9 4; 3 15 2 2 t tC t t K D t t − + ⇒ − + ⇒ − − +    Lại có: ( ) ( )2 2 4 5 3 254 2 3 15 532 2 4 10 t loai C IA ID t t t = ≡    = = ⇔ − − + − + − = ⇔   =   Vậy ( ) ( )53 9 13 9; ; ; ; 0;3 ; 4;3 10 10 10 10 C D A B−   −        là điểm cần tìm. BÀI NÀO CÓ GIẢI SAI, TÍNH NHẦM THÌ MONG CÁC EM HẾT SỨC THÔNG CẢM NHÉ! Không nên lên hsmoon kêu ca, Thầy chân thành cảm ơn các em, hic hic Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( )2 23 2 3 2 1 3 2 1 3 3 3 1 3 x y x y x x y x x x x x  + + + + − = + +  + − + − + = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( ) 2 4 3 2 3 2 1 7 1 2 4 2 1 1 4 x x y x x x x y y  − − = −  − + + − = − − Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )C tâm ( )1;2I và trực tâm H thuộc đường thẳng : 4 5 0d x y− − = . Biết đường thẳng AB có phương trình 2 14 0x y+ − = và khoảng cách từ C đến AB bằng 3 5 . Tìm tọa độ điểm C biết rằng hoành độ điểm C nhỏ hơn 2. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )C tâm ( )1;2I . Gọi E và F lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh B và C, phương trình đường thẳng EF là 3 7 0x y− − = , biết tiếp tuyến tại A của đường tròn ( )C đi qua ( )4;1M , trung điểm của AC thuộc trục hoành và điểm C có hoành độ không dương . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( )2 2 33 2 2 47 4 9 9 0 4 4 1 4 0  + + + + + = +  + + + = x y x y x xy y Lời giải Điều kiện: 1≥ −x Nhận thấy 1= −x hay 0=y không thỏa mãn hệ. Với 1≠ −x và 0≠y ta có: ( )2 22 2 2 4 4(2) 4 1 4 1 14 4 − + ⇔ + = − + ⇔ = ⇔ − = + ++ + y yx x x xy y x xy y y y 2 2 411 1 4 + ⇔ + − = − + + yy x yx y (3) Xét hàm số ( ) 1= −f t t t trên
có ( ) 211 0′ = + > ∀ ∈
f t tt Suy ra ( )f t đồng biến trên
nên ( ) 2 2(3) 1 14 4   ⇔ + = ⇔ + =   + +  y yf x f x y y 2 2 41 1 44 4 0  + = − +⇔ ⇔ − = +  ≥ x y y x y thay vào (1) ta được 3 3 3 3 32 17 4 9 9 0 9 9 4 7 9 9 0 3 3 − − + + = ⇔ − + + − − + =x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 222 3 33 3 3 3 14 7 9 9 27 02 4 7 4 7 9 9 9 99 9 9 9 8 27 3 9 9 − − + ⇔ + = − + − + + ++ + + + − + x x x x x xx x x x x x RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 12) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 222 3 33 3 2 3 02 4 7 4 7 9 9 9 99 9 9 9 3 1 112 3 6 4 2 3 3⇔ + = − + − + + ++ − + + + + − + x x x x x x xx x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 222 3 33 33 2 2 02 4 7 4 7 9 9 1 111 3 9 99 9 9 9 3 3     ⇔ − + =  − + − + + ++ + + +    + + x x x x xx x x x x 22 4 2⇔ = ⇔ + = −x y vô nghiệm. Vậy hệ vô nghiệm. Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( )2 23 3 1 5 14 3x x x x x x− + − ≤ − + ∈R Lời giải Điều kiện: ( ) 2 3 0 1 0 3 5 14 3 0 x x x x x x − ≥  − ≥ ⇔ ≥  − + ≥ Bình phương hai vế của bất phương trình, chúng ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 3 1 9 1 5 14 3 6 3 1 4 20 12 3 4 3 2 10 6 2 4 3 2 3 3 0 4 3 2 2 4 3 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − − + − ≤ − + ⇔ − − ≤ − + ⇔ − + ≤ − + ⇔ − + − − − − ≥ ⇔ − + − − + + ≥ ∗ Với điều kiện 23 2 4 3 0x x x x≥ ⇒ − + + > do đó bất phương trình ( )∗ tương đương: 2 2 22 3 3 3 4 3 2 0 4 13 4 3 4 8 3 04 3 2 x x x x x x x x x x x xx x x ≥ ≥ ≥  − + − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥ +   − + ≥ − + ≥ − + ≥   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là )4 13;T = + +∞ . Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn tâm A có phương trình ( ) ( ) ( )2 2: 1 2 25C x y− + + = và điểm ( )1;3B , gọi D là một điểm chạy trên đường tròn (C) và C là điểm sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ các đỉểm C,D biết trọng tâm G của tam giác BCD thuộc đường thẳng : 1 0d x y− + = . Lời giải: Do ABCD là hình bình hành có AB AD R= = nên ABCD là hình thoi. Ta có tâm ( )1; 2A − . Gọi ( ); 1G t t + , gọi I là tâm của hình thoi, do G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có 4 3 AG AI=   . Do vậy ( ) ( ) ( ) ( ) 4 41 1 1 1 3 3 4 42 2 1 2 2 3 3 G I I G I I x x t x y y t y   − = − − = −   ⇔   + = + + + = +    Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! 3 1 3 1 ; 4 4 t tI + + ⇒     . Mặt khác IAB∆ vuông tại I nên ta có: . 0IA IB =   Ta có: ( ) ( )( )23 3 3 9 3 3 3 11; ; ; 3 3 3 9 3 11 0 4 2 4 4 t t t tAI BI t t t− + − −   = = ⇒ − + + − =          ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 53 3;4 ; ; 4;7 4;2 2 2 18 24 90 0 5 5 8 3 3 ; ; ; 2;5 2;0 3 3 3 2 2 t G I C D t t t G I C D    = ⇒ ⇒ ⇒   ⇔ − − = ⇔      = ⇒ ⇒ ⇒         Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 3 2 2 5 2 3 6 3 7, ; 2 1 2 1 4 3 . x y x x x y x y x y x x x y  + − + − + + = ∈ + + + = − + +
. Lời giải. Điều kiện 12; 2 x y x+ ≥ ≥ . Phương trình thứ hai của hệ tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 2 2 1 2 3 2 2 1 113 2 2 1 13 2 1 2 1 x y x y x x x x y x y x x x x x xx x y x y x x x x x x y x y x x x x x + − − + = − + − ⇔ + − + + = − − + − − − ⇔ + − + + = + − + +   ⇔ + − + + = − +  − + +  Xét hàm số ( ) ( )2 3 2; 2 2 3 0, 2f t t t t f t t t′= − + ≥ ⇒ = − > ∀ ≥ . Hàm số liên tục và đồng biến trên miền đang xét dẫn đến ( ) ( )2 0f t f≥ = . Bên cạnh đó 1 10, 1 0 1 22 1 x x x x x x x x + > ∀ ≥ ⇒ − ≥ ⇔ ≥ − + + . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( ) ( )33 25 2 3 3 1 3 3 6 5 2 3 1 6x y x x x x y x y x y x+ − + − + − + + = ⇔ + − + + + − = . Dễ thấy ( )31 0, 1x x− ≥ ∀ ≥ và hàm ( ) 5 2 3 ; 2g t t t t x y= − + = + ≥ đồng biến, liên tục. Do đó ( ) ( ) ( ) ( )35 2 3 2 6 5 2 3 1 6g t t t g x y x y x= − + ≥ = ⇒ + − + + + − ≥ . Phương trình có nghiệm khi 2 1 1 0 x y x y x + = ⇔ = = − = (Thỏa mãn hệ ban đầu). Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB, N thuộc BC sao cho BN = 2NC, DM: x + y – 1 = 0 và ( )0; 1N − . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D của hình vuông biết 0My > Lời giải: Đặt 6 2AB a NC a= ⇒ = ta có: 3 5DM a= , 2 10DN a= 5MN a= . Khi đó ta có:  2 2 2 1 cos 2. . 2 DN DM MNMDN DN DM + − = = . Khi đó ( )0.sin 45 ; 2DN d N DM DN= ⇒ = . Gọi ( );1D t t− ta có: ( ) ( )22 2 2 1 1;0t t t D+ − = ⇔ = ⇒ Khi đó 5 10 MN = , gọi ( );1M u u− ta có: ( ) ( ) 22 3 1 ; 2 252 2 1 1 ; 2 2 M loai u u M    −   + − = ⇒         Gọi K MN CD= ∩ ta có: 1 72 ; 4 4 MN NK K  = ⇒ − −      Khi đó 7 42: 7 5 7 0 : 5 7 7 0 ; 37 37 CD x y BC x y C  − − = ⇒ + + = ⇒ −    Lại có 6 27 24 152 ; ; 37 37 37 37 CN NB B A   = ⇒ − − ⇒ −          Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 3 1 3 43 1 1 9 2 7 2 2 2 3− + + + + = − + +   + + = +y x x y y y x x y y Lời giải Điều kiện: 1 2 9 > −   ≥ x y 21 1(1) 1 3 1 3 1 ⇔ + − + − = − − + x x y y yx Xét ( ) 2 13= − −f t t t t trên ( )0;+∞ có ( ) ( )2 2 21 1 12 3 3 3 . . 3 0 0;′ = − + = + + − ≥ − = ∀ ∈ +∞f t t t t t t tt t t Suy ra hàm số đồng biến trên ( )0;+∞ . Nên ( ) ( )(3) 1 1⇔ + = ⇔ + =f x f y x y Thay vào (2) ta được 239 2 7 2 5 2 3− + + − = +y y y y 232 9 2 1 7 2 5 0⇔ + − − + + − + − =y y y y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 2 22 2 23 3 1 7 2 52 9 2 0 2 9 2 1 1 7 2 5 7 2 5 + − + −+ − − ⇔ + = + + − + + + + − + + − y y yy y y y y y y y y y Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 23 3 2 3 1 2 3 0 2 9 2 1 1 7 2 5 7 2 5 − − + − − ⇔ + = + + − + + + + − + + − y y y y y y y y y y y y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 23 3 2 2 3 0 32 9 2 1 1 7 2 5 1 7 2 5 1   = ⇔ − − + = ⇔   =+ + − + + + + − + + −   +  y y y yy y y y y y y y y Với 2 3= ⇒ =y x . Với 3 8= ⇒ =y x Vậy hệ có nghiệm ( ) ( ) ( ){ }, 3;2 , 8;3=x y . Ví dụ 11. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có ( )3;1−A và điểm C thuộc đường thẳng : 2 5 0− − =d x y . Gọi E là giao điểm thứ hai của CD và đường tròn tâm B bán kính BD, ( )≠E D . Hình chiếu vuông góc của D lên đường thăng BE là điểm ( )6; 2−N . Tìm tọa độ các đỉnh B và C. Lời giải: Gọi ( )2 5;C t t+ ta có tâm hình chữ nhật là 11; 2 tI t + +    . Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 25 15 4 2 2 t tIN IA t t+ −   = ⇔ − + = + +        ( ) ( )1 7;1 ; 2;1t C I⇔ = ⇒ Ta có BD BE R= = , mặt khác BC CD⊥ nên D và E đối xứng nhau qua BC. Dễ thấy / /AC BE DN AC⇒ ⊥ tại K khi đí CK là đường trung bình của tam giác NED hay D và N đối xứng nhau qua AC: 1y = Khi đó ( ) ( )6;4 2; 2D B⇒ − − Đ/s: ( ) ( )2; 2 , 7;1− −B C là các điểm cần tìm. Ví dụ 12. [Tham khảo]: Giải bất phương trình 2 21 5 6 4 11 6x x x x x− + + + < + − . Lời giải. Điều kiện 2 2 1 5 6 1 1 4 11 6 0 x x x x x x ≥  + + ≥ ⇔ ≥  + − ≥ . Bất phương trình đã cho tương đương với ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 5 6 2 1 2 3 4 11 6 2 1 3 . 2 3 5 11 2 2 3. 2 3 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + + + + − + + < + − ⇔ − + + < + − ⇔ + − + < + − − + ∗ Đặt ( )2 2 3 ; 2 0; 0x x a x b a b+ − = + = ≥ > thì (*) trở thành ( ) ( )2 2 2 2 1 21 22 3 3 0 2 3 2 5 0 1 21 2 x ab a b a b a b a b x x x x x x  + >  ⇔ > ⇔ + − > + ⇔ − − > ⇔  − >  Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Kết hợp điều kiện ta thu được tập hợp nghiệm 21 1; 2 S  + = +∞     . Thầy Đặng Việt Hùng đz Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( )( )2 3 2 2 1 3 2 1 2 11 20 4 5 13 x x x x y x x x y y  − = − + − −  − + + − + = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 23 2 2 3 5 2 1 3 5 2 3 2 5 y x x y x y x x  − = − +  + − + + = − + Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có ( )2; 1A − − , trực tâm ( )2;1 , 2 5.H BC = Gọi D, E lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C của tam giác lên các cạnh AC, AB. Viết phương trình BC biết rằng trung điểm M của BC thuộc đường thẳng : 2 1 0d x y− − = , tung độ của M dương và DE đi qua điểm ( )3; 4N − . Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A có trọng tâm 5 10; 3 3 G      , đường tròn ( )C đi qua A và tiếp xúc với cạnh BC tại B có tâm ( )0;3I . Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng AB đi qua ( )1; 1E − , điểm C thuộc đường thẳng 2 2 0x y− − = và có hoành độ nguyên, điểm A có Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( )3 2 25 18 89 17x x x x x− − + ≥ − ∈
. Lời giải. Điều kiện 17 17x− ≤ ≤ . Bất phương trình đã cho tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2 5 18 88 1 17 0 164 22 0 1 17 44 22 0 1 1 17 x x x x x x x x x x x x x x − − + + − − ≥ − ⇔ − − − + ≥ + −  + ⇔ − + − − ≥  + −  Nhận xét ( )2 222 17 5 0, 17; 17x x x x x  + − = − + + > ∀ ∈ −  nên xét hai trường hợp • Nếu 2 2 44 0 4 0;22 0 1 17 x x x x x x + + + − , (1) vô nghiệm. • Nếu ( )2 2 2 44 0 22 17 5 5 4 1 17 x x x x x x x x x + + ≥ ⇒ + − = − + + ≥ + > + ≥ + − . Suy ra 2 2 422 0 1 17 x x x x + + − − > + − . Do đó ( )1 4 0 4x x⇔ − ≥ ⇔ ≥ . Kết hợp với điều kiện thu được nghiệm 4 17x≤ ≤ . Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( ) ( ) ( )2 32 1 3 2 7 1 6 3x x x x x x− − + + > + ∈
. Lời giải. Điều kiện 2 1 3 2 x x≥ ∨ ≤ . Bất phương trình đã cho tương đương với RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 13) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 2 2 2 2 2 1 3 2 1 6 7 3 2 6 7 1 1 6 2 2 1 3 2 1 6 11 6 2 0 1 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − > − + − − + ⇔ > − − + − − +   −  ⇔ − − + − <  − − +  Nhận định 26 2 0,x x x− + > ∀ ∈
nên kết hợp với điều kiện xác định ta có
Nếu ( ) ( ) 2 6 16 1 0 6 2 0; 1 0 2 1 3 2 1 x x x x x x x − − − < − − + , (1) nghiệm đúng.
Nếu ( )( ) ( ) ( ) 26 16 1 0 6 1 6 2 1 3 2 6 2 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x x − − ≥ ⇒ < − < + − − = − + − − + . Suy ra ta có ( )( ) 2 6 16 2 0 2 1 3 2 1 x x x x x − − + − > − − + , đi đến ( )1 1 0 1x x⇔ − < ⇔ < hay 1 1 6 x≤ < . Kết hợp điều kiện ta thu được nghiệm 1 2; ;1 2 3 S    = −∞ ∪      . Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hinh vuông ABCD với điểm N(1; 2) là trung điểm của BC, : 5 1 0− + =d x y là đường trung tuyến xuất phát từ A của tam giác ADN. Tìm tọa độ đỉnh A của hình vuông ABCD. Lời giải: Đặt 2AB a= ta có: BN CN a= = , tam giác ABN vuông tại B suy ra 2 2 2 25 5 5AN AB BN a AN a DN a= + = ⇒ = ⇒ = . Tam giác AND có AM là đường trung tuyến Ta có: 2 2 2 2 2 13 2 4 4 AN AD DN aAM += − = Khi đó  2 2 2 7 cos 2. . 65 AN AM MNMAN AM AN + − = = . Khi đó ( )  10; sin 2 d N AM AN MAN AN= ⇒ = Gọi ( ) ( ) ( )2 22 1 1 7 ; 2 2 25 ;5 1 1 5 1 2 1 1 21 ; 26 26 26 t A A t t AN t t t A    = ⇒    + ⇒ = − + − = ⇒  − −  = ⇒     Vậy 1 7 1 21; ; ; 2 2 26 26 A A   −        là các điểm cần tìm. Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( ) ( )2 21 1 2 ( ).x x x x x x+ − > + ∈
Lời giải: ĐK: 0 1x≤ ≤ (*). Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khi đó ( ) ( ) ( )21 1 1 2 0x x x x x x⇔ − − + − − > ( ) ( ) ( )( )22 23 1 2 2 11 2 1 21 4 0 0 1 1 2 1 2 1 x x xx x x xx x x x x x x x x x x x − + + − − − − − ⇔ + > ⇔ + > − + − + + − + − ( ) 2 22 11 2 0 1 2 1 x x x x x x x x x  + + ⇔ − + + >  + − + −  (2) Với 2 22 10 1 0. 1 2 1 x x x x x x x x x + +≤ ≤ ⇒ + > + − + − Do đó ( ) 12 1 2 0 . 2 x x⇔ − > ⇔ < Kết hợp với (*) ta được 10 2 x≤ < thỏa mãn. Vậy (1) có nghiệm là 10; . 2 T  =   Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn ( ) 2 2 32: ( 5) ( 6) 5 − + − =T x y . Biết rằng các đường thẳng AC và AB lần lượt đi qua các điểm M(7;8) và ( )6;9N . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD. Lời giải: Đường tròn ( )T tâm ( )5;6I là tâm hình thoi và bán kính 4 2 5 R = . Khi đó PT đường thẳng : 1 0AC x y− + = . Khi đó ta có : 11 0BD x y+ − = . Gọi ( );ABn a b=  ta có: ( ) ( ): 7 8 0AB a x b y− + − = Ta có: ( ) 2 2 2 2 ; a b d I AB R a b + = = + ( ) ( )2 2 285a b a b⇔ + = + ( )( )3 3 0a b a b⇔ − − = • Với 3a b= chọn ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3;1 :3 29 0 7;8 ; 9;2 3;4 ; 1;10= ⇒ + − = ⇒ ⇒ABn AB x y A B C D • Với 3a b= chọn ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1;3 : 3 31 0 3;4 ; 1;10 7;8 ; 9;2= ⇒ + − = ⇒ ⇒ABn AB x y A B C D Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( )2 23 4 2 3 5 2 27 98 29x x x x x x− ≥ − + − − + ∈
. Lời giải. Điều kiện 2 2 27 98 29 0 3 5 2 0 4 4 x x x x x x  − + ≥  − + ≥ ⇔ ≥  ≥  . Bất phương trình đã cho tương đương với ( )2 227 98 29 2 3 5 2 3 4 1x x x x x− + ≥ − + − − . Nhận xét: 2 2 2 12 29 444 2 3 5 2 3 4 0 2 3 5 2 3 4 x x x x x x x x x − +≥ ⇒ − + − − = > − + − − . Khi đó Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 27 98 29 4 3 5 2 9 36 12 3 2 1 4 15 87 57 12 3 2 4 . 1 0 5 3 14 8 12 3 14 8. 1 17 1 0 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + ≥ − + + − − − − − ⇔ − + + − − − ≥ ⇔ − + + − + − − − ≥ Đặt ( )23 14 8 ; 1 0; 0x x u x v u v− + = − = > > thì (2) trở thành ( ) ( )2 2 2 2 2 5 12 17 0 5 17 0 3 14 8 1 5 13 5 133 15 9 0 5 3 0 2 2 u uv v u v u v u v x x x x x x x x x + − ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ ⇔ − + ≥ − + − ⇔ − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ ∨ ≥ Kết hợp điều kiện ta có tập hợp nghiệm 5 13 ; 2 S  + = +∞     . Ví dụ 11. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có 2 đáy 3AD BC= , phương trình cạnh AD là 8 0x y− + = , biết trung điểm canh AB là ( )0;5E đường thẳng CD đi qua điểm ( )2;3P và diện tích hình thang ABCD bằng 12. Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD biết D có hoành độ dương. Lời giải: Gọi h là chiều cao hình thang ta có: ( )2 ; 3 2h d E AD= = Khi đó ta có: 4. .3 2 12 2 2ABCD AD BC BCS h+= = = Do vậy 2BC = , gọi F là trung điểm cạnh CD ta có EF là đường trung bình của hình thang PT : : 5 0EF x y− + = . Suy ra 2 2 2 2 BC ABEF BC+= = = . Gọi ( ); 5F t t + ta có: 2 22 8 2EF t t= = ⇔ = ± Với ( )2 2;3t F= − ⇒ − khi đó ( ) ( ): 3 5;3CD y D loai= ⇒ − Với ( ) ( ) ( )2 2;7 : 2 2;10 2;4 : 2 0t F CD x D C BC x y= ⇒ ⇒ = ⇒ ⇒ ⇔ − + = Gọi I AB CD= ∩ theo Talet ta có: ( ) ( ) 21 3 2;1 10 3 23 I I I xIC ID IC I y yID = = ⇒ = ⇔ ⇒ − = −   Phương trình đường thẳng AB là: ( ) ( )2 5 0 1;3 ; 1;7x y B A+ − = ⇒ − Vậy ( ) ( ) ( ) ( )1;3 ; 1;7 ; 2;4 ; 2;10B A C D− là các điểm cần tìm Ví dụ 12. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) 3 2 2 2 4 4 , 2 3 5 4. x x y y x x x x y x  + − + = +  − + − = − Lời giải. Điều kiện ( )2 3 0; 5x x y− ≥ ≤ . Dễ thấy hệ có nghiệm thì 2 4 0x − ≥ . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( )( ) 23 2 2 2 14 4 0 4 1 0 4 4 x x x x y y x x y x y x x y  = − + − − + = ⇔ + − − = ⇔ ⇒ = − + = . Phương trình thứ hai trở thành Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 5 4 2 3 3 1 2 9 3 2 3 9 2 6 2 3 23 3 3 11 22 3 3 1 22 3 3 x x y x x x x x x x x x xx x xxx x xx x   − + − = − ⇔ − − + + − = −   = − − −  +⇔ + = − + ⇔  + = ++ + − +  + + − + Do ( ) 2 3 2 2 3 1 3, 1 31 22 3 3 x x x x xx x + + + < + < + ∀ ≥ − + + − + nên (1) vô nghiệm. Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm duy nhất 3x = , hệ có nghiệm 3; 1x y= = . Ví dụ 13. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) 6 2 2 3 3 3 3 3 3 3 , ; 2 1 3 6 2 7. x x y x y xy x y y x x y y  + = + ∈ − + + = + +
. Lời giải. Điều kiện 1 2 y ≥ . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( ) 32 2 33 3 1x x x x y y     + = +        . Xét hàm số ( ) ( )3 23 ; 3 3 0,f t t t t f t t t′= + ∈ ⇒ = + > ∀ ∈

. Hàm số trên liên tục và đồng biến trên
nên ( ) ( ) 2 1 xf f x x y y   ⇔ = ⇔ =    . Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 1 5 7 2 1 1 5 6 0 2 1 1 1 6 0 2 2 21 6 0 1 6 0 2 2 1 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + + = ⇔ − − + + − = ⇔ − − + − + + = −   ⇔ + − + + = ⇔ − + + + =  − + − +  Để ý rằng 2 22 2 1 23 16 0, 2 4 22 1 1 2 1 1 x x x x x x   + + + = + + + > ∀ ≥  − + − +   nên ( )2 1 0 1 1x x y⇔ − = ⇔ = ⇒ = . Kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( ) ( ); 1;1x y = . Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ( )( ) 2 2 23 1 1 4 11 2 2 2 2 2 4 yx x y y x y x  + = −+ +  − + − − = Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 23 4 1 4 3 1 2 1 6 17 x y x y y x x y x x y  + + − + = − +   − − + = + − Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trực tâm ( )2;1 ,H tâm đường tròn ngoại tiếp là ( )1;0I . Trung điểm M của BC thuộc đường thẳng : 2 1 0d x y− − = . Tìm tọa độ các điểm B, C biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC đi qua điểm ( )6; 1N − và điểm B có hoành độ nhỏ hơn 4. Đ/s : ( ) ( )2 3 4 1B ; ,C ;− Vi dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )C đường kính BC, phân giác góc
ABC cắt đường thẳng AC và đường tròn ( )C lần lượt tại 2 điểm 7 5; 2 2 H      và D ( D B≠ ), biết đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm ( )3;1K và điểm C thuộc đường thẳng 2 1 0x y− + = và có hoành độ nguyên. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn ( )C Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải bất phương trình 22 2 3 2 ( ).x x x x x+ + − − ≤ − ∈ Lời giải: ĐK: 2 3 x ≥ (*). Khi đó ( ) 21 2 3 2 2 0x x x x⇔ + − − + − − ≤ ( )( ) ( )( ) ( )2 22 3 2 1 2 0 1 2 0 2 3 2 2 3 2 xx x x x x x x x x x −+ − + ⇔ + + − ≤ ⇔ + − − ≤ + + − + + − ( ) 22 1 0 2 3 2 x x x x   ⇔ − + − ≤  + + −  (2) Với 2 2 2 2 10 3 61 1 0. 3 3 62 3 2 2 2 0 3 x x x x −≥ ⇒ + − ≥ + − = > + + − + + Do đó ( )2 2 0 2.x x⇔ − ≤ ⇔ ≤ Kết hợp với (*) ta được 2 2 3 x≤ ≤ thỏa mãn. Vậy (1) có nghiệm là 2 ;2 . 3 T  =    Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( ) ( )( )224 1 2 10 1 2 3 ( ).x x x x+ < + − + ∈ Lời giải: RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 14) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! ĐK: 3 2 x ≥ − (*). Khi đó ( ) ( ) ( )( )( ) 2 2 2 2 10 1 2 3 1 4 1 1 2 3 x x x x + − − ⇔ + < + + ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 8 5 1 4 1 1 1 2 3 2 1 5 1 2 3 x x x x x x x x + + ⇔ + < ⇔ + + + < + + + + ( ) ( )2 1 0 1 1 2 3 2 5 2 4 2 2 3 2 10 x x x x x x x + ≠ ≠ −  ⇔ ⇔  + + < + + + + < + 11 1 30 2 3 9 32 3 3 2 x x x x xx ≠ −≠ − ≠ −  ⇔ ⇔ ⇔  ≤ + < − ≤ <+ <   Kết hợp với (*) ta được 1x ≠ − và 3 3 2 x− ≤ < thỏa mãn. Vậy (1) có nghiệm là { }3 ;3 \ 1 . 2 T  = − −  Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có 2AD AB= , điểm ( )4; 2A − − , đường phân giác góc
ABC có phương trình là : 2 0d x y+ = , biết đường thẳng CD đi qua điểm ( )3; 6K − . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD. Lời giải : Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD khi đó ABMN là hình thoi BN là phân giác góc ABC. Gọi E AM CD M= ∩ ⇒ là trung điểm của AE. Phương trình ( ) ( ) ( ): 2 0 0;0 4;2 12;6AE x y I M E− = ⇒ ⇒ ⇒ Phương trình : 4 3 30 0CD x y− − = , : 2 10 0MD x y+ − = Suy ra ( )6; 2D − , C là trung điểm của ED nên ( )9;2C Từ đo ta có: ( )1;2B − Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 2 2 3 5 2 3 4 9 2 1 2 x x y y y x x y x y y x y x x y  − + − = +  + + − + − − − + = Lời giải: Điều kiện: ( ) ( ) 2 0 2 4 0 5 2 0, 2 1 0 0, 0 x x y y y x y x x y − ≥  − ≥  − ≥ − ≥  ≥ ≥ Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 4 4 4 2 2 2 4 x x y y y x x x y y y x x y x y y x x y x y xy x xy y x y x y x y y x − + − = − + − ≤ + − + − = + ⇒ = ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = − − Với 2x y= thay vào phương trình (2) ta ta có: Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! ( ) ( ) ( ) ( )2 3 5 9 2 1 2 3 5 9 2 1 0 (*)x x x x x x x x x x+ − + − − + = ⇔ + − + − − = Đặt 5 , 2 1a x b x= − = − phương trình (*) trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 24 4 0 4 4 0 4 0 4 4 b a a b ab a a b b a b ab b a b a b a ab ab + − + = ⇔ + − − = = ⇔ − − − = ⇔ − − ⇔  = +) Với 5 2 1 5 2 1 2 1a b x x x x x y= ⇒ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇒ = +) Với ( )( )4 5 2 1 4 (**)ab x x= ⇒ − − = Ta có ( )( ) ( ) ( ) ( )1 95 2 1 10 2 2 1 4 ** 2 2 2 x x x x VN− − = − − ≤ < ⇒ Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ) ( ); 2;1x y = Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) ( ) ( )2 2 25: 1 2 2 + + − =C x y . Lập phương trình cấc đường thẳng chứa cạnh của hình vuông ABCD, biết rằng các cạnh của hình vuông tiếp xúc với đường tròn tại trung điểm mỗi cạnh, và một đỉnh của hình vuông thuộc đường thẳng : 3 4 20 0.+ + =d x y Lời giải: Giả sử A thuộc : 3 4 20 0d x y+ + = , gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD . Dễ thấy AMIN là hình vuông, khi đó 2 2 5IA IM R= = = . Gọi 3 20; 4 tA t − −     ta có: ( ) 2 22 3 201 2 25 4 4 tIA t t− − = + + − = ⇔ = −    Khi đó ( ) ( )4; 2 2;6 :3 4 5 0A C BD x y− − ⇒ ⇒ + − = . Khi đó toạ độ B,D là nghiệm của HPT: ( ) ( )2 2 3 4 5 0 1 2 25 x y x y + − =  + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) 5;5 ; 3; 15; 5 3; 1 3; 1 ; 5; 5 B Dx y x y B D − −= − = ⇔ ⇒  = = − − −  Từ đó suy ra phương trình các cạnh của hình vuông là: 7 30 0; 7 20 0;x y x y+ + = + − = 7 10; 7 40 0x y x y− − − + = là các đường thẳng cần tìm. Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) ( )( )2 6 3 3 8 3 9 8 24 417 2 1 4 16 x y xy y y y x x x y y y y  + + + = + +  − + − + = + − + + Lời giải: ĐK: 21; 3 0; 8 24 417 0y xy y x x y≥ + ≥ − + − + ≥ (*) Khi đó ( ) ( ) ( )1 6 3 . . 3 8 3 9 .x y y x y y x⇔ + + + = + + Đặt 3 0; 1x a y b+ = ≥ = ≥ ⇒ (1) trở thành ( ) ( )2 2 2 2 26 8 3a b ab b b a+ = + Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! ( ) ( )( )3 2 3 2 2 26 8 3 0 2 4 0b a ab b a b b a b a ab b⇔ + − − = ⇔ − − + = (3) Với 1b ≥ có 2 2 2 2 154 0. 2 4 b b a ab b a − + = − + >    Do đó ( )3 2 0 2a b a b⇔ − = ⇔ = 3 2 3 4 4 3.x y x y x y⇒ + = ⇒ + = ⇔ = − Thế vào (2) ta được ( ) ( ) ( )24 3 8 4 3 24 417 2 1 4 16y y y y y y− − + − − + = + − + + ( )216 32 384 2 1 4 16y y y y y⇔ − + + = + − + + ( )24 2 24 2 1 4 16y y y y y⇔ − + + = + − + + ( ) ( ) ( )4 4 6 2 1 4 16y y y y y⇔ + − = + − + + ( )4 4. 6 2 1 4 16y y y y y⇔ + − = + − + + Áp dụng BĐT Cô-si ta có ( ) ( )4 64 4. 6 4. 20. 2 y y y y + + − + − ≤ = Với ( )1 2 1 4 16 0 4 16 20.y y y y≥ ⇒ + − + + ≥ + + = Do đó ( )4 4. 6 2 1 4 16.y y y y y+ − ≤ + − + + Dấu " "= xảy ra 1 4.1 3 1.y x⇔ = ⇒ = − = Thử lại 1x y= = thỏa mãn hệ đã cho. Đ/s: ( ) ( ); 1;1 .x y = Ví dụ 11. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có ( )3;4B , đỉnh A thuộc đường thẳng : 5 0+ − =d x y . Gọi (T) là đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với các cạnh AB, AC, BC lần lượt tại D, E, F. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK, biết ( )2; 3−K là giao điểm của BI và EF. Lời giải: Ta có:
   0 0180 90 2 2 2 A B CBIA = − − = + Lại có:
 2 CIEF = (cùng phụ với
CIE ). Do vậy

090 2 CAEK BIA= + = . Từ đó suy ra tứ giác AEKI nội tiếp do vây

090AKI AEI= = ( cùng chắn cung AI) hay ( ): 7 19 0 9; 4AK BK AK x y A⊥ ⇒ + + = ⇒ − . Do tam giác ABK vuông tại K nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm ( )6;0M của AB và bán kính 1 5 2 R AB= = . Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK là ( )2 26 25x y− + = . Ví dụ 12. [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( ) 2 22 2 2 1 ( ).x x x x x x+ − + > + − ∈ Lời giải: ĐK: ( )22 2 2 0 1 1 0x x x x− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ∈ (*) Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Khi đó ( ) ( )2 21 1 2 2 2 0x x x x x⇔ + − − + − + < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 7 3 2 2 2 2 0 2 7 2 3 2 2 0x x x x x x x x x x x⇔ − − + + − + − + < ⇔ − − + + − − + < ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 2 2 7 2 7 0 2 7 0 3 2 2 3 2 2 x x x x x x x x x x x x x x + − + − + − − ⇔ − − + < ⇔ − − − < + − + + − + ( ) ( )( )2 2 22 22 7 1 0 2 7 2 2 1 03 2 2xx x x x x x xx x +⇔ − − − < ⇔ − − − + + − < + − +  (2) Với x∀ ∈ có ( ) ( ) ( )2 22 22 2 1 1 1 1 1 2 2 1 0.x x x x x x x x x− + = − + > − = − ≥ − − ⇒ − + + − > Do đó ( ) 22 2 7 0 1 2 2 1 2 2.x x x⇔ − − < ⇔ − < < + Vậy (1) có nghiệm là ( )1 2 2;1 2 2 .T = − + Ví dụ 13. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm ( )9;5B , trên cạnh AD lấy điểm M, đường thẳng vuông góc với BM cắt đường thẳng CD tại N, phân giác trong góc
MBN cắt cạnh CD tại E, biết phương trình đường thẳng : 7 38 0ME x y+ − = , điểm D thuộc đường thẳng 2 1 0x y− − = và có hoành độ nguyên. Tìm toạ độ các đỉnh A, C, D. Lời giải: Ta có:

ABM CBN= ( cùng phụ với góc
MBC ) Do vậy ABM CBN BM BN∆ = ∆ ⇒ = . Khi đó MBE NBE BH BC∆ = ∆ ⇒ = (2 đường cao tương ứng của 2 tam giác bằng nhau ). Do vậy ( ); 3 2 6BC d B ME BD= = ⇒ = . Gọi ( ) ( ) ( )2 22;2 1 9 2 6 36D t t BD t t− ⇒ = − + − = ( ) ( ) 3 3;5 : 5 27 27 49 ; 5 5 5 t D BD y t D loai = ⇒ ⇒ = ⇔   = ⇒     Khi đó ( ): 6 6;5AC x I= ⇒ là tâm hình vuông khi đó ( ) ( )6;2 ; 6;8A C hoặc ngược lại. Vậy ( ) ( ) ( )3;5 ; 6;2 ; 6;8D A C hoặc ( ) ( ) ( )3;5 ; 6;8 ; 6;2D A C là các điểm cần tìm. Ví dụ 14. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 17 3 2 63 14 18 2 9 12 34 2 13 3 17 6 x x x x y y x x x y y y  − = + + − −   + + + = + − − . Lời giải. Điều kiện 170 ; 0;63 14 18 0 6 y x x y≤ ≤ ≥ − − ≥ . Phương trình thứ hai của hệ tương đương với ( ) ( )3 22 9 17 6 17 6 2 17 6 9 17 6x x x y y y y+ + = − − + − + − . Xét hàm số ( ) ( ) ( )23 2 2 22 9 3 4 9 2 2 5 0,f t t t t f t t t t t t′= + + ⇒ = + + = + + + > ∀ ∈ . Suy ra hàm số này liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực  . Hơn nữa ( ) ( ) 2 17 617 6 17 6 0x yf x f y x y x = −= − ⇔ = − ⇔  ≥ Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Phương trình thứ nhất của hệ lúc đó trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 6 3 2 63 14 3 17 6 3 2 3 14 12 3 2 2 3 4 4 2 3 2 2 3 2 2 y x x x x x x x x y x x x x x x x x x = + + − + − ⇔ = + + − + − − = − + − ⇔ − − = − − Đặt ( )2 ; 0x u x v v− = = ≥ thu được ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 3 0 3 2 3 2 9 6 12 8 3 0 3 03 0 3 02 3 0 3 u v u v u v u uv v u v u v u vu v u v u v u vu uv v u v − ≥ − = − ⇔  − + = − − ≥ − ≥− ≥    ⇔ ⇔ ⇔ =   − + =+ − =     = − • ( ) ( ) 0 20 23 0 0; 0 1 1 2 02 xxu v u v x x xu v u v x x ≤ ≤≤ ≤− ≥ ≥ ≥    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =    − + == = − =    . • 3 0 10 0 0 0 0 3 3 3 0 2 u v v v v x u v u v u v u x − ≥ − ≥ ≤ = =     ⇔ ⇔ ⇒ ⇔     = − = − = − = =     (Hệ vô nghiệm). Từ đây đi đến kết luận hệ có nghiệm duy nhất ( ) 8; 1; 3 x y  =     . Ví dụ 15. [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( ) 235 12 1 12x x x− − > Lời giải: Bất phương trình 2 235 1 12 (1 1)x x x⇔ − > + − Với ( ]; 1x ∈ −∞ − là nghiệm của bất phương trình. Với 1x = không là nghiệm. Với ( )1;x ∈ +∞ chia hai vế cho 212 1x − ta được : 2 35 121 x x x + < − 2 2 24 2 22 2 35 2 35 0 12 1 121 1 x x x x xx x       ⇔ + < ⇔ + − <      −    − −  2 4 2 2 25 144 625 625 0 121 x x x x ⇔ < ⇔ − + < − 225 25 5 5 16 9 4 3 x x⇔ < < ⇔ < < Với 1x > nên 5 5 4 3 x< < Vậy bất pt có nghiệm : ( ] 5 5; 1 ; 4 3 x   ∈ −∞ − ∪     Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 3 2 5 3 4 5 3 x y x xy y x y x xy x xy x  + + + + = +   + + = − − Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) ( ) ( )22 2 231 2 2 1 2x x x x x x− = − − + − + + ∈
. Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 2 23 1 2 1 12 7 8 15 x y x y y xy x x y  + + + − = +  + = + + Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có chân đường phân giác trong góc A xuống là ( )3; 4D − , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại ( )7; 2E − ,đường thẳng AC đi qua ( )7;6K . Tìm toạ độ các đỉnh B,C của tam giác ABC biết điểm A thuộc đường thẳng 3 3 0x y− − = và có hoành độ nguyên. Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có ( )1;4A , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong của góc ADB cắt cạnh AB và AC lần lượt tại F và 7 11; 2 2 E      . Tìm toạ độ các đỉnh B,C của tam giác ABC biết D thuộc trục tung , điểm F thuộc đường thẳng 3 0x y+ = và có hoành độ nhỏ hơn 3. Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải phương trình ( ) 2 2 3 3 117 1 6 9 1 x x x x x x + − − = + − + ∈ +
. Lời giải. Điều kiện 3 217 3 16 0 0 3 x x x  − + ≥  ≤ ≤ Ta có ( )22 2 29 9 2 9 9 9 3x x x x x x− + = + − ≥ ⇒ − + ≥ , kết hợp 20 6 9 3x x x x≥ ⇒ + − + ≥ . Do đó thu được ( ) 2 2 2 3 3 3 22 3 3 3 1 3 1 317 1 3 17 4 17 16 1 1 1 033 11 0 0 31 1 x x x x x x xx xx xx x + + − − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ + + + =− + ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔  ≥+ +  Đối chiếu điều kiện và thử lại ta có nghiệm 0x = . Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng 1 2: 1 0; : 1 0.+ − = − + =d x y d x y Lập phương trình đường tròn (C) cắt 1d tại A và cắt 2d tại B, C sao cho tam giác ABC đều và có diện tích bằng 24 3. Lời giải: RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 15) Thầy Đặng Việt Hùng Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Dễ thấy 1 2d d⊥ , do tam giác ABC đều nên đường thẳng qua A và vuông góc với BC là đường cao trong tam giác đều. Khi đó tâm I của đường tròn thuộc 1d . Gọi ( );1I t t− là tâm đường tròn và cũng là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó 3 24 3ABC IBCS S= = Ta có: ( ) 3; 3 3 2 3 2 ABd d I BC AH d d AB d BC= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = Ta có: 2 2 2 2 2 2 221 .2 3 3 8 3 8 8 2 3 32 2 2IBC t S d d d d t R IH HB d d= = = ⇒ = ⇔ = ⇔ = ± ⇒ = + = + = . Với ( ) ( ) ( )2 22 : 2 1 32t C x y= ⇒ − + + = . Với ( ) ( ) ( )2 22 : 2 3 32t C x y= − ⇒ + + − = . Ví dụ 8. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 5 3 2 2 3 4 2 2 x y x y x y x y x y x  − + + − = + + − + −  + − = Lời giải. Điều kiện 20;2 0 3 0;3 4 y x x y x  ≥ − ≥  + − ≥ ≥ Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 2 3 4 3 0 2 12 2 1 0 3 4 3 12 1 2 0 3 4 3 x y x y x y x x y x y x y x y x x y x y x y x x y + − − + + + − − + − = − − ⇔ + − − − + = − + + −   ⇔ − − + − + =   − + + −  Vì 12 0 2 1 3 4 3 x y y x x x y + − + > ⇒ = − − + + − . Phương trình thứ hai của hệ trở thành Khi đó phương trình thứ hai của hệ trở thành ( )22 1 2 2 1x x− + − = . Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 1 2 1 1 2 3 22 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 4 13 2 4 2 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x x x x xx x x x + − + − + − − + − = − + − ≤ + = − −+ − = ≤ = ⇒ − + − ≤ Do đó phương trình (1) có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là 2 2 1 1 1 2 1 x x x − = ⇔ = − = . Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ vô nghiệm. Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có ( )5;3A , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong của góc ADB có phương trình là 3 0x y− − = , và đường thẳng AC đi qua gốc toạ đô. Viết phương trình đường thẳng AB. Lời giải: Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Giả sử phân giác góc ADB cắt AB và AC tại F và E. Ta có:   1 2 AFE FAD ADB= + Lại có:   1 2 AED ADB ACB= + . Khi đó chứng minh được tam giác AEF cân tại A. Phương trình đường thẳng AC là: 15 93 5 0 ; . 2 2 x y E  − = ⇒     Gọi ( ); 3F t t − ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 15 2175 6 7 7 12 ; 2 2 2 t E F loai AE AF t t t F  = ⇒ ≡ = ⇔ − + − = ⇔   = ⇒     Khi đó phương trình đường thẳng AB qua A và F là: 5 3 16 0x y− − = . Vậy phương trình đường thẳng AB là: 5 3 16 0x y− − = . Ví dụ 10. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình 2 2 2 3 3 2 4 2 3 4 2 3 2 12 1 3 2 2 1 2 x y x y y x y x y x y  + + + + = + + +   + − − + − = + − −  Lời giải. Điều kiện 31 2; 2 3 x y≥ ≥ . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 4 0 2 2 2 4 3 4 1 0 1 1 1 2 1 x y x y y x y x yx y x y x y y x y x y x y x y x y y + − + + + + − + = − + − ⇔ + + + + + + + +  + ⇔ − + = ⇒ =  + + + + + + +   Phương trình thứ hai của hệ trở thành 3 3 3 2 12 1 3 2 1 2 x x x x x + − − + − = + − . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 3 3 3 3 2 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 12 1 3 2 1 2 2 2 2 x x x x x x x x x − + − + + − + − − + − ≤ + = ≤ + − . Do đó phương trình ẩn x có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là 32 1 3 2 1 1x x x− = − = ⇔ = . Ví dụ 11. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 5 6 5 6 8 6 2 4 x x y x xy y x xy y x y x x y + + = − + − +   − − + + = Lời giải. Điều kiện 0 0 2 2 0 x x y x y x y ≥ ≥  ⇒ ≥ ≥  ≥ Nhận xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 5 6 55 6 5 4 6 8 6 5 6 8 6 x xy y x y x yx xy y x y x y x y x xy y x y x y x y x xy y x y x y  − + ≥ + = +− + = + + − ≥ +  ⇒  − + = + + − ≥ + − + ≥ + = +   Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn Tham gia các khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt điểm số cao nhất trong kì thi THPT Quốc gia 2015! Dẫn đến ( ) 2 2 2 2 32 3 2 3 3 5 6 5 6 8 6 x yx x y x x y x y x y x yx xy y x xy y ++ + + ≤ + = = + + + − + − + . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y= . Phương trình thứ hai trở thành ( ) ( )( )2 1 2 024 1 10 0 x xx x x x x x x x  − + =+ =  + = ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ =  ≥ ≥  . Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1x y= = . CHÚC CÁC EM SẼ CHINH PHỤC THÀNH CÔNG HỆ PT, BẤT PT VÀ HÌNH OXY