Quá trình nén Hillery và quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha

QUÁ TRÌNH NÉN HILLERY VÀ QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA PHẠM BÁCH KHOA Trường THPT Sơn Mỹ - Quảng Ngãi TRƯƠNG MINH ĐỨC Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi trình bày kết quả khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha. Các kết quả tính số và vẽ đồ thị cho thấy: ở trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha, khi bậc nén tăng dần thì mức độ nén kiểu Hillery giảm dần còn mức độ nén kiểu Hong- Mandel tăng dần và ở trạng thái này không có hiệu ứng nén Hillery bậc 4n (n là số nguyên). Chúng tôi cũng chỉ ra rằng: ở trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha, khi bậc nén tăng thì độ rộng vùng nén kiểu Hillery không thay đổi còn độ rộng vùng nén kiểu Hong-Mandel giảm dần. 1 GIỚI THIỆU Vào đầu thập niên 80 của thế kỷ 20, Hestrom [4], Hillery [5] và Mandel [8] đã đưa ra khái niệm trạng thái phi cổ điển trong đó trạng thái phi cổ điển được nhắc đến đầu tiên là trạng thái nén. Trong trạng thái nén, các thăng giáng lượng tử được giảm xuống dưới mức thăng giáng mà trạng thái kết hợp cho phép. Việc nghiên cứu các trạng thái phi cổ điển trong đó có trạng thái nén có ý nghĩa rất quan trọng trong các lĩnh vực như thông tin lượng tử, máy tính lượng tử, trong việc tăng độ chính xác của các phép đo. Năm 2007, Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [9] đã đưa ra một trạng thái phi cổ điển mới đó là trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 = N√ 2 (|α〉+ eiΦ|iα〉), trong đó N là hệ số chuẩn hóa, φ là pha tương đối. Ngoài ra Ran Zeng, Muhammad Ashfaq và Shutian Liu [9] đã khảo sát một số tính chất phi cổ điển của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha Ψ nhưng chỉ dừng lại ở bậc thấp như hiệu ứng nén bậc một, tính thống kê sub-Poisson bậc một và tính chất phản kết chùm bậc một. Năm 2009, Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế ISSN 1859-1612, Số 02(14)/2010: tr. 25-33 26 PHẠM BÁCH KHOA - TRƯƠNG MINH ĐỨC tác giả Nguyễn Thị Bích Ngân [1] đã khảo sát một số tính chất phi cổ điển của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha Ψ với các bậc cao hơn như hiệu ứng nén Hillery từ bậc hai đến bậc tám, tính thống kê sub-Poisson [3] và tính chất phản kết chùm từ bậc hai đến bậc mười. Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát quá trình nén Hillery tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha, sau đó chúng tôi so sánh hai kiểu nén này. 2 KHẢO SÁTQUÁ TRÌNH NÉN HILLERY TỔNGQUÁT CỦA TRẠNGTHÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA Ta đã biết, toán tử biên độ lũy thừa k được định nghĩa Q̂k(ϕ) = 1 2 (aˆke−ikϕ + aˆ+keikϕ), (1) trong đó: aˆ và aˆ+ tương ứng là toán tử hủy hạt và sinh hạt đối với trường boson, k là bậc nén và ϕ là một góc bất kỳ trong mặt phẳng phức. Một trạng thái được gọi là nén kiểu Hillery nếu thỏa mãn bất đẳng thức [1] 〈(∆Q̂k(ϕ))2〉 < 14〈Fk〉, (2) trong đó [7] 〈Fk〉 = 〈[âk, â+k]〉 = k∑ q=1 k!k(q) (k − q)!q!〈(â +)k−qâk−q〉, (3) với k(q) = ∏q−1 i=0 (k − i). Sau đó ta khai triển phương sai như sau [7] 〈(∆Q̂k(ϕ))2〉 = 14〈Fk〉+ 〈: (∆Q̂k(ϕ)) 2 :〉, (4) trong đó [7] 〈: (∆Q̂k(ϕ))2 :〉 = 12{〈â +kâk〉+ <[e−2ikϕ〈â2k〉]− 2(<[e−ikϕ〈âk〉])2}, (5) với :...: là kí hiệu N-tích. Kết hợp bất phương trình (2) và phương trình (4), chúng ta nhận thấy rằng trạng thái sẽ nén nếu 〈: (∆Q̂k(ϕ))2 :〉 < 0 . Để thuận tiện, ta định nghĩa hệ số nén kiểu Hillery của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 như sau [1] [2] [7]: Sk = 4〈Ψ| : (∆Q̂k(ϕ))2 : |Ψ〉 〈Ψ|Fk|Ψ〉 = 2{〈Ψ|â+kâk|Ψ〉+ <[e−2ikϕ〈Ψ|â2k|Ψ〉]− 2(<[e−ikϕ〈Ψ|âk|Ψ〉])2}∑k q=1 k!k(q) (k−q)!q!〈Ψ|(â+)k−qâk−q|Ψ〉 , (6) QUÁ TRÌNH NÉN HILLERY VÀ QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL... 27 trong đó: < là kí hiệu phép lấy phần thực của một số phức, |Ψ〉 = [1 + e −|α|2cos(φ+ |α|2)]− 12√ 2 e− |α|2 2 ∞∑ n=0 αn + eiφ(iα)n√ n! |n〉. (7) Như vậy, điều kiện nén Hillery bậc cao của một trạng thái nào đó là hệ số nén Sk phải nằm trong khoảng −1 ≤ Sk < 0 và trạng thái là nén lý tưởng nếu Sk = −1. Lần lượt thay k = 4n, k = 4n + 1, k = 4n + 2 và k = 4n + 3 (n là số nguyên) vào (6), ta được các biểu thức hệ số nén Hilery bậc 4n, bậc 4n+ 1, bậc 4n+ 2 và bậc 4n+ 3 lần lượt như sau: S4n = 0, (8) S4n+1 = 2|α|8n+2 { 1− e−2|α|2 − sin[2(4n+ 1)ϕ](1 + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2) } A1(1 + e−|α| 2cosβ) , (9) S4n+2 = 4|α|8n+4 { 1− e−2|α|2 + cos[2(4n+ 2)ϕ](1 + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2) } A2(1 + e−|α| 2cosβ) , (10) S4n+3 = |α|8n+6 { 1− e−2|α|2 + sin[2(4n+ 3)ϕ](1 + 2e−|α|2cosβ + e−2|α|2) } A3(1 + e−|α| 2cosβ) , (11) trong đó: β = φ+ |α|2, (12) A1 = 4n+1∑ q=1 (4n+ 1)! ∏q−1 i=0 (4n+ 1− i) (4n+ 1− q)!q! |α| 8n+2−2q × { 2− ie−|α|2 [ 2(−i)−qcosβ − [(−i)−q + i−q]eiβ]}, (13) A2 = 4n+2∑ q=1 (4n+ 2)! ∏q−1 i=0 (4n+ 2− i) (4n+ 2− q)!q! |α| 8n+4−2q × { 2− e−|α|2 [ 2(−i)−qcosβ + [i−q − (−i)−q]eiβ]}, (14) A3 = 4n+3∑ q=1 (4n+ 3)! ∏q−1 i=0 (4n+ 3− i) (4n+ 3− q)!q! |α| 8n+6−2q × { 2 + ie−|α| 2 [ 2(−i)−qcosβ − [(−i)−q + i−q]eiβ]}. (15) Biểu thức (8) cho thấy rõ ràng ở trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha không có hiệu ứng nén Hillery bậc 4n. Dựa vào biểu thức (9), (10), (11), ta khảo sát được sự phụ thuộc của các hệ số nén S4n+1, S4n+2, S4n+3 vào |α|2 và n khi chọn trước các giá trị ϕ và φ. Hình 1 dưới đây mô tả sự phụ thuộc của các hệ số nén S4n+1, S4n+2, S4n+3 vào |α|2 và n khi ϕ = pi/4, φ = 0. 28 PHẠM BÁCH KHOA - TRƯƠNG MINH ĐỨC Hình 1: Hệ số nén S4n+1 (a), S4n+2 (b), S4n+3 (c) là hàm của |α|2 và n khi φ = 0. Căn cứ vào đồ thị và kết quả tính số ta nhận thấy vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 1.75, vùng nén thứ hai có mức độ nén nhỏ hơn chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 4.7 đến 7.85. Với những giá trị nhỏ của n thì vùng nén thể hiện rõ rệt, khi n tăng thì mức độ nén giảm dần. 3 KHẢO SÁT QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA Xét hai toán tử biên độ trực giao Xˆ1(ϕ) = 1 2 (aˆ+eiϕ + aˆe−iϕ), (16) Xˆ2(ϕ) = i 2 (aˆ+eiϕ − aˆe−iϕ), (17) có giao hoán tử [Xˆ1(ϕ), Xˆ2(ϕ)] = 2iC, với C là một số thực bất kỳ. (18) QUÁ TRÌNH NÉN HILLERY VÀ QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL... 29 Hong-Mandel đã sử dụng đồng nhất thức Campbell-Bake-Hausdorff〈 exp(∆Xˆ1(ϕ)x) 〉 = 〈 : exp(∆Xˆ1(ϕ)x) : 〉 exp( 1 2 x2C), (19) trong đó :...: ký hiệu N-tích. Khai triển các hàm mũ trong (19) dưới dạng chuỗi theo x và đồng nhất hai vế, ta có: V NX1(ϕ) = 〈 (∆Xˆ1(ϕ))2N 〉 = N−1∑ j=0 (2N )2jCj j!2j 〈 : (∆Xˆ1(ϕ))2(N−j) : 〉 + (2N − 1)!!CN , (20) trong đó N (j) ≡ N (N − 1)...(N − j + 1); (2N − 1)!! ≡ (2N )!N !2N . (21) Ở trạng thái kết hợp, tất cả các số hạng 〈 : (∆Xˆ1(ϕ)x)2(N−j) : 〉 = 0, nên V NX1(ϕ) = (2N − 1)!!CN , (22) và do đó điều kiện để có nén bậc N kiểu Hong-Mandel là V NX1(ϕ) < (2N − 1)!!CN . (23) Từ (20) và (23), ta có biểu thức cho điều kiện nén bậc N kiểu Hong-Mandel N−1∑ j=0 (2N )2jCj j!2j 〈 : (∆Xˆ1(ϕ))2(N−j) : 〉 < 0. (24) Để thuận tiện, ta định nghĩa hệ số nén kiểu Hong-Mandel của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 đối với bậc nén N chẵn như sau [6]: SN = ∑N−1 j=0 (N )2j j! ( C 2 )j 〈Ψ| : (∆Xˆ1(ϕ))N−2j : |Ψ〉 (N − 1)!!CN/2 , (25) trong đó C = 1 2i 〈Ψ|[Xˆ1(ϕ), Xˆ2(ϕ)]|Ψ〉 = 12i〈Ψ| i 2 [aˆ, aˆ+]|Ψ〉 = 1 4 . (26) Rõ ràng là hiệu ứng nén theo X1 xuất hiện khi ta có −1 ≤ SN < 0 và nén đạt cực đại khi SN = −1. Tương tự như vậy đối với X2. Dựa vào biểu thức (25), kết hợp với (7), (16), (17), (26), ta tìm được các hệ số nén Hong-Mandel bậc 2, bậc 4 lần lượt như sau: S2 = |α|2[1− e−2|α|2 − sin(2ϕ)(1 + 2e−|α|2cos(φ+ |α|2) + e−2|α|2)] [1 + e−|α|2cos(φ+ |α|2)]2 , (27) 30 PHẠM BÁCH KHOA - TRƯƠNG MINH ĐỨC S4 = 2N2|α|4 3 [ (1 + e−|α| 2 cosβ)cos4ϕ− 4e−|α|2cosβsin2ϕ+ 3(1− e−|α|2cosβ)] − 4N 4|α|4 3 { [1 + e−|α| 2 (cosβ + sinβ)](cos3ϕ− sin3ϕ) + 3[1− e−|α|2(cosβ + sinβ)](cosϕ+ sinϕ) } M + 4N6|α|4(1− e−|α|2sinβ − e−|α|2sinβsin2ϕ)M2 −N8|α|4M4 + 4N2|α|2(1− e−|α|2sinβ − e−|α|2sinβsin2ϕ)− 2N4|α|2M2, (28) trong đó M = [1+e−|α|2(cosβ−sinβ)](cosϕ+sinϕ), N là hệ số chuẩn hóa. Bằng cách tính tương tự như hệ số nén Hong-Mandel bậc 2 và bậc 4, ta cũng dễ dàng tìm được hệ số nén Hong-Mandel bậc 6 và bậc 8. Trong khuôn khổ của bài báo này, chúng tôi không trình bày biểu thức hệ số nén Hong-Mandel bậc 6 và bậc 8 mà chỉ vẽ đồ thị của chúng vì biểu thức của chúng quá dài dòng. Hình 2 dưới đây mô tả giá trị của các hệ số nén Hong-Mandel bậc 2, bậc 4, bậc 6, bậc 8 của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha |Ψ〉 phụ thuộc vào |α|2 ứng với các giá trị khác nhau của φ. Hình 2: Hệ số nén Hong - Mandel S2(a), S4(b), S6(c), S8(d) là hàm của |α|2 khi: φ = 0 (đường chấm chấm), φ = pi/2 (đường gạch gạch), φ = 3pi/2 (đường nét liền). Căn cứ vào hình 2a và kết quả tính số ta nhận thấy tại φ = 0 có những đường cong nằm dưới đường S2 = 0 tương ứng với các vùng nén: vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 QUÁ TRÌNH NÉN HILLERY VÀ QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL... 31 nằm trong khoảng từ 0 đến 1.7, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 4.7 đến 7.85. Tương tự, đối với hệ số nén S4 (hình 2b) ta có: tại φ = 0, vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 1.34, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 3.03 đến 4.6. Đối với hệ số nén S6 (hình 2c) khi φ = 0 có hai vùng nén: vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 1.07, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 2.5 đến 4.7. Đối với hệ số nén S8 (hình 2d) khi φ = 0 ta có: vùng nén thứ nhất chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 0 đến 0.9, vùng nén thứ hai chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 2.48 đến 2.92, vùng nén thứ ba chứa các giá trị |α|2 nằm trong khoảng từ 4.7 đến 7.85. Với các giá trị φ khác ta cũng có đặc điểm tương tự, nhưng độ rộng vùng nén khác nhau được biểu diễn trên đồ thị. Từ các kết quả tính số và đồ thị ta nhận thấy mức độ nén Hong-Mandel tăng dần khi bậc nén tăng dần. 4 SO SÁNH QUÁ TRÌNH NÉN HILLERY VÀ QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL CỦA TRẠNG THÁI CHỒNG CHẤT HAI TRẠNG THÁI KẾT HỢP VUÔNG PHA Hình 3: Hệ số nén Sk kiểu Hillery bậc 1,2,3,4 (a) và hệ số nén SN kiểu Hong-Mandel bậc 2,4,6,8 (b) là hàm của |α|2 khi φ = 0. Hình vẽ 3 mô tả hệ số nén Sk kiểu Hillery bậc 1,2,3,4 và hệ số nén SN kiểu Hong - Mandel bậc 2,4,6,8 là hàm của |α|2 khi φ = 0, nó thể hiện rất rõ sự giống nhau và khác nhau giữa kiểu nén Hong-Mandel và kiểu nén Hillery ở bốn bậc nhỏ nhất. Căn cứ vào đồ thị và kết quả tính số ta nhận thấy, tính chất nén Hillery bậc một và tính chất nén Hong-Mandel bậc hai của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha hoàn toàn giống nhau. Đối 32 PHẠM BÁCH KHOA - TRƯƠNG MINH ĐỨC với các bậc nén khác thì hai kiểu nén này hoàn toàn khác nhau. Điểm khác nhau thứ nhất giữa kiểu nén Hillery và kiểu nén Hong-Mandel của trạng thái này là mức độ nén theo kiểu Hong-Mandel càng lớn khi bậc nén càng lớn, còn mức độ nén theo kiểu Hillery càng nhỏ khi bậc nén càng lớn và không có nén kiểu Hillery bậc 4n (n=1,2,3...). Điểm khác nhau thứ hai giữa kiểu nén Hillery và kiểu nén Hong-Mandel của trạng thái này là độ rộng vùng nén theo kiểu Hillery không thay đổi còn độ rộng vùng nén theo kiểu Hong-Mandel giảm dần khi bậc nén tăng dần. 5 KẾT LUẬN Trong bài báo này, chúng tôi đã khảo sát các tính chất nén kiểu Hillery tổng quát và quá trình nén Hong-Mandel từ bậc hai đến bậc tám của trạng thái chồng chất hai trạng thái kết hợp vuông pha. Chúng tôi đã chỉ ra rằng trong trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha thì mức độ nén theo kiểu Hong-Mandel càng lớn khi bậc nén càng lớn, còn mức độ nén theo kiểu Hillery càng nhỏ khi bậc nén càng lớn và không có nén kiểu Hillery bậc 4n. Kết quả tính số và vẽ đồ thị cho thấy độ rộng của vùng nén kiểu Hong-Mandel giảm dần còn độ rộng của vùng nén kiểu Hillery không thay đổi khi bậc nén tăng dần. Kiểu nén Hong- Mandel bậc hai trùng với nén Hillery bậc một và trùng với kiểu nén thông thường. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thị Bích Ngân (2009). Một số tính chất phi cổ điển của trạng thái chồng chất của hai trạng thái kết hợp vuông pha. Luận văn Thạc sĩ Vật lý, ĐHSP Huế - ĐH Huế. [2] Nguyễn Thị Thúy Nhiên (2005). Nén bậc cao trong trạng thái kết hợp cặp. Luận văn Thạc sĩ Vật lý, ĐHSP Huế - ĐH Huế. [3] Daniel E., Reeta V. and Surendra S. (2001). Higher-order sub-Poissonian photon statistics in terms of factorial moments. Optical Society of America, 19 (6), pp.1471. [4] Hestrom C. W. (1980). Nonclassical states in optical communication to a remote recceiver. IEEE Trans. Inf. Theory, 26, pp. 378-382. [5] Hillery M. (1963). Conservation laws and nonclassical states in nonlinear optical sys- tems. Physical Review A, 31, pp. 338-342. [6] Hong C.K. and Mandel L. (1985). Higher - order Squeezing of a quantum field. Physical Review Letters, 54(4), pp. 323-325. QUÁ TRÌNH NÉN HILLERY VÀ QUÁ TRÌNH NÉN HONG-MANDEL... 33 [7] Minh Duc Truong, Ba An Nguyen (2004). Hillery-Type Squeezing in Fan States. Jour- nal of the Korean Physical Society, 44, pp. 1421-1426. [8] Mandel L. (1986). Nonclassical sates of the electromagnetic field. Physica Scripta T, 12, pp. 34-42. [9] Ran Z., Muhammad A. A. and Shutian L. (2007). Nonclassical state via superposi- tion of two coherent states (pi/2 out of phase) and related entangled states. Optics Communications, 271, pp. 162-168. Title: HILLERY SQUEEZING PROCESS AND HONG-MANDEL SQUEEZING PRO- CESS OF THE SUPERPOSITION OF TWO COHERENT STATES WHICH ARE pi/2 OUT OF PHASE Abstract: In this paper we report the consideration results of general Hillery squeezing process and Hong-Mandel squeezing process of the superposition of two coherent states which are pi/2 out of phase. The numerical results and plots show that the degree of Hillery squeezing is the decreasing and the degree of Hong-Mandel squeezing is increasing when the squeezing order is increasing, and the Hillery squeezing effect disappears when the squeezing order is 4n (n is integer) in this state. We also show that the width of Hillery squeezing region is invariable and the width of Hong-Mandel squeezing region is decreasing when the squeezing order is increasing in this state.. ThS. PHẠM BÁCH KHOA Giáo viên trường THPT Sơn Mỹ - Sơn Tịnh - Quảng Ngãi. ĐT: 0988.794.676. Email: mtbachkhoa@gmail.com TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế.